CC BY
91
Моделирование деформационного поведения пористой керамики
О.В. Килина, П.С. Килин, С.Н. Кульков
Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия
На основе результатов конечно-элементного моделирования проанализировано деформационное поведение пористой керамики. Показано, что в результате нагружения материала в нем формируются области локализации, расположенные под углом 45° к оси нагружения и разбивающие материал на фрагменты, средний размер которых равен среднему расстоянию между порами. В процессе нагружения такого материала можно выделить три стадии: стадию, на которой материал, находящийся под нагрузкой, не испытывает локального разрушения, стадию нелинейного накопления объема разрушенного материала и линейную стадию до полного разрушения.
1. Введение
Вопросам влияния пористости на физико-механические свойства посвящено большое число экспериментальных и теоретических работ [1-3]. Большинство исследований выполнено на порошковых металлах и сплавах. Однако имеющиеся данные о механизмах деформирования пористых керамических материалов не позволяют в полной мере получить представления об особенностях деформирования, обусловленных пористостью, предсказать области локализации деформации и возникновения концентраторов напряжений вследствие специфических трудностей исследования пористых структур. Тем не менее, эти данные очень важны для практического использования пористой керамики в качестве биологических конструкций, элементов фильтров, теплоизоляционных материалов, предполагающих длительное функционирование в условиях воздействия различных по характеру механических напряжений.
Одной из многочисленных особенностей необратимого формоизменения твердых тел является локализация макроскопической деформации, завершающая стадию однородного пластического течения [4-6]. Локализация макроскопической деформации происходит в материалах, имеющих самую различную исходную внутреннюю структуру. Это могут быть монокристаллы, поликристаллы, аморфные материалы и т. п. Как известно, наличие структурных неоднородностей, к которым относятся поры, трещины и т. д., качественным образом отра-
жается на механизмах деформирования и свойствах материала. При этом прогнозирование эксплуатационных свойств материала должно основываться на результатах экспериментов, проводимых в условиях, максимально приближенных к реальным.
Для описания процессов деформационного поведения структурно-неоднородных материалов в последние годы широко используют метод конечных элементов [7, 8], для которого разработано множество физикоматематических моделей различной сложности. При этом существует возможность комплексного анализа поведения системы, максимально приближенной к эксперименту.
Целью настоящей работы является численное исследование поведения нагруженного пористого керамического материала методом конечных элементов, реализованное в рамках программного комплекса “COSMOS/M” (версия 1.75).
2. Методика исследования (вычислительная схема)
Численное исследование проведено на реальной структуре, полученной в результате эксперимента [10] и взятой за основу для решения плоской упругой задачи. Исходная структура пористой керамики, с расчетной областью размером 80 х 80 мкм2, представлена на рисунке 1, а. Темные участки, хаотично расположенные на снимке, являются порами, объемное содержание ко-
© Килина. О.В., Килин П.С., Кульков С.Н., 2002
X
Рис. 1. Металлографический снимок пористого диоксида циркония (а); 11 и 12 — участки (слои) с разной пористостью. Конечноэлементная (расчетная) сетка (б)
торых составляет 10 %. Распределение пор по размерам имеет унимодальный характер (рис. 2, а), при этом средний размер пор составляет 1.9 мкм, а дисперсия по размерам а1.3 мкм.
Дискретизация области решения выполнена треугольными конечными элементами, число которых равно 4 026 (рис. 1, б). Граничные условия заданы в перемещениях. Для моделирования сжатия образца задано перемещение верхней границы модели в направлении, противоположном оси У. Величина перемещения выбрана таким образом, чтобы в модели возникали напряжения, превышающие предел прочности материала на сжатие. Нижняя граница модели жестко закреплена, т.е.
Рис. 2. Распределение пор по размерам (эксперимент) (а); распределение расстояния между порами по размерам (эксперимент) (б); распределение фрагментов по размерам (расчет) (в)
наложены ограничения на перемещения и повороты во всех направлениях. Нагрузка изменялась во времени по линейному закону. В качестве исходных расчетных параметров — модуль Юнга и коэффициент Пуассона — взяты экспериментальные данные, полученные при изучении пористой керамики на основе диоксида циркония [9], при этом элементы, описывающие поведение поро-вых пространств, имеют значения плотности, модуля Юнга и коэффициента Пуассона, равные нулю.
