CC BY
22
Интернет-журнал «НАУКОВЕДЕНИЕ» №3 2013
Главный редактор - д.э.н., профессор К.А. Кирсанов тел. для справок: +7 (925) 853-04-57 (с 1100 - до 1800) Опубликовать статью в журнале - http://publ.naukovedenie.ru
Овчинников Илья Игоревич
Ovchinnikov Ilya Igorevich
Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.
Доцент / docent
05.23.17 Строительная механика E-Mail: bridgeart@mail.ru
Овчинников Игорь Георгиевич
Ovchinnikov Igor Georgievich Пермский национальный исследовательский политехнический университет
Профессор / professor E-Mail: bridgesar@mail.ru
Богина Маргарита Юрьевна
Bogina Margarita Yurievna
Балашовский институт (филиал) Саратовского государственного университета имени Н.Г.
Чернышевского Аспирант / aspirant E-Mail: Boginam@mail.ru
Моделирование деформирования и разрушения материалов в условиях радиационного облучения с учетом влияния вида напряженного состояния.
Сообщение 3. Построение, идентификация и верификация модифицированной модели деформирования и разрушения материала, подвергающегося облучению в одноосном напряженном состоянии
Modeling of deformation and destruction of materials in the conditions of radiation exposure taking into account influence of a type of a tension.
Message 3. Construction, identification and verification of the modified model of deformation and destruction of the material which is exposed to radiation in a
monoaxial tension
Аннотация: Рассматриваются модифицированная модель ползучести и накопления повреждений материала в условиях радиационного облучения, включающая семь параметров. Показано, что эта модель свободна от недостатков, присущих пятипараметрической модели, и позволяет корректно описывать не только ползучесть, но и длительную прочность и длительную пластичность материала. Приводится методика идентификации модели по экспериментальным данным и результаты идентификации для необлученного и облученного материала. Путем сопоставления с экспериментом показывается большая эффективность модифицированной модели, хотя для ее идентификации не требуется увеличивать количество экспериментальных данных.
The Abstract: The modified model of creep and accumulation of damages of a material in the conditions of the radiation exposure, including seven parameters are considered. It is shown that this model is free from the shortcomings inherent in five-parametrical model, and allows to describe
05.23.17 Строительная механика
correctly not only creep, but also long durability and long plasticity of a material. The technique of identification of model on experimental data and results of identification for the unirradiated and irradiated material is given. By comparison to experiment big efficiency of the modified model though for its identification it isn't required to increase quantity of experimental data is shown.
Ключевые слова: Модели деформирования, радиационное облучение, ползучесть, накопление повреждений, идентификация моделей, верификация моделей.
Keywords. Deformation models, radiation exposure, creep, accumulation of damages, identification of models, verification of models.
Систематизированный обзор экспериментальных данных по влиянию радиационных сред на механические характеристики материалов приведен в статье [1]. В предыдущей статье [2] была рассмотрена упрощенная пятипараметрическая модель ползучести и длительной прочности материала в условиях облучения, которая была получена из семипараметрической путем введения двух допущений: а) о том, что скорость накопления повреждений обратно пропорциональна поврежденной части сечения и б) о том, что деформация материала при разрушении не зависит от уровня напряжений и представляет собой постоянную величину.
В результате модель деформирования и разрушения материала в условиях облучения приняла вид
— у _ \к(Ф)
-Р = А(ф)р-а(Ф) ехр[Дф)р^ 1—(1) dП _ В(Ф)—п(Ф)
(2)
dt (1 -И)
Интегрирование (1) и (2) при a =const приводит к следующим выражениям (опуск
Ф):
A
I(p,a,b) =---------------------------------------------------------— (3)
2B[1-[1-B(n + 2)ffIt]"*2]
p
где I(p,a, b) = {paexp(-bp)dp (4)
1
П = 1- [1-В(п + 2)^1Ч]1+2 (5)
tp = (6)
B(n + 2) sn
где А, а, в, п, В - коэффициенты, зависящие от флюенса Ф, р - деформация ползучести, I - время, П - параметр поврежденности (0 < П < 1), Ц - время до разрушения при напряжении а.
