CC BY
128
Упруго-вязкопластическая деформация и разрушение угля на мезоскопическом масштабном уровне
П.В. Макаров, И.Ю. Смолин, О.И. Черепанов, Н.В. Трубицына1, Я.С. Ворошилов2
Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия 1 НЦ ВостНИИ, Кемерово, 650002, Россия 2 Кемеровский государственный университет, Кемерово, 650099, Россия
Работа посвящена применению подхода физической мезомеханики материалов для моделирования деформации и разрушения мезообъемов угля при механическом нагружении. Для описания механического поведения основных компонентов угля (витринита, фюзинита, лейптинита, семивитринита, минеральных примесей) предлагается комбинированная модель упруго-вязкопластической среды с накоплением повреждений. Объект исследования выбран на основе анализа литературных данных по структуре, составу и свойствам углей. Расчеты проводились в двумерных динамической и квазистатической постановках задач механики структурнонеоднородных сред. Изучены закономерности локализации деформаций и образования пылевых частиц при разрушении мезо-объемов с разной исходной пористостью.
1. Введение
Механическое поведение твердых тел под нагрузкой включает в себя два взаимосвязанных процесса — деформацию и разрушение нагружаемой среды. Огромный накопленный экспериментальный материал и мик-роструктурные исследования убеждают, что разрушение — это, прежде всего, локальный процесс и завершающая стадия деформации. Разрушение наступает тогда, когда в локальной области материал исчерпывает возможности диссипировать подводимую энергию за счет деформационных процессов (упругих, вязкоупругих, пластических, фазовых превращений и т.д.) и остается единственный способ диссипации — разрыв атомных связей, т. е. разрушение материала. Масштаб разрушения определяется многими факторами, в том числе условиями нагружения и структурной организацией материала.
Несмотря на то, что определенная общность физической природы и взаимосвязь процессов деформации и разрушения признается большинством исследователей, теории пластичности и разрушения твердых тел остаются, по сути, разными науками и развиваются, если не независимо, то параллельно. Макроскопическая феноменологическая теория в принципе не способна снять
подобное противоречие. Особенно ярко это проявляется при рассмотрении поведения под нагрузкой сложных гетерогенных сред, к которым относится и уголь. Для подобных сред одни структурные элементы представительной макрочастицы оказываются деформированными упруго, другие претерпевают глубокие пластические деформации, третьи оказываются разрушенными. Что можно сказать о частице в целом?
На наш взгляд, задача описания процессов деформации и разрушения в рамках общей концепции может быть успешно решена с позиций физической мезомеханики материалов [1-5]. В рамках этого подхода на каждом масштабном уровне микро-, мезо- и макрозадача локального разрушения может решаться в соответствии со специфическими механизмами неупругой деформации, предваряющей разрушение.
Согласно представлениям авторов работы [6] к настоящему времени сложилась и развивается единая модель нагруженных и разрушаемых тел на основе установленных общих физических закономерностей, которые справедливы для любых материалов, в том числе и для горных пород. Зачастую разрушение рассматривается как процесс, изолированный от предваряющей неупругой деформации. Наука о разрушении эволюцио-
© Макаров П.В., Смолин И.Ю., Черепанов О.И., Трубицына Н.В., Ворошилов Я.С., 2002
нировала от простейших, сугубо феноменологических представлений о предельных состояниях разрушаемых сред до атомно-кинетических представлений, становления термофлуктуационной концепции (микроуровень), установления концентрационного критерия укрупнения трещин (выход на макроуровень) и идей иерархичности процесса разрушения.
Можно выделить три характерных периода в развитии науки о разрушении:
1) Разрушение рассматривается исключительно феноменологически как предельное состояние структурно-однородной среды и наступает, когда напряжения достигают определенного значения — предела прочности материала, претендующего на роль материальной константы.
2) Как и в физике пластичности, в разрушаемый материал вводятся исходные «дефекты»—трещины, которые выступают как концентраторы напряжений и способны повысить незначительные средние напряжения вплоть до величин теоретической прочности. В рассмотрение вводятся коэффициенты интенсивности напряжений.
3) Становление кинетической теории прочности твердых тел на основе термофлуктуационной концепции. Развитие теории повреждаемости и установление концентрационного критерия укрупнения трещин. Развитие иерархических моделей разрушения материалов.
Какой бы ни использовался подход, в расчетах для принятия решения о переходе материала в разрушенное состояние необходимо знание локального критерия разрушения. Это фундаментальное понятие принципиально изменяется при изменении концепции разрушения.
Теория предельных состояний (предельное напряжение, либо предельная деформация) первоначально была развита для металлов и нашла широкое применение, прежде всего, в инженерных расчетах конструкций на прочность. Перенос этой концепции на горные породы оказался неутешительным. Уголь традиционно относят к горным породам, представляющим собой сложную многокомпонентную структуру органического происхождения [7]. Для металлов прогноз разрушения с инженерной точки зрения выглядел более или менее приемлемым в силу заметной предварительной пластической деформации и хорошей экспериментальной изученности ст-е-диаграмм, а также сравнительно незначительной вариации предельных значений напряжений и деформаций. Для хрупких же материалов (горных пород, угля) существенная неопределенность момента и места разрушения приводит к практической неприемлемости такого подхода для предсказания разрушения не только массивов горных пород, но и лабораторных образцов. Особенно ярко специфика этой концепции проявляется при ее применении к «однородным» средам, например к стеклам, для которых, казалось, она должна бы сработать, но не срабатывает. Точность пред-
сказания разрушения оказывается слишком низкой. Авторы работ [8, 9], анализируя эту ситуацию, просто констатируют, что прочность хрупких образцов, взятых из одного и того же материала (даже сравнительно однородных стекол), варьируется в пределах 15-30 %. Вариации же по времени разрушения, например при линейном наращивании напряжений, уже достигают 100200 % и более. В этом смысле разрушение всегда наступает внезапно. Отметим, что рассматривается макрообразец. Масштабный фактор вообще отсутствует, т. е. микроскопический объект и объект протяженностью в сотни или даже тысячи километров ведут себя одинаково. Такой объект под нагрузкой может находиться в двух дискретных состояниях: неразрушенном либо разрушенном. После снятия нагрузки он возвращается в исходное состояние. Материал, нагруженный ниже предела прочности, разрушить в принципе невозможно. Однако в ходе любого нагружения неизбежно возникает кластеризация внутренней микроструктуры материала, которая делает его неоднородным, перераспределяя поля напряжений. С другой стороны, известно, что пластическая (в более общем случае неупругая) деформация всегда предшествует разрушению, в том числе и для хрупких материалов и горных пород. При средних по макрообразцу напряжениях, далеких от предела прочности, неупругая деформация локализована в малых областях высокой концентрации напряжений — в вершинах «хрупких» трещин. Это объясняет значительно большую вариацию времени разрушения, которая определяется существенно нелинейными локальными процессами кластеризации и развития неупругих деформаций в областях концентрации напряжений (т. е. на более низком масштабном уровне — микроуровне, который в теории предельных состояний не принимается во внимание).
Уголь и горные породы являются сложными многокомпонентными системами. Их макроскопическое разрушение будет определяться не только средними напряжениями и деформациями, но и локальными свойствами структурных элементов, взаимодействием их друг с другом и особенностями поведения под нагрузкой границ раздела. По сравнению с относительно однородными стеклами вариации по месту и времени макроскопического разрушения таких материалов оказываются существенно большими.
Следует заметить, что в рамках концепции предельного состояния такое понятие, как время разрушения, вообще отсутствует. О нем можно косвенно судить только в случаях, когда напряжения либо деформации возрастают пропорционально времени [8, 9]. Таким образом, проблема прогноза времени разрушения в рамках этой концепции принципиально не может быть поставлена.
Вторая концепция нашла наибольшее применение в инженерной практике в силу своей относительной
простоты и сведения проблемы разрушения материала к решению упругой задачи о напряженно-деформированном состоянии. В упрощенном изложении эта концепция выглядит следующим образом. Трещины рассматриваются как концентраторы напряжений. Область с трещиной, в которой возникают неупругие деформации, исключается из рассмотрения. Эта область вокруг вершины трещины определяется экспериментально и вводится в теорию через коэффициенты интенсивности напряжений, которые приобретают смысл материальных констант, характеризующих разрушение данного материала и, добавим от себя, выбранный масштаб разрушения. В настоящей работе эта концепция в дальнейшем непосредственно как таковая рассматриваться не будет, так как она ориентирована на рассмотрение единичной трещины и не предполагает привлечения физических представлений, а носит сугубо инженерный характер.
Термофлуктуационная концепция исходит из фундаментальных физических представлений [6]. Разрыв связей между атомами обусловливается флуктуациями их теплового движения. Разрушение рассматривается как кинетический процесс накопления повреждений. В теорию вводится удобная для регистрации характеристика поврежденности. Предполагается (согласно работе [6] «найдено»), что при самых разных условиях нагружения механизмом разрушения твердых тел (всех без исключения: пластичных, хрупких, металлов и сплавов, композитов, горных пород, полимеров) является зарождение множества хаотически расположенных стабильных микротрещин. Вводится безразмерная мера по-врежденности М, которой является среднее расстояние между трещинами, измеренное в единицах их среднего размера. При М = е (е — основание натурального логарифма) образуется более крупная трещина, т. е. разрушение переводится на следующий (более высокий) масштабный уровень. Условие М = е принято называть концентрационным критерием укрупнения трещин [6]. Авторы работы [6] рассматривают процесс формирования укрупненных трещин как возникновение новой стадии структурной самоорганизации разрушаемого твердого тела, находящегося в неравновесном состоянии под действием приложенных нагрузок.
