Моделирование деформирования и разрушения материалов в условиях радиационного облучения с учетом влияния вида напряженного состояния. Сообщение 2. Построение и идентификация модели деформирования и разрушения материала, подвергающегося облучению в одноосном напряженном состоянии Текст научной статьи по специальности «Физика»

Овчинников Илья Игоревич

Ovchinnikov Ilya Igorevich

Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.

Доцент / docent E-Mail: bridgeart@mail.ru

Овчинников Игорь Георгиевич

Ovchinnikov Igor Georgievich Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Профессор / professor E-Mail: bridgesar@mail.ru

Богина Маргарита Юрьевна

Bogina Margarita Yurievna

Балашовский институт (филиал) Саратовского государственного университета имени Н.Г.

Чернышевского Аспирант / aspirant E-Mail: Boginam@mail.ru

05.23.17 Строительная механика

Моделирование деформирования и разрушения материалов в условиях радиационного облучения с учетом влияния вида напряженного состояния.

Сообщение 2. Построение и идентификация модели деформирования и разрушения материала, подвергающегося облучению в одноосном

напряженном состоянии

Modeling of deformation and destruction of materials in the conditions of radiation exposure taking into account influence of a type of a tension.

Message 2. Construction and identification of model of deformation and destruction of the material which is exposed to radiation in a monoaxial tension

Аннотация: Рассматриваются пятипараметрическая модель ползучести и накопления повреждений материала в условиях радиационного облучения, построенная с использованием ряда допущений. Излагается методика идентификации этой модели по минимальному набору экспериментальных данных и модифицированная методика идентификации по большему массиву экспериментальных данных. Путем сопоставления с экспериментом показывается большая эффективность модифицированной методики. Также отмечаются и определенные некорректности в определении коэффициентов при использовании пятипараметрической модели.

The Abstract: The five-parametrical model of creep and accumulation of damages of a material in the conditions of the radiation exposure, constructed with use of a number of assumptions are considered. The technique of identification of this model on the minimum set of experimental data and the modified technique of identification on the bigger massif of experimental data is stated. By comparison to experiment big efficiency of the modified technique is shown. Also certain incorrectnesses in determination of coefficients when using five-parametrical model are noted also.

Ключевые слова: Модели деформирования, радиационное облучение, ползучесть, накопление повреждений, идентификация моделей.

Keywords: Deformation models, radiation exposure, creep, accumulation of damages, identification of models.

***

Как было показано в работах [1-4], экспериментально установлено, что деформирование материала в условиях радиационного облучения в одноосном напряженном состоянии не зависит от типа напряженного состояния - растяжение, сжатие или сдвиг. Поэтому при построении модели деформирования и разрушения (трактуемого как накопление повреждений) материала будем использовать одинаковые по виду модели для растяжения и сжатия, а влияние радиационного облучения учтем, полагая коэффициенты моделей функциями параметра Ф, характеризующего флюенс радиационного облучения.

Как известно, задача построения математической модели включает этап структурной идентификации, то есть подбор подходящего математического выражения или уравнения, описывающего моделируемый процесс и этап параметрической идентификации, то есть нахождения значений коэффициентов - параметров подобранной модели из условия наилучшего соответствия экспериментальным данным.

При этом для каждого объема экспериментальных данных имеется некоторое соотношение между сложностью математической модели и достигнутым уровнем приближения [5], то есть кажущееся приближение к экспериментальным данным за счет усложнения структуры модели может привести к такому эффекту, что модель будет хорошо описывать конкретные экспериментальные данные, но хуже описывать моделируемый процесс.

При этом трудности, возникающие при параметрической идентификации сложной модели по экспериментальным данным, могут привести к тому, что погрешности определения коэффициентов окажутся больше, чем уточнения, достигнутые за счёт усложнения модели.

Учитывая вышесказанное, для описания процесса деформирования и разрушения материала в одноосном напряженном состоянии, как при растяжении, так и при сжатии, используем уравнения, предложенные В.Н. Киселевским [6]:

е= ° + p (1)

Е(Ф)

^p = А(Ф)p~a№l expb^P-S-/(Ф) (2)

dt 1 -П

— = в(Ф)(-^У(Ф)-------1--- (3)

dt ( )(1 -П) (1 -П)S(Ф) ()

где Е(Ф) - модуль упругости, зависящий от флюенса Ф, є - деформация в точке материала, а - напряжение, р - деформация ползучести, ї - время, П - параметр поврежденности, изменяющийся от 0 в начальный момент времени (ї = 0) до П = 1 в момент разрушения. (ї = їр).

