CC BY
40
2009
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Эксплуатация воздушного транспорта
№ 147
УДК 629.735
МОДЕЛИ УТРАТЫ РАБОТОСПОСОБНОСТИ СИСТЕМ
Н.А. СЕВЕРЦЕВ, А.В. БЕЦКОВ
В статье рассматриваются механизмы и модели утраты работоспособности систем, влияющих на безопасность функционирования на основе аддитивно-марковских моделей расходования ресурса.
Ключевые слова: утрата работоспособности системы, расходование ресурса.
Как известно, строгого понятия "ресурс системы" не имеется, в этой связи вводится интуитивное понятие ресурса и его меры X на основе которых строится теория расходования ресурса. При этом под ресурсом будем условно принимать характеристики функционирования системы. В качестве таких характеристик могут быть выбраны: вектор состояния параметров системы; изменение вектора фазовых координат; вектор возмущений параметров внешней среды; моменты отказов элементов (блоков, агрегатов) системы и др. Моменты отказов будут являться основной причиной потери работоспособности, на которую влияют множество причин и факторов, в связи с чем будем исследовать события, связанные с потерей работоспособности системы по причине отказов, происходящих в ней.
Обозначим моменты отказов системы (изделия) как X при і = 0, п — 1. Если на систему (изделие) производится какое-то воздействие в режиме отказа X в течение времени т т < X , то продолжительность ее функционирования уменьшится и станет равной Х—т при т=0, п — 1. Будем «изменять» моменты отказов в долях Т0 (средняя наработка на отказ).
При этом справедливо условие
мх = 1. (1)
Величину т можно рассматривать как характеристику утраты данной системой (изделием) работоспособности. Зафиксируем произвольное значение 0 < т <ї и определим характеристику утраты эффективности функционирования системы на временном интервале [т ї]. Обозначим ее как ц(т; ї; X) Очевидно, что
0, если т> X ті
Я(т; ї; X,) = і т, если Xi > т, Xi < т (2)
ї — т, если X. >т і
Усредним функцию д(т; ї; X,), зависящую от случайной величины X . Тогда получим Мч(т, ї; X) = 0(т; ї; X) — обобщенную характеристику утраты эффективности работоспособности системы на временном отрезке [т ї] при воздействии на систему (изделие) в режиме X,- Для определения показателя Q(т, ї; X,) необходимо знать функцию распределения
Е,(ї) = Р(% < ї), і = 0, п, п — 1.
На практике, как правило, такая информация неизвестна. Поэтому будем вместо Q(т;t;Xi) выбирать другие характеристики ^тї^,), которые должны быть тесно связаны с Q(т;t;Xi), являясь некоторым оператором, т.е. L(Xi) = AQ(Xi), , = 0,п — 1. Однако не все операторы подходят для решения задачи. Функции Ь(т, ї; X,) должны характеризовать безопасность функционирования системы (изделия) и удовлетворять следующим условиям. Чем больше значение ^тї^О, тем больше утрата безопасности системы (изделия), и наоборот. Поэтому, будем предполагать,
что функция Ь((где X - некоторый допустимый режим воздействия на систему (изделие)) удовлетворяет следующим условиям.
Обозначим Е - множество допустимых режимов воздействия на систему, которое состоит из Е и всех переменных режимов, составленных из исходных режимов I еЕ Пусть качество функционирования некоторой системы характеризуется двумя параметрами Х\ и х2. Наша задача - установить функциональную зависимость у(х\, х2) между ними. Предположим, что имеется п систем и у каждой из них удалость получить количественные оценки параметров XI и х2, т.е. получить информацию ( х'1 и х'2), где х'1 и х '2 - значения параметров соответственно XI, х2 1-й
системы (изделия), где I = 1, п . Если в пределах погрешности измерений точки х '1, х '2 лежат на кривой, описываемой уравнением у(х1, х2) = 0, то между параметрами х1 и х2 существует функциональная зависимость у(х\, х2) = 0 (рис. 1), в противном случае ее нет.
б)
Рис. 1. Зависимости наблюдаемых и одновременно ненаблюдаемых параметров
Представленный подход является основным (доминирующим) в физике, химии, биологии и других областях науки. При интенсивных воздействиях на техническую систему (изделие) такая методология непригодна. В исследуемой системе нельзя измерить моменты отказов Х(Ю} и Х(Щ)}. При воздействии на і-ю систему (изделие) с конструкторскими параметрами Ю в режиме X можно определить момент отказа X (Юо). Однако при этом система изменит свои первоначальные свойства (параметры ю) и для нее нельзя уже будет восстановить состояние £0(мо}. Таким образом, после воздействия на систему (изделие) можно получить значение одной координаты случайного вектора (£0(Щ)}, ХЮ}}. Аналогичная ситуация возникает, когда і-я система (изделие) функционирует в режиме воздействия X. В результате мы определим момент отказа X(wо}, а вторая компонента случайного вектора (Х1(ю0}, %0(Ю>}} будет неизвестна. Параметры Х1(ю0} и Хо(юо} называют одновременно наблюдаемыми.
Рассмотрим условие аддитивности. При любом в є (т і) справедливо равенство
¿(т і; X} = ¿(т і; X} + Цв, і; X},
отсюда вытекает более общее соотношение
п _
і(в1,в„.X) = 2 ¿(в_ 1,ві.X); Xе Е (3)
і = 2
при любых в1 < в2 <... <вп.
Условие марковости состоит в следующем.