Работоспособность концентрационного критерия изучена не только для широкого круга материалов, но и проверена в чрезвычайно широком диапазоне линейных размеров трещин (=12 порядков, от 100 А до =10 км) при вариации концентраций трещин приблизительно на 35 порядков. Установлено, что во всех случаях относительное среднее расстояние между трещинами на момент разрушения всегда было близко к трем (е = 2.718).
Однако заметим, что соответствующие эксперименты оказываются весьма сложными (необходимо определить средний размер трещин и их концентрацию).
Концентрационный критерий кластеризации (или укрупнения трещин) устанавливается эмпирически после разрушения образца соответствующего масштаба с набором сходных (близких по размеру) трещин. Замечено также, что экспериментально наблюдаемое разрушение макроскопических образцов довольно часто не соответствует концентрационному критерию. Это, на наш взгляд, связано с тем, что теория пытается сразу перейти от микроуровня (первичных термофлуктуационных трещин) к макроуровню и упускает из вида промежуточный — мезоскопический — масштабный уровень и реальные микро- и мезоструктурные неоднородности материала.
Привлекательность концентрационного критерия кластеризации заключается в его универсальности и нечувствительности к масштабу разрушения. При заданном масштабе разрушения это позволяет для конкретного материла построить соответствующую кинетику накопления повреждений (трещин близких размеров) и по соответствующим экспериментам определить критические значения поврежденности. Обычно пользуются величиной поврежденности, нормированной к единице. Поврежденность среды, меньшая единицы, позволяет оценить ее остаточный ресурс.
Универсальность и нечувствительность концентрационного критерия укрупнения трещин к масштабу разрушения открыли путь для развития иерархических моделей разрушения. Фактически концентрационный критерий разрушения устанавливает количественное подобие (М = е) процесса разрушения независимо от его масштаба. Это прямой аналог принципа масштабной инвариантности В.Е. Панина [2-4], сформулированного им для пластически деформируемых сред.
Эти принципы масштабной инвариантности процессов пластической деформации и разрушения ни в коей мере не отрицают определяющей роли соответствующих специфических кинетик зарождения пластических сдвигов либо накопления «повреждений» (трещин соответствующего масштаба) на соответствующем масштабном уровне.
В рамках термофлуктуационной концепции и концентрационного критерия кластеризации подъем по иерархической лестнице сопровождается только количественными, но не качественными изменениями, как отмечают авторы [6]. Строится последовательность иерархически связанных кинетических уравнений, в которых переход с одного уровня на другой всегда осуществляется при выполнении условия М = е в однородной бесструктурной среде, стартуя от первичных термо-флуктуационных микротрещин.
Переход к иерархическим моделям разрушения, на наш взгляд, является очень серьезным достижением в развитии концепции накопления повреждений и кластеризации, ее вершиной. Следующий шаг в развитии науки о разрушении материалов связан со становлением физической мезомеханики [1-5], которая перешла от
бесструктурной среды к средам структурно-неоднородным на каждом масштабном уровне, сохранив весь золотой фонд, накопленный на предыдущих этапах.
Ключевую роль мезоскопического масштабного уровня в развитии процессов неупругой деформации материалов можно считать доказанной и теоретически и экспериментально [1-5]. Это же можно сказать и о разрушении как заключительной стадии деформирования.
Интересно отметить, что сходные ситуации сложились как в физике пластичности, так и при изучении деформации и разрушения угля. Как и в физике пластичности «попытки связать разработанные модели молекулярного строения (микроуровень) с физическими свойствами углей (макроуровень) предпринимались различными авторами, однако их нельзя признать успешными» — пишут авторы работы [7]. Причину неудачи в объяснении физики разрушения макрообъекта непосредственно через микроскопическое строение авторы работы [7] видят в том, что не была принята во внимание надмолекулярная организация угля, который в этом случае рассматривается как полимер. Фактически это утверждение означает, что необходимо ввести в рассмотрение промежуточный уровень структурной организации материала.
2. Масштабные уровни разрушения.
Критерии разрушения
Одним из основных положений физической мезоме-ханики материалов является концепция последовательной потери локальной сдвиговой устойчивости материалом на разных масштабных уровнях [4]: микро, мезо и макро. В рамках этой концепции разрушение на каждом масштабном уровне будет завершающей стадией предварительной нелинейной, неупругой реакции материала на нагружение в локальных областях концентраторов напряжений. Разрушение начинается тогда, когда аккомодационные способности материала к нагружению за счет неупругой реакции в этой локальной области оказываются исчерпанными и дальнейшая релаксация напряжений может осуществляться только за счет раскрытия трещин соответствующего масштаба.
На микромасштабном уровне атомной организации материала будут зарождаться первичные микротрещины (микроповреждения), как это описывается феноменологически в рамках термофлуктуационной концепции.
Переход разрушения на более высокий структурный уровень (мезоуровень) связан с потерей сдвиговой устойчивости материалом на этом уровне в локальных областях мезообъемов и накоплением неупругих деформаций и повреждений в этих областях (в полосах локализованной деформации). Таким образом, термофлуктуа-ционная концепция и концентрационный критерий
кластеризации хорошо вписываются в концепцию физической мезомеханики материалов, описывая в данном случае микроскопический уровень зарождения микроповреждений и микротрещин. Переход от мезомасш-табного уровня к макроуровню связан с необходимостью построения адекватной кинетики накопления ме-зотрещин соответствующего пространственного масштаба.
В отличие от идеального концентрационного критерия кластеризации, не чувствительного к масштабу разрушения, явный учет значимых структурных элементов, их взаимодействия, особенностей границ между структурными элементами должен найти отражение в соответствующей кинетике накопления трещин данного масштаба. Условие же М = е, по-видимому, должно остаться неизменным как эмпирический факт. Флуктуации в концентрациях трещин приводят к их слиянию с точки зрения идеального концентрационного критерия [6].
С нашей точки зрения, образование магистральных трещин на более высоком масштабном уровне обусловлено процессами локализации предварительной неупругой деформации, соответствующей локализации накопления повреждений на предыдущем, более низком масштабном уровне, и последующим развитием магистральной трещины в строго определенном месте мезообъе-ма. Это означает переход разрушения с мезо- на макромасштабный уровень. Таким образом, развиваемый подход не просто констатирует факт выхода разрушения на более высокий масштабный уровень, как концентрационный критерий кластеризации, но позволяет определить место разрушения при явном решении задачи на мезоуровне. Явное рассмотрение трещин на мезо- и макроуровнях позволяет изучать эффекты концентрации напряжений в вершинах трещин и появления там неупругих деформаций. Таким образом, основная идея второй концепции также принимается во внимание как на мезо-, так и на макромасштабном уровнях как исходное положение, согласно которому трещины данного масштаба выступают как концентраторы напряжений соответствующей мощности. Все принципиально важные последствия такого подхода (появление пластической локализованной деформации, динамика распространения трещины, эффект ее затупления, релаксация напряжений, волновые явления) не отбрасываются, а рассматриваются в явном виде [10-14], что является принципиально важным развитием этого направления в механике разрушения.
Хотелось бы сделать несколько замечаний относительно критериев предельных состояний (напряженного либо деформированного). Сейчас стало ясно, что плох не критерий, а его необоснованное применение на макромасштабном уровне (может быть, за исключением инженерных расчетов, где это оправдано). Например, на микромасштабном уровне в областях высокой концент-
рации напряжений при статических и квазистатических процессах для материалов, слабо чувствительных к скорости нагружения, а также в случаях, когда фактор времени не играет роли, оценки, проведенные по критериям предельных состояний, могут быть вполне приемлемыми.
Отметим также, что подход физической мезомеха-ники существенно отличается от иерархических моделей разрушения, непосредственно следующих из универсального принципа кластеризации. В этих моделях рассматривается иерархия однородных сред — последовательность переходов от низкого масштабного уровня однородной среды к следующему, более высокому, масштабному уровню также однородной среды. Ме-зомеханика предполагает исходную структурную неоднородность среды на любом масштабном уровне. Эта неоднородность является причиной локальной потери сдвиговой устойчивости материалом в областях концентраторов напряжений на соответствующем масштабном уровне при пластической деформации, а также обусловливает локализацию микроповреждений и последующее макроразрушение.
Из изложенного следует также, что разрушение рассматривается нами не изолированно как самостоятельное явление, а как специфическая заключительная стадия поведения материала под нагрузкой, включая развитие упруго-вязкопластических деформаций, накопление повреждений и эволюцию его внутренней структуры в процессе деформирования.