3. Результаты и обсуждение
На рисунке 3 представлено распределение деформаций в пористом диоксиде циркония при полной деформации 1 % (составляющая вдоль оси X). Для изолированных, удаленных друг от друга пор характерно равномерное расположение изолиний. Напротив, в местах скопления пор расстояние между изолиниями уменьшается, т.е. наблюдается локализация деформации. На неоднородное распределение деформации по образцу указывает изменение в цветовой гамме, где светлым фо-
О 20 40 60 80
X, мкм
Рис. 3. Распределение деформаций ех в пористом диоксиде циркония
ном показаны области максимальной деформации, темным — минимальной. Характерно, что светлые участки — области локализации деформации — располагаются, как и следовало ожидать, под углом 45° к оси нагружения У, при этом они фактически разделяют материал на отдельные фрагменты. На рисунках 2, б и в представлены распределение расстояния между порами и распределение фрагментов по размерам соответственно. Видно, что в обоих случаях характер распределения унимодальный, причем средний размер фрагментов хорошо согласуется со средним расстоянием между порами. Отличие составляет дисперсия, которая несколько больше во втором случае.
Более того, расчет среднего расстояния между порами в соответствии с [10]
Х = dVв|(1 - )(1 - с),
где Ур — объемное содержание матрицы; й — средний размер пор; X — расстояние между порами; с — связность, показал, что расчетная и измеренная величины хорошо совпадают в том случае, если связность принять равной нулю (т. е. поры изолированы). Значение расчетного среднего расстояния между порами X — 17 мкм хорошо совпадает с измеренной величиной (рис. 2, б).
Распределение напряжений ах при максимальной величине перемещения верхней границы модели (рис. 4, а) отличается от распределения деформаций. Вблизи большого скопления пор существуют концентраторы напряжений. При этом максимальные значения напряжений наблюдаются у пор с меньшим радиусом, что согласуется с известным соотношением, используемым для анализа роста трещины:
а тах = 2а(с/рУ/2,
80
60
^ 40 >-
20
0 20 40 60 80
X, мкм
80
60
І 40
20
0 20 40 60 80
X, мкм
Рис. 4. Распределение напряжений ах (а) и ау (б) в пористом диоксиде циркония
где р — радиус кривизны трещины (поры) у ее вершины; а тах — максимальное напряжение; с — половина длины трещины (поры). Распределение напряжений ау (рис. 4, б) совпадает с распределением упругих деформаций. Локализация наблюдается как вблизи скопления пор, так и вдоль линий, параллельных оси нагружения, т. е. вблизи свободных боковых граней модели, что может соответствовать появлению “бочкообразной” формы в натурном эксперименте.
На рисунке 5 показано распределение интенсивности напряжений в пористом диоксиде циркония при деформации, равной 1 %. Полученная поверхность хорошо иллюстрирует распределение напряжений: вблизи
0 О
Рис. 5. Распределение интенсивности напряжений в пористом диоксиде циркония
пор формируются концентраторы напряжений, которые значительно превышают предел прочности материала на сжатие. Приняв интенсивность напряжений за инвариант, можно оценивать “степень разрушения” материала. Действительно, если исходя из свойств реального материала задать уровень, соответствующий пределу прочности на сжатие [11 ], то выше этого уровня будут находиться участки материала, в которых интенсивность превышает предел прочности, ниже — участки материала, в которых интенсивность ниже предела прочности на сжатие. Следовательно, можно определить зависимость объема разрушенного материала от полной деформации. Такие данные представлены на рисунке 6, при этом кривая 1 показывает данную зависимость для всей моделируемой области. Так как распределение напряжений неоднородно и связано с разным уровнем пористости в реальном образце, то можно построить зависимости объема разрушенного материала от полной деформации для материала с разной пористостью. Горизонтальными линиями на рисунке 1, а показаны исследуемые тонкие слои, параллельные оси X, проходящие через моделируемые участки с различной пористостью. Таким образом, на рисунке 6 кривая 2 описывает поведение материала на расстоянии 50 мкм от нижней грани модели (высокая пористость), кривая 3 — на расстоянии 70 мкм от нижней грани модели (почти однородный материал).
