Модели процессов тепломассопереноса при эпитаксии полупроводниковых слоев из газовой фазы Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФИЗИКА

УДК 533.7: 533.22

DOI 10.21685/2072-3040-2017-2-8

Е. Л. Панкратов, П. Б. Болдыревский

МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА ПРИ ЭПИТАКСИИ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ СЛОЕВ ИЗ ГАЗОВОЙ ФАЗЫ

Аннотация.

Актуальность и цели. Газофазная эпитаксия в проточной системе с использованием металлоорганических соединений и гидридов (MOCVD - Metalor-ganic Chemical Vapor Deposition) активно исследуется в связи с возможностью получения наноразмерных гетероструктур полупроводниковых материалов А3В5 и A2B6 - перспективных материалов электронной техники. Одним из факторов дальнейшего развития и эффективного научного и промышленного использования газофазной эпитаксии является построение и совершенствование аналитических моделей физических процессов, протекающих в зоне осаждения полупроводниковых слоев. Целью данной работы являлось построение моделей процессов массо- и теплопереноса для MOCVD эпитаксии.

Материалы и методы. Предложена аналитическая методика расчета поля скоростей потока газовой смеси, распределений концентрации ростового компонента и температурных полей в зоне осаждения полупроводниковых слоев при эпитаксии из газовой фазы с использованием вертикальной реакционной камеры с вращающимся дисковым подложкодержателем. Для решения соответствующих уравнений конвективной диффузии, Навье - Стокса и теплопроводности применен итерационный метод осреднения функциональных поправок.

Результаты. Представлены результаты анализа концентрационных и температурных полей в условиях атмосферного и пониженного (~104 Pa) давления в реакционной камере, полученные на основе предложенных теоретических моделей. Результаты расчетов достаточно хорошо согласуются с экспериментальными данными.

Выводы. Получены теоретические и экспериментальные зависимости концентрации ростового компонента от частоты вращения дискового подложко-держателя и коэффициента диффузии в газовой фазе, а также распределения температурных полей по диаметру диска и при удалении от его центра. Представленные результаты и методики расчетов могут быть использованы для оптимизации технологических процессов MOCVD эпитаксии.

Ключевые слова: газофазная эпитаксия, дисковый подложкодержатель, распределения концентрации и температуры в зоне осаждения.

E. L. Pankratov, P. B. Boldyrevskiy

MODELS OF HEAT-AND-MASS TRANSFER PROCESSES AT VAPOR-PHASE EPITAXY OF SEMICONDUCTOR LAYERS

Abstract.

Background. Gas-phase epitaxy in flowing systems using organometallic compounds and hydrides (MOCVD - Metalorganic Chemical Vapor Deposition) is actively investigated in connection with a possibility of receiving nanodimensional heterostructures of the semiconductor materials A3B5 and A2B6 - prospective materials of electronic engineering. One of the factors of further development and effective scientific and production use of gas-phase epitaxy is construction and improvement of analytical models of the physical processes taking place in the semiconductor layer deposition zone. The purpose of this work is to create models of heat-and-mass processes for the MOCVD epitaxy.

Materials and methods. The study suggests an analytical method of calculating the field of gas mixture flow rates, distributions of growth component and temperature profiles concentrations in the semiconductor layer deposition zone at gas-phase epitaxy using a vertical soaking drum with rotating disk-shaped substrate holder. The iterative method of averaging of the functional amendments is applied to solve the corresponding equations of convective diffusion, Navier-Stokes and heat conductivity.

Results. The article presents the results of concentration and temperature profile analysis in the conditions of atmospheric and low (~ 104 Pa) pressure in a soaking drum received on the basis of the offered theoretical models. The calculation results have a rather good match with the experimental data.

Conclusions. The authors obtained theoretical and experimental dependences of growth component concentrations on disk-shaped substrate holder's rotation frequencies and gas-phase diffusion coefficients, as well as on distributions of temperature profiles by the disk's diameters and on the distance from its center. The presented results and calculation techniques can be used for optimization of technological processes of the MOCVD epitaxy.

