Исследование динамических свойств экономических систем с помощью весовых функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математический анализ и моделирование в экономике

УДК 330.43 (075.8)

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИчЕСКИХ СВОЙСТВ

экономических систем с помощью

ВЕСОВЫХ ФУНКЦИЙ

В.Ф. КОЛПАКОВ,

кандидат технических наук, доцент кафедры теории и практики управления Е-mail: V.Kolpakov53@mail.ru Московский городской психолого-педагогический университет,

Москва, Российская Федерация

Предмет/тема. Традиционным методом моделирования динамических связей экономических параметров является корреляционно-регрессионный анализ. Известно, что получаемые при этом авторегрессионные модели и модели с распределенным лагом имеют ряд недостатков, вызванных нарушением предпосылок метода наименьших квадратов и проблемами выбора длины лага. В результате из-за искажения динамических свойств прогнозные свойства таких моделей являются неудовлетворительными. В связи с этим вопросы разработки достоверных моделей динамики экономических факторов в настоящее время остаются вполне актуальными.

Цель/задачи. Динамические взаимоотношения экономических показателей на примере ВВП и инвестиций в экономику России моделируются в виде обыкновенных линейных дифференциальных уравнений, а затем с помощью известных методов преобразования осуществляется переход к дискретному виду. Таким образом, формируются авторегрессионные модели и модели с распределенным лагом, при этом проблема выбора длины лага исчезает.

Методология. В работе в качестве инструментария преобразования непрерывной модели к дискретной форме был использован аппарат весовых функций.

Результаты. Предложенный в работе алгоритм формирования авторегрессионных и лаговых моделей с помощью весовых функций исключает

проблемы выбора их структуры и состоятельности оценок параметров. Результаты численного моделирования показали достаточно высокую адекватность моделей, а следовательно, и их прогнозных свойств.

Область применения. Предлагаемая в работе методика достаточно эффективна и может быть использована для моделирования процессов экономики, в частности экономических показателей отраслей, компаний, например зависимости прибыли от инвестиций в производство, расходов на рекламу или маркетинговых исследований.

Выводы/значимость. Результаты исследования зависимости ВВП от инвестиций показали, что предлагаемый алгоритм моделирования достаточно эффективен, позволяет не только создавать высокоточные модели для прогноза, но и анализировать глубину динамической зависимости результирующего фактора от входных переменных.

Ключевые слова: экономическая модель, динамика, модель с лагoм, авторегрессионная модель, весовая функция

Разработка динамических моделей экономических систем

В настоящее время экономико-математическое моделирование находит все более широкое

применение в практических вопросах экономики. При управлении с использованием моделирования, как правило, реализуется схема: объект-модель ^ алгоритм-программа ^ ЭВМ ^ управление объектом. Несомненно, главным звеном в этой схеме является математическая модель объекта, а точнее ее достоверность.

Каждая модель является некоторым приближением к реальному объекту, и при ее формировании, естественно, делаются определенные допущения, упрощения. Когда говорят об адекватности модели реальному объекту, то в первую очередь имеют в виду наибольшее приближение определенных параметров, ради которых и создавалась модель.

При моделировании экономических процессов, изменяющихся во времени, к таким параметрам прежде всего относят характеристики, определяющие динамику (инерцию) взаимодействия экономических факторов. В настоящее время в практических задачах динамического моделирования наибольшее место занимают временные ряды и так называемые лаговые и авторегрессионные модели. Реже, особенно в микроэкономике, используется математическое описание с помощью систем дифференциальных уравнений.

Причин такого положения несколько. Перечислим основные:

1) сложность идентификации параметров модели;

2) традиционно в экономике динамические модели строились с использованием только тех дифференциальных уравнений, которые имели аналитическое решение, что являлось значительным ограничением применения этого аппарата моделирования. Однако в настоящее время с развитием численных методов и символьных преобразований эта проблема, в частности для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений, стала в основном технической;

3) также традиционным для экономиста является использование входной и выходной информации динамических объектов в дискретном по времени виде, поэтому и получили наибольшее применение авторегрессионные и лаговые модели.