Величины А(Ф), а(Ф), в(Ф), к(Ф), В(Ф),п(Ф), 5(Ф) являются коэффициентами модели, зависящими от флюенса Ф, и, если надо, то и от температуры Т, но принимающими постоянные значения при заданных радиационных и температурных условиях.

То есть, очевидно, при формировании уравнений (1), (2), (3) модели предполагалось, что вид этих уравнений при изменении флюенса Ф не изменяется, а изменяются только коэффициенты, являющиеся функцией Ф и, если надо Т. Далее в выкладках параметр Ф будем опускать.

Если предположить, что скорость накопления повреждений П обратно пропорциональна поврежденной части сечения (1 - П), то в (3) можно положить 5= 1.

Проинтегрировав (2) при условии а = const, найдем

A^k"n

'(р-“'^)= B( + k + n (1-П) (4)

B(n + s-k + 1)

Р

где 1(р,а,Ь) = | раехр(-Ьр)ёр (5)

0

п+Б-к+1

П = 1- [1-Б(п + 8 + 1)^Ч] п+8+1 (6)

Время до разрушения ^ определим из (6) при П = 1, что даёт

1р = °/Б(п + в + 1) (7)

Для нахождения деформации ползучести в момент разрушения р* с учётом (4) и (5) имеем выражение

* * А&к~п

I* = 1(р*, а, Ь) = —^------ (8)

и Б(п + б + 1)

Если предположить, что деформация в момент разрушения не зависит от напряжения

о, то, согласно (8), это может быть только при к= п. С учётом вышесказанных предположений s=1 и к= п уравнения (2) и (3) запишутся:

= Лр-аехр[Ьр](—)п (9)

— = Б , (10)

ё (1- П)п+1

а выражения (4), (7), (8) примут более простой вид

Л

1(р,а,Ь)=-------------------------------------------------— (11)

2Б{1-[1-Б(п + 2) ^Ч]п+2}

!р = ^/В(п + 2) (12)

I* = —Л— (13)

Б(п + 2)

В [6, 7] в качестве минимально необходимого набора данных для идентификации уравнений (9) и (10) было предложено: статистически усредненная кривая ползучести с фиксированной долговечностью при одном значении напряжения для образца, доведенного до разрушения; статистически усредненное время до разрушения при другом значении напряжения (либо кривая длительной прочности).

Последовательность нахождения коэффициентов модели (9),(10) следующая:

1) по кривой длительной прочности или по значениям Ц для двух уровней напряжений по формуле (12) находим величины В и п;

2) определяем значения а путём аппроксимации начального участка кривой ползучести упрощенной зависимостью:

р = ^1— (14);

3) для определения коэффициентов^ и в используется методика последовательных приближений. Сначала находится начальное приближение в по зависимости:

ь = —, (15)

Рш

где рш- деформация, соответствующая переходу к третьей, лавинной стадии ползучести.

Начальное приближение для А находится из (13),

р*

где I* = | р“ехр(-/?р^р (16)

0

р* - значение деформации, предшествующее лавинному увеличению скорости ползучести.

Г рафик функции 1(р, а, в) от рпри заданных а и в имеет вид, приведенный на рисунке 1.

Как видно, при увеличении р это график асимптотически стремится к некоторой

величине I*. И для нахождения I* предлагается использовать это график, принимая в качестве I* значения 1(р,а, в) при «достаточно большой деформации».

2.5 2.0

1.5 1.0 0.5

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2

Рис. 1. Зависимость 1(р, а, в) от р

4) Затем, варьируя значения начального приближения в и повторяя необходимые

операции, можно добиться как можно более хорошего соответствия расчётной кривой ползучестир^)с экспериментальной. Тем самым определяются в и А.

Анализируя приведенную методику, можно заметить, что существует определенный произвол в выборе величины «достаточно большой деформации», зависящий от опыта исследователя, а также в выборе деформации р111, соответствующей переходу к лавинной стадии ползучести.

В какой-то мере неопределенности в нахождении величины I* можно избежать, если воспользоваться асимптотическим свойством функции Цр,а, в) то есть стремлением её к некоторому пределу при неограниченном росте р:

Нт1(р,—,Ь)= I" р—ехр(-Д))ёр.

