CC BY
13
24
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 7 (16), 2015 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
После того, как доказана единственность решения задачи 1, существование решения устанавливается методом редукции к интегральному уравнению Фредгольма относительно v0(x) = uy(x, 0), vx(x) = uy(x, 1).
В заключение отметим, что в работе [1] доказана единственность поставленной задачи и существование слабого решения сопряженной задачи для уравнения sign y(y - 1)uxx + Uyy + p(xux + qux) + ru = f.
Литература
1. Кудаева З.В. Об одном аналоге задачи Трикоми для уравнения смешанного типа с разрывными коэффи-
циентами на двух параллельных линиях параболического вырождения // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2010. № 2. С. 19-22.
2. Нахушев А.М. Краевая задача для уравнения y(y-1) u_xx+u_yy=0 // ДАН СССР. - 1966. - Т.166, № 3. С. 536-539.
3. Нахушев А.М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М.: Наука., 2006.
4. Poritsky H. Polegonal Appoximation Method in the Hodograph Plane // Proceeding of symposia in the Appied Mathematics. 1, P. 94-116.
МОДЕЛИРОВАНИЕ АЭРОДИНАМИЧЕСКОГО ШУМА ВОЗДУШНОЙ ПОДУШКИ
Мурзинов Валерий Леонидович
доцент, доктор технических наук, профессор кафедры «Пожарной и промышленной безопасности» Воронежского
государственного архитектурно-строительного университета, г. Воронеж
Мурзинов Павел Валерьевич
кандидат технических наук, заведующий лабораторией «Исследование акустических процессов» Воронежского
государственного архитектурно-строительного университета, г. Воронеж
АННОТАЦИЯ
Воздушные потоки в природе, в технических устройствах, в производственных системах транспортирования на воздушной подушке генерируют аэродинамических шум, который является негативным фактором с позиции экологии. Аэродинамический шум, генерируемый воздушным потоком, возникает благодаря турбулентности этого потока. Моделирование аэродинамического шума можно осуществлять методом преобразования уравнений движения, неразрывности и энтропии для воздушных потоков. Представлены результаты построения модели потенциала скорости малых возмущений турбулентного потока в воздушной подушке. Показано соотношение, связывающее гидродинамические характеристики турбулентного потока с его акустическими характеристиками в воздушной подушке. Получена формула для инженерных расчётов уровня аэродинамического шума, формируемого воздушной подушкой, образованной одиночным щелевым отверстием.
ABSTRACT
Air streams in the nature, in technical devices, in industrial systems of transportation on an air pillow generate aerodynamic noise which is the negative factor from a position of ecology. The aerodynamic noise generated by an air stream, arises due to turbulence of this stream. Modeling of aerodynamic noise can be carried out a method of transformation of the equations of movement, indissolubility and entropy for air streams. Results of construction of model of potential of speed of small indignations of a turbulent stream in an air pillow are submitted. The ratio connecting hydrodynamic characteristics of a turbulent stream with its acoustic characteristics in an air pillow is shown. The formula for engineering calculations of a level of the aerodynamic noise formed by an air pillow, formed is received by a single slot-hole aperture.
Ключевые слова: аэродинамический шум, воздушная подушка, акустические характеристики, потенциал скорости малых возмущений, турбулентность, турбулентная вязкость, гидродинамическое моделирование.
Keywords: aerodynamic noise, air pillow, acoustic characteristics, potential of speed of small indignations, turbulence, turbulent viscosity, hydrodynamic modeling.
На многих производствах одним из интенсивных источников аэродинамического шума, превышающего нормативные значения, являются системы транспортирования на воздушной подушке, предназначенные для межоперационного перемещения изделий. Специфические особенности аэродинамических процессов воздушной подушки в некоторых производствах делают её незаменимой [8, 9, 10, 11]. Однако требования производственной безопасности диктуют необходимость правильного проектирования производственных систем транспортирования на воздушной подушке, обеспечивающих малый уровень шума, не превышающий допустимых значений [14].