Key words: gas-phase epitaxy, rotating disk-shaped substrate holder, distributions of concentration and temperature in the deposition zone.

Введение

В настоящее время одним из основных технологических процессов производства устройств твердотельной микро- и наноэлектроники является формирование полупроводниковых эпитаксиальных слоев с помощью эпи-таксии из газовой фазы и молекулярных пучков [1-8]. Методы выращивания эпитаксиальных слоев интенсивно совершенствуются. В то же время моделирование физических процессов, протекающих при выращивании эпитакси-альных слоев, развито слабо. По этой причине оценки взаимосвязей технологических параметров, определяющих кинетику и механизм роста эпитакси-альных слоев, могут иметь существенные погрешности. Основной целью данной работы является развитие методов моделирования определенных физических процессов, имеющих место при эпитаксии из газовой фазы в реакционной камере вертикального типа с вращающимся дисковым подложко-держателем (рис. 1).

Подобная технологическая схема является основной для эпитаксии из газовой фазы с использованием металлоорганических соединений (МОС) и гидридов в качестве исходных веществ (МГЭ/MOCVD) [2, 3]. В данную реакционную камеру, снабженную высокочастотным нагревом графитового подложкодержателя, поступает поток газовой смеси, состоящей из вступаю-

щих в химическую реакцию при формировании эпитаксиального слоя газообразных веществ и водорода, используемого в качестве газоносителя.

1 i i

z

R

<-h

Ю

1

L

2

Рис. 1. Схематическое изображение реакционной камеры для газофазной эпитаксии: 1 - цилиндрическая реакционная камера; 2 - дисковый подложкодержатель

1. Методика анализа

При моделировании физических процессов, протекающих при формировании эпитаксиального слоя, будем считать, что вектор линейной скорости поступающего в реакционную камеру потока перпендикулярен поверхности диска-подложкодержателя, вращающегося с угловой скоростью ю. В данной работе проведем анализ течения газовой смеси при близком к атмосферному и пониженном на порядок (~104 Ра) давлении в реакционной камере, температурных полей и распределения концентрации ростового компонента в зоне осаждения эпитаксиальных слоев. Искомые величины определим путем решения соответствующих уравнений теплопроводности, Навье - Стокса и второго закона Фика. При этом будем считать, что распределение концентрации определяется на расстоянии от поверхности диска радиуса R, сопоставимом с толщиной диффузионного слоя [9]. Для решения поставленных целей определим пространственно-временное распределение температурного поля. Искомое температурное поле определим путем решения следующего уравнения теплопроводности:

с э T ф > гt) = §гаа [т (г , ф, г, t )] -

, ф, г, t )• с (Т )• Т (г, ф, г, t )• С (г, ф, г, t)} + р (г, ф, г, t), (1)

где V - скорость потока газовой смеси; с - теплоемкость системы; X - коэффициент теплопроводности; Т(г,ф,г,t) - пространственно-временное распределение температуры; р(г,ф,г,t) - плотность мощности, выделяемой в системе подложкодержатель-подложка; г, ф, г и t - текущие цилиндрические координаты и время; С (г,ф, г, t) - пространственно-временное распределение концентрации ростового компонента.

При решении данной краевой задачи необходимо учитывать течение газового потока и соответствующее распределение концентрации в зоне осаждения. Искомые величины определим путем совместного решения соответственно уравнений Навье - Стокса и второго закона Фика (включающего конвективный член), представленных в следующей форме:

Э v

— +( u-V) V= -V Э t у '

(

P1 А — I + vA v

Р )

(2)

ЭС(ф'^*} = вгаа[С(г,Ф,г,X)}- г(,ф,г,X}С(г,ф,г,X)}, (3)

где Б - коэффициент диффузии ростового компонента; Р - давление; р - плотность; V - кинематическая вязкость.