р®¥ 0

Вводя новую переменную y=вp, запишем

- +¥

Ит 1(р,—,Ь) = ——11 у —^"'етрЫёу

р®¥ р 0

Очевидно, интеграл в правой части представляет собой Г амма-функцию, и

р®п 1(р,—,р) = Г(—).

Тогда можно записать

_тг _ —Г (а)

Ь

Проведенное численное исследование описанной выше методики показало, что определяемые с её помощью коэффициенты могут приводить к погрешностям в описании экспериментальных данных.

Например, с использованием значений коэффициентов а, в, А, В, п для стали ОХ16Н15М3Б в исходном необлученном состоянии, взятых из статьи [7]

а = 1,4, в = 12,5, п = 18,3, А = 4,25-10-32, В = 8,5-10-3°

была определена величина I* = 2,5-10-3 и соответствующее ей значение р* = 0,33. Однако, анализируя график зависимости !(р, а, в) при заданных значениях а и в, приведенный на рис. 1 можно заметить, что величинар* на участке, где зависимость Цр) имеет выраженный асимптотический характер, будет иметь значение никак не меньше 0,7, что в разы отличается от значения р*=0,33. При этом значения Цр=0,7) = 2,8844103 отличается от значения Цр=0,33) = 2,5103 на 15%. Как видим, заложенная методикой неопределенность в нахождении величины I* может привести к погрешности в 15%.

Как ни странно, но если находить I* черезгамма - функцию I (17), то, хотя неопределенность в выборе I* исчезает, а также нет необходимости строить график функции 1(р, а, в), но величина погрешности остается такой же, так как I = 2,8948 10~3.

Отмеченные некорректности в определении коэффициентов модели (9), (10)

характерны и для случая идентификации модели для облученного материала.

Модифицированная методика идентификации пятипараметрической модели деформирования материала, подвергающегося облучению в одноосном напряженном состоянии

Приведенный анализ рассмотренной методики идентификации показывает, что надежность определения коэффициентов модели деформирования облученного материала можно повысить, если увеличить количество экспериментальных данных, используемых для идентификации. При этом удается избежать неопределенности при оценке начальных значений ряда коэффициентов.

Покажем это. Сначала, используя метод выравнивания, прологарифмируем выражение (12) для кривой длительной прочности и вводя обозначения

ху[ = 1п !р., 1х; = 1п С , Б = 1п [В(п + 2)]"1, 1у;еор = Б - п1х; составим функционал для нахождения^ и п:

Б(Б,К) = Е ('У? - 'У Г )2

(18)

1=1

где N количество точек на экспериментальной кривой длительной прочности. Минимизируя (18) по п иВ, получим формулы для нахождения п и В:

1 N-1 N-1 _____

N е1 уэ е х. - е 1 у

^1 .=1 г=1 г=1

п =----------гг------------------------------------

эх

г г

1

(19)

г=1

В = ■

п + 2

ехр

А'1

— 2^ У. + ^ Хг )

N

(20)

Значение коэффициента а находится с использованием начальных участков экспериментальных кривых ползучести материала.

Логарифмируя (14) и используя следующие обозначения

2 э

У1=1п2 1р1, 2Х1= 1пр., 2у;еор = (1 + а)2х.

Составим следующий функционал:

р(«)=е (2уэ - 2уГ" )2

(21)

1=1

где N2 количество опытных точек на начальных участках экспериментальных кривых ползучести. Дифференцируя (21) по а и приравнивая к нулю, получим выражение для нахождения а

а =

N2

2: 1=1 2 /2 э 2 ч Х1 ( У1 - х1)

N2

2(2Х1)2 1 =1

Находя выражение для а из формулы (15), вводя обозначения

аГ°р = ^Рхш, а а

(22)

(по (22))

N

N

2

г=1

1

N

и используя N3 экспериментальных значений рдп с N3 экспериментальных кривых ползучести, можно составить следующий функционал:

N3

Р(Ь) = 2 («■ )2 . (23)

1=1

минимизируякоторый по в, получим следующее выражение

N3

Хи

2 р.

Ь = «иг----------- (24)

2(Рш.)2

1=1

Это первое приближение для коэффициента в. Перейдем теперь к определению величины I*.