Термофлуктуационная концепция и концентрационный критерий кластеризации хорошо вписываются в подход физической мезомеханики, описывая явления микроскопического уровня (зарождение микроповреждений и микротрещин). Они дают большое разнообразие кинетик накопления микроповреждений для различных материалов и масштабов явлений разрушения (включая применение критерия кластеризации на ме-зомасштабном уровне и разработку кинетики накопления мезотрещин).
3. Постановка задачи о деформации и разрушении мезообъемов угля
Традиционно уголь относят к горным породам. Он представляет собой гетерогенную многокомпонентную среду органического происхождения. Проблема разрушения угля на макроуровне достаточно хорошо изучена. Ей посвящено огромное число работ, как экспериментальных, так и теоретических. Для инженерной практики полученные к настоящему времени результаты являются вполне удовлетворительными. Остается серьезная проблема получения достоверных интегральных макроскопических характеристик для углей различного состава. Экспериментально изучить весь диапазон вариаций составов и концентраций составляющих ком-
понентов не представляется возможным. С нашей точки зрения, эта проблема может быть успешно решена теоретически с позиций физической мезомеханики.
Другая важная проблема — это проблема разрушения мезообъемов угля и образования пылевых частиц. Решению этих двух задач и посвящена данная работа.
Численно изучается механическое поведение, вплоть до разрушения, мезообъемов угля, включая представительный мезообъем, при различных условиях нагружения: сжатие в разных направлениях, сдвиги, комбинированное нагружение.
Интегральный отклик представительного мезообъе-ма угля заданного состава по концентрациям компонентов, их форме и размерам позволяет получить макроскопическую ст-е-диаграмму угля, определить модули и предельные нагрузки для этого макроскопического образца.
Моделирование разрушения и подсчет полученных осколков разных размеров позволяет определить выход пыли при различных условиях нагружения и концентрационные доли частиц размерами от 2 до 100 мкм (более мелкая пыль не рассматривается).
Для решения этих двух проблем необходимо решить ряд следующих частных задач.
1. Обосновать выбор характерных размеров исследуемых мезообъемов, в том числе представительного мезообъема для угля заданного состава.
2. Обосновать выбор локальных критериев перехода к неупругому (упруго-хрупкопластическому, вязкопластическому) поведению и критериев локального разрушения структурных элементов угля.
3. Построить определяющие уравнения структурных составляющих угля, включая:
а) выбор их физико-механических параметров (модулей упругости, предельных значений напряжений и деформаций, при которых происходит их разрушение);
б) построить кинетические уравнения накопления повреждений для всех структурных элементов угля;
в) построить кривые механического отклика (ст-е-диаграммы) элементов структуры угля, включая стадию упругой реакции, вязкопластическую стадию и стадию накопления повреждений.
Для решения поставленных задач в рассмотрение вводятся два масштабных уровня структурной организации угля заданного состава — микроскопический и мезоскопический.
Микроскопический масштабный уровень в рамках решаемой задачи — это уровень накопления микроповреждений и микротрещин.
На мезомасштабном уровне решается простейшая задача об эволюции под нагрузкой мезообъемов угля в изотермических условиях. Все значимые элементы ме-зоструктуры, включая поры разных размеров, вводятся в рассмотрение явно. При этом не учитываются: 1) начальные внутренние напряжения; 2) поровое давление
абсорбированных газов; 3) физико-химические превращения, процессы деструкции угольного вещества при деформации и разрушении угля; 4) изменения состава и эффективных размеров структурных элементов и по-рового пространства, обусловленные физико-химическими превращениями. При необходимости эти явления могут быть учтены в соответствующих моделях на мик-ро- и мезоуровнях. Таким образом, исследуется исключительно механическое поведение.
Для решения этих задач применялись два метода. Первый основан на решении динамических уравнений механики сплошных сред и теории предельных состояний для описания неупругих деформаций и разрушения структурных составляющих угля. Другой метод основан на решении квазистатической задачи механики структурно-неоднородных сред в вариационной постановке. Определяющие уравнения нелинейного отклика структурных элементов угля построены на основе инкрементальной теории пластичности. Такой подход позволяет линеаризовать определяющие уравнения на каждом шаге нагружения (с выбором шага по деформациям в зависимости от цели исследования), сохраняя интегрально как физическую, так и геометрическую нелинейность среды. Модель среды учитывает эффекты деформационного упрочнения, накопление повреждений на микроуровне и позволяет описать различия в поведении материала при сжатии и растяжении, эффекты дилатан-сии — увеличения объема среды за счет накопления микротрещин, а также вязкопластические свойства среды — релаксацию напряжений и деградацию механических параметров.
Микроскопический уровень описания в данном случае представлен интегрально через функции накопления микроповреждений в процессе нагружения. Принципиально важно, что этот процесс учтен локально, т. е. поврежденность рассчитывается для каждой индивидуальной частицы нагруженной среды в зависимости от ее истории нагружения. Деградация механических свойств каждой частицы нагружаемого мезообъема также индивидуальна. При достижении некоторого критического значения поврежденности частица считается разрушенной. Это означает, что она полностью теряет способность сопротивляться сдвигу и растяжению, но сохраняет сопротивление сжатию. Считается, что разрушенные таким образом частицы образуют мелкую пыль. Эти пылевые частицы—уже объекты микроуровня и явно на мезоуровне описаны быть не могут, их размеры меньше расчетной ячейки.
Если поврежденность частицы среды меньше критической величины, то она сохраняет некоторый остаточный ресурс сопротивления нагружению, который может быть оценен по величине поврежденности.
Для количественного определения параметров рассматриваемых моделей необходимо изучить структуру и свойства компонентов угля.
4. Структура и свойства угля на мезомасштабном уровне
Под мезообъемом структурно-неоднородной среды подразумевается некоторый объем материала, состоящий из разнородных элементов: монокристаллов, материала матрицы и упрочняющих частиц, «основного» материала и инородных включений, разных фаз одного и того же вещества и т.д.
Это определение основано на известном понятии «структура материала», которое принято в металловедении: структура материала определяется типом, структурой и числом фаз составляющих элементов; числом, геометрическими характеристиками (размер, форма и т. д.) и распределением областей отдельных фаз, а также их поверхностей раздела.
Каждая область отдельной фазы или блока рассматривается как элемент мезоструктуры материала, для которого применимо континуальное описание. Границы раздела фаз представляются в виде поверхностей, на которых выполняются условия непрерывности перемещений. Межфазные границы рассматриваются как самостоятельный элемент структуры с известными свойствами.
В рассматриваемой нами задаче о разрушении угля на мезоуровне таким мезообъемом будет множество однородных, значимых для поставленной задачи структурных элементов, характерных для исследуемого типа угля. Понятно, что это простейшая модель, в которой не принимаются во внимание анизотропия, специфические свойства границ раздела, возможные химические и фазовые превращения, что может быть учтено в более полной модели.
Таким образом, неоднородность материала может проявляться как различие механических и теплофизических характеристик структурных элементов: модулей упругости, пределов текучести, коэффициентов термического расширения, теплоемкости, теплопроводности и других характеристик, определяющих тот или иной тип механического поведения материала под нагрузкой.
В настоящее время многие исследователи придерживаются концепции о высокомолекулярном строении угля, не исключая также присутствия низкомолекулярных фрагментов [7]. Таким образом, угли рассматриваются как высокомолекулярные соединения [15-19]. Все полученные результаты убедительно показывают, что природный уголь является саморегулирующейся полидис-персной средой, способной к изменениям своей структуры при изменении внешних воздействий [7]. Последнее обстоятельство в настоящей работе не будет приниматься во внимание.
Изучение угля с позиции физики полимеров привело к введению в теорию нового уровня структурной организации его элементов — надмолекулярной организации [7]. «Под надмолекулярной организацией понимается внутренняя структура, взаимное расположение в
пространстве и характер взаимодействия между структурными элементами, образующими макроскопическое тело» [7, 20]. Так как размеры элементов надмолекулярной организации варьируются от единиц до сотен нанометров, то этот структурный уровень следует отнести к микроскопическому масштабному уровню, подобно индивидуальным дислокациям в металлах.
На наш взгляд, весьма проблематично непосредственно связать надмолекулярную организацию с макроскопическим механическим поведением угля под нагрузкой. Необходимо подняться вверх по иерархической лестнице до мезоскопического масштабного уровня — уровня более крупных структурных элементов, уже непосредственно определяющих строение представительной макроскопической частицы угольного вещества.
С другой стороны, рентгеноструктурные исследования позволяют предположить, что уголь находится в промежуточном состоянии между истинно кристаллическим и аморфным [7], что чрезвычайно важно для понимания реологических свойств компонентов угля на мезомасштабном уровне.
Таким образом, для создания структурной модели, способной реалистично описать механическое поведение угля, необходимо рассмотреть микроструктуру угольного вещества и выбрать характерный для углей заданного состава и степеней углефикации мезо-объем — макрочастицу угля, механическое поведение которой эквивалентно поведению макроскопических образцов.