В указанной выше статье была рассмотрена модифицированная методика её идентификации и проиллюстрированы её возможности при описании экспериментальных данных в обычных и радиационных условиях.
Однако, при определенной простоте пятипараметрической модели (1),(2), она оказалась не свободна от ряда недостатков, существенно ограничивающих её применение. Проанализируем эти недостатки.
1) Для нахождения коэффициента а предлагалось аппроксимировать начальный участок кривой ползучести зависимостью р = 1;1(1+“). В то же время для начального участка (при »р) более справедлива аппроксимация
р“+1 =Л(а + 1)—п1 (7)
Отсюда видно, что для упрощения принималось допущение
Л(а + 1)—п »1 (8)
Если поставить в (8) значения величин Л, а, опиз работы [3], то можно увидеть, что величина существенно отличается от 1 и имеет порядок 1 • 10-5, кроме того, при указанном подходе величина а оказывается отрицательной, а в таком случае скорость ползучести -р/-1 на начальном участке кривой р(1) является возрастающей (Рис. 1, кривая 1), что не совпадает с экспериментально наблюдаемой закономерностью изменения -р/-1, как видно из рис.2 (кривая 2)
Рис. 1. Кинетика изменения скорости ползучести материала
2) Предположение р* = const вносит погрешности в описание третьего участка (третьей лавинной стадии) кривой ползучести, так как деформацию ползучести при разрушении можно принимать постоянной только в узком диапазоне напряжений. Обычно зависимость деформации при разрушении или монотонная, или даже немонотонная, что подтверждается экспериментами [4]. Анализ экспериментальных данных (например, для стали ОХ16Н15М3Б) показывает, что в обычных условиях длительная пластичность р* изменилась от 6% до 33% при напряжениях 22-27 кгс/мм2, а при облучении диапазон изменения р* составлял от 4% до 25% при тех же напряжениях.
Использование предположения p* = const приводит к значительному отличию теоретических кривых ползучести от экспериментальных, особенно на третьем участке кривой ползучести, что иллюстрируется рис. 2 для двух разных теоретических уравнений p*.
Р*теор.
3)
3!>3г>32 31>3.
Рис. 2.
Предположения об обратной пропорциональности скорости накопления повреждений ёП/& неповрежденной части сечения (1-П) приводит к тому, что £=1. Однако, если попытаться найти величину Б, то оказывается, что она может отличаться на порядок.
Проведенный анализ показывает, что пятипараметрическая модель (1), (2) хотя и описывает все три стадии ползучести, но делает это со значительными погрешностями, касающимися первой и третьей стадии ползучести.
Поэтому было сделано предположение о том, что если не вводить упрощающих допущений, то семипараметрическая модель вида:
dp = Л(Ф) р-а(Ф) dt
ex
pL^) р]
s
..к (Ф)
1-п
m
dt (1 -П
\ П(Ф)
(1 -П)
, П(0) = 0
(9)
(10)
позволит корректно описать все стадии ползучести и разрушения материала и в обычных, и при облучении, нужно только разработать эффективную методику её идентификации. При этом, модель позволит также корректно описать зависимость длительной пластичности p* от напряжений.
Покажем это. Интеграл от (9) при о = const дает (опуская Ф)
I(p,a,b) =
AS
,k-n
n+s-k+1
B(n + s - k + 1)
(1-(1- B(n + s + 1)snt) n+s+1 )
(11)
F
где I(p,a,b) = j paexp(-bp)dp
П = 1- [1-B(n + s + 1)snt]n+s+1 При П(гр)=1 из (12) получаем уравнение кривой длительной прочности
t = S /
p /B(n + s +1)
И уравнение кривой длительной пластичности
ASk"n
т* т* . * 0ч r\(J
I = I(p,a,b) = ,
B(n + s +1)
(12)
(13)
(14)
1
0
p
где I*(p,a,b) = j paexp(-bp)dp (15)
0
Идентификация модели (9)(10) требует определения всех семи коэффициентов А, а, в, к, В, n, s по экспериментальным данным.