В данной статье предлагается описывать динамические взаимоотношения экономических показателей в виде обыкновенных линейных дифференциальных уравнений, а затем с помощью известных методов преобразования проводить переход к дискретному виду. По сути, таким образом

формируются модели с распределенным лагом и авторегрессионные модели. Однако при этом исчезают проблемы построения, такие как выбор длины лага и ненадежность оценок в силу нарушений предпосылок метода наименьших квадратов.

Пусть математическая модель экономической системы имеет стационарный линейный вид и представлена в матричной форме Коши:

у'(1) = А • у^) + С • х^), (1)

где у^) = [у ^)—уп (0] — вектор объясняемых факторов;

х^) = [х1 (I )••• хт ^)]— вектор объясняющих факторов;

А и С — числовые матрицы соответствующих размерностей.

Динамические характеристики системы не зависят от внешнего фактора х(0, а определяются только свойствами самой системы. Инструментом исследования динамических свойств системы является ее фундаментальная матрица, которая определяет функционирование системы (1) при нулевых входных сигналах и ненулевых начальных условиях:

" ёи ^) • ёы (0"

F (t) =

(2)

_ ёп1 ^) ••• ёпп ^)_

Ее элементами являются весовые функции ёу ,/ = 1, п , у = 1, п , определяющие изменение /'-го объясняемого фактора при ненулевом начальном условии у-го объясняемого фактора: у у = 1.

Для вычисления ^(0 необходимо решить матричное дифференциальное уравнение

F) = А • F(0 (3)

при начальном условии F = Е, где Е — единичная матрица.

Используя фундаментальную матрицу, можно установить непосредственную связь между х(0 и у(^ с помощью интеграла Дюамеля:

y(t) = F (t -10) y(t0) + JF (T)Cx(t - T)d т.

(4)

Из выражения (4) следует, что объясняемая переменная в момент t зависит от двух составляющих. Первая обусловлена начальными условиями, вторая — объясняемым фактором х(0. Причем веса предыстории, т.е. влияния начальных условий и фактора х(^ в предыдущий период (от t0 до 0, определяются элементами фундаментальной матрицы — весовыми функциями.

С учетом матрицы (2) приведем выражение (4) к скалярному виду: у, (1) = а, (1) +

I п т _

+К2ёу (х)с}Л(1- Т1 =1 п (5)

чу=к=1

где ai (1) — составляющая ,-й зависимой переменной, обусловленная начальными условиями. Для момента 1 она определяется по формуле

п

а, (О = Хёу С- О У у Со). (6)

у =1

Интервал наблюдений [10, ¿] представим в виде фиксированных значений времени с периодом дискретности А1 и определим дискретный аналог (5):

s п т

у, (1) = а, ^) + ^ЕЕё у (10 +1Ы)СукХк х

I=0 у=1 к =1

х(1 -1Ы)Ы,, = 1, п, (7)

где 5 — длина лага;

ё у (10 +1Ы) — дискретные значения весовых функций в моменты 10 +1Ы1, I = 0,5; Ху (1 - 1Ы1) - дискретные значения объясняющего фактора в моменты 10 +1А1, I = 0,5.

В выражении (7) каждый объясняющий фактор хк(0 (рис. 1) был представлен кусочно-постоянной функцией

Хк (1) = Хк (11 <1 < ^+l, ^ = Ш, I = 0,1, 2...

Модель вида (7) есть не что иное, как модель с распределенным лагом для многомерной экономической системы. Ее можно представить в виде У, (0 = а, (1) + Ь'01 х (0 + Ь*1 Х (1 - Ы) + + • • ' + ЬАХ (1 - ) + - + КтХт (0 + +ЬтХт (^ - Ы) + • + ЬтХт (1 - 5 А/),, = Щ, (8)

п

где а,(1) = ^ё у(1 -10) Уу (^Х

у=1

п ___

Ьк = Хё у (10 +1Ы)с/, I = 0,5, к = 1, т.