Для определения структуры и свойств компонентов мезоструктуры угля необходимы данные по надмолекулярной организации структурных элементов и ее связи с физико-механическими свойствами этих структурных элементов. Ключ к пониманию тонкой мезоструктуры угля, физических и механических характеристик элементов этой мезоструктуры лежит в области исследований метаноемкости и степени газоотдачи угля, т. е. в области изучения процессов газопоглощения и газовыде-ления углем. Именно исследование иерархий сорбционных частиц (все данные по сорбционным частицам и система сорбционных пор указывают на существование иерархической структурной организации порового пространства), количества сорбционных микропор, по-ровых объемов и поверхностей дают необходимый количественных материал по структурной организации угля на мезоуровне. Именно в этой области наиболее полно изучена тонкая мезоструктура углей.
4.1. Макроуровень. Структуры и типы углей
Макроскопические физико-механические свойства угля исследованы очень широко и в значительной степени ориентированы на технологии добычи и переработки и сгруппированы по генетическим классам и типам углей. Такая ситуация вполне естественна, так как в силу огромного разнообразия вариаций процентного
содержания различных ингредиентов (литотипов), а также в связи со значительными изменениями механических характеристик ингредиентов в зависимости от степени метаморфизма в ряду углефикации невозможно дать строгую количественную характеристику физико-механических свойств углей.
Такие качественные характеристики углей как трещиноватость, коэффициент хрупкости, коэффициент крепости, дробимость, показатель пластичности (выраженные, например, в баллах) приемлемы для горной инженерии, но мало пригодны для проведения прочностных расчетов. Только трещиноватость угля, т. е. наличие в угле иерархии трещин разных размеров делает каждую выработку уникальной. С другой стороны, в силу специфики структурной организации угля, например, значения модуля Юнга, определенные для одного и того же типа угля, но разными методами — статическим и динамическим — отличаются на порядок [7, 21] (заниженной оказывается величина, измеренная статическим методом).
В силу сказанного особое значение приобретают численные эксперименты по нагружению мезообъемов угля заданного состава, позволяющие определить в расчетах макроскопические характеристики угля (например упругие модули угольного композита, его прочностные характеристики и т. д.) по известным значениям физико-механических параметров ингредиентов угля.
Относительно общих свойств угля следует отметить, что с возрастанием степени углефикации из-за потерь воды, кислорода (в форме С02), водорода (в форме метана) увеличивается содержание углерода и его соотношение с водородом и кислородом в угле [7]. Все это существенным образом отражается на физико-механических характеристиках угля в целом и его компонентов. Эти процессы достаточно полно изучены и нашли отражение как в генетической классификации углей [7, 17, 22-25], так и в исследованиях влияния надмолекулярной организации на физико-механические свойства углей и его компонентов.
Отмечается, что во всех случаях наблюдается единая закономерность изменения упругих свойств в ряду уг-лефикации (рис. 1-3). Так, по данным [21] изменение микротвердости в ряду углефикации имеет максимум при 84 % углерода и минимум при 90 % углерода. Антрациты, содержащие 93 % углерода, обладают «свойствами идеальных пластиков» [7].
Хотя единая общепринятая генетическая классификация углей в настоящее время отсутствует, многочисленные виды классификаций «не имеют принципиальных отличий» [7]. Поэтому мы будем придерживаться классификации углей, приведенной в работе [7]. По происхождению различают гумусовые угли и сапропелевые.
На макроуровне уголь представляет собой гетерогенную среду, состоящую из частей (ингредиентов или
50 30 Ю У^,%
1.3 1.4 1.5 1.6
Плотность органической массы Кд, г/см3
Рис. 1. Зависимость механической прочности углей от выхода летучих веществ и плотности органической массы в ряду углефикации
[15]
литотипов). Эти литотипы для гумусовых углей (которые наиболее полно изучены) разделяют на витрен, кла-рен, дюрен и фюзен. Они хорошо изучены, приведем их качественную характеристику. Витрен представляет собой черные слои мощностью до 3-10 мм, хрупок, рассечен множеством тонких трещин, расслаивается на кубики. Кларен имеет тонкослоистое строение, состоит из чередующихся слоев витрена, дюрена, иногда фюзе-на. У дюрена слои более мощные (до 10 см), очень крепок. Фюзен встречается в форме линз, толщиной до нескольких миллиметров, волокнистый, мягкий, рыхлый.
Сапропелевые угли, или сапропелиты, существенно отличаются от гумитов, прежде всего отсутствием слоистости и очень высокой плотностью, более однородны
по составу. Они подразделяются на кеннели, богхеды и множество переходных разновидностей [7, 26].
Этой, достаточно грубой с точки зрения механических свойств, интегральной классификации по генетическим классам углей вполне достаточно, чтобы составлять характерные карты угля различных классов и с различными составами по компонентам. Но это уже задача мезоуровня.
В таблице 1 приведены данные по характеристикам углей, в том числе и по их трещиноватости. Эти общие сведения вместе с оценками модулей и прочностных характеристик углей и его ингредиентов будут полезны для сравнения интегрального отклика на нагружение, полученного расчетным путем, с экспериментальными данными.
Данные по трещиноватости и средним расстояниям между макротрещинами (0.56-4 мм) дают нам основание в качестве изучаемого мезообъема взять мезообъем с размерами по осям в пределах 500-600 мкм, а представительным считать мезообъем с характерным размером порядка 2 мм.
4.2. Мезоуровень. Микролитотипы углей как структурные элементы на мезоскопическом масштабном уровне
Биохимические и геохимические превращения в разных условиях формирования углей привели к образованию многочисленных, практически однородных по физическим и химическим свойствам компонентов угля, которые принято называть микрокомпонентами или микролитотипами (мацералы — по международной терминологии).
Таким образом, мезообъем угля как полимерного композита органического происхождения будет склады-
Рис. 2. Зависимость механических свойств углей от степени метаморфизма и надмолекулярной организации: 1 — микротвердость (по Ка-саточкину) [16]; 2 — модуль Юнга Е (по Касаточкину) [16]; 3 — Ц — размеры надмолекулярной организации; 4— Ь± — размеры надмолекулярной организации; 5 — дробимость (по Русчеву)
80 85 90 95 Саэ\ %
Рис. 3. Зависимость механических свойств углей от степени метаморфизма и надмолекулярной организации: 1 — плотность витринита ^20; 2 — Ц — размеры надмолекулярной организации; 3 — Ь1 — размеры надмолекулярной организации; 4 — краевой угол смачивания 0; 5 — высота пластического слоя У
Таблица 1
Типы тектонических структур углей
Тип угля
I II III IV V
Ненарушенный Мелкокусковатый Разлинзованный Землисто- зернистый Землистый
Характеристика угля в пласте Характеризуется заметно выраженной слоистостью. Разламывается на куски, ограниченные слоистостью и трещинами Слоистость и трещиноватость затушеваны. Слабоустойчив к механическим воздействиям Слоистость и трещиноватость затушеваны, слагается из отдельных линз. При механическом воздействии на уголь линзы распадаются на более мелкие линзочки, иногда при раздавливании превращаются в угольную мелочь Слоистость и трещиноватость затушеваны. Состоит из мелких зерен угля, между которыми располагается землистый уголь (угольная мука). В массиве слабо устойчив к механическим воздействиям Состоит из тонко перетертого угля (угольная мука). В массиве неустойчив, осыпается интенсивно
Тектоническая структура Слоистая слаботрещиноватая Брекчиевидная Линзовидная (мелколинзовидная) Землисто- зернистая Землистая
Степень нарушенности Ненарушенное строение Слабо нарушенное строение Сильно нарушенное строение Раздробленные Раздробленные
е -& и л ш н а в лг у а к и т с и р е тк а ар Х Трещины Редкие трещины эндогенного происхождения Частые эндогенные и экзогенные трещины Эндогенные затушеваны экзогенными, иногда сдвинуты по плоскостям эндогенных Эндогенных не видно, экзогенные образуют сетку Сплошная сетка экзогенных, частично сливающихся с трещинами позднего происхождения
Среднее расстояние между трещинами, мм 4.0 1.9 1.20 0.88 0.56
Среднее зияние трещин, мм 0.027 0.015 0.010 0.005 0.004
Прочность угля Крепкие Относительно крепкие Рыхлые, легко растираются Слабые, легко растираются до пыли Напоминают IV тип, иногда несколько крепче
Изменение мощности пачек в пределах забоя Не меняется То же Может меняться Меняется Чаще всего залегают в виде линз
ваться из элементов мезоструктуры, которыми будут выступать эти микрокомпоненты. Их процентное содержание, наличие пор и трещин мезоскопического масштаба (сравнимых по размерам с характерными размерами структурных микрокомпонентов) и определят механическое поведение мезообъема угля. Представительный мезообъем подобного состава, в свою очередь, определит механические макроскопические свойства угля заданного состава.
Предложены детальные классификации микролито-типов углей, выделяющие до 35 литотипов и их промежуточных форм [26]. Разработаны государственные стандарты [25], которые регламентируют определение петрографического состава каменных углей по микрокомпонентам. В соответствии со стандартом [25] все
органические и минеральные микрокомпоненты объединяются в семь групп, которые представлены в таблице 2, а физико-механические характеристики микрокомпонентов — в таблице 3.
Микрокомпоненты из прослоек толщиной не менее
50 мкм также выделяются как микролитотипы [27]. Их номенклатура рекомендована Международным комитетом по петрологии углей (табл. 4). В России выполнены только отдельные исследования методического характера, хотя выделение микролитотипов имеет большое значение для оценки технологических свойств углей. Вторая колонка в таблице 4 позволяет оценить прочностные параметры этих микролитотипов.