Рассматривая режим предельного диффузионного массопереноса, когда все приближающиеся к диску частицы ростового вещества осаждаются и упорядочиваются на подложке, что близко к экспериментальным результатам [5], а также принимая однородность и одномерность потока на входе в зону реакции, граничные и начальное условия представимы в виде

С (г, Ф, - Ь, X) = Со, С (г, ф,0, X) = 0, С (г ,0, г, X) = С (г ,2я, г, X), С (г, ф, г, 0) = Со8(г + Ь), С (0, ф, г, X) Ф -,

Э C (r, ф, z, t)

-X

Э r

Э T (r, ф, z, t)

= 0.

Э C (r, Ф, z, t)

r =R

Эф

= Э C (r, ф, z, t)

Ф=0

Эф

Э

r=R

= oT4 (R,ф,z,t),

Эф

ф=2л = Э T (r, ф, z, t)

ф=0

Эф

ф=2л

-X

Э T (r, ф, z, t)

= gT 4 (r, ф, -L, t),

z=-L

T(r, 0, z, t) = T(r, 2я, z, t), T(r, ф, z, 0) = Tr ,

Эиг (r, ф, z, t)

Э r

Эъг (r,ф,z,t)

= Эуг (r, ф, z, t)

Э r

r=0

r=0

Э^ф (r,ф,z,t)

эъг (r, ф, z, t)

Э r

r=R

r=R

Эф

Э^ф (r, ф, z, t)

= Э^ф (r, ф, z, t)

ф=0

Эф

Эф

Э^ф (r, ф, z, t)

ф=0

Эф

-X

Э T (r, ф, z, t)

Э

= aT 4 (r, ф, z, t)

ф=2я ф=2л

(4)

z=L

T(0, ф, z, t) vr (r, ф, -L, t) = 0, vr (r, ф, 0, t) = 0, (r, ф, L, t) = 0, (r ,0, z, t) = vr (r,2rc, z, t), (0, ф, z, t)

Э

z

иф (г, ф,0, t) = юг, иф (г, ф, -Ь, t) = 0, иф (г, ф, Ь, t) = 0,

иф (г, 0, г, t) = иф (г, 2л, г, t), иф (0, ф, г, t) Ф и2 (г, ф, -Ь, t) = ^0, и2 (г, ф, 0, t) = ^0, (г, ф, Ь, t) = 0,

и г (г ,0, г, t) = и г (г ,2л, г, t), и2 (0, ф, г, t) Ф иг (г, ф, г, 0) = 0, иф (г, ф, г ,0) = 0, иг (г, ф, - Ь,0) = и0,

где а - постоянная Стефана - Больцмана; Тг - температура на водоохлаждае-мых стенках реакционной камеры; и0 - линейная скорость газового потока на входе в зону осаждения.

В цилиндрической системе координат уравнения для проекций скорости газового потока имеют следующий вид:

Эи

Эи ифЭиф

Т7 = -v

Эи

Э r r Эф

-u,

+v

(-л 2 -л2 -л2 -л2 ^

Э ur Э ur Э ur Э u _

-L +-r---L +-z

Э r2 Э r Э z Э z2 Э r Э z

P

(5а)

Эиф

Эй,. иФЭЧ

f p^

• = -u„

Э t г Э r r Эф

(- -2 - ^2

Ф Эи2 1 Э P

Y -u z

z Э

r Эф

+v

1 Э2ur 2 ЭX 1 Э2ur

Э 2 u

v P / Л

ф

r Э r Эф r 2 Эф2 r 2 ЭфЭ

(56)

эу2 Э t

'дur ифЭиф

■ = -u,

Э r r Эф

-u

Эиг Э z

+v

(a2 -л2 л -л2

Э ur Э uz 1 Эй

—r+—— + ■

V

з 2 2^2 Э r r Эф

(р Л P

(5e)

Будем считать, что газ, находящийся в реакционной камере, можно считать идеальным. Тогда выполняется следующее равенство:

P = pRT / M .