у=1

Из выражения (8) следует, что объясняемая переменная у (1) является функцией т лаговых объясняющих факторов. Здесь длина лага фиксирована и для каждого объясняющего фактора равна 5. Коэффициенты при лаговых переменных определяются значениями соответствующих весовых функций. Отсюда вытекает, что реальные длины лагов могут быть скорректированы в зависимости от характера весовых функций.

хк +

to ti 12 t3 t

Рис. 1. График объясняющего фактора xk(t)

Прежде чем рассматривать возможные весовые функции для динамических объектов, обратимся к такому понятию, как устойчивость экономических систем. Изучением и анализом этой проблематики занимаются в последнее время многие исследователи и различные научные школы. С точки зрения теории самоорганизации устойчивость сложной динамической системы — это ее способность сохранять движение по намеченной траектории (поддерживать намеченный режим функционирования), несмотря на воздействия внешней среды.

Устойчивость экономической системы в целом — это ее способность противостоять неблагоприятным внутренним и внешним силам, сохраняя при этом параметры развития, стабильные показатели и оптимальные пропорции, динамизм развития и эффективное использование ресурсов.

Одним из показателей устойчивости динамических систем является вид весовой функции, а вернее ее свойство — абсолютная интегрируемость:

да

J|g(t)| dt <да. (9)

t0

Условие абсолютной интегрируемости весовой функции (9) гарантирует ее стремление к нулю при неограниченном увеличении времени:

lim g (t) = 0.

1

В нашем исследовании будем рассматривать устойчивую экономическую систему, для которой характерный вид весовой функции представлен на рис. 2.

Из рассмотрения рис. 2 следует, что для данной динамической системы длина лага может быть выбрана равной четырем, т.е. в модели следует принять s = 4. Весовые коэффициенты больших значений лага равны нулю или близки к нему, и ими можно пренебречь.

Рис. 2. Зависимость весовой функции от времени для устойчивой системы

Для многомерной системы вида (1) весовыми функциями являются элементы фундаментальной матрицы (2). А это означает, что в модели для каждой объясняемой переменной у (г) может быть выбрана длина лага s исходя из самой значимой

весовой функции g г], 7 = 1 , п.

тирующий фактор у (г) определяется выражением (8), где в качестве s используется s Причем коэффициент а.(г) в модели выполняет роль влияния недостающих лаговых переменных опосредованно, за счет влияния начальных условий.

В случае же, когда t > s , весовыми коэффициентами с момента t можно пренебречь и в модели а.(г) принять равным нулю. Теперь состояние у (г) определяется только объясняющими факторами длиной s

Универсальность весовых функций заключается еще и в том, что с их помощью можно достаточно просто сформировать модель авторегрессии. Для чего непрерывную модель (1) преобразуем к разностному уравнению, в котором моделируется переход состояния системы у(^) в новое состояние у(^+1), где t i = 1 At, 1 = 0,1,2... Такой переход определяется интегралом Дюамеля (4), в котором аргументы подынтегральных функций поменяем местами:

г

у а) = ^ (г - г0) у(г0) + ]> (г - т)Сх(т^ т. (10)

г»

Если в выражении (10) принять г0 = г1, г = г+1, то получим уравнение авторегрессии

У(г+1) = F(tl+l - г,)у(гг) + R(ti)х(гг), (П)

где

г+1

R(ti) = { F (г+1 -т)Cd т . (12)

г

В выражении (11) было принято допущение о постоянстве объясняющего фактора на интервале

дискретности [t ,, t.+1] и его значении, равном x(t.), а иногда принимают и равным x(t.+1).

В выражении (11) F(ti+1 -1 i) = F(At) определяется решением (3) на отрезке [0, At] с начальным условием F(0) = E.

Если в формуле (12) верхний предел не фиксировать, а сделать переменным значением t и продифференцировать по нему, учитывая формулу (3), то получим дифференциальное уравнение для вычисления R(t):

R'(t) = A • R(t) + C (13)

c начальным условием R(0) = 0.