Ранее было сказано, что исследования параметров процессов десорбции и сорбции позволили оценить раз-
Таблица 2
Микролитотипы по ГОСТ 9414-74 [25]
№ Литотип Характеристика
1 Группа витринита Наиболее распространена. Средняя стадия углефикации ^0 от 0.64 до 1.85). При нагревании пластичен. В группу входят бесструктурный коллинит и теллинит. В структурном витрините ячейки часто состоят из кол-линита, а стенки ячеек из теллинита. Содержит множество микротрещин, хрупок. Раскалывается на мелкие призмы и кубики вплоть до тонкой пыли. В зависимости от степени углефикации плотность изменяется от 1.27 до 1.86 г/см3. Минимальная плотность установлена при 87 % содержании углерода.
2 Группа семивитринита По физическим свойствам занимает промежуточное состояние между витринитом и фюзинитом (ближе к витриниту). Микрокомпоненты — бесструктурный семиколлинит и семителлинит (характеризуется наличием клеточной структуры).
3 Группа фюзинита Обладает высокой абразивной твердостью и микротвердостью. Микрорельеф резко выражен, клеточное пространство либо пустое, реже заполнено минералами. Плотность около 1.5 г/см3. В ряду углефикации физические и химические свойства практически не меняются.
4 Группа лейптинита Микротвердость компонентов группы лейптинита меньше, чем у витринита и фюзинита. Микрокомпоненты (споринит, кутинит, резинит) состоят из спор кутина, суберина, воска, жиров и масел растительного происхождения. Форма и размеры микрокомпонентов этой группы варьируются в зависимости от происхождения. Споринит является легчайшим компонентом угля (плотность от 1.18 до 1.28 г/см3), обладает высокой абразивной прочностью. Встречается в больших количествах в палеозойских углях, основной компонент лейптинита. Микрокомпонент кутинит сходен со споринитом, но не идентичен ему, встречается в виде сдвоенных полос, одна из которых более ровная, а вторая волнистая или зубчатая. Физические свойства и прочность кутинита близки к свойствам споринита. Резинит состоит из разнообразных смоляных включений в виде структурных элементов (телец) различной формы и размеров (зерен, овалов, палочек). Плотность от 1 до 1.2 г/см3, абразивная твердость близка к абразивной твердости витринита.
5 Группа альгинита Включает компоненты, слагающие сапропелиты (кальгинит и тальгинит). Кальгинит является основной бесструктурной сапропелевой массой, цементирующей в угле форменные элементы и минеральные вещества. Тальгинит представлен колониями водорослей, имеющих определенную форму и размер.
6 Группа микстинита Тонкая смесь компонентов группы витринита с минеральными (в основном глинистыми) примесями или с микринитом с размером частиц до 2 мкм. Входит как микрокомпонент.
7 Минеральные примеси Представлены глинистым материалом, сульфидами, кальцитом, кварцем, прочими минералами.
Таблица 3
Физико-механические характеристики углей и его составляющих
Физико-механические характеристики Уголь Витринит Семивитринит Фюзинит Лейптинит Минеральные примеси
Петрографический состав, % 100 80 5 12 1 2
Микротвердость, МПа 200 300 350 1 800 200 -
Размеры, мм - 1 0.8 0.4 0.1 0.1
Удельный вес, г/см3 1.3-1.6 1.25-1.86 1.3 1.4-1.5 1.7 2.5
Пористость, % 15 6-10
Предел прочности при сжатии, МПа 15 23 28 60-135 15 60-190
Предел прочности при растяжении, МПа 1.5 2.3 2.8 6-13.5 1.5 6-13
Предел прочности при срезе, МПа 2.5
Модуль Юнга Е, ГПа 13 20 23 115 13 69
Модуль сдвига |Л, ГПа 5 7.14 7.93 39.7 4.64 29.74
Коэффициент Пуассона V 0.3 0.4 0.45-0.49 0.45-0.49 0.4 0.16
Коэффициент объемного сжатия К, ГПа 10.83 33.33 76.67 383.3 21.67 33.82
Микролитотипы Таблица 4
Микролитотип Главные группы составляющих микрокомпонентов (мацералов) Число основных групп микрокомпонентов
Витрит Витринит Мономацерал
Лейптит Экзинит или лейптинит Мономацерал
Фюзит Инертинит (исключая микронит) Мономацерал
Кларит Витринит, экзинит Бимацерал
Дюрит Инертинит, экзинит Бимацерал
Витринертит Витринит, инертинит Бимацерал
Дюрокларит Витринит, экзинит, инертинит Тримацерал
Клародюрит Инертинит, экзинит, витринит Тримацерал
меры суперсорбционных и фильтрационно-сорбционных частиц. Высокая природная метаноносность угля (до 100 м3/т) обеспечивается как изменениями микроструктуры угля под внешними воздействиями (имеются ввиду перестройки порового пространства), так и высокой исходной пористостью углей. Эта система пор имеет иерархическую организацию. Выделяют две системы пор с диаметрами d1 ~ 2.25 нм и d2 = 1.75 нм. Общее количество микропор (^) в 1 грамме угля оценивается ^ = 1-4 • 1018 (1/г) при общей площади пор
51 = 20-80 м2 в зависимости от типа угля и сорбата.
Для нас важно, что эти поры заполняют уголь не равномерно, а образуют объемные структуры [7, 28], состоящие из большого числа микропор, и формируют кластер, который принято называть сорбционной частицей, причем «фильтрационное поровое пространство разбивает частицу угля на некоторые отдельности, которые частично или полностью окружены фильтрационными каналами. Такие отдельности можно рассматривать как самостоятельные элементы макроструктуры угля» [7, 28]. В нашей терминологии подобные первичные фильтрационно-сорбционные частицы — минимальные мезофрагменты, которые слагают элементы мезоструктуры и при разрушении образуют тончайшую пыль.
В свою очередь, в угле существует система переходных каналов ^ п = 1-10 мкм), что позволяет выделить фильтрационно-сорбционные частицы второго порядка, окруженные этими каналами.
Именно эти переходные каналы (в сечении для простоты они брались как окружности) и вводились явно в расчеты нагружаемых мезообъемов. Их распределение в угольном веществе определяет размеры фракций пылевых частиц, которые лежат в пределах 2-100 мкм, в зависимости от строения конкретного угля (процент-
ного содержания микролитотипов, концентрации и размеров переходных пор).
Следующие уровни порового пространства — макроканалы диаметром dm = 10-1000 мкм и микротрещины — уже элементы макроструктуры. Некоторые поры размерами 10-50 мкм необходимо принимать во внимание на мезоуровне, когда их концентрация достаточно велика. Это и было сделано в расчетах.
Считается, что размер фильтрационно-сорбционных частиц второго порядка или суперсорбционных частиц, меньше 200 мкм, что устанавливается по изменениям объема сорбированного газа (метана) в зависимости от размеров фракций. Так как характерные размеры фильтрационно-сорбционных частиц второго порядка составляют 10-100 мкм, то они не генерировались упорядоченно в мезообъеме, а так же как и поры переходных каналов, задавались случайным образом. Именно случайное распределение мезопор двух иерархий и определило специфическое распределение пыли по фракциям в диапазоне от 2-5 до 100 мкм. Упорядоченность пор в угольном веществе может существенно изменить эти распределения. Таким образом была составлена карта мезообъема угля заданного состава, как с учетом пор мезоскопического масштаба, так и без учета (рис. 4). Прочностные характеристики структурных элементов мезообъема угля приведены в таблице 3.
5. Математическая постановка задачи
Задача упруго-вязкопластической деформации и разрушения угля на мезоуровне решается в квазистати-ческой и динамической постановках задач механики деформируемого твердого тела. Для моделирования механического поведения мезообъема использованы вариационно-разностный метод расчета напряженно-деформированного состояния при квазистатических нагрузках в двумерной постановке и конечно-разностный метод решения этих задач в динамической двумерной постановке. Эти методы и разработанные компьютерные программы позволяют решать перечисленные задачи с учетом геометрической и физической нелинейности моделируемых процессов [11].
Вариационно-разностный метод расчета в квазиста-тической постановке основан на вариационных уравнениях механики в форме Лагранжа. Для численного моделирования пластической деформации материала используется инкрементальная теория пластичности. Основные положения этого подхода вытекают из представления процесса деформирования в виде последовательности равновесных состояний
й0,..., й(и), Й(п+1),....
Здесь й(и) — некоторое актуальное состояние равновесия. Уравнения инкрементальной теории строятся в предположении, что состояние й(и+1) является беско-
Рис. 4. Карта мезообъема угля заданного состава с учетом пор мезоскопического масштаба и относительно крупных пустот (а) и без учета пор (б)
нечно близким к состоянию й(п) и определяющие уравнения могут быть линеаризованы относительно приращений переменных состояния в окрестности конфигурации й(п).