(6)

Уравнения для компонент вектора скорости с учетом соотношения (6) принимают следующий вид:

Эи^,

~Э7

Эи ифЭиф

• = -и,

Эи

Э r r Эф

-и

+v

(з2 ~\2 ~\2 ~\2 \

Э ur Э ur Э ur Э uz

—r+—----r+--

Э r Э

Э r Э

R ЭТ M Э r

(5г)

Эп

a^z Э t

+v

э«г

Э t

1 Э2 «

ф=-п Эп уФ эпФ « Эп

r -ч -л z

2 Э2 «

Э r r Эф 1 Э2 «

Э «ф

r __ф

r Э r Э ф r2 Эф2 r2 ЭфЭ z Э z

R_ ЭГ

M Эф '

(5д)

■ = -«.

пф Эпф

Э r r Эф

Эп,

• + v

(д 2 Э п,

Э 2« z Э r2

Э 2«. r2 Эф2

Л

-R —. (5е)

M Э z

Найдем решение данной системы уравнений с помощью метода осреднения функциональных поправок [10-13]. В рамках данного метода для определения первого приближения проекций скорости потока газовой смеси заменим их на пока неизвестные средние значения ц ^ а1г, цф ^а1ф, ц ^ а1г в правой части уравнений системы (5). После такой подстановки получаем уравнения для первых приближений искомых компонент в следующей форме:

Эц. ЭГ __ЭГ Эц1г ЭГ

Э X М Э г' Э X Мг Эф' Э X М Эг

Решения данных уравнений имеют следующий вид:

(7)

R э

=-M эГ jTdx, п1ф

R Э

j Td х, «1z = -R — j Tdz . (8)

J 1z M Э z J w

Мг Эф М Эг-

0 т0 0

Второе приближение проекций скорости может быть получено заменой искомых проекций в правой части уравнений системы (5) на суммы ц ^ а2г + цг, цф ^ а2ф + цф, ц ^ а2г + Цг. Уравнения для данных проекций имеют вид

Э«2, Э t

= v

(-> 2 -.2 -.2 -.2 Э «1r , Э «1r Э «1r + Э «1z

Э r2 Э r Э

Э r Э

M Э r

-(ОС 2r + ч, ^)-(а 2 z + v1z )

«2ф Э t

= v

r Эф

1 Э2«1r ^ 2 ЭЧ 1 Э2«1r

Э 2

п1ф

r Э r Эф r 2 Эф2 r 2 ЭфЭ z

Э z '

R дГ Mr Эф

Эп1ф

(8а)

Э«2 z

Э t

Э r r

(a2 -л2

Э «1r Э u1z = v -+-1z +

Э ф r Эф

(86)

R dT

M dz

-(«2r ♦ «1r - ) - («2 z + «1z ))*

Э ф

(8в)

Интегрирование данных уравнений приводит к следующему результату:

t( ^2 а2 -л2 32 Л u =v fl Э u1r . Э u1r Э u1- , Э u1z

U2r = v I l -T" + -—----T" + ——-—

0 V Э r2 Э r Э z Э z2 Э r Э z ^

fx--

M Э r

(г Л

I ™ x

V о j

-J(«2r + 4r x-/Ь^»dx- J(«2z . 4,x, (8г)

J Э r J r Эф J Э z

о о Y о

у2ф =v j

-(1 Э2v1r + 2_Э\ф-± Э2v1r Л

r Э r Э ф r2 Эф2 r2 ЭфЭ z Э z2

(t Л t

о

' x -

R Э

Mr Эф

j tdx

V о J

j(«2r +U1r »»fd

x-

-j ь^) d x-j («2 z +U1z ^ d,

J r Э ф J Э z

о

(8д)

о

u2 =v ff^ + Л

U2z v Jl Э z2 + Э r2 + r2 Эф2

о

R d_ M Э z

(t Л t

JTd x - J( +U1r

fx-

x-

о

-j x-j («2 z +u,z

о

(8e)

о

Средние значения а2г, а2ф, а2г определим с помощью стандартного соотношения:

© R 2л L

«2r =■

r27iir j j (u2r-u1r)dzdфd

rdt.