В установившемся течении в воздушной подушке с позиции эргодической гипотезы [13, 15] возникают стационарные процессы вихреобразования, порожденные вязкостью потока, что приводит к возникновению аэродинамических звуковых потоков. Физическая картина взаимодействия турбулентного потока со звуковыми вол-
нами в тонком зазоре между двумя параллельными плоскостями многогранна и характеризуется взаимозависимостью различных факторов. К этим факторам можно отнести структуру вихрей, физические и акустические характеристики плоскостей, аэродинамические и термодинамические параметры потока, форму и расположение питающих отверстий (сопел), создающих воздушную подушку. В итоге в результате этого взаимодействия формируется звуковой поток, основная энергетическая составляющая которого поступает через боковые грани воздушной подушки. Как показывает эксперимент и анализ функционирования воздушной подушки, величина уровня звука остается постоянной для стационарных процессов, параметры которых не изменяются во времени. Этими параметрами являются давление в пневмокамере, вес транспортируемых предметов, проходное сечение сопел, температура. При изменении какого-либо параметра режим течения изменяется и, соответственно, изменяются
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 7 (16), 2015 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
25
характеристики акустического поток. Наблюдается корреляционная связь между изменениями параметров воздушной подушки и изменениями акустических показателей звуковых потоков. Для турбулентных потоков важными показателями являются турбулентная вязкость и геометрическая характеристика - «путь перемешивания». Таким образом, используя эти показатели можно на основе аэродинамической модели течения построить модель уровня звука, порождаемого этим течением.
В классической акустике генерацию звука описывают с помощью неоднородного волнового уравнения, правая часть которого определяет источники звука, их распределение в пространстве и структуру. Задачей является получение на основе классических уравнений механики жидкости такого уравнения, которое моделировало бы величину уровня шума аэродинамического происхождения [1, 2, 3]. В монографии [7] Кузнецов В.М. отмечает, что генерация и распространение возмущений в движущейся жидкой среде могут быть описаны с помощью уравнений аэроакустики, которые получены из уравнений движения жидкости. Однако при выводе уравнений аэроакустики используются методы комбинирования отдельными членами уравнения, методы упрощения и приближения. Результатами этих преобразований являются модели и теории, которые могут показаться несколько противоречивыми. Наиболее эффективными являются модели и теории, дающие возможность получения уравнения аэроакустики, дающие практический результат.
Рассмотрим турбулентный поток воздуха, имеющий место в воздушной подушке. Особенностью такого течения является наличие твердых поверхностей, способствующих формированию слоистого течения воздуха -так называемый сдвиговый поток, в котором скорость зависит только от поперечных координат. Кроме того, течение в воздушной подушке обладает свойствами течения в канале и, в некоторой степени, свойствами свободного течения.
Влиянием вязкости и теплопроводности в части распространения звука можно пренебречь, помня, однако, что роль вязкости является весьма существенной в образовании исходного состояния среды, в которой генерируется и распространяется звук.
Для получения уравнений, описывающих генерацию звука в неоднородной движущейся среде, рассмотрим методику, предложенную Блохинцевым Д.И. [4, 5]. Запишем уравнения движения, уравнение неразрывности и уравнение для энтропии сжимаемой жидкости без учета вязкости
dvi dvi 1 dp
—L + vk—L =------—
dt dxk p dxi
dp dp dvk
— + v,-P- + p—- = 0
dt dxk dx,,
k
dS dS
----ь vk —
dt k dxk
= 0
(1)
(2)
(3)
t V
где 1 - время; 1.
V,,
- проекции скорости на оси коор-
динат; P - плотность воздуха; Р - давление; S - энтро-
i = 1,2,3 k = 1,2,3
пия; - индекс; - индекс, по кото-
xi, xk
- значения
рому осуществляется суммирование; декартовой системы координат.
Уравнение состояния в дифференциальной форме
j (dp^
dp +
dp =
dp
\dP J S
ydS j
dS
(4)
где
dp _ 1 dp dt c2 dt C _
скорость звука.
Традиционно, основные характеристики области течения воздуха представляются в виде суммы двух величин: одна величина соответствует среднему значению характеристики, а другая - является пульсационной составляющей. Характеристики скорости, плотности, давления и энтропии запишем в виде
Vi = Uo,+ ui u << U i
p = po + p p<<po
p = Po + P P << Po
S=so + p S << So
(5)
Подставляя значения характеристик из (5) в уравне
po = const
ния (1), (2)
S = comst
, (3) и учитывая, что ’ o и
и получим четыре уравнения для пяти неиз-
u ,p,~,S,U . „
вестных величин, а именно: i г ^ 0i. Система
уравнений не замкнута. Но если, каким-либо образом, определить еще одну величину, то получим замкнутую систему линейных дифференциальных уравнений. Этой величиной может быть oi, которая определяется из решения обычной гидродинамической задачи течения с заданными граничными условиями. При этом предполагается, что полученные скорости потока соответствуют действительным осредненным значениям. К выше представленным уравнениям добавим пятое уравнение
и. = f ).