Вариационно-разностная схема решения квазиста-тической задачи упруго-вязкопластического течения мезообъема неоднородного материала строится на основе вариационного уравнения Лагранжа:
ЦУ (аЕ + Д*ау )5(Д*е,. )<1У( п) +
V
+ !Я(а! +ДЧ )5(Д<4' )dV(п) -^ ^ _ (1)
-Ц](р +Др)8(Дм')dV(п) -
V
-Л (% +ДД. )8( Дм' ^(п) = 0,
Sа
где р, Др, , ДR' — заданные объемные и поверх-
ностные силы и их приращения на (п + 1)-ом шаге нагружения; Дм', 8(Дм') — приращения компонент вектора перемещений и их вариации; Да! + Д*ау — модифицированный тензор напряжений Кирхгофа. На (п + 1)-ом шаге за исходное состояние принимается состояние й(п). Расчет ведется в переменных Лагранжа
X!. Верхний индекс (п) в уравнении (1) указывает на то, что координаты на (п + 1)-ом шаге нагружения связываются с равновесным состоянием, достигнутым системой на предыдущем шаге. Граничные условия в напряжениях учитываются в уравнении (1) при вычислении последнего интеграла, а граничные условия в перемещениях — при вычислении вариаций перемещений на соответствующей части боковой поверхности.
Неотъемлемой чертой использованного в данной работе подхода является применение инкрементальной теории. Это означает, что каковы бы ни были определяющие соотношения среды, предполагается, что они могут быть линеаризованы в окрестности актуального состояния равновесия и записаны в виде:
зк >к >к _
Д а у = Сук1 Д гк1 -ву ДТ, (2)
где ДТ — изменение температуры на очередном шаге по времени или параметру нагрузки (при переходе из текущего состояния равновесия й(п) к новому состоянию равновесия й(п+1)). В области упругих деформаций тензор С*-к1 = сТм совпадает с тензором изотермических упругих постоянных анизотропного тела, а соотношения (2) представляют собой уравнения Дюамеля-Неймана. В области пластических или вязкоупругих деформаций тензор касательных модулей С уШ зависит
Рис. 5. Конечно-разностная сетка в исходной конфигурации для расчета в декартовой (а) и криволинейной (б) системах координат
также от вида функций пластичности, релаксации и ползучести. Тензор температурных напряжений в У зависит от коэффициентов термического расширения, касательных модулей СуМ и температуры Т. В тех случаях, когда главные оси ортотропии материала не совпадают с осями лабораторной системы координат, используются формулы преобразования коэффициентов при повороте координатных осей. Расчетные схемы задач пластичности были модифицированы для моделирования поведения вязкоупругих материалов.
Конечно-разностный аналог вариационного уравнения (1) строится на основе аппроксимации пространственных производных от перемещений по формуле вида:
grad(T)(п+1)1 =
= Т(п+1) d, у I у = ^
1р (Х1, X 2, Х3 )eДV
Л Т(п+1)dS
ШdV
(3)
где Д V, Д£ — объем и площадь ячейки конечно-разностной сетки, построенной в расчетной области (рис. 5, 6); (п + 1) — номер шага по времени; под Т(п+1) подразумевается одна из компонент вектора перемещений.
При построении конечно-разностных уравнений основной элемент разностной сетки — шестигранный прямоугольный параллелепипед — рассматривался как составной элемент, который может быть двояким образом собран из пяти тетраэдров (рис. 6). Такое разбиение может оказаться полезным для повышения точности описания границ раздела в неоднородных материалах.
На каждом шаге по деформациям использовались линеаризованные определяющие уравнения модели упруго-вязкопластической среды. Материальная точка сплошной среды схематично может быть представлена в виде последовательного и параллельного соединения пластического и вязкоупругого блоков, как показано на рис. 7. Вязкоупругий блок моделирует медленные процессы релаксации напряжений и развитие деформаций
ДV
а б в
Рис. 6. «Красное» (а) и «черное» (б) разбиение элементарного двенадцатигранника, а также схема вычисления площади граней и объема тетраэдра (в)
Рис. 7. Схема модели вязкоупругой (а) и упругопластической среды при последовательном (б) и параллельном (в) соединении элементов
ползучести. Пластический блок моделирует пластические деформации, упрочнение материала и накопление микроповреждений в материальной точке сплошной среды. В зависимости от схемы соединения принимаются допущения об аддитивности деформаций и равенстве напряжений в элементах или об аддитивности напряжений и равенстве деформаций:
Де у = + Де! + ^
= Дае‘ = = Да
Да у — Да е1 + аа5г + ДаР1,
Де у = Де е = Де су = Де Р1.
(4)
(5)
Для вязкоупругих составляющих полной деформации в данной работе использованы интегральные определяющие уравнения линейной вязкоупругости:
ау () - В-уЫ ()е5Г (0) +
г
■ I К'уЫ (г -т)
Эе сг( т)
ат,
дт
е СГ (с) - J т (г )а а (0) +
+ / Jуa (с -т) Эа-дТ( Т) Дт,
(6)
(7)
где е кГ (С) — линеаризованный тензор деформаций ползучести.
Тензор функций релаксации для изотропного тела имеет вид:
Вук1 (С) = Т [2(г) С1(г) ]8 у 8 к1 +
1 (г ) J иуик1
+ — &1^ ) [8 [ 8 П + 8 .1 8 ук ]
(8)
Для функции релаксации напряжений сдвига С1(С) и гидростатического напряжения С2 (г) были использованы выражения
Са (С) = Са
а -1, 2,
к—1
где / — время; С1к, — модули релаксации напряже-
ний сдвига и гидростатического напряжения соответственно; ССк — времена релаксации.
Определяющие уравнения в настоящей работе построены на основе предложенной в работах А. Драгона и З. Мруза [29] модели упруго-хрупкопластических материалов, для которых характерны эффекты деформационного упрочнения, накопления микро- или мезопо-вреждений, приводящих к деградации материала и появлению нисходящей ветви «а-е»-диаграммы. Модель была модифицирована для более полного учета различий в поведении материалов при сжатии и растяжении, а также зависимости свойств от температуры. Термоупругопластические деформации определяются ассоциированным законом пластического течения, выражениями для функции пластичности f (а у, в, Т) и критерием текучести вида:
/ 'Л ^ ✓ Г» Л
Де Р — — Пу
У н У
дГ (ага, в, Т) да к1
Да к
/(ау, в, Т) —
— у у -2рСРХ/® -акк)F(у, Т) — 0,
(10)
(11)
где р(в) — Р0 - signаккРх + [(1- signакк8) (2/3) 11С /а] в --в2; в — аеу —ер[/е°; Н — функция упрочнения;
^(ага, в, Тудау пу — ,, = — нор-
мированный тензор, характеризующий градиент функции пластичности в пространстве напряжений; я у — — а у-8у а кк/ 3 — девиатор тензора напряжений; ерк — объемная пластическая деформация; р0, р1, 8, /°, а — параметры модели, которые описывают пластические свойства материала.
Параметры модели определялись в тестовых расчетах по справочным данным для начальных пределов текучести при одноосном растяжении а02 и сжатии а 0.2С, временного сопротивления течению при растяжении ав и сжатии аВС. Значение параметра пластического разрыхления е° — (р° -р0)/р0 (р0 — плотность пластически недеформированного материала, р — плотность материала при достижении временного сопротивления течению) оценивалось по имеющимся в литературе данным об изменении плотности материалов при пластическом деформировании. С помощью функции ¥ (у, Т) в условии (11) учитывается эмпирическая зависимость пределов текучести от температуры.
-гг
Из уравнений (11) при частных случаях нагружения материала в условиях одноосного растяжения-сжатия для расчета параметров модели следуют формулы вида:
I —л1(а в + а вс -а „2 - а,
Р0 —
_2 , _2 а0.2 + а0.2
^0.2 '
-)0.2С
)/(2е Л),
6/Г
8 —
а —
_2 _2 , _2 _2
аВ„ аВ + а0.2 а0.2С
, _2 3 Т2
ав + авс а0.2 а0.2С
8],
(12)
3е
¥ (У, Т) — 2 у /2(Т) + /ввс (Т) -
- signаkk[/Вс(Т) - /В (Т)]} +
+ 2(1 -уК^Т’) + /00.2с (Т) -
- signаkk [/022с (Т) - /022(Т)]},
где /в(Т)> /вс(Т)> /0.2(Т)> ./0.2с(Т) — функции, показывающие, во сколько раз уменьшается соответствующий предел текучести при температуре Т по сравнению с его значением при температуре 293.15 К.
Эта модель пластичности использована как элемент комбинированной модели упруго-вязкопластической среды. Формулы (4)-(11) после линеаризации в окрестности актуального состояния равновесия в момент времени приводят к уравнениям вида:
Даpq (ги+1) —
— ~ (13)
— Ciуpq Деу +1) + Vpq +1),
где тензор Сум зависит от вязкоупругих и пластических свойств материала, а функции ~у (tN+г) определяются предысторией вязкоупругих деформаций.