Если имеются данные с кривой длительной пластичности р., где г = 1, Ы4, N4 -количество точек на кривой длительной пластичности р*(о), то в качествер* следует выбрать наибольшую, то есть

р* = тах р* (25)

г=1,М

Выбор другого значения в качестве р* не рекомендуется, так как это приведет к погрешности при описании второй половины участка ускоренной ползучести.

Для нахождения I* лучше всего не строить график функции 1(р, а, Р), а определять её по формуле (17), то есть с использованием Гамма-функции I* = а(а/ а1

Величина А находится с использованием формулы (13), то есть

А = I * В(п + 2) (26)

Дальнейшие итерации с уточнением значения в производится так же, как и было описано выше.

Итак, конкретизируем последовательность действий при использовании

модифицированной методики идентификации пятипараметрической модели (как для необлученного, так и для облученного материала):

1) Используя экспериментальные данные по длительной прочности, находим параметры п и В.

1 N1 N1 N1 1

1 21 уэ 21 - 21 у;\

п = ^“---------------------------Г--- (27)

20 х )2------------N

г=1 ^і(]=]1 х )2

(28)

В = —1—ехр п + 2

г=1

N1

і N

— 2 У + П Хг )

ж1 г=1

2) Используя начальные участки кривых ползучести, находим

а =

N2

Т І=1 2 /2 э 2 ч Х1 ( У1 - х1)

N2

Т(2хі)2 1=1

(29)

3) По экспериментальным значениям рцц, снятым с N3 кривых ползучести определяем начальное приближение для коэффициента в

Т р.

Р = а~;г—

Т(Рш,)2

(30)

4) С использованием значений а и в находим величину по формуле

.* = оГ(а),

ь

а+1

(31)

5) По найденным величинам^ и I* вычисляем начальное приближение коэффициента А

А = I * В(п + 2)

(32)

6) Затем, варьируя величину коэффициента в, добиваемся возможно лучшего

совпадения расчетных кривых ползучестир^) с экспериментальными.

С использованием описанной модифицированной методики были определены значения коэффициентов модели (9), (10) для стали ОХ16Н15М3Б в необлученном и облученном состоянии (Ф = 5,21012нсм~2сек]) по экспериментальным данным [8,9].

В таблице 1 приведены значения коэффициентов для модели (9), (10) для необлученного материала и под облучением

Таблица 1

N

1=1

Коэффициенты Без облучения Под облучением

1*по (25) 1*по (17) 1*по (25) 1*по (17)

А 5.97-10-32 6.89-10-32 1.76-10-18 2.03 • 10-18

а 1.4 1.4 1.4 1.4

в 12.5 12.5 12.5 12.5

В 1.1940-29 1.1940-29 3.51-10-16 3.51 • 10-16

N 18.21 18.21 9.42 9.42

На рис. 2 показаны экспериментальная (точками) и теоретические (расчетные) кривые ползучести для напряжения а = 27 кгс/мм2 материала сталь ОХ16Н15М3Б при 650оС без облучения. Сплошной линией показана кривая, построенная по методике работы [6,7], а пунктиром - по модифицированной методике. Очевидно, модифицированная методика дает более корректные значения коэффициентов.

Р*102

15

10

5

Сталь ОХ16Н15М35 Т=6500С

Моди мето, фицир дика (I юванн 'по (17 ая ))

■У а =27 кг с/мм 2

а —О- о и сходнг ія меті а к и д Г\

М одифи циров анная

м этодик а (1*по (25))

10 20 30 40 50 60

Рис. 2.

1, час

На рисунке 3 приведены экспериментальные (точками) и расчетные (сплошной линией или пунктиром) кривые ползучести для напряжения а = 24 кгс/мм2 того же материала, но в условиях облучения.

Сталь ОХ16Н15М36 Ф = 5,3*1012Н СМ2сек1

Р*1СГ

20

15

10

5

Модис эицирс )ванна я

метод /іка (1* ю (17) > ? /

\ ГУ

И о одная мето£ іика 0 .7=2 4 кгс/ми

Мод іфици эованн

** мете дика ( *по (2р

5 10 15 20 25 30 час

Рис. 3.

И здесь использование модифицированной методики позволяет получить результаты более близкие к экспериментальным.

Кривые накопления повреждений в соответствии с уравнением (10) для обычных и радиационных условий приведены на рис. 4 и 5. Обращает на себя внимание тот факт, что влияние облучения приводит к сокращению долговечности более чем на порядок.

