Модели тепломассообмена в многофазных средах и расчет промышленных аппаратов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Лаптев А.Г.

МОДЕЛИ ТЕПЛОМАССООБМЕНА В МНОГОФАЗНЫХ СРЕДАХ И РАСЧЕТ ПРОМЫШЛЕННЫХ АППАРАТОВ

Рассмотрены основные подходы математического моделирования переноса импульса, массы и энергии в многофазных средах при конструировании или модернизации промышленных аппаратов.

Ключевые слова: эффективность тепломассообмена, модели процессов переноса, расчет аппаратов.

Конструирование промышленных аппаратов в первую очередь связано с определением эффективности разделения смесей и теплообмена на контактных устройствах. В большинстве случаев эти задачи имеют полуэмпирический характер решения, который ограничен определенным интервалом работы и заданной конструкцией контактного устройства. Известно, что существенную роль в эффективности тепло- и массообменного процесса играет структура потоков в аппарате. Как видно из многочисленных исследований и промышленной практики при увеличении размера аппарата (например, с барботажными тарелками или насадкой), структура потоков значительно меняется, появляется большое число застойных зон, усиливается обратное перемешивание, снижается движущая сила процесса, это вызывает падение эффективности тепло- и массообмена. Так, например, при увеличении диаметра колонны в два раза КПД процесса может уменьшиться в 2-3 раза [1]. В аппаратах больших размеров возникают значительные гидродинамические неравномерности, что снижает эффективность разделения смеси. Отсюда следует вывод, что при моделировании процессов разделения в аппаратах большого масштаба (как правило, диаметром более 2 метров) необходимо учитывать отмеченные факторы и принимать конструктивные решения для ослабления их влияния на эффективность или полного устранения этих причин.

В общем виде КПД массообменного контактного устройства или эффективность по Мерфи определяют как отношение изменения концентраций компонента в фазе на контактном устройстве (КУ) относительно равновесной.

Как известно, эффективность разделения смеси и теплообмена зависит от структуры потоков сплошной и дисперсной фаз на КУ, интенсивности тепло- и массообмена и площади межфазной поверхности. Используются разные модели для определения

эффективности КУ в зависимости от принятой структуры потоков в аппарате:

1. модель идеального смешения для обеих фаз;

2. модель идеального смешения для сплошной фазы и вытеснения для дисперсной;

3. модель идеального вытеснения для сплошной фазы и идеального смешения для дисперсной;

4. ячеечная модель для сплошной и дисперсной фаз;

5. диффузионная модель для одной из фаз и т.д.

Из вышеперечисленных моделей могут создаваться комбинированные модели, осложненные байпасом и рециклом. При этом число параметров, определяемых экспериментальным путем, увеличивается. Такими параметрами являются: число ячеек полного перемешивания, коэффициент продольного (обратного) перемешивания, коэффициенты рецикла и байпаса. Эти параметры зависят как от режима работы аппарата, так и от его масштаба и конструкции. Актуальной является задача создания математической модели процессов переноса импульса, массы и тепла с минимальным привлечением экспериментальных данных.

В дисперсных многофазных системах, встречающихся при осуществлении различных химико-технологических процессов, в сплошной фазе (жидкости или газе) находится значительное количество дисперсных включений - твердых частиц, жидких капель или газовых пузырей. Точное описание движения фаз такой системы на уровне отдельных дисперсных включений представляется невозможным вследствие большого числа этих включений. К тому же точная информация о движении всех дисперсных включений и сплошной фазы между ними является ненужной, так как на практике интерес представляют только некоторые осредненные величины. Поэтому математическое описание осуществляется при помощи осредненных величин.

Обычно предполагается, что такие системы можно изучать, используя представления механики взаимопроникающих взаимодействующих сплошных сред (континуумов) [2]. Применение указанных представлений правомерно только в том случае, если для рассматриваемой многофазной системы существует физически бесконечно малый объем. Физически бесконечно малый объем -объем, размеры которого пренебрежимо малы по сравнению с характерным пространственным масштабом макроскопического течения (то есть масштабом, на котором осредненные параметры многофазной среды существенно изменяются). Данное условие позволяет считать, что осредненные по физически бесконечно малому объему характеристики многофазной среды практически постоянны в

пределах этого объема. Число дисперсных частиц, заключенных в физически бесконечно малом объеме, должно быть настолько большим, чтобы осредненные по этому объему характеристики многофазной системы были устойчивы по отношению к изменению объема.