л©R L

о о о -L

© R 2л L

«2ф

R27iir j j (-ukp)dzdфd

rdt,

n©R L

о о о - L

© R 2л L

«2 z =-Ц" jjr j j (i-U1z )dzd ф d

"©R L о о о -L

rdt,

(9)

где 0 - длительность протекания смеси газов в зоне осаждения слоев.

Подстановка первых двух приближений проекций скорости в соотношения (9) позволяет получить систему уравнений для искомых средних значений

4«2r + 51«2ф + C1«2 z = D1,

A2«2r + B2« 2ф + C2« 2 z = D2, (10)

A3« 2r + В3«2ф + C3« 2 z = D3,

где

© R 2л L a

A1 = 1 + j (©-t)j r j j ——^dzd ф drdt,

0 0 0 -L r

© R 2л L Э

B1 = j (©-t)jj j -—Ф1dzd ф drdt,

0 0 0 -L — ф

© R 2л L ( a2 a2 a2 -л2 1

C1 = C2 =л©2 x, D1 =v jjr j J l —-—^ + — «1z

1 2 2 51 jjjjI — r2 Э r Э z — z2 — r Э z

00 0 -L V " A u z )

J z фd rx

© R 2л L Э ©

x(©-1 )dt - л©2 R2 «2 - j (©-1 )j r j j «1r ——^dzd ф drdt - j (©-1 )x

0 0 - L

R 2л L — © R 2л L —

<jj j ч1ф——dzdфdrdt, A2 = j(©-1) jr j j ——dzdфdrdt.

00 -L Эф 0 00 -L Э r

© R 2л L Э

B2 = 1 + j(©-1) j j j —^2Ldzdфdrdt,

0 0 0 -L Э ф

© R 2л L

d2 =vjjr j j

0 0 0 -L

1 Э 2«1r 2 — «1ф 1 — 2«1

- + ^--r +

Э z 2

r ЭrЭ ф r2 —ф2 r2 ЭфЭ

© R 2л L Э

dzdфdr(© -1)dt - j(© -1) jr j j «1r ——dzdфdrdt -

1 © R 2л L

+ Э «1ф

© R 2л L —

--©2R2 «2 - j (©-1 )jj j «1ф—«^dzd ф drdt,

8 0 0 0 - L — ф

© R 2л L

A3 = j (©-t)j r j j ——dzd ф drdt,

0 0 0 -L r

© R 2л L

B3 = j(©-1)jr j j ——«^dzdфdrdt, C3 = 1 + -2©2R2V0,

0 0 0 - L — ф 2

0

©R 2л L (д2 д2 , ,2 Л

D3 =v jjr j jl^ + 1 ^

о о о - L ©

Э z2 Э r2 r2 Эф2

d zdфdr (© -t)dt -

R 2л L

-j (©-1 )j r jj

u1;

о

о о -L

ди

Э r

dzdфdrdt-

© R 2л L

jj-j j

о о о - L

u

V

ди

Э ф

2 „2^2

d zdфdr (©-1)dt - —©2R

u

Решение данной системы определяется стандартными методами [14] и представимо в следующей форме:

«2г =Д г / А, «2у =Аф / А, а2г = А г / А, (11)

где соответствующие определители имеют вид

А = 4(£2Сз -53С2) -В1( Л2С3 - А3С2) + С1(А Вз - Аз В2), Аг = £ (В2С3 - В3С2) - В1 ((Сз - ^) + С1 ((В3 - £В2 ), Аф = А ((Сз - ^) - А ((С3 - А3С2 ) + С1 (А2£3 - Аз£), А г = А1 (В2 £>3 - Вз^2) - В1 (А2 £3 - А3 £) + £ (В3 - А3 В2) .

В данном разделе получены проекции скорости потока газовой смеси во втором приближении по методу осреднения функциональных поправок. Обычно второго приближения достаточно для проведения качественного анализа полученного решения и проведения некоторых количественных оценок.

