Модели телекоммуникационного трафика в распределенных компьютерных сетях на основе фрактального броуновского движения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.8+06

МОДЕЛИ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННОГО ТРАФИКА В РАСПРЕДЕЛЕННЫХ КОМПЬЮТЕРНЫХ СЕТЯХ НА ОСНОВЕ ФРАКТАЛЬНОГО БРОУНОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ

© 2007 г. А.Н. Гуда, М.А. Бутакова

Одной из важнейших задач при проектировании и анализе распределенных компьютерных сетей является построение адекватных моделей информационных потоков в них, т.е. моделей телетрафика. Известно [1], что в таких потоках, как правило, обнаруживается свойство самоподобия или автомодельности, которое выражается в медленном убывании дисперсии, долгосрочной зависимости и флуктуационном характере спектра мощности таких процессов [2]. Наличие перечисленных свойств у временного процесса означает, что его автокорреляционная функция совпадает с автокорреляционными функциями агрегированных процессов точно или асимптотически. Корреляционные свойства такого процесса, усредненного на различных временных интервалах, остаются неизменными.

Рассмотрим процессы, удовлетворяющие свойству автомодельности, т.е. соотношению Law (X at, t > 0) =

= Law (bXt, t > 0), которое означает, что любые конечномерные распределения процессов X at и bX t совпадают.

Если в последнем соотношении зависимость b от a выражается равенством b = aH, то процесс X называется автомодельным с показателем Харста H . При этом D = 1/H называется его фрактальной размерностью. Пусть процесс X t обладает свойством автомодельности. Рассмотрим математическое ожидание EXt (t > 0). Поскольку Law(Xt) = Law(tHXj),

то EXt = t HEXj. Рассмотрим также дисперсию DXt. В результате аналогичного рассуждения DXt = 12HDX j. Если обозначить через Yt = EXt, а через Zt = DXt, то в логарифмических шкалах получаем линейные зависимости: lnYt = Hint + lnEXj, Zt = 2Hlnt + lnDXj, которые объясняют определения фрактальной размерности.

Обратимся к ковариационной функции автомодельного процесса:

cov(i, j) = EX;Xfi - EXtEXu =

= i2H (EXjXt - EX 1EXl) = i2H cov (1, l), где j/i = l.

В качестве базового процесса для моделирования телекоммуникационного трафика со свойством авто-модельности рассмотрим фрактальное броуновское движение - нормальный процесс с нулевым матема-

тическим ожиданием и ковариационной функцией ЕХ (Х s = соу(/, 5) = 2( |/|2Н -- 52Н +2Н). При моделировании процесса мы будем рассматривать последовательность приращений процесса А, которая является гауссовой последовательностью с нулевым средним и ковариационной функцией

cov(i, j) = p(k) =

2

(k + 1)2H-2k 2H + (k-1)2H

k = |i - j\. (1)

Заметим, что последовательность А является стационарной.

Пусть необходимо смоделировать процесс на интервале [0, T ], который разбит на n элементарных

интервалов [ti-1,ti ] , 10 = 0, tn = T . Длина каждого интервала hn = T/n . Автомодельность фрактального броуновского движения позволяет строить модель на стандартном интервале [0,1]. По разбиению интервала [0, T ] получаем разбиение стандартного интервала [т i -1, т i ], где т i = tjT , при этом длина каждого из интервалов разбиения n = 1/n . В соответствии с этим разбиением получаем последовательность

А i = Xт - Xт , i = 1,2,..., n. Совместный закон:

i i i i i-1

Law ((А i) ) = N(0, C), причем ковариационная матрица С - теплицева матрица, построенная на основе последовательности (p(k))) 1 (формула (1)).

Рассмотрим далее различные способы моделирования фрактального броуновского движения.

Моделирование с использованием спектральной плотности последовательности А

Для моделирования воспользуемся следующими теоремами [3].

Теорема 1. Если A = (Ak) - стационарная последовательность, то найдется такая конечная мера F, что

p(k)= j exp(ilk)F(dl).

(2)

Интеграл в формуле (2) понимается в смысле Лебега - Стилтьеса.

Теорема 2. Существует такая ортогональная стохастическая мера 1 ([акак)), что для каждого к е 1

Ak = J exp(iAk)Z(dA).

(3)

f (A) = 4n HK (H )sin2 A£

1

|A + 2nk|

2H+1 '

(4)

EZ

DZ

Ak ~ 2-Jh£cos(ihkf (ih)ei .

i=1

(5)

Обозначим через S(A) ряд, стоящий в правой части формулы (4)

1

S (A) = £

|A + 2nk|

При этом

([а к_1, а к )) = 0, ([а к_ь а к )) = ^ (а к)_ ^ (а к_х).

В правой части (3) находится стохастический интеграл по ортогональной стохастической мере [3].

Для рассматриваемой последовательности ^(ёА) = /(А)ёА [4], где

2H+1 M

а через SM (A) - конечную сумму £

1

_м |А + 2пк|2Н+1

для вычисления последовательности А будем использовать приближенную формулу

4п

hK (H)£ cos (ih)

i =1

ihk

Sin-

2

г.(б)

, . НГ(2НЫп(пН) , .