Функция ¿(% і; X} зависит от величины выработанного ресурса в прошлом ¿(0, т X} за время т и не зависит от того, каким образом выработан этот ресурс и в каком режиме (возможно целенаправленное агрессивное воздействие на систему). В формализованном представлении это условие можно записать в следующем виде:
если L(0, в; Хт) = L(0, t; X1), то L(B, в + t; X) = L(t t + t; X), X e E. (4)
Для удобства последующих исследований целесообразно сделать следующие преобразования.
1. Понизить размерность функции L(0, t; X), введя скорость утраты работоспособности системы результата агрессивного на нее воздействия
m(t, X) = ^. (5)
dt
Тогда функцию L(t t; X) можно представить в виде
t
L(t t; X) = S m(t,X)dt. (6)
t
2. Вместо моментов отказов X будем использовать характеристику v(X), в соответствии с
которой считаем, что система неработоспособна. Характеристика v(X) имеет размерность t и
является случайной величиной.
Обозначим H(t,X)=P(v(X)<t) как функцию распределения. Рассмотрим уравнение, описывающее процесс утраты работоспособности системы (изделия). Предположим, что
ML(0, v; X) = 1 " î E (7)
Если ЫЬ(0, и; X) = в; > 0, при с #1, / = 0, п — 1, то вместо L(0, и; X) введем другую характеристику потери работоспособности системы L(0, и; X) / С , которая будет удовлетворять усло-
вию (7). Дополнительное ограничение состоит в том, что нормировка (7) справедлива не только для X Е Е, но и для всех других возможных режимов воздействия на систему, т.е.
+¥
ЫЬ(0, и; Х)= | ^0,ь;Х.)^И при (ц X) = 1 "X еЕ. (8)
0 1
Будем считать, что потеря работоспособности системы предполагает динамическую или потенциальную (статическую) опасность. Воспользуемся методом, предложенным в [1]:
L(0, ь;Х) = Ц0, и; Xo) при 0 <и <Ь. (9)
Если t1 < и <Ь, то это означает, что на систему (изделие) действует более жесткий режим X1 . Продолжительность г этого режима определяется из равенства
ь(0, г Xl) = Ц0, V, X). (10)
Используя свойства аддитивности и марковости, определим утрату работоспособности системы в промежутке [0, )]. Предварительно заметим, что ) — это правило прекращения функционирования системы, зависящей от моментов отказов элементов (агрегатов) системы и их функций распределения, что однозначно определяется скоростью утраты работоспособности ) (^ X) (условие (2)). Таким образом, суммарная потеря работоспособности системы (изделия) на интервале [0, )] будет определяться как
ь(0, и; X) = Ц0, г; X!) + Цг и; X!) = ь(0, и—tl + г; X)) при Ь <v<t2. (11)
Аналогично поступим при ие^, tз]. Первую ступень режима воздействия на систему (изделие) X^n-^l(t) заменим на эквивалентную по утрате работоспособности в режиме X2. Продолжительность воздействия г2 находится из равенства
Ц0, t2 — + г; XX) = Ц0, г; X2). (12)
Снова, используя условия (1) и (2), запишем суммарную утрату работоспособности на временном промежутке [0, и] в виде
Ц0,ь;Х) = L(0,t;X2)+L(t-tl+Tl, ь-ь+г; XI) = ь(°, Щ+ъ; XI), при t2 <и<з. (13)
После замены первой ступени в Хиа)2 на эквивалентную согласно (13) получим переменный
режим воздействия на систему (изделие) как ¿гп(-2(,) с п -2 ступенями.
Исходя из (1 - 7), методом математической индукции можно получить выражение для Ь(0, и; X) при любых и є (ї,, ї,+1), , = 0, п -1, їп = + ¥
Ь(0, и; І) = і Ь(ть їк+і -їк + тк; %к) + Ь(т,, и-ї, + т; %). (14)
к=1
Значения ї, определяются из рекуррентных выражений
Ь(0, т; %,+1) = Ь(0, и -ї-1 - т,-ъ %,-), при і = 0, 1, ..., т; *о = 0. (15)
Введем функцию
Р(и, ~) = 0(1, ~)-у(и, ~) + ,.
Тогда (14) и (15) можно представить в виде
и
1(0, и; 4) = | т(Р(и, аX,)& = т Р(и I); I). (16)
о '
Здесь X, означает режим X є Е, в котором система функционировала в момент времени ,.
После замены в (8) характеристики Ь(0, и; X) на правые части (16) получим два уравнения, описывающие процесс утраты работоспособности системы при воздействии на нее любого переменного режима факторов
¥ и
І ії.и (и, |) | т( р(, , I, у, = 1,
0 0
и
І Ц0, Р(и, I), I )<И (и, X) = 1.
0
ЛИТЕРАТУРА
1. Карташов Г.О. Аддитивно-марковские модели расходования ресурса // Известия АН СССР. Техническая кибернетика, № 2. - М., 1997.
2. Пешес Л.Я., Степанова М.Д. Основы теории испытаний на надежность. - Минск: Наука и жизнь, 1972.
MODELS OF LOSS FUNCTIONALITY SYSTEMS
Sevеrcev N.A., Beckov A.V.
The article consider approach and models of loss functionality systems, influencing on safety functioning’s, is developed on basis of additively-markovian models resource expense.
Сведения об авторах
Северцев Николай Алексеевич, 1921 г.р., окончил МГУ (1972), доктор технических наук, профессор, зав. отделом ВЦ РАН, автор более 300 научных работ, область научных интересов - безопасность, системный анализ в сфере управления.
Бецков Александр Викторович, 1968 г.р., окончил ХВВАУРЭ (1989), кандидат технических наук, докторант ВЦ РАН, автор более 40 научных работ, область научных интересов - безопасность, системный анализ в сфере управления.