Решая уравнение (13) на интервале [t., tj, получим значение R(t.). Так как At — величина постоянная, матрицы F(At) и R(t.) можно определить один раз, например решением выражений (3) и (13) на начальном участке [t0 , tj, и дальше принимать неизменными.

Таким образом, моделируя динамику экономической системы непрерывным дифференциальным уравнением и используя аппарат весовых функций, можно без особого труда получить модель с распределенным лагом и модель авторегрессии. При этом модели являются вполне адекватными, лишенными всех недостатков и неопределенностей, связанных с традиционной методикой формирования моделей такого рода.

Идентификация структуры и параметров динамической модели экономики

В качестве примера рассмотрим динамическую зависимость объема ВВП России от валовых внутренних инвестиций в период с января 2007 г. по март 2011 г.

Следует отметить, что эта статистика (данные Минфина России) относится к достаточно нестабильному периоду экономического развития, сопровождавшемуся как значительным экономическим ростом, так и большой рецессией, вызванной мировым финансово-экономическим кризисом в конце 2008 г.

Исходная информация представлена в табл. 1.

Графики изменений инвестиций и ВВП за этот период представлены на рис. 3, 4.

При рассмотрении графиков видно, что в данных присутствует значительная сезонная составляющая с периодом, равным 12 мес. Также известным фактом является то, что сезонность носит мульти-

Таблица 1

Динамика ВВП у и инвестиций в экономику и, млрд руб.

Параметр Январь Февраль Март Апрель | Май Июнь Июль Август Сентябрь Октябрь Ноябрь Декабрь

2007

u 288,8 377,4 442,4 474,2 611,1 725,7 646,3 726,7 798,5 880,3 925,8 1 590,5

У 3 479,4 2 448,0 2 550,0 2 671,0 2 894,5 3 208,6 3 250,9 3 273,7 3 463,4 3 678,6 3 848,6 4 771,6

2008

u 352,3 466,8 545,7 575,1 717,6 835,6 732,2 814,9 870,4 909,5 890,8 1 438,4

У 3 851,4 2 698,0 2 799,5 2 931,8 3 166,5 3 496,0 3 542,8 3 558,5 3 716,1 3 812,2 3 807,0 4 512,1

2009

u 305,1 384,0 433,1 448,6 568,6 676,3 616,4 696,9 768,1 848,3 873,1 1 464,6

У 3 546,5 2 450,2 2 523,5 2 621,2 2 815,5 3 114,4 3 173,3 3 211,4 3 410,2 3 623,6 3 747,3 4 607,8

2010

u 319,2 415,1 488,1 511,9 642,7 759,7 682,1 772,1 839,4 919,4 954,2 1 626,4

У 3 699,9 2 595,0 2 700,5 2 831,6 3 056,3 3 357,2 3 379,8 3 388,3 3 586,2 3 796,1 3 951,6 4 881,7

2011

u 348,9 438,9 493,4 —

У 3 913,3 2 725,5 2 767,1

2 000

1 500

1 000

500

0

■ I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 Рис. 3. Распределение инвестиций по месяцам, млрд руб.

5 500 5 000 4 500 4 000 3 500 3 000 2 500 2 000

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 Рис. 4. Распределение ВВП по месяцам, млрд руб.

пликативный характер. Подтверждением тому является изменение объемов инвестиций в стабильные периоды развития экономики.

Для наилучшей наглядности и информативности из исходной информации была удалена и приведена к индексному виду сезонная составляющая (табл. 2). В качестве базового периода для ВВП был выбран июль 2008 г., а для инвестиций — апрель 2008 г.

Графики индексов ВВП и инвестиций представлены на рис. 5, 6.

Из рассмотрения рисунков следует, что между ВВП и инвестициями в экономику существует достаточно тесная связь, причем динамическая.