Рис. 4. Кривая накопления повреждений в обычных условиях при а = 24 кгс/мм

В табл. 2 приводится сравнение экспериментальной долговечности образцов в обычных и радиационных условиях из работы [7] с результатами расчета по обычной методике и по модифицированной методике идентификации.

п

1.0---------------------

5 10 15 20 25 1, час

Рис. 5. Кривая накопления повреждений в радиационных условиях при а = 24 кгс/мм2

Таблица 2

Напря жения а кгс/мм 2 Долговечность

Под облучением Без облучения

экспериме нт час исходна я методик а час модифицированн ая методика час экспериме нт час исходна я методик а час модифицированн ая методика час

22 56 61,43 56,42 - - -

23 37 40,27 37,12 662 697,38 663,47

24 25 26,88 24,86 310 320,05 305,66

25 17 18,24 16,92 145 151,63 145,35

26 12 12,56 11,69 71 73,97 71,16

27 - - - 36 37,08 35,79

Выводы.

1. Приведенный анализ показывает, что модифицированная методика позволяет проводить идентификацию моделей с большей точностью по сравнению с обычной методикой. Это подтверждается и более корректным описанием кривых ползучести в обычных и радиационных условиях и более близкими к экспериментальным значениям теоретической долговечности, рассчитанной по модели накопления повреждений с коэффициентами, определенными с помощью модифицированной методики.

2. Модифицированная методика идентификации позволяет получить более надежные результаты, потому что опирается на использование большего массива экспериментальных данных.

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 12-01-31130Мол_а по теме «Нелинейные модели деформирования и методы определения долговечности элементов конструкций, взаимодействующих с агрессивными средами и полями»

Главный редактор - д.э.н., профессор К.А. Кирсанов тел. для справок: +7 (925) 853-04-57 (с 1100 - до 1800) Опубликовать статью в журнале - http://publ.naukovedenie.ru

ЛИТЕРАТУРА

1. Неустроев В.С., Островский З.Е., Шамардин В.К. Влияние напряжений на радиационное распухание и параметры вакансионной пористости облученных нейтронами аустенитных сталей // ФММ. 1998. Т. 86. Вып. 1. С. 115-125.

2. Макаров Е.И., Неустроев В.С., Белозеров С.В., Островский З.Е. Влияние сжимающих и растягивающих напряжений на радиационное распухание и деформацию ползучести в аустенитных сталях х18н10т// Радиационная физика металлов и сплавов. Тезисы докладов 9 международного уральского семинара. Россия. Кыштым. 2011. С.36.

3. Неустроев В.С., Белозеров С.В., Макаров Е.И. , Островский З.Е. Влияние растягивающих и сжимающих напряжений на радиационное распухание и деформацию ползучести аустенитной стали Х18Н10Т// Физика металлов и металловедение, 2010, том 110, № 4, с. 412-416.

4.Овчинников И.И., Овчинников И.Г., Богина М.Ю., Матора А.В. Влияние радиационных сред на механические характеристики материалов и поведение конструкций (обзор) // Интернет -журнал «Науковедение». 2012. №4. С. 1-39.

5. Ванник В.Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. М. Наука.

6. Кисилевский В.Н. Изменения механических свойств сталей и сплавов при радиационном облучении. К. Наукова думка. 1977. 104 с.

7. Кисилевский В.Н., Косов Б.Д. Уравнение состояния для процесса ползучести упрочняющегося материала// Проблемы прочности. Киев 1975, №4, с.8-16.

8. Писаренко Г.С., Кисилевский В.Н., Полевой Д.В., Лукашев В.К., Цыканов В.А., Самсонов Б.В., Лосев Н.П. Влияние реакторных излучений на сопротивление ползучести и длительную просностьаустенитной нержавеющей стали ОХ16Н15М3Б// Проблемы прочности, Киев. 1974, №4 с.3-8.

9. Киселевский В.Н., Полевой Д.В. Влияние реакторного облучения на связь между характеристиками жаропрочности нержавеющей стали аустенитного класса// Проблемы прочности, Киев. 1974, №4 с.46-48.

Рецензент: Петров Владилен Васильевич, заведующий кафедрой «Теория сооружений и строительных конструкций» Саратовского государственного технического университета им. Гагарина Ю.А., академик РААСН, д-р.техн. наук, профессор

1979 448 с.