Запишем уравнения (1) и (3) в цилиндрической системе координат:

сЭТ(г,ф,г,t) ^ЭТ^ф,^^ Э2Т(г,ф,г,t) | ^ Э2Т(г,ф,г,t) _

Э t

-+А

Эф2

+ А-

-p(r,ф,z,t)- С—[u- (r,ф,z,t)• C(r,ф,z,t)• T(r,ф,z,t)] -

с Э

- Эф[иф(-, ф, z, t )• C (r, ф, z, t )• T (r, ф, z, t)]-

э

-сЭ [иф(-,ф,z,t)• C(r,ф,z,t)• T(r,ф,z,t)],

(12)

Э C (r, ф, z, t) = 1 _Э_ Э t r Э r

rD

Э C (r, ф, z, t)

1 Э

r2 Эф

D

Э r

Э C (r, ф, z, t) Э ф

1 Э

r Э r

[rC(r,ф,z,t)u- (r,ф, z, t)] +

7 ЭЭф[C(r,ф,z,tK(-,ф,z,t)] +

7 а^ (г'ф'' )ф(ф'' )] +

D

а с (r, ф, z, t)

-эНС(r,ф,z,t)z (r,ф,Z,t)] . (13)

Для определения пространственно-временного распределения температуры и концентрации ростового компонента также воспользуемся методом осреднения функциональных поправок. Для определения первых приближений искомых функций заменим их на пока неизвестные средние значения а1Т и а! с в правых частях данных уравнений. Используя рассмотренный выше алгоритм, получим соотношения для первых приближений температуры и концентрации в следующей форме:

T ( t) T ^ rp(,Z,T) d f ЭЧ- (r,ф,z,T)

Ti (r,ф,z,t) = Tr + i—*-dt"«it«IC i--1

j c J э r

'T-

aiTOic f<4(r,ф,z,T)dt-aiTaiC f(r,ф,z,T)dT, (14)

r j Эф ^ а z

Ci (r,ф,z,t) = -OiC f Э[r^ (r,ф,z,T)]dT-Oic f TMr,ф,z,T)d

r J Эr r * Эф

0 0 ^

t-

t

-«ic j

0

Э^ (r, ф, z, t)

'T + Co.

(i5)

Определим неизвестные средние значения первых приближений искомых функций с помощью следующих соотношений:

1 © Я 2л Ь ауг =-^цг | | Т (г,ф,г,т)dzdфdrdt,

л© RL

0 0 0 - L © R 2л L

aic =-f fr j f Ci (r,ф,z,T)dzdфd

л©R2L J J J J

K©R L 0 0 0 -L

rdt.

(i6)

Подстановка первых приближений концентрации и температуры в соотношения (16) позволяет получить следующий результат:

aic = C0 L '

2л L

«iT =

Tr +-

i + Л©Жf(©-1)f j ^(R,ф,z,t)dzdфdt + ©R

0 0 -L

© R 2л L / ч

W J (©-1 )И L1^ d

л©R L

0

0 0 - L

i + —^ X

л©RL

х

© 2л L

© R 2л L

j (©-1 )j j ur (R, ф, z, x)dzd ф dt - j (©-1 )jj j ur (r, ф, z, x)dzd ф drdt-

0 о -L

+U)

о о о -L

© 2л L

1 +-1— j(©-1) f j ur(R,ф,z,t) dzdфdt + ©0

л©й^ ' J J -{ ' RL

о -L

(17)

Вторые приближения распределений температуры и концентрации определяются в рамках стандартной процедуры метода осреднения функциональных поправок, т.е. с помощью замены искомых функций в правых частях уравнений (12) и (13) на следующие суммы: Т ^ а2Т + Ть С ^ а2С + С\. В данном случае вторые приближения искомых функций представимы в следующей форме:

с • T2 (r,ф,z,t) = Я

t a2

j

Э 2T1 (r, ф, z, x) + 1 f Э 2T1 (r, ф, z, x)