111111111 м 11111111111111111111111111111111111111111

о о о

о о о о о

CN CM CN СЧ CN

Л >S J3

Q. «3 Q.

03 Ю

- сс

н х

<li О

о

CN XI Q. (П

Рис. 5. Индекс ВВП

111111111 i СО CD OJ

о о о о о о п о о ,— _— Т—

о о г-1 Г-> о п о о о о о

IM (М IN IN tN IM IM IM tN

п П п п п а п п л

г> ■г, Г> г? 'Г, г> г> ■г, о г? |Г, о (С LÜ

41 ill 2 UJ ее Ill Üj 2 UJ о: Iii uJ 2 (О сс он со 2 ю сс

ь- 1- t- .L

IX X in о к X 0.1 о ее X ф <J> сс X о <J> Ik

Рис. 6. Индекс инвестиций

В работе В.Г. Болтянского моделирование осуществлялось с помощью линейного дифференциального уравнения вида 1

y'(t)=t y(t)+с°+Ci'u (t

(14)

Оценки параметров Т, с0, с1 осуществлялись с помощью дискретно-непрерывного метода идентификации, и значения в установившемся режиме были таковы: с0 = 45,12; с1 = 0,551; Т = 0,4. Результаты проверки соответствия модели экспериментальным данным представлены на рис. 7.

Таблица 2

Динамика индексов ВВП у и инвестиций в экономику и, %

Параметр | Январь | Февраль | Март | Апрель Май Июнь | Июль | Август | Сентябрь | Октябрь | Ноябрь | Декабрь

2007

u 77,8 79,1 80,71 82,46 84,81 86,06 86,50 86,50 87,61 89,05 91,4 93,39

У 88,2 88,92 89,61 90,10 90,88 91,56 91,76 91,94 92,50 93,60 95,3 96,70

2008

u 94,92 97,85 99,54 100,0 99,60 99,10 98,0 97,00 95,50 92,0 87,95 84,46

У 97,63 98,00 98,38 98,9 99,42 99,76 100,0 99,94 99,25 97,0 94,27 91,44

2009

u 82,19 80,5 79,0 78,0 78,92 80,2 82,5 82,95 84,28 85,8 86,20 86,0

У 89,90 89,0 88,68 88,42 88,4 88,87 89,57 90,19 91,08 92,2 92,79 93,38

2010

u 86,0 87,0 89,04 89,02 89,20 90,1 91,3 91,90 92,10 93,0 94,20 95,50

У 93,79 94,26 94,9 95,52 95,96 95,8 95,4 95,16 95,78 96,59 97,85 98,93

2011

u 94,0 92,0 90,0 -

У 99,2 99,0 97,24

Рассмотрение рис. 7 свидетельствует о том, что совпадение модельных и эксперименталь -ных данных достаточно высокое. Подтверждение тому — значение коэффициента детерминации R2 = 0,942.

Модель с распределенным лагом. Так как уравнение (14) скалярное, фундаментальная матрица превращается в скалярную весовую функцию g(t), и ее решение согласно выражению (3) определяется уравнением

У, %%

g' ^) = - т g ^), g (О = 1.

Аналитическое решение (15) имеет вид

(15)

g (0 = е" т . (16)

График весовой функции (16) представлен на рис. 8.

Из анализа рис. 8 следует, что значимая длина лага равна 2-3, т.е. влияние прошлых инвестиций на ВВП в настоящий момент определяется 2-3 мес. Примем длину лага 5 = 3.

В уравнении (14) введем обозначение 1

x(t) = -[c<, + С • u((t))].

T

(17)

Тогда модель с распределенным лагом (8) при ^ = 0 примет вид

у^) = а()) + Ь0х^) + Ь1 х^ -1) +

+Ь2х^ - 2) + Ь3х^ - 3), (18)

где а() = g (t) Уо,Ь] = g ()Аt, ] = 0,3.

Следует иметь в виду, что при замене непрерывной формы (5) его дискретным аналогом (7) естественно возникает ошибка интегрирования. Причем ее величина зависит от длины шага интегрирования А^

100 —

95 —

90

85

0

10

20

30

t, мес.

