CC BY
13
2. Сорокин, В. Н. Верификация диктора по спектрально-временным параметрам речевого сигнала / В. Н. Сорокин, А. И. Цыплихин // Информационные процессы. -2010. - Т. 10, № 2. - С. 87-104.
3. Рабинер, Л. Р. Цифровая обработка речевых сигналов / Л. Р. Рабинер, Р. В. Шафер ; пер. с англ. - М. : Радио и связь, 1981. - 496 с.
4. Navratil, J. On linear DETs / J. Navratil, D. Klusacek // Internat. Conf. on Acoustics, Speech, and Signal Processing (ICASSP-07). - 2007.
УДК 621.391.83
Предложены модели системных характеристик линейных каналов связи на основе интегральных преобразований. Показаны способы формализации базисных ядер подобных преобразований, как на основе задания их конкретных форм, так и свойств передаваемых сигналов.
In this article are suggested linear channel system characteristic models suggested in paper on basis of integral transformations. Transformation kernel formalization techniques are displayed on basis of its shape rule and transmission property.
Хорошо известно, что при описании детерминированных каналов связи предпочтительнее оказывается использование моделей системных характеристик на основе интегральных преобразований, поскольку они позволяют рассмотреть наиболее общий вид каналов, а также избавиться от дополнительных искусственных ограничений, способных заметно снизить адекватность синтезируемых моделей.
Представления системной характеристики существенно упрощаются, если моделирование осуществляется на основе линейных операторов. Для дифференциальных уравнений вводится требование вещественности и независимости от сигналов коэффициентов дифференциального уравнения [1], что приводит его к линейному виду:
где n = 1,3, n = 1,3 - число рассматриваемых пространственных координат на
МОДЕЛИ СИСТЕМНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ЛИНЕЙНЫХ КАНАЛОВ СВЯЗИ НА ОСНОВЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
К. А. Батенков
(1)
входе и выходе соответственно; ak k (t, r), a'k' k', (t, r) - коэффициенты
дифференциального уравнения, в общем случае являются функциями времени и пространственных координат; к = ^"_0, к' = 0к' - общее количество рассматриваемых слагаемых дифференциального уравнения на входе и выходе соответственно; г = (,..., гп), г = (,..., гп>) - вектора пространственных координат.
Ряд Вольтерра значительно сокращается, вырождаясь в одно интегральное преобразование (интеграл свертки, или Коши), весовой функцией которого является импульсная характеристика:
Н
'{х(, г)} = ко (', г') + Цх(, г)к(', г', г, г)йх<к, (2)
где к(, г', г, г) = к1 (', г', г, г) - импульсная характеристика канала связи.
Таким образом, системными характеристиками линейного канала связи являются коэффициенты дифференциального уравнения (1) или импульсная характеристика интегрального преобразования (2). При этом, как отмечалось ранее, у импульсной характеристики есть ясная физическая интерпретация, чего лишены коэффициенты дифференциальных уравнений. Являясь реакцией канала связи на воздействие в виде дельта-импульса, импульсная характеристика оказывается унифицированным описанием любой линейной динамической системы [2]. Кроме того, существует достаточно простая физическая интерпретация интеграла свертки - линейная система проводит операцию взвешенного суммирования всех мгновенных значений входного сигнала.
По аналогии вводятся понятия других системных характеристик, по сути являющихся реакциями системы на заданные воздействия. Довольно часто в этом качестве используется переходная характеристика, предполагающая наличие реакции на воздействие в виде единичного скачка. В результате интеграл свертки (2) приобретает следующую форму [1]:
дп+1х(г г)
Н'{х(г,г)}=ко (',г')+х(0,0п)(,г',г',г')+ [ Г у ^(,г',г,г(3)
г г дгП
0 дп+1к (, г', г, г) где 0п - нуль-вектор размерности п; g(,г ,г,г ) =---1 - переход-
д{ П п=1дг
ная характеристика.
Подобные представления преобразований в канале связи достаточно хорошо укладываются в рамки теории сигналов [3], согласно которой пространственная, частотная и временная составляющие ресурса канала задают измерения пространств сигналов на входе и выходе, представленных в виде случайных процессов. Поскольку используемые для описания линейных систем операторы преобразований являются также линейными, то они подчиняются принципу суперпозиции и однородности. Данное обстоятельство позволяет интерпретировать сигналы на входе и выходе в рамках некоторых метрических пространств с заданными базисами:
г г
х(х, г) = {{X(х', г' )ф(х, г, х', г' )с!х'с!г', (4)
х' г'
7(х', г') = {{~2(, г)ф'(', г', х, г)Ж<к, (5)
х' г'
где х(х', г'), г(х, г) - входные и выходные функции разложения соответственно; ф(х, г, X', г'), ф'(х', г', X, г) - входные и выходные базисные функции соответственно.