Введение физически бесконечно малого объема позволяет использовать для описания движения фаз многофазной среды характеристики (доли объема, занимаемые каждой из фаз, скорости фаз и т.п.), осредненные по такому объему. Указанные осредненные величины непрерывно изменяются в пространстве, причем во всех точках пространства определены характеристики, относящиеся к каждой из фаз многофазной системы. Тем самым от описания движения фаз на уровне отдельных дисперсных включений можно перейти к осредненному описанию движения фаз многофазной системы. При этом осредненные по физически бесконечно малому объему величины представляют собой осредненные характеристики фаз реальной многофазной системы. Следовательно, введение физически бесконечно малого объема позволяет представить рассматриваемую многофазную среду как совокупность нескольких (по числу фаз) сплошных сред, обладающих физическими свойствами фаз реальной многофазной среды и непрерывно распределенных в пространстве, занимаемом многофазной средой.

Другое условие, которое обычно предполагается выполненным, заключается в том, что размер неоднородностей в рассматриваемой многофазной системе считается существенно превосходящим молекулярно-кинетические размеры (средние длины свободного пробега молекул, расстояния между молекулами и т.п.), то есть неоднородности содержат очень большое число молекул. Выполнение этого условия позволяет использовать для описания движения отдельных дисперсных включений и окружающей их жидкости (газа) обычные уравнения и методы механики сплошной среды.

Для каждой из фаз, составляющих рассматриваемую многофазную среду (для каждой из взаимодействующих взаимопроникающих сплошных сред), можно определить параметры, характеризующие движение этой фазы - плотность фаз, скорости фаз и т.п.

Согласно этому понятию дисперсная среда типа многофазной эмульсии в несущей жидкости представляется как совокупность непрерывных сред, заполняющих одновременно один и тот же объем и имеющих в каждой точке пространства свою собственную скорость. Для каждой фазы і вводится приведенная массовая плотность рь объемная доля аі и скорость фазы Уі, которые могут меняться от точки к точке, что позволяет описывать изменение числа капель и их

скорость движения. Если обычную массовую плотность вещества фазы / обозначить , то получим для N фазной смеси

N

рI =рI а, /= 1 ...И, X а/ = 1, / = 1 ■■■№, (1)

/=1

(в дальнейшем будем считать что индекс -=1 относится к несущей, а г=2...N к дисперсным элементам).

Уравнение переноса импульса и массы 1-й фазы записываются в

виде

Р г

^Уст.+р,^ (2)

81 j=Q'J*i

где а, - тензор напряжения в /-той фазе; Рр - сила межфазного

взаимодействия, отнесенная к единице объема смеси; V - вектор скорости; Jji - поток массы из ] фазы в - фазу за счет фазовых

переходов; - массовые силы.

Система уравнений гидромеханики многофазных систем незамкнута. Ее необходимо дополнить выражениями для неизвестных

величин 1-, <7;, Р|;, . Обычно единственной внешней массовой

силой является сила тяжести. Тогда = £, где g - ускорение силы тяжести. Нахождение выражений для величин I-, сг, Р- представляет

собой сложную проблему. Обычно выражения для указанных величин постулируются. Кроме того, часто используются какие-либо полуэмпирические выражения, полученные путем обобщения экспериментальных данных. Для некоторых конкретных многофазных систем имеются попытки нахождения замыкающих соотношений теоретическим путем. Отметим, что в некоторых случаях, наряду с уравнениями баланса массы и количества движения, необходимо рассматривать также уравнения баланса энергии.

Сравнительный анализ модели многоскоростного континуума и двужидкостной модели показывает, что различные подходы к составлению математического описания процессов в двухфазных средах приводит к сходным уравнениям переноса импульса, массы и энергии, отличающихся лишь физическим смыслом некоторых членов.

Двужидкостная модель основана на предположении о том, что, во-первых, каждая фаза газожидкостной смеси обладает

определенными макроскопическими параметрами (температурой, плотностью, скоростью и др.) и, во - вторых, законы сохранения импульса, массы и энергии должны выполняться в каждой из фаз. При этом каждый параметр какой-либо из фаз представляет собой усредненную определенным образом величину. Так, например, на барботажных тарелках для двухфазного потока одной из характеристик является ф-объемная доля дисперсной фазы (газосодержание). Соответственно объемной долей сплошной фазы (жидкости) является (1 — (р).