Рис. 7. Экспериментальные и модельные изменения объема ВВП:

1 — экспериментальные данные, 2 — модельные данные

g

0,8

0 12 3 х, мес.

Рис. 8. Весовая функция объема ВВП

который совпадает с временным интервалом лага. Для повышения точности вычисления у^) лаговый шаг Аt представим в виде ц интервалов длиной Л. Тогда с учетом кусочно-постоянного вида объясняющего фактора (см. рис. 1) коэффициенты лаговой модели (18) вычисляются по формулам

b0 = g (0)dt,

bj = X g(i • dt)dt, j = 1,

i=(j-1)^+1

у, %

(19)

idt

где Л = Аt / р, g (. • ^) = е Окончательная модель вычисления объясняемой переменной будет следующей:

У(t) =

a(t) + ^bjx(t - j) при t <;

j=o

(20)

- . при t > 5.

1=о

В системе уравнений (20) х(. - .) вычисляется по формуле (17), Ь. — по формуле (19), а a(t) = е(/т) у0.

Результаты моделирования представлены на рис. 9, анализ которого подтверждает, что результаты моделирования с использованием непрерывной модели (14) и модели с распределенным лагом (20) практически совпадают.

Модель авторегрессии. Авторегрессионная форма вида (11) для уравнения (14) при объясняющем факторе х(/) (17) будет иметь вид у(/.+1) = g (А/) у(/.) + R(Аt) х(/.),

At

" Т

где g (А/) = е

а коэффициент R(t.) согласно формуле (13) определяется решением дифференциального уравнения

R'(t) = - T R(t) +1

(21)

на временном интервале [0, А/] с начальным условием R(0) = 0.

Аналитическое решение (21) имеет вид

С А/ Л

R(At) = T

у, %

100 95 90 85

0

1 - e

10

20

30

t, мес.

Рис. 9. Модельные изменения объема ВВП: 1 — непрерывная модель; 2 — модель с распределенным лагом

10

0

1

2

30

t, месяцы

Рис. 10. Модельные изменения объема ВВП: 1 — непрерывная модель; 2 — модель авторегрессии

Результаты моделирования с помощью авторегрессионной модели представлены на рис. 10. Как и с лаговой моделью, совпадение результатов моделирования достаточно высокое.

Заключение

Результаты исследований показали, что предлагаемая методика динамического моделирования достаточно эффективна и может быть использована для анализа экономических процессов. В частности, она применима для моделирования показателей отраслей, компаний, например зависимости прибыли от инвестиций в производство, расходов на рекламу или для маркетинговых исследований. Причем в качестве временного лага могут быть выбраны как годы, так и кварталы или месяцы. Получаемые при этом модели имеют традиционный вид моделей авторегрессии и моделей с распределенным лагом, в которых значения переменной за прошлые периоды непосредственно включены в модель.

Переход от непрерывной формы представления динамических зависимостей экономических переменных к дискретному виду осуществляется с помощью аппарата весовых функций. При этом важным фактором является то, что идентификация структуры и параметров таких моделей проходит одновременно и лишена недостатков, присущих разработке таких моделей традиционным способом, с помощью метода наименьших квадратов и его разновидностей.

Важное практическое значение предлагаемой методики построения динамических моделей заключается еще и в том, что она позволяет делать анализ глубины влияний прошлых значений объясняющих переменных на результирующий фактор. Особенно это важно для многомерных экономичес-

Л'

9

9

8

г

ких систем, где присутствуют перекрестные связи между объясняющими и результирующими факторами. Такой анализ позволяет более эффективно решать прогнозные задачи, где требуется определить, какое воздействие окажут значения управляемых переменных текущего периода на смысл будущих экономических показателей.

Список литературы

1. Айвазян С.А. Методы эконометрики. М.: ИН-ФРА-М, 2010. 616 с.

2. Болтянский В.Г. Оптимальное управление дискретными системами. М.: Наука, 1973. 448 с.