Все три кривые могут быть разделены на 3 участка. Для кривой 1 до деформации, равной 0.4 %, все форми-
рующиеся напряжения находятся ниже уровня, соответствующего пределу прочности, и разрушения не происходит. С ростом деформации начинается разрушение отдельных участков материала, где напряжения превышают предел прочности и до деформации, равной
V, %
0 0.4 0.8 1.2 1.6 £, %
Рис. 6. Зависимость объема разрушенного материала от полной деформации в пористом диоксиде циркония: 1 — во всей моделируемой области; 2 — на расстоянии 50 мкм от нижней границы модели (высокая пористость); 3 — на расстоянии 70 мкм от нижней границы модели (низкая пористость)
0.85 %, наблюдается нелинейный механизм накопления объема разрушенного материала. Дальнейшее накопление микроповреждений происходит по линейному закону, и при общей деформации, равной 1 %, напряжения во всей моделируемой области превышают предел прочности, т. е. разрушенным оказывается весь материал.
Кривые 2 и 3, показывающие зависимость объема разрушенного материала от величины приложенной деформации, также возрастают, однако протяженность нелинейной стадии накопления объема разрушенного материала для слоя с малой пористостью много больше. Разрушение этого слоя начинается при деформации, равной 0.6 %, и для полного его разрушения необходимо приложить деформацию в 2 раза больше, чем для разрушения слоя материала с большой пористостью.
Таким образом, в результате деформации пористого диоксида циркония обнаружены области локализации деформации, которые расположены под углом 45° к оси нагружения. Эти локализованные области разделяют материал на отдельные фрагменты, средний размер которых совпадает со средним расстоянием между порами.
Данную расчетную схему, в которой элементам по-ровых пространств присвоены свойства конкретного материала, с аналогичными граничными условиями можно применить для изучения деформационного поведения материалов. Например, если элементам порового пространства присвоить свойства основного материала, то мы получим однородную структуру, если задать свойства, отличные от свойств основного материала, — композиционный материал с включениями различной прочности. При этом прочность компонентов композита может определяться значениями модуля Юнга. Изменяя значения модуля Юнга при задании начальных условий в расчетной схеме, можно анализировать поведение композита как с “мягкими”, так и с “жесткими” включениями. В данном расчете отношение модуля Юнга включения Ер к модулю Юнга матрицы Ет варьируется в широком диапазоне значений от 0.5 до 10.
Распределения напряжений в однородном материале, полученные после заполнения пор материалом основы (матрицы) с сохранением расчетной сетки, начальных и граничных условий, показали, что напряжения однородны, за исключением областей повышенных напряжений в местах закрепления “образца”, связанных с краевыми эффектами, которые не может учесть расчетная схема. Анализ объема разрушенного материала, в котором напряжения превышают предел прочности на сжатие, показал, что до деформации, равной 1.59 %, материал деформируется равномерно, весь моделируемый объем находится ниже уровня, соответствующего пределу прочности. Приращение деформации всего на 0.01 % приводит к мгновенному разрушению материала, т. е. к хрупкому разрушению. Следует отметить, что в данном случае деформация, которую выдерживает образец до разрушения, в 2 раза превышает ту величину,
Рис. 7. Распределение деформаций ех в композите с отношением модулей Ер/ Ет = 5
которую выдерживает диоксид циркония с пористостью 10%.
На рисунке 7 показано распределение деформаций в композите с прочными включениями вместо пор, при этом прочность включений в 5 раз превышает прочность матрицы. Распределение линий равных деформаций в композите более равномерное, чем аналогичные распределения при деформации пористого диоксида циркония (рис. 3). Вокруг включений изолинии располо-
Рис. 8. Распределение напряжений а у в композите с отношением модулей Ер/ Ет = 5
Рис. 9. Изменения объема разрушенного материала: пористый материал (1); Ер = 0.5Ет (2); однородный материал (3); Ер = 10Ет (4)
Рис. 10. Протяженность полной деформации до разрушения (1), деформации нелинейной (2) и линейной стадии (3) от отношения модулей Юнга
жены в виде замкнутых колец, повторяющих форму включений. Закономерностей в расположении изолиний в местах, отдаленных от неоднородностей, не наблюдается. Как и при деформации пористого материала, локализация деформации в композите происходит между включениями и наблюдается фрагментация матрицы. Включения деформируются незначительно, и, как видно из рисунка 8, в этих же местах формируются концентраторы напряжений. Величина максимальных напряжений во включениях несколько ниже максимальных напряжений, возникающих в пористом диоксиде циркония.