В (4) константа К (Н ) =-^-'--^-, Г(х) -

п

гамма-функция.

Пусть ^ - стандартный винеровский процесс.

Определим 1 (ё А) = ^ / (А)1¥ (ё А) и покажем, что он

удовлетворяет условиям теоремы 2. Действительно, во-первых, винеровский процесс - процесс с ортогональными приращениями, во-вторых, нетрудно проверить, что

При вычислении по (6) возникает два источника погрешностей, причина первой погрешности состоит в применении формулы численного интегрирования, второй - за счет использования конечной суммы вместо ряда. Рассмотрим по порядку каждую из этих погрешностей.

Для оценки первой погрешности используем изометрическое свойство стохастического интеграла. Дисперсия погрешности

N ih

De,

(k ) = £ J (cos (Ak У f (A)- cos (ihk f (ih)) dA.

([a k-i, a k )) = E ((K-1) ((a k)-W (a k ч ))) = 0,

([a t -i, a t )) = D ((K-1) (((a t)-W (a t-1 ))) = = f (ak-i) (ak-ak-i )• Отсюда и из (3) получаем равенство

A k = J exp (Ak У f (А) W (d А).

Последовательность А есть последовательность вещественнозначных случайных величин. Стандартный винеровский процесс также вещественнозначный случайный процесс, поэтому

i=1 (i-1)h Вторая погрешность 1

2 (A)=£,, .2H+1

m |A + 2nk|

1

m |2nk-A|2H+1

1

f

4nH

1

1

A

(2nM + A) (2nM-A)2

Моделирование последовательности А с использованием скользящего среднего

Под скользящим средним понимается последовательность

A k = £a (i ),

(7)

A k = J cos (Ak У f (A) W (d A).

-П

Так как yjf (A) - четная функция и

W (d A) = - W (-dA), то A k = 2J cos (Ak f (A) W (dA).

0

Для вычисления последнего интеграла следует использовать приближенный метод, например, метод прямоугольников. Для метода прямоугольников приближенная формула будет иметь вид

В (7) последовательность е та же, что и в предыдущем пункте. Пусть

1 п

а(к) = — | ехр (/кА)ф(А)ёА

2п_п

- коэффициенты ряда Фурье для функции ф(А). Является справедливой следующая теорема.

Теорема 3 [3]. Функция ф(А) связана со спектральной плотностью / (А) соотношением

2nf (A) .

(8)

В формуле (5) И = п/ N, е - последовательность независимых стандартных нормальных случайных величин.

Уравнение (8) и предыдущие формулы позволяют моделировать последовательность А с помощью равенства

Ak =-?=Е j exP(iтк)f (X) dЛеk

"V 2П —^ —n

(9)

Также как и раньше, использование четности функции f (А) и вещественности последовательности А позволяет упростить формулу (9)

A k = £j cos (mk)fk) dlz k-m . (10) V 2n 0

При моделировании вместо формулы (10) следует использовать приближенную формулу

h/

4n 7 2 h

V2n

M f N

x£ £cos(ihm)

ih sin— 2

VSM (ih )

Моделирование последовательности А с использованием дискретного преобразования Фурье

Для моделирования последовательности А при помощи дискретного преобразования Фурье расширим последовательность А до последовательности

А = (Аь А2,...,А„Ап^...А2„_2).

Потребуем, чтобы эта последовательность была стационарной с ковариационной функцией

р = (р(0),...,р(п_1),р(п_2),...,р(1)). Ковариационная матрица расширенной последовательности А - С является циркулянтом. Для циркулянта справедливо сингулярное разложение [6]:

'к—т

С =-

1

При этом погрешность оценивается аналогично тому, как это было сделано раньше.

Моделирование последовательности А на основе триангуляции ковариационной матрицы

Пусть

A =

и С = еА (А) - ковариационная матрица. Обозначим

через А левую треугольную матрицу. Потребуем, чтобы

2n — 2 В формуле (13)

f w

W 2 n—2

F2n—2diag (F2n—2p) F2n—2. (13)

F2

;2n—2

2 n—2

2 n—2

0-(2n—3) ^ 2n—2 1(2n—3) 2n—2

fA 1 ' f е 1 ^

A 2 , E = е 2 V

,A n n , где W 2 n—2 =

w (2n—3> ° w (2n—3>1 w2n—2 2n—2

2n

т.е. F2

(2n—3) (2n—3) r2n—2

матрица дис-

A = AE.

(11)

Так как ЕЕ(Е) = I (единичная матрица), то из

(11) следует равенство: С = ААТ . Это равенство позволяет вычислить элементы матрицы А. Для элементов матрицы А справедливы формулы [5]:

hi =Vp(öj;

k1

p(k—1)

к = 2,...,n ;

j—1

= Jp(° )—Е

j = 2,...,n ;

(12)

2п _ 2

кретного преобразования Фурье.