3. Бородин С.А. Эконометрика. Минск: Новое знание, 2001. 408 с.

4. Васильков Ю.В., Василькова Н.Н. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании. М.: Финансы и статистика, 2000. 256 с.

5. ГранбергА.Г. Динамические модели народного хозяйства. М.: Экономика, 1985. 240 с.

6. Елисеева И.И., Курышева С.В., Нерадовс-кая Ю.В. Эконометрика / под ред. И.И. Елисеевой. М.: Проспект, 2010. 288 с.

7. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Физматгиз, 1961. 703 с.

8. Кендал М. Временные ряды. М.: Финансы и статистика, 1981. 199 с.

9. Колемаев В.А. Математическая экономика. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. 399 с.

10. Колпаков В.Ф. Моделирование динамических процессов в экономике // Финансовая аналитика: проблемы и решения. 2014. № 3. С. 31-36.

11. КондратьевН.Д. Основные проблемы экономической статистики и динамики. М.: Наука, 1991. 591 с.

12. Корн Г.А., Корн Т.М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1973. 831 с.

13. Кочетков Ю.А. Основы автоматики авиационного оборудования. М.: ВВИА им. Н.Е. Жуковского, 1995.

14. КремерН.Ш., ПуткоБ.А. Эконометрика. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. 311 с.

15. Крутько П.Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. Линейные модели. М.: Наука, 1987. 304 с.

16. Лагоша Б.А., Апалькова Т.Г. Оптимальное управление в экономике: теория и приложения. М.: Финансы и статистика, 2008. 224 с.

17. ЛебедевВ.В. Математическое моделирование социально-экономических процессов. М.: Изограф, 1997.

18. Охорзин В.А. Прикладная математика в системе MATHCAD. 2-е изд., испр. и доп. СПб: Лань, 2008. 352 с.

19. Петров Л.Ф. Методы динамического анализа экономики. М.: ИНФРА-М, 2010. 239 с.

20. Справочник по теории автоматического управления / под ред. А.А. Красовского. М.: Наука, 1987. 712 с.

Financial Analytics: Science and Experience ISSN 2311-8768 (Online) ISSN 2073-4484 (Print)

Mathematical Analysis and Modeling in Economics

A STUDY OF DYNAMIC PROPERTIES OF ECONOMIC SYSTEMS USING WEIGHT FUNCTIONS

Vasilii F. KOLPAKOV

Abstract

Importance A correlation and regression analysis is a conventional and traditional method to model dynamic relation of economic parameters. The resulting autoregression models and distributed lag models are known to have a number of weaknesses arising from an error in assumptions of the method of least squares, and difficulties in choosing the lag length. As a result

of distortion in the dynamic properties, such models provide unsatisfactory forecasts. Due to this, currently issues of devising reliable models reflecting dynamics of economic factors remain rather relevant. Objectives Dynamic relations of economic indicators, as illustrated with GDP and investment in the Russian economy, are modeled as ordinary linear differential equations. Afterwards I transform them into a discrete format

using the known transformation methods. Hence I model autoregressive models and distributed lag models, with the issue of choosing the lag length no longer existing. Methods I apply weight functions as a tool to transform the linear model into a discrete format. Results The proposed algorithm for forming autoregressive and lag models through weight functions facilitates a choice of their structure and adequacy of estimates. Computational modeling proves high adequacy of the models, as well as their capabilities for forecasting. Application The proposed methods are rather effective and may be used to model economic processes, and economic indicators of industries and companies, in particular: for example, the dependence of profit on production investment, advertising expenses or market research.

Conclusions and Relevance As shown in the research of GDP dependence on investment, the proposed modeling algorithm demonstrates the efficiency, thus allowing not only creating very precise forecasting models, but also analyzing to what extent the resulting factor depends on input variables.

Keywords: economic model, dynamics, lag model, autoregressive model, weight function

References

1. Aivazyan S.A. Metcdy ekonometriki [Methods of Econometrics]. Moscow, INFRA-M Publ., 2010, 616 p.

2. Boltyanskii V.G. Optimal'nce upravlenie dis-kretnymi sistemami [Optimal control of discrete systems]. Moscow, Nauka Publ., 1973, 448 p.