Чтобы рассчитать долю разрушенного материала, был задан уровень напряжений, соответствующий пределу прочности композита, рассчитанный по правилу смеси [12]. На рисунке 9 представлены зависимости объема разрушенного материала от величины приложенной деформации. Как и в случае пористого материала, каждую кривую можно условно разделить на три части — отсутствие разрушения, нелинейную и линейную стадии накопления объема разрушенного материала. Протяженность этих участков различная для разных модулей Юнга. При этом стадия деформирования материала до разрушения увеличивается с ростом модуля Юнга включения.
Зависимости протяженности стадий накопления объема разрушенного материала от отношения модулей Юнга включения к матрице представлены на рисунке 10. Кривая 1 соответствует полной деформации до разрушения, кривые 2 и 3 — деформации нелинейной и линейной стадии соответственно. Протяженность де-
формации на всех трех стадиях сначала уменьшается, а затем с ростом прочности включений возрастает. Минимальное значение протяженности стадий накопления объема разрушенного материала наблюдается в однородном материале, что соответствует мгновенному (хрупкому) разрушению.
Расчет напряжений, формирующихся при нагружении композиционного материала при деформации, равной 0.7 % в матрице и во включениях, представлен на рисунке 11. Пунктирной линией показан уровень, соответствующий напряжениям, возникающим в однород-
Рис. 11. Изменение напряжений во включениях (1), в матрице (2), в однородном материале (3) при изменении отношений модулей Юнга компонентов композиционного материала
ном материале. С ростом отношения модуля Юнга включений к модулю Юнга матрицы напряжения во включениях увеличиваются от 380 до 1200 МПа, в матрице наблюдается падение уровня напряжений от 1700 до 350 МПа. Точка пересечения кривых 1 и 2 соответствует случаю, когда прочности матрицы и включения равны, т. е. материал однородный.
4. Заключение
При нагружении композиционного (пористого) материала формируются области локализации, разделяющие материал на фрагменты, средний размер которых равен среднему расстоянию между включениями (порами).
Показано, что в процессе нагружения структурнонеоднородного материала выделяются три стадии деформации, на которых материал, находящийся под нагрузкой, не испытывает локального разрушения, стадия нелинейного накопления разрушенного материала и линейная стадия до полного разрушения.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 00-15-96174).
Литература
1. СкороходВ.В., ШтернМ.Б., МартыноваИФ. Основные направления развития модельных представлений о деформируемом пористом теле // Технологическая и конструкционная пластичность порошковых материалов. - Киев: ИМП, 1988. - 106 с.
2. Скороход В.В. Актуальные проблемы континуальной теории и структурного моделирования процессов деформации порошков и пористых тел // Реологические модели и процессы деформирования пористых порошковых и композиционных материалов. - Киев: Наукова думка, 1985. - С. 6-11.
3. Dong M., Schmauder S., Bidlingmaier T., Wanner A. Prediction of the mechanical behaviour of short fiber reinforced MMCs by combined cell models // Computational materials science. - 1997. - V.9.- P. 121-133.
4. Cowie J.C., Tuller F.R. Flow localization models // Materials science and engineering. - 1987. - V. 95. - No. 1. - P. 93-99.
5. Argon A.S. Inelastic deformation and fracture in oxides, metallic and polymeric glasses // Glass science and technology. - 1980. - V. 5. - P. 79-132.
6. Альшиц В.И., Бережкова Г.В. О природе локализации пластической
деформации в твердых телах // Физическая кристаллография. - М.: Наука, 1992. - C. 129-151.
7. Rohde J., Schmauder S., Bao G. Mesoscopic modelling of gradient zones in hardmetals // Computational materials science. - 1996. - V.7.-P. 63-67.
8. Сегерлинд Д. Применение метода конечных элементов. - М.: Мир, 1979. - 392 с.
9. Буякова С.П. Получение, структура и механические свойства пористой керамики на основе плазмохимического диоксида циркония. - Дис. ... канд. техн. наук. - Томск: ИФПМ СО РАН, 2000. -181 с.
10. Werlefors T., Eskilsson C. On-line computer analysis of WC-Co structures imaged in a SEM // Metallography. - 1979. - V. 12. - P. 153173.
11. Буякова С.П., Хан Вей, Мельников А.Г., Кульков С.Н. Механическое поведение пористого диоксида циркония при активной деформации сжатием // Письма в ЖТФ. - 1999. - Т. 25. - № 17. - С. 4448.
12. Физическое металловедение / Под ред. О.В. Абрамова, А.В. Серебрякова. - М.: Металлургия, 1987. - Т. 2. - 558 с.