При данном представлении возможно взаимнооднозначно сопоставить входным базисным функциям выходные в виде реакций канала связи на первые из них:
ф'(, г', X, г) = Н'{ф(х, г, X', г')}. (6)
Тогда выходной сигнал представим в виде разложения, в котором базисом выступает реакция (6), а функциями разложения входные функции разложения сигнала, т.е. г(х, г) = х(х, г):
г(х', г') = {{X(х, г)Н'{ф(х, г, х', г')}ёхёг. (7)
х г
Если же выбор базисов произволен, причем не обязательно входные и выходные базисные функции совпадают, что соответствует ситуации смешанных базисов, то оператор преобразования в канале связи имеет вид [3]
г(х, г) = {{^(х, г, х', г')х(х', г')с1х'(Иг', (8)
х' г'
где ядро интегрального преобразования, по сути являющееся системной характеристикой канала:
К(х, г, х', г) = {{ф'-1 (, г', хг')Н{ф(, г', х', г)}ОТЬ', (9)
х г
определяется на основе сопряженных выходных базисных функций ф'-1 (х', г', х', г'), удовлетворяющих условию ортогональности:
{{ф'(х, г, х", г")ф'-1 (, г', х', г')йх''йг" = 8(х - х', г - г'). (10)
х" г
Таким образом, представление как сигналов, так и преобразований в канале связи может быть различным и задается в первую очередь базисными ядрами метрических пространств, в рамках которых рассматриваются исследуемые каналы связи. Кроме того, сравнение выражений (7) и (8) позволяет сделать вывод о возможности представления сигнала на выходе линейного канала связи в виде свертки системной характеристики канала и входного сигнала вне зависимости от выбора формы базисов, а точнее - на основе функций разложения сигнала, что позволяет рассматривать выходной сигнал в виде разложения в базисе системной характеристики.
Так, для интегрального преобразования (2) в качестве входного используется базис многомерных дельта-функций Дирака:
ф(х, г, х', г') = 5(х - х', г - г'). (11)
В результате входной сигнал представим в виде интегрального преобразования (4), в котором функциями разложения является сам исходный
входной сигнал (х(х', г') = х(х', г')):
х(х, г) = Цх(х', г')5(х -х', г -г')х'^г'. (12)
х' г'
Выходной же базис оказывается реакцией (6), представляющей собой импульсную характеристику канала
ф'(, г', х, г) = к(х', г', х, г), (13)
что делает состоятельным изображение выходного сигнала в виде преобразования (2) без учета начального состояния канала связи к0 (х', г').
Следует также отметить, что помимо интегральных представлений, использующих в качестве базисных ядер дельта-функции (11) и функции единичного скачка, возможны также другие виды преобразований, например, Фурье, Лапласа, Френеля, Меллина и др. Их применение определяется в первую очередь удобством описания преобразований пространственно-временных сигналов линейными системами.
Существуют также преобразования базисные, ядра которых имеют форму, определяемую на основе свойств исследуемых пространственно-временных сигналов. Как отмечалось ранее, пространственно-временные сигналы обладают стохастическими свойствами вследствие как случайного характера формируемых сообщений, так и присутствующей неопределенности в канале связи. В результате простейшим с практической точки зрения является представление такого рода сигналов в виде линейной комбинации некоррелированных случайных величин, имеющих нулевые математические ожидания [4]. Таким образом, интегральное преобразование выражает произвольный пространственно-временной сигнал посредством наиболее простого случайного процесса - некоррелированного шума (в общем случае белого неоднородного как по пространству, так и по времени), со следующими характеристиками:
М{X(х', г')} = 0, М{X(х, г)Х(х', г')} = Б~х (х, г)5(х - х', г - г'), (14)
где М {х} - математическое ожидание случайной величины х; В~х (х, г) - интенсивность нестационарного белого шума (функций разложения х(х, г)).
Полученное преобразование в литературе [4] именуют интегральным каноническим представлением, а базисное ядро - координатными функциями интегрального канонического представления. Оно имеет вид формул (4) и (5) с той лишь разницей, что представляемый пространственно-временной сиг-
нал х (, г) обладает свойством центрированности, т. е. к полученному выражению канонического представления следует прибавить еще функцию математического ожидания исходного нецентрированного процесса.
В итоге базисное ядро интегрального преобразования имеет форму частного корреляционной функции пространственно-временного сигнала с белым шумом и его интенсивностью:
Очевидно, что при различных статистических свойствах пространственно-временных сигналов на входе и выходе канала связи, несмотря на однотипный вид базисных ядер преобразований, их форма будет различаться, а следовательно, удобство и простота выполнения операций обработки полу-
пенсируется трудоемкостью выполнения операций сопоставления входных и выходных базисных ядер, а также выполнения преобразования в канале связи входной функции разложения для получения выходной на основе интегрального оператора (8).