При слабых колебаниях параметров, представленных в соотношении (5), происходит изоэнтропийное сжатие или расширение газа, поэтому давление и плотность
~ 2~
p = k — p = c p
p.
связаны уравнением
dp _
~dt ~~
1 dp dp
' dt dx-
откуда
1
c2 dx,
c dt k ^ k (6)
и система из пяти уравнений может быть свернута в систему из двух уравнений
01
>
d'Ui du dU„
— + U„„—L + ■ dt
ok
dxk dx
'uk +
1 dp 1 dP0
k
du
po dxi po dxi
U
ok
dUo
dx,.
c2 dt ^o dx
+ U
1
k
ok c 2 dx
-po
dU
ok
dx
1
(7)
(8)
26
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 7 (16), 2015 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
Принимая во внимание малость изменения параметров, входящих в уравнения (7) и (8), введём в рассмотрение потенциал скорости
1 1
Ф(хк>1 ) = —f Pd
Po 0 .
Тогда запишем соотношения для пульсационных значений давления и скорости
P ч дФ ( л_ дФ P(xk , 1 )=P o — Ui х , 1)_'
д
дх
(9)
Используя соотношения (9) уравнения (7) и (8) примут вид
U
д2 Ф dU . дФ 1 дР dU
ч----—----=------- + U "
дх, дх.
к г
1 д 2Ф
с д12
дх, дх, р дх.
к к • o г
д2 Ф U к д2 Ф - с—— + -^к-= —с
дх,
дх,
с дхк д1
дUo
дх,
(10)
(11)
Продифференцируем уравнение (10) по 1 и доум-
U
дх.
ножим на / с , уравнение (11) умножим на к и получим соответственно
U2ok д
{ ^2
с д1
д2 ф
\
Чдхкдх. у
+
Uok дuolд
с дхк д1
дФ
чдхк у
1 3U£L д2 Ф с дхк д12
_с U дФ + Uok dUoid
дхк дхк
с дхк д
дФ
чдхк у
■■—с
CU к CU .
___o&___oi
дхк дхк
(12)
(13)
0
Из уравнения (12) вычтем (13) и получим систему уравнение для потенциала скорости малых возмущений
д2ф ^ 1 1 ^2^ ятт ^2,
^ д
с д1
А дхг у
1 bu.b2ф + с U дФ = с dUok dUo
с дх, д11
дхк дхк
дх, дх.
В уравнении (14) суммирование идет по индексу к
= 1, 2, 3.
Уравнения (14) представляют собой уравнения для потенциала скорости малых возмущений применительно к течению воздуха в объеме. Эти уравнения записаны относительно трех декартовых координат и позволяют определять акустические характеристики объемных воздушных потоков при условии наличия границ,
Рисунок 1. Схематичное изображение взаимного расположения щелевого отверстия и изделия на воздушной подушке. 1 - изделие, 2 - щелевое отверстие,
3 - пневмокамера.
(14)
рассматриваемого течения. В общем виде решение этой системы уравнений представляет собой сложную задачу. Однако учет реальных начальных и граничных условий может существенно упростить эти уравнения.
Рассмотрим частный случай воздушного течения в тонком зазоре между плоскостями. Воздушная подушка в этом случае формируется одиночным щелевым отверстием, расположенным под изделием прямоугольной формы. Их взаимное расположение показано на рис. 1.
Рисунок 2. Расчетная схема для определения гидродинамических характеристик воздушной подушки. 1 - изделие, 2 - щелевое отверстие, 3 - воздушная подушка.
Для построения математической модели, определяющей уровень аэродинамического шума воздушной подушки, формируемой одиночным щелевым отверстием, рассмотрим расчетную схему на рис. 2. Здесь делается допущение о равенстве течения аэродинамических потоков объемной модели (рис. 1) и плоской схемы (рис. 2). Аэродинамическими характеристиками потока воздуха под изделием являются: Р - распределение избыточного давления в воздушной подушке, Па; U - скорость воздушного
потока под изделием, м/с; h - толщина воздушной по-
Руд
душки, м; ^ - удельное или среднее давление под изде-
Р
лием, Па; к - избыточное давление в пневмокамере, Па; G - вес изделия, Н.
На расчетной схеме (рис. 2) представлены основные размеры системы, рабочее отверстие и изделие. Для
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 7 (16), 2015 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
27
течения воздуха под изделием запишем систему уравнений с учетом ряда допущений применяемых, обычно, для плоских течений.