Согласно двужидкостной модели уравнение движения для сплошной (жидкой) фазы имеет вид

——У У/^ +р7У[ 1-ф и^]

а

(4)

= -у[ 1-ф х^]- 1-ф ур+ 1-ф рьё + Р-

Уравнение неразрывности для сплошной фазы:

Рь д\;Р^ РьУ ^ -= ^■ (5) Уравнение движения для дисперсной (газовой) фазы:

<3

ра—^— + рау- =-у- ута -<pVP + ^ppGg-F. ^

от

Уравнение неразрывности для дисперсной фазы:

¿ж

Тензор касательных напряжений в жидкой фазе т / :

т 2

(8)

= —Мэфф,£ где эффективная вязкость

Мэфф,1 = №т,ь + Мв1,Ь ■ (9)

Для расчета составляющей коэффициента турбулентной вязкости, учитывающей турбулизацию слоя при движении пузырей, предлагается уравнение:

\ЛВ1,Ь=С^,В1 0°)

Тензор касательных напряжений в газовой фазе %(;:

ТС М-эфф,С

т 2

Уба+ У-%

(11)

В общем случае, сила межфазового взаимодействия фаз Г включает силу сопротивления, подъемную силу, силу виртуальной массы и другие силы. Сравнение результатов эксперимента с

численными расчетами силы Г, проведенное по различным методикам, показало, что в зоне барботажа преобладающей является

сила межфазного взаимодействия фаз Г, определяемая силой сопротивления:

Т7 3 1

=-тФ 1_ф Рь ,

4 с1в

Для к - фазы закон сохранения массы компонента в соответствии с двужидкостной моделью записывается в следующем виде:

Ък<РкСк > V 4?ксркйкск > V Ък<рк Гк УСк > <ркКк + гС'к • (13)

Уравнение переноса тепла для к - фазы имеет вид

д Рк^кнк

&

- + ^ Рк<9кнкЩ =

(14)

Чк+Чк + Фк ^ + Нк,э>У +фк+ >Т,к + >Т,к,хим-

В представленных выше уравнениях переноса важными характеристиками являются члены, учитывающие стоки или притоки тепла и массы компонентов между фазами. Эти потоки связаны с коэффициентами тепло- и массоотдачи. Поэтому далее рассмотрены основные методы определения этих коэффициентов в промышленных аппаратах.

Теоретические методы моделирования и исследования массо- и теплообменных процессов условно подразделяются на точные, асимптотические, численные и приближенные. В связи с разнообразием конструкций контактных устройств и одновременно происходящих процессов обмена импульсом, массой и теплотой в большинстве задач химической технологии получить точные аналитические решения невозможно, поэтому наибольшее применение получили последние три метода. Так, например, среди различных асимптотических методов применяется метод функциональных параметров. Для этого строится разложение оператора относительно малой шкалы сравнения. Зависимость членов асимптотической последовательности от малого параметра осуществляется с помощью процедуры сращивания. Получаемые асимптотические ряды часто расходятся или очень медленно сходятся. Кроме этого удается вычислить только несколько первых членов разложения. Эти обстоятельства ограничивают

использование асимптотических формул для инженерных расчетов.

Для моделирования и исследования процессов тепломассообмена в химической технологии используются чаще приближенные и численные методы. К приближенным методам относятся, например, однопараметрические интегральные методы в теории пограничного слоя, пленочная и пенетрационная модели, методы линеаризации уравнений и др. Приближенные методы позволяют получать необходимые формулы для выполнения конкретных инженерных расчетов.

В рамках приближенных методов находит применение подход, когда сложное явление заменяют совокупностью «элементарных процессов (актов)». Такими элементарными актами, прежде всего, являются процессы переноса импульса, массы и тепла в пограничном слое.

Приближенное математическое описание процессов переноса в пограничном слое связано с моделями Прандтля, Кармана, Ландау и Левича, а также с развитием гидродинамической аналогии Рейнольдсом и Чилтоном-Кольборном. Причем наиболее теоретически обоснованной и перспективной является модель диффузионного пограничного слоя Ландау-Левича.