При решении задачи в динамической постановке поведение материала моделировалось в предположении плоского деформированного состояния. При расчетах использовалась основная система уравнений механики сплошной среды при отсутствии внешних притоков тепла и массовых сил:
- уравнение неразрывности
V/ V - мм — 0,
уравнения движения
рм, — а у, у,
(14)
(15)
- соотношения для тензора скоростей полных деформаций
е у — 1 у + м у). (16)
Здесь а у — -Р8у + «у — компоненты тензора напряжений; V — р0/ р — удельный относительный объем материала; р0, р — начальное и текущее значение плотности материала; Р — гидростатическое давление, «у — компоненты тензора девиатора напряжений; 8у — символ Кронеккера; и, — компоненты вектора перемещений; точка сверху означает производную по времени, запятая в нижнем индексе — частную производную по соответствующей координате.
Для замыкания системы уравнений принималась модель баротропной среды с условием Мизеса для перехода в пластическое состояние
1
Ss — 2ц
• 1 Т&х
е,у 3 V у
^&у + lS у — 2Ц
(. 1 к8^
еу--------8у-
у 3 V у
V
где I — скалярный множитель, обеспечивающий приведение напряжений на круг текучести
1—72 «у
• 1 Т&х
е,-,- ----------8
у 3 V ■
Л
(18)
Здесь 7 — локальный предел текучести материала.
Модель позволяет принимать во внимание упрочнение материала, т.е. рассматривать 7 — 7 (ер).
Так как расчетный мезообъем находится в окружении такой же неоднородной среды, то по своим границам он испытывает силовые воздействия, которые изменяются во времени и в пространстве. Точное задание таких граничных условий в явном виде представляет сложную задачу. В представленном случае расчетов можно обойтись более простым приближенным заданием граничных условий, имитирующих разные условия нагружения (сжатие, сдвиг и т.д.).
Выписанная система уравнений вместе с начальными и граничными условиями определяют краевую задачу, которая решалась численным методом, аналогичным методу Уилкинса [30].
6. Результаты расчетов деформации и разрушения мезообъемов угля
В этом разделе рассмотрены следующие три задачи: 1) построение определяющих уравнений для составляющих уголь ингредиентов; 2) решение задачи об интегральной реакции мезообъема на нагружение с целью прогнозирования механических свойств угля по составу и известным характеристикам ингредиентов; 3) решение задачи о деформации, разрушении и образовании пылевых частиц угля.
а0.2 - а0.2
Рис. 8. Диаграммы нагружения структурных компонентов угля: 1 — лейптинит; 2 — витринит; 3 — минеральные примеси; 4 — семи-витринит; 5 — фюзинит
6.1. Построение кривых механического отклика на нагружение основных ингредиентов угля
Были построены кривые течения для лейптинита, витринита, семивитринита, фюзинита и достаточно прочных хрупких минеральных примесей.
Для решения поставленной задачи в рамках модели, описанной в разделе 5, по известным механическим характеристикам характерных литотипов угля (таблицы 2,
3) были построены определяющие уравнения для компонентов угля. Упруго-вязкопластическая модель ингредиентов угля учитывает накопление микроповреждений. Вместе с вязкопластической реакцией наблюдаются также эффекты разбухания материала за счет раскрытия микротрещин и деградация материала из-за нарастающей с ростом напряжений поврежденности, что и дает интегральную неупругую реакцию компонентов на нагружение.
Эти диаграммы показаны на рис. 8 в координатах интенсивность деформаций (е) — интенсивность напряжений (а). Именно эти определяющие уравнения использовались в расчетах на нагружение мезообъемов угля (рис. 4) при решении задачи в квазистатической постановке.
При решении задачи в динамической постановке использовалась более простая модель среды. В качестве критерия перехода от упругого поведения среды к вязкопластическому использовалось условие текучести Ми-зеса с заданными значениями предельных напряжений при растяжении-сжатии (табл. 3) и предельными деформациями разрушения в соответствии с вязкопластическими свойствами ингредиентов (табл. 2). Эти предельные деформации варьировались в диапазоне е* = = 0.1 -1.3 % (е* ~ 0.2/а*, где а* — предел прочности соответствующего компонента в МПа), т. е. более прочные компоненты проявляют более хрупкое поведение.
6.2. Расчет механического поведения под нагрузкой представительного мезообъема угля
Представленные на рис. 4 мезообъемы угля содержат недостаточное количество структурных элементов, чтобы считаться представительными. Рассматривая их как элементарные гетерогенные структуры путем их трансляций и поворотов можно сформировать представительные мезообъемы с выраженной либо затушеванной слоистостью.
Интегральный отклик мезообъема в целом позволил получить диаграмму нагружения угля данного состава (рис. 9). На рис. 9, б показаны диаграммы сжатия вдоль слоев, сдвига и диаграмма сжатия представительного мезообъема. Так как представительный мезообъем (рис. 9, а) был сформирован трансляциями и поворотами исходного таким образом, чтобы чередовались поперечные и продольные слои исходного мезообъема, то его диаграмма должна занимать промежуточное положение, что и видно из сравнения рис. 8 и 9. Наклон кривой на этих диаграммах соответствует двум модулям сдвига (2 ц), приблизительно совпадает для всех кривых нагружения и его оценка дает значение 6.7± 0.3 ГПа. Табличное значение этой величины для угля — 5 ГПа
а, МПа - ш
30 - у
20 - /
10
0 1 . 1 . 1 . 1.1. 1 ^
0.00 0.01 0.02 8
Рис. 9. Диаграммы нагружения образца угля при сжатии вдоль слоев (сплошная кривая), сдвиге вдоль слоев (штриховая кривая), диаграмма сжатия «представительного» мезообъема (пунктирная кривая)
0.00 0.00 0.02 0.04 X, см
в
Рис. 10. Двухосное сжатие в условиях плоского напряженного состояния образца угля размерами 626x574 мкм: параметр накопления повреждений (а), интенсивность деформаций (б), интенсивность напряжений (в)
(табл. 3). Учитывая разброс экспериментальных данных по измерениям упругих модулей углей, полученное совпадение можно считать удовлетворительным.
6.3. Разрушение угля на мезоуровне и образование пылевых частиц
Характерные мезообъемы угля для двух случаев с порами мезоскопического масштаба и без пор (рис. 4)
с заданным процентным содержанием компонентов были нагружены разными способами: 1) сжатием вдоль и поперек слоев; 2) сдвигом вдоль и поперек слоев; 3) комбинированным нагружением (стесненное сжатие по одной оси и двухосное сжатие); 4) срезом поперек слоев, вплоть до разрушения и образования пылевых частиц.
Обсудим результаты, полученные по квазистатичес-кой модели. Эти результаты интересны прежде всего
Рис. 11. Сдвиг поперек слоев (вдоль оси X, грани 7 = 0 и 7 = 626 мкм свободны от нормальных напряжений, плоское напряженное состояние) образца угля размерами 626x574 мкм: параметр накопления повреждений (а), интенсивность деформаций (б), интенсивность напряжений (в)
тем, что в них учтено нелинейное упругопластическое поведение среды и накопление повреждений.
Большой интерес представляет нагружение беспо-ристых образцов, т. к. в процессе их нагружения в результате накопления повреждений происходит локализация повреждений в областях концентраторов напряжений. В результате формируется пористость деформационного происхождения. Например, на рис. 10, а и 11, а
ясно видны пики поврежденности, которые можно трактовать как формирующиеся несплошности.
На рис. 10 показано распределение в беспористом (в расчете учитывались только относительно крупные пустоты) образце поврежденности, интенсивности деформаций и интенсивности напряжений (для двухосного сжатия, когда средняя по объему интенсивность деформаций достигла 0.3 %). Для этого варианта нагруже-
а, МПа
100.00
Рис. 12. Одноосное сжатие вдоль оси 7 (на гранях X = 0 и X = 626 мкм условия скольжения вдоль жесткой стенки, плоское напряженное состояние) образца угля размерами 626x574 мкм: параметр накопления повреждений (а), интенсивность деформаций (б), интенсивность напряжений (в)
ния характерно образование довольно значительного числа локальных областей накопления повреждений вблизи границ раздела структурных элементов и пустот. Этот результат расчета можно рассматривать как этап моделирования зарождения начальной поврежденности
(нечто вроде зарождения пор в изначально «совершенном», неповрежденном образце), которая при последующих циклах нагружения приведет к тому, что мы будем иметь дело с совершенно другим, изначально поврежденным, пористым образцом.
а, МПа 100.00
Рис. 13. Сдвиг вдоль слоев (вдоль оси 7, грани X = 0 и X = 626 мкм свободны от нормальных напряжений, плоское напряженное состояние) образца угля размерами 626x574 мкм: параметр накопления повреждений (а), интенсивность деформаций (б), интенсивность напряжений (в)
При сдвиге поперек слоев (рис. 11, средняя деформация сдвига 0.3 %) картина распределения качественно подобна случаю двухосного сжатия: также формируется система точечных очагов накопления повреждений.
При сжатии образца вдоль слоев (рис. 12) картина деформирования и разрушения резко меняется. В образце развивается несколько магистральных трещин. Когда средняя по объему интенсивность деформаций достигает 4 %, образец оказывается разделенным на несколь-
ко «крупных» частей. Они хорошо видны как на карте изолиний для параметра поврежденности, так и на карте изолиний интенсивности деформаций. Этот расчет, в частности, показывает, что вполне оправдано использование в качестве критерия разрушения условия достижения предельных деформаций сдвига, как это и было принято в цикле динамических расчетов.