Существует еще довольно большой набор разнообразных базисных ядер, позволяющих осуществлять соответствующие преобразования, пригодные для обработки пространственно-временных сигналов в тех или иных случаях. Кроме того, возможно использование комбинированных преобразований, например, Фурье-Меллина, Фурье-Френеля и т.п. Однако для них всех необходимо выполнение основного и в ряде случаев критического допущения - неограниченность интервала анализа по пространственным и временной координатам. При нарушении этого условия (ограничение интервала анализа) неизбежно возникает ошибка аппроксимации, влияние которой на результирующие показатели качества синтезируемых систем, например, модулятора и демодулятора, в некоторых случаях оказывается трудно прогнозируемым, а зачастую недопустимым.
В целом же линейные сосредоточенные системы с постоянными параметрами, представляющие собой набор элементов, выполняющих определенную линейную операцию, хорошо описываются на основе дифференциальных уравнений (1) конечного порядка. Однако в результате канал связи рассматривается не в виде феноменологической модели, т.е. некоторого оператора в общем случае стохастического, выполняющего сложные функциональные преобразования, а в виде структурно-физической модели, вскрывающей механизмы детальных преобразований пространственно-временного сигнала в канале, а также образования помех. Это обстоятельство является достаточно серьезным ограничением при постановке задач синтеза систем передачи информации, поскольку исходный непрерывный многопараметрический канал по своей сути является распределенной системой, системная характеристика которой лишь в некотором приближении может описываться конечным числом элементарных составляющих [5].
Для линейных сосредоточенных систем с постоянными параметрами в принципе достаточен аппарат преобразований Фурье, Лапласа и других, по-
ф(, г, г')
(15)
ченных коэффициентов разложения на выходе канала г (, г) с лихвой ком-
скольку их ядра являются собственными функциями подобных систем. Однако при рассмотрении систем с переменными параметрами, а тем более распределенных систем на ограниченных промежутках возникают существенные трудности при описании преобразований в данных каналах связи, прежде всего связанных с невозможностью алгебраического описания зависимостей выходных сигналов от входных. В итоге избавиться от трудно выполнимых операций интегрирования не удается, а следовательно, цель использования преобразований в этих условиях оказывается недостигнутой.
Анализ линейных систем с переменными параметрами на основе интегральных преобразований существенно затрудняется также и вследствие несуществования обратного преобразования для выходного пространственно-временного сигнала или его достаточно сложной формы, требующей дополнительной аппроксимации.
Дополнительная трудность представлений входных и выходных сигналов интегральными преобразованиями заключается в континуальном характере исследуемых пространств. Следовательно, для практических целей использовать подобные представления оказывается не совсем разумным, поскольку для физических измерений сигналов или численных расчетов больше подходит использование конечномерных величин [3]. Кроме того, при синтезе систем связи одним из этапов является формирование канала дискретного времени, предполагающее исследование конечномерных пространств и преобразований их в бесконечномерные и обратно, что является следствием не только необходимости практической реализации систем передачи, но и требованиями к моделированию с позиций теории вероятности на основе вероятностных мер.
Список литературы
1. Баскаков, С. И. Радиотехнические цепи и сигналы : учеб. / С. И. Баскаков. - М. : Высш. шк., 1983. - 536 с.
2. Левин, Б. Р. Вероятностные модели и методы в системах связи и управления / Б. Р. Левин, В. Шварц. - М. : Радио и связь, 1985. - 312 с.
3. Френкс, Л. Теория сигналов : пер. с англ. / Л. Френкс. - М. : Советское радио, 1974. - 344 с.
4. Пугачев, В. С. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления / В. С. Пугачев. - М. : Физматгиз, 1962. - 883 с.
5. Кловский, Д. Д. Модели непрерывных каналов связи на основе стохастических дифференциальных уравнений / Д. Д. Кловский, В. Я. Конторович, С. М. Широков ; ред. Д. Д. Кловский. - М. : Радио и связь, 1984. - 247 с.
УДК 621.81
ОЦЕНКА ОПТИМАЛЬНОСТИ КОНСТРУКЦИИ ЭМП ПО РАЗЛИЧНЫМ КРИТЕРИЯМ
Н. С. Блинов, А. В. Мешков
Перечислены основные критерии, использование которых позволяет решить задачу выбора оптимальной конструкции электромеханического привода (ЭМП) при его проектировании. Привод может включать в себя редуктор, многообразие