Рассмотрены [3; 4] приближенные теоретические методы

моделирования элементарных актов массо- и теплоотдачи в пограничных слоях одно - и двухфазных сред. На основе применения известных моделей Кармана, Ландау-Левича и аналогии Чилтона-Кольборна получены уравнения для вычисления коэффициентов массо- и теплоотдачи в аппаратах при различных условиях взаимодействия фаз. Предполагается, что процессы массо- и теплообмена слабо влияют на процесс переноса импульса. Предложено для определения параметров моделей использовать известные свойства консервативности законов трения к градиенту давления и другим возмущениям. Для этого используются балансовые соотношения переноса импульса через межфазную поверхность. Вводятся эквивалентные параметры возмущенных и невозмущенных потоков, основным из которых является среднее касательное напряжение Т (или динамическая скорость и*). Касательное напряжение обычно

находится на основе известных коэффициентов трения или сопротивления. В тех случаях, когда это затруднительно, применяется подход вычисления Т или и*, используя среднюю диссипируемую

энергию. В данных работах этот подход получил дальнейшее развитие. В результате предложены уравнения, которые позволяют вычислять коэффициенты массо- и теплоотдачи, используя только результаты гидравлического исследования контактных устройств.

Теоретическая основа вышеописанных подходов заключается в использовании известных свойств консервативности законов трения к продольному градиенту давления в пограничном слое, т.е. структура математического описания элементарных актов переноса инвариантна к различным возмущениям и масштабу аппарата. Влияние этих факторов не изменяет структуру математического описания пограничного слоя, а учитывается параметрически. На основе вышеизложенного сделан вывод о том, что в качестве теоретической основы для определения средних значений коэффициентов массо- и теплоотдачи в пограничных слоях одно- и двухфазных сред можно использовать математические модели плоского пограничного слоя без наличия возмущений (например, модели Кармана, Ландау-Левича), а влияние различных возмущений (градиент давления, шероховатость поверхности, подвижная поверхность раздела фаз и т.д.) можно учитывать в интегральном соотношении баланса импульса через межфазную поверхность, используя результаты физического моделирования [3; 4; 5]. При физическом моделировании исследуется гидродинамика потока и измеряется перепад давления на контактных устройствах. Вводятся эквивалентные параметры градиентных (возмущенных) и безградиентных потоков, например, такие как среднее касательное напряжение и скорость обтекания в модели Ландау-Левича. Среднее касательное напряжение находится, используя известное значение перепада давления (или среднее по объему значение диссипируемой энергии) на контактных устройствах, полученное при физическом моделировании. На основе соотношения баланса импульса в пограничном слое производится коррекция параметров модели плоского пограничного слоя и учитывается неоднородность полей, вызванная различными возмущениями.

В работах [3; 4; 5; 6] показано, что применение данного подхода дает удовлетворительные результаты (расхождение с опытными данными около 10 - 15%) для описания различных случаев

конвективного массо- и теплообмена в одно- и двухфазных средах. В итоге получены уравнения для расчета коэффициентов массо- и теплоотдачи от пузырей и капель, в шероховатых каналах, при поперечном обтекании пучка труб, в аппаратах с перемешивающими устройствами, в насадочных и зернистых слоях, в турбулентных пленках жидкости, в осевых и закрученных дисперсно-кольцевых газожидкостных потоках, в барботажном слое, в вибрационных экстракторах и градирнях.

Рассмотренный подход используется при конструировании новых и модернизации действующих промышленных тепло- и массообменных аппаратов на предприятиях нефтегазохимического комплекса.

1. Розен А.М., Мартюшин Е.И., Олевский В.М. и др. Масштабный переход в химической

технологии: разработка промышленных аппаратов методом гидродинамического

моделирования. / под ред. А.М.Розена. - М.: Химия, 1980.

2. Нигматуллин Р.И. Динамика многофазных сред. - М.: Наука, 1987.

3. Дьяконов С.Г., Елизаров В.И., Лаптев А.Г. Теоретические основы и моделирование процессов разделения веществ. - Казань: Издательство Казанского университета, 1993.

4. Лаптев А.Г. Модели пограничного слоя и расчет тепломассообменных процессов. - Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 2007.

5. Лаптев А.Г., Фарахов М.И. Разделение гетерогенных систем в насадочных аппаратах. -Казань: Казан. гос. энерг. ун-т, 2006.

6. Лаптев А.Г. Модели переноса и эффективность жидкостной экстракции. - Казань: Казан. гос. энерг. ун-т, 2005.