Для определения коэффициента а проанализируем (9) (опуская Ф) при малых временах t<<tp. Логично предположить, что в силу близостиp и П к нулю exp(fip) ~ exp(0)=1; 1-П ~ 1.
Следовательно(9) приведется к виду
dp = Ap-ask (16)
dt
Интегрируя (16) а = const получим
p“+1 = A(a + 1)skt (17)
Полагаем, что имеем М кривых ползучести, с которых снимаем L точек с участков не-установившейся ползучести. Тогда для каждой точки можно записать:
р“+1 =А(а + 1)< 1Ц,1 = 1,М,] = 1,Ь (18)
Здесь] относится к точке на кривой ползучести, а i - номер кривой ползучести. Исключая из (18) коэффициент А путем деления выражений (18) для соседних точек (с одинаковым напряжением а,) друг на друга, получим
-р11 \«+1 ^11
(_и!_)а+1=_^!_1 = 1,М,] = 1,Ь,т = 1,Ь (19)
р 1
г 1т 1т
Логарифмируя (19) и применяя метод наименьших квадратов, получим следующее выражение для нахождения коэффициента а:
MLL
Z ул
a= w / mll л (20)
Где обозначено: у/=1п(^;Дт); х/=1п(р/ргт), а правые части упорядочены по 1 = 1,М • Ь • Ь Используя предположение о совпадении точек перегиба зависимостей 1(р, а, в) и р@) можно записать
Ь = а/рП1 (21)
где рш - деформация, соответствующая переходу к ускоренной стадии ползучести. Для М кривых ползучести имеем:
M
pnn
2 р.
Ь = аМ*---------- (22)
2 (р.,,,)2
1=1
Для определения коэффициента к используем экспериментальные данные по длительной прочности и уравнение длительной прочности (13). Применяя методику выравнивания и метод наименьших квадратов, получим выражение для нахождения п
1
П =
1 ( N Л N N
N [ Ё 1п(1р, ) I • Ё - Ё 1п(1р, ) • 1п ^
N 1 ( N
£ ('П^)2 - N [^1п0-1
Л2
(23)
1=1 1X1 V 1=1 У
и зависимость, связывающую коэффициенты п, В, s^.
В(п + б +1) = С = ехр
1 N
-—Ё 1п(1р •<) N1=1 1
(24)
где N - число точек на экспериментальной кривой длительной прочности.
Для нахождения коэффициента к используем экспериментальную кривую длительной прочностир*(о), содержащую Я точек р*, 1 = 1,Я .
Для этого сначала найдем Я интегралов:
I* = 1(р>,Ь), 1 = 1я (25)
а затем преобразуем уравнение (14) с учётом (24) и (25) к виду:
I* = А*-Ус, ; = ГЯ
Исключая А из (27) всеми возможными способами получим
к-п
1 = 1, Я;т = 1, Я
(27)
(28)
Логарифмируя (28) и используя метод наименьших квадратов, получим
Я-Я у* /
Ё 1п( /Т* ) ' ат)
к = п + '=1 Я-Я т-------------------
Ё ['П(^1 /ОГ
1=1
(29)
Здесь правые части упорядочены по 1 = 1,ЯЯ. Преобразуем (11) с использованием (24) и (27) к виду:
п+я-к+1
1(ра,«,Ь)= I* (1-(1-с<ча)
(30)
где 1 = 1,М; ] = 1,2, Ъ - число точек, снимаемых с экспериментальной кривой ползучести, причем достаточно использовать точки, расположенные около рпп точек, то есть около реперных точек. Для уточнения описания экспериментальных данных можно использовать также и точки, расположенные в зоне перехода от неустановившейся ползучести к установившейся. Применяя к (30) метод наименьших квадратов, можно получить формулу для определения 5
£[1п(1-со;ч. ) ]2
Б = к ■
1=1
£[1п(1-сст,Ч, ) ]
1=1
1п(1-С<Ч ) -1п(1-1(Р'.-“-%)
- п -1 (31)
т
Правые части здесь упорядочены по 1 = 1 ,М • Ъ Из выражения (24), зная п, э, легко найдем В:
В = /{п + Б + О
(32)
нал
Наконец, для определения коэффициента А с помощью (27) сконструируем функцио-
” Аак-п 7
Р(А) = У (I*
О2
(33)
1=1
Минимизируя который по А, найдем
А = С
У К
1=1_____
У (^-1
(34)
1=1
Предварительные численные эксперименты показали, что рассмотренный алгоритм идентификации обеспечивает достаточную точность уже в первом приближении.