' x+

j

x +

t a2

^j

Э T1 (r,ф,z,x)

+ i—/ a x Э z

, о Э ф

t

j p (r, ф, z, x)d

x +

с •(d-Ji u- (r,ф,z,x)[«2C + C1 (-,ф,z,x)][«2T + T1 (r,ф,z,x)]}d

о

С Э t

■-ЭГf{ иф (r,ф,^x)^«2C + C1 (r,ф,z,x)]|[«2T + T1 (r,ф,z,x)^}d

x-

о

Э

-С — j{uz (r,ф, z,x) • [«2C + C1 (r,ф,z,x)]х z о

t

х [«2T + T1 (r, ф, z, x)] } d x + j p (r, ф, z, x)d x + T-, (18)

C

/ \ 1 э r

(r,ф,z,t »=-j

1 Э г д C1 (r, ф, z, x) 1 Э r^ Э C1 (r, ф, z, x)

--i rD----dx +—2--|D- -

r Э H Э r r2 Эф-

Э ф

x +

Э eD Э C1 (r, Ф, z,x)d 1 Э I f [ + C ( )] ( )d I

"Э7 jD——d x--э-lr j[« 2C + C1(r,ф,z,x)] (r,ф,z,x)d x

о l о J

- r Э71-j[«2C + C1 (r, ф, z, x)] •u- (r, ф, z, x)d x I -

-эЭфJ[«2C + C1 (-,ф,z,x)]^(r,ф,z,x)dx -

- Эф

о

t

-—|[«2С + С1 (г,ф,г,т)]• Уг (г,ф,г,т)т + С08(г + Ь). (19)

г 0

Средние значения вторых приближений температуры и концентрации смеси а2Т и а2С определяются с помощью стандартных соотношений:

1 0 Я 2л Ь

а2Т =-ггг г г (Т2 - Т1 )dгd фdгdt,

л0 Я 2 Т •>•>•>•>

Л0Я Ь 0 0 0 -Ь

1 0 Я 2л Ь

а2С =-— ггг г г (С2 - С1) dгdфdгdt. (20)

л0 Я2Ь •>•>•>•>

Л0Я Ь 0 0 0 -Ь

Подстановка первых двух приближений температуры и концентрации в соотношения (20) позволяет получить уравнения для искомых средних значений в следующей форме:

«2T =

( - © 2л L . ©

" j(©-1) j j T4(R,ф,z,t)dzdфdt--— j(©-1)х

сЛ0RLJ J J сл©я2/J

о о -L сл©л ^ о

2л L ^ © 2л L

х j j T1 (R,ф,z,t)dzdфdt +-— j(©-1) j j T1 (о,ф,z,t)dzdфdt-

с л© R T

о -L сл©R L о о -L

© 2л L

- j j j {[ «2C + C1 (R, ф, z,t T1 (R, ф, z,t )-«1T «1C }u- (R, ф, z, t )d zd фх

0 о - L

1 1 © R 2л L

х(©-1)dt7©RLj(©-1»jj j { T1 (r,Ф,z,t)|[«2C + C1 (r,ф,z,t»]-

Л©R L о о о -L

© R 2л

-«1T«1C}^ur (-, ф,z, x) dzdф-drdt - j (©-1))r j [(2C + Q))» (r, ф,L,t )-

о о о

Г © 2л L

-«1T«1C]dфdrdt11 + j(©-1) j j ur (R,ф,z,t)[«2C + C1 (R,ф,z,tdzdфdtх l о о -L

1 1 © R 2л L

х ©--j(©-1)jr j j U- (r,ф,z,x)[«2C + C1 (-,ф,z,t JJdzdфdrdt +

л " Л©R L о о о -L

© 1 -i V +2 V0 («2C + C0 )) 1 V0

LJ л©R2 L

©

R 2л

«2C = j(©-t)jr j D

л©Р2 T •> ' J J

л©R L0 0 0

© 2л L

TCi (r,ф,z,t)