Поскольку матрица С - симметричная и положительно определенная, то диагональные элементы матрицы diag (2п_2р) - положительные числа. Рассмотрим случайную последовательность Л, которая определяется формулой

Л = ^2^-2^2* _ 2>/^ (Е2п_ 2р ) е .

Докажем следующее утверждение.

Утверждение 1. Ковариационная матрица последовательности Л - СЛ совпадает с матрицей С .

Доказательство. Для доказательства вычислим матрицу С Л . Матрица

j—1

p(k—j)— ЕЕ

ji k

akj =■

, j = 2,...,n — 1, k = j +1,...,n .

Формулы (12) позволяют вычислить элементы матрицы А и, следовательно, использовать ее для моделирования последовательности А с помощью формулы (11).

В отличие от выражения (6) равенство (11) является точной формулой, однако при изменении п (количества элементарных интервалов разбиения) требуются дополнительные вычисления.

сЛ = ЕЛЛ * = ^-J—^*,— 2 Vdiag (F2n—2 p ) x xeeTyjdiag (F2n—2p)F2n—2sj2;—2 =

1

2n — 2

F2*n — 2diag (F2n—2p) F2n—2 = C .

Прежде всего воспользуемся следующим свойством дискретного преобразования Фурье

F2n-2F2n_2 = F2n_2F2n_2 = (2п _ 2)1 .

Отсюда и из (13) получаем, что

С^п_2 = Кп_2ё'а8 (Р2ш_2Р). Из этого выражения следует равенство

<СР2п_2 = Р2п_2ё1аё (?2п_2р), которое получается

заменой каждого элемента матриц слева и справа на комплексно сопряженный элемент, кроме этого использована симметричность дискретного преобразования Фурье. Сложив последние два равенства, найдем

С ((_2 + ^2 п_2 ) = ( (п_2 + ^2п_2

) (И^ (2п_2р ).

Это означает, что столбцы

(

F2n-2 + F2 n-2

I F2n-2 + F2n-2

)

= (

2n - 2

2 n-2 + F 2 n-2

Так как F2*n-2F2*n-2 = F2n-2F2n-2 = (2n - 2)ß , где

Q =

Г1 о о о

0 1 1

0 1 ... 0 - симметричная матрица перестановки [6], то

((_2 + ^2п_2 ) ((_2 + ^2п_2 ) Т = 2 (2п _ 2 ) (I + 0 ).

Подматрица матрицы (I + 0) размера (п х п) имеет вид

Г 2 о. . 01

0 1 . . 0

0 0 . . 0

0 0 . . 2

матрицы ¥п делением первого и последнего столбца на л/2. Из предыдущего следует, что 1

Cn =

2(2n - 2)

Wndiag (F2 n-2P )nWl

матрицы

где Сп - подматрица размера (пхп) матрицы С, diag (2п_2р)п - подматрица размера (п хп) матрицы diag (^2п_2р ). ■

Аналогично тому, как это было сделано выше, можно показать, что ковариационная матрица случайной последовательности

((п_2 + ^2п_2) являются собственными векторами

матрицы С, а диагональные элементы матрицы diag (^2п_2р) - соответствующими собственными

числами. Отметим, что (2*п_2 + F2n_2) - веществен*

ная матрица, равная 2Яе^2п_2. Рассмотрим произведете ((_2 + Р2п_2 ) ((_2 + Р2п_2 ) Т .

*

Из симметричности F2n_2 и F2n_2 следует )

+ F2n_2 ) (

1

Wndiag(F2n-2P)WTn Е

2(2п_2)

равна С п. Так как С п = С , то справедливо равенство по распределению

А =

1

2(2n - 2)

Поскольку

1

diag (F 2n-2 P )WT Е .

г a{k 1

2(2n - 2) 1

diag (F2n-2 P )nWnT Е = Re

где a1 = an =-

anA n

ai = i Ф1,2, то для моделиро-

Последнее означает, что первые п столбцов матрицы (2*п_2 + F2n_2) ортогональны. Пусть матрица Уп - матрица, составленная из первых п столбцов матрицы (2*п_2 + F2n_2), а матрица Wn получена из

вания последовательности А справедлива формула Аг = а, Яе(А г). (14)

Основная привлекательность равенства (14) состоит в использовании дискретного преобразования Фурье, для которого существуют быстрые алгоритмы.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 07-08-00052).

Литература

1. Крылов В.В., Самохвалова С.С. Теория телетрафика и ее приложения. СПб., 2005.

2. Нейман В.И. Самоподобные процессы и их применение в теории телетрафика // Тр. МАС. 1999. № 1(9). С. 11 - 15.

3. Ширяев А.Н. Вероятность. Т. 1, 2. М., 2004.

4. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Т. 1: Факты. Модели. М., 1998.

5. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М., 1999.

6. Воеводин В.В., Тыртышников Е.Е. Вычислительные процессы с теплицевыми матрицами. М., 1987.

Ростовский государственный университет путей сообщения

3 июля 2007 г.