дР д U
дх ^ dz2
d(pU ) = 0
дх
(15)
где Р - плотность воздуха, м3/с; д - динамическая вязкость воздуха, (Нс)/м2.
Результат решения системы (15) представлен в табл. 1 [6].
Систему (14) для расчетной схемы на рис. 2 и с учетом значений табл. 1 запишем в виде уравнения для потенциала скорости малых возмущений
д (и2 д2
dt
дх2
ди д2 Ф
~дк ~дё
- + c
2 ди 0
дz дх2
(16)
удовлетворяющее следующим граничным и
Ф(0, z, t )=Ф(^, z, t ) = 0
начальным условиям:
(х.
Ф(х, z,0) = £ sm(^) sm|^j дФ(х z,0) = 0
я = | ^
где
k ) poL c амплитуда турбулентных пуль-
k
саций в воздушной подушке и тальный коэффициент.
i =
= 0.44 - эксперимен-
Таблица 1
Результат решения уравнения (15)
1. дР=- р. 2 дх уд L 3 U = -1 PyS(h - z )z дL 5 h = 124lvbL _^pоруд i l(p, - Рд) Руд J 1/ /3
2. Р = G уд 5(5 + L) 4 ди = \pjh - 2 z) дz ^L
В уравнениях из табл. 1 присутствуют соотношения, содержащие динамическую вязкость, которая может
быть заменена турбулентной вязкостью Д T, так как порядок динамической и турбулентной вязкости совпадает.
Гипотеза Прандтля [12] о пути перемешивания является наиболее предпочтительной, так как позволяет выполнять расчет характеристик турбулентных течений. Одной из этих характеристик является длина пути
перемешивания 1. Хотя длина пути перемешивания и не является физической постоянной для каждой жидкости в отличие от молекулярных коэффициентов вязкости и теплопроводности, однако, она как показывают опытные данные, не зависит от параметров потока. Длина пути перемешивания в основном является функцией координаты z . Принимая простейшую гипотезу, что вблизи стенки длина пути перемешивания пропорциональна расстоянию
1 = к ■ z
от стенки 1 Л ^ , можно связать, следуя Прандтлю, скорость в турбулентном потоке с турбулентной вязкостью [5]. Тогда
2 _ Рок Руд z 2
LX^ — z
T L
(h - 2 z )
(17)
Решением уравнения (16) с учетом (9), (17) и граничных условий, после соответствующих преобразований будет
Lz =188.4+120-lg| 1 l+10-lg
р353 1
уд
cR 2L4 РоРуд 1 VPo
- v ) J .(18) Уравнение (18) определяет уровень аэродинамического шума создаваемого воздушной подушкой, формируемой одиночным щелевым отверстием
3
Список литературы
1. Исакович М.А. Общая акустика. М.: Наука, 1973. -496 с.
2. Блохинцев Д.И. Акустика неоднородной движущейся среды. М.: Наука. - Главная редакция физико-математической литературы, 1981. - 208 с.
3. Мурзинов В.Л. Снижение шума в устройствах транспортирования на воздушной подушке. Воронеж: Росинформресур, 2008. - 196 с.
4. Мунин А.Г., Кузнецов В. М., Леонтьев Е. А. Аэродинамические источники шума. М.: Машиностроение, 1981. - 248 с.
5. Кузнецов В.М. Идентификация источников шума турбулентной струи // Акустический журнал. -2012, № 4. С. 498 - 508.
6. Мурзинов В.Л. Автоматическая стабилизация толщины воздушной подушки и снижение шумоизлучения в пневмоконвейерах // Автоматизация и современные технологии. - 2008, №10. - С. 3-9.
7. Кузнецов В.М. Основы теории шума турбулентных струй. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. - 240 с.
8. Мурзинов В.Л. Пневмоконвейер со струйным управление скоростью и направлением движения транспортируемых изделий. - В кн.: Подъемнотранспортное оборудование. М.: ЦНИИТЭИтяж-маш,1980, №21. - С.5-8.
9. Мурзинов В.Л. Пневмоконвейер со струйным управлением. - В. кн.: Подъемно-транспортное оборудование. М.: ЦНИИТЭИтяжмаш,1981, №10. -С.8-10.
10. Битюков В.К., Колодежнов В.Н. Кущев Б.И., Мурзинов В.Л. Пневмоконвейеры с автоматической стабилизацией скорости транспортируемых изделий. // Механизация и автоматизация производства. - 1983, №1. - с.26.
11. Битюков В.К., Колодежнов В.Н., Мурзинов В.Л. Самонастраивающиеся пневматические конвейеры на воздушной прослойке. // Механизация и автоматизация производства. - 1981, №11. - С.18-20.