При сдвиге образца вдоль слоев (рис. 13, средняя деформация сдвига 1.2 %) обширная область накопле-
Рис. 14. Срез поперек слоев (вдоль оси X, плоское напряженное состояние) образца угля размерами 626x574 мкм: параметр накопления повреждений (а), интенсивность деформаций (б), интенсивность напряжений (в)
ния повреждений формируется в относительно слабом слое витринита, изрезанного жесткими тонкими прослойками минеральных примесей.
Особое место занимает нагружение образца срезом. На рис. 14 приведены результаты расчета при срезе поперек слоев. Граничные условия моделировали нагружение, которое создается «лезвиями ножниц»: задавалось движение границы X = 626 мкм, 7 < 280 мкм в отрицательном и движение границы X = 0 мкм, 7 >
> 294 мкм в положительном направлении оси О7. Этот случай характерен очень сильной концентрацией по-врежденности на границе нагруженных и ненагружен-ных частей поверхности, тогда как основной объем материала на начальных этапах нагружения деформируется относительно слабо.
Решение задачи в динамической постановке привело практически к тем же результатам. При одинаковых условиях нагружения наблюдается не только качествен-
///////
Рис. 15. Разрушение бесиористого образца при разных видах нагру- Рис. 16. Разрушение пористого образца при разных видах нагруже-
жения. Схема нагружения (а), области разрушения на фоне исходной ния. Схема нагружения (а), области разрушения на фоне исходной
структуры (б) структуры (б)
Рис. 17. Образование частиц разных размеров при разрушении пористого мезообъема в результате сжатия вдоль слоев (а), сжатия поперек слоев (б), сдвига вдоль слоев (в)
ное, но и количественное совпадение картин деформации и разрушения.
Для беспористого образца схемы нагружения и области разрушенного материала показаны на рис. 15. Наблюдается более выраженная локализация деформации и разрушения, а также больший объем полностью разрушенного материала с размерами частиц менее 2 мкм (черные области на рисунке 15).
Учет исходной пористости образца приводит к качественным отличиям в результатах моделирования (рис. 16). Полностью разрушенного материала стано-
вится значительно меньше. Ярко выражено формирование в результате разрушения фрагментов размерами 2-100 мкм, что дает возможность оценить распределение образующихся пылевых частиц по размерам в указанном интервале.
Картины распределений частиц по размерам для сжатия вдоль слоев, сжатия поперек слоев, сдвига вдоль слоев приведены на рис. 17.
Подсчет частиц разных размеров осуществлялся следующим образом. Оконтуренные изолиниями по-врежденности частицы накрывались кружками соот-
Рис. 18. Распределение пылевых частиц по размерам (слева) и их относительная доля (справа) при разрушении в условиях сжатия поперек слоев (а), сжатия вдоль слоев (б) и сдвига вдоль слоев (в)
ветствующих размеров (диаметром 75, 50, 40, 30, 20, Функции распределения частиц по размерам для
10 микрометров). Полученные в расчетах области пол- этих вариантов расчетов приведены на рис. 18. ностью разрушенного материала считались заполненными частицами менее 2 мкм.
7. Заключительные замечания
Таким образом, в работе по качественным и количественным характеристикам основных ингредиентов (структурных элементов) построены модели механического поведения углей. В этих моделях учтены упругие и вязкопластические свойства компонентов, а также накопление повреждений и деградация под нагрузкой механических свойств угля.
Было показано, что по определенным механическим характеристикам ингредиентов можно прогнозировать деформацию и разрушение угля заданного состава при различных условиях нагружения. Таким образом, построенные модели имеют прогностическую ценность.
Для образца угля заданного состава рассчитано распределение пылевых частиц по размерам в диапазоне 2-100 мкм. Эти распределения качественно совпадают с экспериментальными данными [28].
Для реальных углей поровое пространство имеет упорядоченную, иерархически организованную структуру распределения пор, формируя несколько уровней сорбционных частиц. Подобная исходная упорядоченность поровых каналов существенно влияет на вид распределения пылевых частиц. В выполненных расчетах поры распределялись случайным образом. Именно такой стохастической организации порового пространства и соответствуют расчетные функции распределения пылевых частиц по размерам.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 00-15-96174).
Литература
1. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов: в 2-х т. / Под. ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука, 1995. - Т. 1. - 298 с., Т. 2. - 320 с.
2. Панин В.Е. Основы физической мезомеханики // Физ. мезомех. -
1998. - Т. 1. - № 1. - С. 5-22.
3. Панин В.Е., Лихачев В.А., Гриняев Ю.В. Структурные уровни деформации твердых тел. - Новосибирск: Наука, 1985. - 229 с.
4. Панин В.Е. Синергетические принципы физической мезомеханики
// Физ. мезомех. - 2000. - Т. 3. - № 6. - С. 5-36.
5. Макаров П.В. Моделирование процессов деформации и разрушения на мезоуровне // Известия АН. Механика твердого тела. -
1999.- № 5. - С. 109-131.
6. Журков С.Н., Куксенко В.С., ПетровВ.А. Можно ли прогнозировать
разрушение? // Будущее науки. - М.: Знание, 1983. - С. 99-107.
7. Саранчук В.И., Айруни А.Т., Ковалев К.Е. Надмолекулярная организация, структура и свойства угля. - Киев: Наукова думка, 1988. -191 с.
8. Hoydo S. Physics of fracture // Yobo-Jiho. - 1977. - V. 109. - P. 42-47.
9. Моги К. Предсказание землетрясений. - М.: Мир, 1988. - 382 с.
10. Стефанов Ю.П. Численное исследование поведения упругоидеальнопластических тел, содержащих неподвижную и распространяющуюся трещины, под действием квазистатических и динамических растягивающих нагрузок // Физ. мезомех. - 1998. -Т. 1. - №2. - С. 81-93.
11. Черепанов О.И., Смолин И.Ю., Стефанов Ю.П. Комбинированная вязко-упругопластическая модель среды для численного моделирования деформации и разрушения неоднородных материалов // Физ. мезомех. - 1998. - Т. 2. - № 2. - С. 59-72.
12. Cherepanov O.I., Smolin I.Yu., Stefanov Yu.P., Makarov P.V. Investigation of influence of internal structure of heterogeneous materials on plastic flow and fracture // Computational Materials Science. -
1999. - V. 16. - Iss. 1^. - P. 25-31.
13. Balokhonov R.R., Stefanov Yu.P., Makarov P.V, Smolin I.Yu. Deformation and fracture of surface hardened materials on the meso- and macrolevels. Numerical simulation // Theor. and Appl. Frac. Mech. -
2000. - V. 33. - P. 9-15.
14. Стефанов Ю.П., Смолин И.Ю. Численное исследование деформации и образования трещин в плоских образцах с покрытиями // Физ. мезомех. - 2001. - Т. 4. - № 6. - С. 35-43.
15. Еремин Е.В., Лебедев В.В., Цикарев Д.А. Петрографические и физические свойства углей. - М.: Недра, 1980. - 236 с.
16. Касаточкин В.И., Ларина Н.К. Строение и свойства природных углей. - М.: Недра, 1975. - 158 с.
17. Аронов С.Г., Нестеренко Л.Н. Химия твердых горючих ископаемых. - Харьков: Изд-во Харьк. ун-та, 1969. - 371 с.
18. Скляр М.Г. Физико-химические основы спекания углей. - М.: Металлургия, 1984. - 200 с.
19. Spipo C.Z., Kosky PC. Space-filling models for coal. 2. Extension to coals of various ranks // Fuel. - 1982. - 61. - ^. 11. - P. 1080-1084.
20. Джейл Ф.Х. Полимерные монокристаллы. - Л.: Химия, 1968. -551 с.
21. Ван-Кревелен Д.В., ШуерЖ. Наука об угле. - М.: Госгортехиздат, 1960. - 303 с.
22. Patonie H. Entstehunung der stein Kohle und der Kaustobiolithe uber-haupt. - Berlin: Borntrager, 1920. - 212 s.
23. Жемчужников Ю.А. Общая геология ископаемых углей. - М.: Углетехиздаг, 1948. - 491 с.
24. Жемчужников Ю.А., Гинзбург А.И. Основы петрологии углей. -М.: Изд-во АН СССР, 1960. - 400 с.
25. ГОСТ 9414-74. Угли каменные. Метод определения петрографического состава. - М.: Изд-во стандартов, 1976.
26. Петрографические типы углей СССР. - М.: Недра, 1975. - 248 с.
27. Международный толковый словарь по петрологии углей. - М.: Наука, 1965. - 266 с.
28. АйруниА.Т. Прогнозирование и предотвращение газодинамических явлений в угольных шахтах. - М.: Наука, 1987. - 310 с.
29. Драгон А., Мруз 3. Континуальная модель пластически-хрупкого поведения скальных пород и бетона // Механика деформируемых твердых тел. Направления развития. - М.: Мир, 1983. - С. 163188.
30. Уилкинс М.Л. Расчет упругопластических течений // Вычислительные методы в гидродинамике / Под ред. Б. Олдера, С. Ферн-баха, М. Ротенберга. - М.: Мир, 1967. - С. 212-263.