3. Borodich S.A. Ekcncmetrika [Econometrics]. Minsk, Novoe znanie Publ., 2001, 408 p.

4. Vasil'kov Yu.V., Vasil'kova N.N. Komp 'yuternye tekhnclcgii vychislenii v matematicheskcm mcdeli-rcvanii [Computer-aided technologies of calculations in mathematical modeling]. Moscow, Finansy i statistika Publ., 2000, 256 p.

5. Granberg A.G. Dinamicheskie mcdeli narcdncgc khczyaistva [Dynamic models of national economy]. Moscow, Ekonomika Publ., 1985, 240 p.

6. Eliseeva I.I., Kurysheva S.V., Neradovskaya Yu.V. Ekcncmetrika [Econometrics]. Moscow, Prospekt Publ., 2010, 288 p.

7. Kamke E. Spravcchnik pc cbykncvennym differentsial 'пуm uravneniyam [Gewöhnliche Differentialgleichungen]. Moscow, Fizmatgiz Publ., 1961, 703 p.

8. Kendall M. Vremennye ryady [The Analytics of Economic Time Series]. Moscow, Finansy i statistika Publ., 1981, 199 p.

9. Kolemaev V.A. Matematicheskaya ekonomika [Mathematical Economics]. Moscow, YUNITI-DANA Publ., 2005, 399 p.

10. Kolpakov V.F. Modelirovanie dinamicheskikh protsessov v ekonomike [Modeling of dynamic processes in economics]. Finansovaya analitika:problemy i resheniya = Financial Analytics: Science and Experience, 2014, no. 3, pp. 31-36.

11. Kondrat'ev N.D. Osnovnye problemy eko-nomicheskoi statistiki i dinamiki [The main issues of economic statistics and dynamics]. Moscow, Nauka Publ., 1991, 591 p.

12. Corn G.A., Corn T.M. Spravochnik po matema-tike dlya nauchnykh rabotnikov i inzhenerov [Reference Book on Maths for Scientific Workers and Engineers]. Moscow, Nauka Publ., 1973, 831 p.

13. Kochetkov Yu.A. Osnovy avtomatiki aviat-sionnogo oborudovaniya [Basics of automated aircraft equipment]. Moscow, Zhukovsky Air Force Engineering Academy Publ., 1995.

14. Kremer N.Sh., Putko B.A. Ekonometrika [Econometrics]. Moscow, YUNITI-DANA Publ., 2002, 311 p.

15. Krut'ko P.D. Obratnye zadachi dinamiki uprav-lyaemykh sistem. Lineinye modeli [Inverse problems of the control system dynamics. Linear models]. Moscow, Nauka Publ., 1987, 304 p.

16. Lagosha B.A., Apal'kova T.G. Optimal'noe upravlenie v ekonomike: teoriya i prilozheniya [Optimal control in economics: theory and applications]. Moscow, Finansy i statistika Publ., 2008, 224 p.

17. Lebedev V.V.Matematicheskoe modelirovanie sotsial'no-ekonomicheskikh protsessov [Mathematical modeling of social and economic processes]. Moscow, Izograf Publ., 1997.

18. Okhorzin V.A. Prikladnaya matematika v sisteme MATHCAD [Applied mathematics in MATHCAD]. St. Petersburg, Lan' Publ., 2008, 352 p.

19. Petrov L.F. Metody dinamicheskogo analiza ekonomiki [Methods for dynamic analysis of economy]. Moscow, INFRA-M Publ., 2010, 239 p.

20. Spravochnik po teorii avtomaticheskogo up-ravleniya [A handbook of automatic control theory]. Moscow, Nauka Publ., 1987, 712 p.

Vasilii F. KOLPAKOV

Moscow City University of Psychology and Pedagogy, Moscow, Russian Federation V.Kolpakov53@mail.ru