12. Теория турбулентных струй / Г.Н. Абрамович, Т.А. Гиршович, С.Ю. Крашенинников, А.Н. Секундов,
28
Евразийский Союз Ученых (ЕСУ) # 7 (16), 2015 | ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
И.П. Смирнова; Под ред. Г.Н. Абрамовича. М.: Наука, 1984. - 717 с.
13. Ордынцев В.М. Математическое описание объектов автоматизации. М.: Машиностроение, 1965. -360 с.
14. Борьба с шумами на производстве/ под ред. Е.Я. Юдина. М.: Машиностроение, 1985. - 512 с.
15. Мурзинов В.Л. Метод снижения аэродинамического шума в пневмоконвейерах [Текст] // Безопасность труда в промышленности. - 2007, N°3. - С.54-58.
ЧЕТВЕРТОЕ ИЗМЕРЕНИЕ И СВЕРХСВЕТОВЫЕ СКОРОСТИ
Новалов Алексей Артемович
Канд. физ. мат.наук., г.Челябинск
АННОТАЦИЯ
Одной из замечательных идей начала прошлого века была идея четвертого измерения, изложенная Эдвином Эботтом в книге «Флатландия». Способу перехода от низших измерений к высшим посвящена книга Хинтона «Четвертое измерение».
Разеитие идей Эботта и Хинтона привело к методу построения высших измерений, с использованием понятий:
длина, ширина, высота. Для построения пятого измерения в работе предложена величина е (evolution), которая изме-' в пределах
няется
Под влиянием идей четырехмерного пространства-времени создавалась специальная теория относительности. Исследование теории показало, что она содержат физические ошибки, которые приводят к такому явлению как зависимость массы от скорости. Скорость света появилась в уравнениях Максвелла как константа, характеризующая свойства вакуума. Из определения показателя преломления среды не следует ограничения на скорость света. Анализ
данных о зависимости показателя преломления n от плотности среды Р привел к необходимости, по аналогии с «абсолютным нулем» температуры, ввести абсолютный нуль плотности.
Привычный нам мир описывается Стандартной моделью, все составляющие которой к настоящему времени уже открыты. Последним был открыт бозон Хиггса. С открытием бозона Хиггса интерес исследователей перемещается за пределы Стандартной модели, где могут находиться объекты из мира сверхсветовых скоростей.
Ключевые слова: размерность, показатель преломления, плотность среды, evolunion.
Одной из замечательных идей начала прошлого века была идея четвертого измерения. Не часто математические теории опускаются до уровня массовой культуры, а если это происходит, то лишь в качестве каких-либо поверхностных модных течений. Однако эта идея и связанная с ней возможность существования пространств других размерностей захватило воображение масс. Ученые использовали четвертое измерение для описания Вселенной при этом многомерные пространства оказались очень полезным инструментом. Философы размышляли над концепцией пространства, формы и структуры Вселенной, самого существования человека [1, с.157].
Наибольший вклад в популяризацию идей четвертого измерения, внесла книга Эдвина Эботта «Флатландия», опубликованная в 1884 г., которая настолько востребована, что и сейчас она по-прежнему переиздается, несмотря на то что ее можно найти в сети [2]. Способу перехода от низших измерений к высшим посвящена книга Хинтона «Четвертое измерение» [3. с. 270]. Развитие идей Эботта и Хинтона привело к следующему методу построения измерений, который основан на пространственных
геометрических представлениях, с привычными понятиями: длина, ширина, высота.
За начало координат любого измерения принимается точка. Это безразмерный объект, который можно поместить в любом месте пространства. Это значит, что мы всегда место расположения начала координат можем выбрать так, чтобы любой процесс можно было описать в положительных числах. Далее следует первое измерение (Рис 1,а). Это луч, исходящий из начала координат. За единицу измерения принимается отрезок прямой произвольной длины. Математика линейных объектов - обычная арифметика. Второе измерение (Рис 1,б) - это луч, исходящий из начала координат под углом 90о к лучу первого измерения. Единица измерения обычно принимается такой как и в первом измерении (м), но можно задать любую другую единицу. Важно понять, что полученная единица второго измерения - самостоятельна, не производна. За единицу измерения можно взять любую площадь, которая будет эталоном для второго измерения. С помощью второго измерения мы можем описывать плоские фигуры и линии, их взаимное расположение на плоскости.
Рис 1. Единицы измерения. а) - длина 1, б) - площадь s, в) - объем v.