При необходимости уточнить аппроксимацию следует поварьировать коэффициент в и, пройдя по вышеуказанному алгоритму, добиться необходимой точности описания и длительной прочности, и длительной пластичности, и самих кривых ползучести.
Описанный алгоритм идентификации может быть применен и для обработки произвольного набора экспериментальных данных, но существует и необходимый минимум этих данных, который включает:
- одну кривую ползучести вплоть до разрушения при определенном уровне напряжений;
- дополнительное значение времени до разрушения при другом уровне напряжений;
- два значения деформации ползучести при разрушении при двух уровнях напряжений.
Для этого минимального набора экспериментальных данных алгоритм идентификации принимает следующий вид:
ьь
1)
2)
3)
4)
5)
У Уіх
а = 41=1
У (хі)
/3 = а/р
ш
п =
1п(рт. )
/ Р2
1
-2 К)п )
С = ехр
I* = 1(р*,а,Ь), 1 = 1,2
(35)
(36)
(37)
(38)
(39)
1
2
Т* /
ЧУ* )
6) к = п + / / (40)
1п(^2/ /2)
7) Бнаходится по формуле (31)
8) В =С(п+з + 1) (41)
Т*/к-п . т*/к_п
9) А = С //' + Т/.ц (42)
Для верификации приведенной модифицированной модели и разработанной методики идентификации использовались экспериментальные данные для стали ОХ16Н15М3Б в исходном состоянии и под облучением Ф = 5,3• 1012 н-см-2-с-1 (Е>0,85 МЭВ). Температура в обоих случаях составляла 650оС.
В табл. 1 приведены полученные по описанному алгоритму коэффициенты
Таблица 1
Условия рабо- Значения коэффициентов
ты а в п К Б В А
Без облучения 0,3 2,7 17,981 23,247 12,833 1,56240-29 3,52740-37
Под облучением 0,3 2,7 9,847 13,336 14,092 4,295-10-17 6,88840-22
Как видно и для обычных условий, и для условий облучения коэффициент 5 более чем на порядок превышает значение 5 = 1, использованное в упрощенной модели.
На рис. 3 приведены экспериментальные (точками) и расчетные (по модели (9),(10)) кривые ползучести стали в обычных условиях, а на рисунке 4 - в условия облучения.
Кинетика накопления повреждений иллюстрируется кривыми на рисунке 5, построенными с использованием значений коэффициентов из таблицы 1 (пунктир - для обычных условий, сплошные линии - под облучением). Цифры у кривых соответствуют напряжениям: 1 - а = 25 кг/мм2 2 - а = 24 кг/мм2 3 - а = 23 кг/мм2 4 - а = 22 кг/мм2 5 - а = 21 кг/мм2 6 - а = 27 кг/мм2 7 - а = 26 кг/мм2.
Рис. 3.
з=25 кг мм-
Рис. 4.
Г N _ з=24кгыы-
1 1 | Г 3=23 ’I :ьлг мм:
ч 3=2 2 кг/ыьг - -
У / / У1
ЛУ-. 'х У ■ •
?/ / * ■ , 1 | | ~*
з=21кг мм”
о ю го 30 40 50 ео 70 80 90 <00 НО <20 130 tlm
Рис. 5.
Экспериментальные (точки) и расчетные кривые зависимости деформации при разрушении от напряжения (кривые длительной пластичности) приведены на рисунке 6 (для обычных условий) и рисунке 7 (для условий облучения). Как видно, совпадение расчетных кривых с экспериментом достаточно хорошее.
Для оценки того, насколько отличается описание кривой длительной прочности при использовании упрощенной пятипараматрической модели (1), (2) и модифицированной модели (9), (10) было проведено численной моделирование, результаты которого приведены в таблице 2 (без облучения) и таблице 3 (под облучением)
р*
%
20
10
205 215 225 235 245 255 265 а, МПа
Рис. 6.
р*
%
20
10
175 185 195 205 215 225 235 а, МПа
Рис. 7.
Таблица 2
Вид модели Время до разрушения р час при а, кг/мм2
21 22 23 24 25 26 27
Эксперимент - - 662 310 145 70 38
Упрощенная пятипараметрическая 3685,3 1573,08 697,38 320,05 151,63 73,97 37,08
Модифицированная 3379,92 1464,30 658,40 306,30 147,00 72,60 36,90
Таблица 3
Вид модели Время до разрушения tp, час при а, кг/мм2
21 22 23 24 25 26 27
Эксперимент 85,2 60 36,5 24,4 16,3 12,0 -
Упрощенная пятипараметрическая 95,56 61,3 40,27 26,88 18,24 12,56 8,78
Модифицированная 89,19 56,41 36,42 23,95 16,02 10,90 7,51
Выводы:
Проведенные исследования и анализ их результатов позволяет отметить следующее:
1. Приводимый в работе модифицированный вариант модели деформирования и разрушения материалов позволяет достаточно корректно описывать экспериментальные данные не только по длительной прочности и ползучести, но и по длительной пластичности, и ползучесть на всех трёх стадиях кривых деформирования.
2. Алгоритм идентификации модифицированной модели позволяет определить полный набор коэффициентов модели как по произвольному набору экспериментальных данных, так и по некоторому минимальному набору этих данных.
3.Проведенная верификация показывает, что модифицированная модель при найденных значениях коэффициентов достаточно корректно описывает экспериментальные кривые и ползучести, и длительной прочности, и длительной пластичности, как в обычных, так и в радиационных условиях, причём делает это с меньшей погрешностью, чем пятипараметрическая модель.
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 12-01-31130Мол_а по теме «Нелинейные модели деформирования и методы определения долговечности элементов конструкций, взаимодействующих с агрессивными средами и полями»
ЛИТЕРАТУРА
1.Овчинников И.И., Овчинников И.Г., Богина М.Ю., Матора А.В. Влияние радиационных сред на механические характеристики материалов и поведение конструкций (обзор) // Интернет -журнал «Науковедение». 2012. №4. С. 1-39.
2. Овчинников И.И., Богина М.Ю. Одноосная модель деформирования и разрушения
материала, подвергающегося облучению и ее идентификация// Строительная механика и расчет сооружений. 2013. №_. С.
3. Кисилевский В.Н., Косов Б. Д. Уравнение состояния для процесса ползучести упрочняющегося материала// Проблемы прочности. Киев 1975, №4, с.8-16.
4.Локощенко А.М., Шестериков С.А. Модель длительной прочности с немонотонной зависимостью деформации при разрушении от напряжения// Журнал прикладной механики и технической физики.1982, №1, с. 160-163.
Рецензент: Петров Владилен Васильевич, заведующий кафедрой «Теория сооружений и строительных конструкций» Саратовского государственного технического университета им. Гагарина Ю.А., академик РААСН, д-р.техн. наук, профессор