TCi (r,ф,z,t)

z = L

z=- L

d 9tdrdt -

rl j (©-1) j j {r [«2C-aic + Ci (R, ф, z, t)]-Vr (R, ф, z, T)}dzd фdt -

Л©R L 0 0 -L

i © 2л L

-2— j (©-1) ) j {r [«2C-aic + Ci (R, ф, z, t)]-Vr (R, ф, z, т)}dzdфdt. (2i)

л©R2 L

0 -L

2. Результаты анализа

В данном разделе с помощью полученных выше соотношений (8), (9), (18)-(21) проведен анализ температурных полей, а также зависимостей концентрации ростового компонента в потоке газовой смеси от частоты вращения дискового подложкодержателя ю и коэффициента диффузии Б (рис. 2 и 3).

1.0 -1

= 0.5 -

0.0

о

10

-1-'-1-'-1-'-1-

2 4 6 8

Д ал? /а

б)

Рис. 2. Зависимости концентрации ростового компонента от частоты вращения ю дискового подложкодержателя (а) и величины коэффициента диффузии Б (б): 1- атмосферное давление в реакционной камере; 2 - пониженное давление (~104 Ра)

r, мм

а)

О 10 20 30 40 50

Z, мм

б)

Рис. 3. Распределение температуры в зоне осаждения: а - вдоль радиального сечения подложкодержателя; б - при удалении от центра подложкодержателя по оси Ъ (Р ~ 104 Ра, ю = 20 грт)

Представленные результаты получены для случая, когда газом-носителем является водород, внутренний диаметр реакционной камеры й = 200 мм, диаметр дискового подложкодержателя равен й = 160 мм, объемная скорость потока 10 л/мин, характерная длина реакционной камеры Ь = 500 мм.

На рис. 2,а показано монотонное увеличение рассматриваемой концентрации С при неизменной концентрации на входе в зону осаждения С0, что определяет соответствующее увеличение скорости эпитаксиального роста при повышении ю. Считаем, что концентрация ростового компонента определяется концентрацией триметилгаллия в потоке газовой смеси [6]. На рис. 2,б приведена зависимость данной концентрации от величины коэффициента диффузии Б. Здесь увеличение коэффициента диффузии приводит к увеличению скорости переноса частиц ростового вещества, что вызывает определенное уменьшение концентрации в зоне осаждения. Кривые 1 на рис. 2 соответствуют давлению в реакционной камере, близкому к атмосферному. Кривые 2 (рис. 2) соответствуют пониженному на порядок давлению. Зависимость концентрации газовой смеси от кинематической вязкости V является достаточно

слабой при данных условиях процесса эпитаксии. По этой причине она не рассматривается. Представленные зависимости показывают (рис. 2) более быстрое изменение концентрации с более быстрым достижением насыщения при пониженном давлении по сравнению с процессом выращивания эпитак-сиальных слоев при атмосферном давлении. На рис. 2 также приведено сравнение теоретических результатов (сплошные кривые) с экспериментальными (точки), полученными для МОС-гидридной эпитаксии арсенида галлия при пониженном давлении. Используя экспериментально измеренные величины (скорость роста эпитаксиального слоя и частоту вращения подложкодержате-ля) и учитывая линейную зависимость скорости роста от концентрации основного ростового компонента газовой смеси C (триметилгаллий) [5, 6], мы-получили экспериментальную зависимость C/C0 от ю (рис. 2,а). Расчетная зависимость достаточно хорошо совпадает с экспериментом. Некоторое расхождение экспериментальных и теоретических данных, по-видимому, обусловлено определенным проявлением побочных реакций в газовой фазе [5], т.е. не весь арсенид галлия переходит в твердую фазу в зоне осаждения. Анализ температурного поля показывает более равномерное распределение в середине подложкодержателя и уменьшение температуры к его краям из-за потери тепла за счет конвективного теплообмена; приведена также зависимость температуры прогрева при удалении от центра подложкодержателя по оси z (рис. 3).

Характеристики температурного поля определяют проявление химических реакций индивидуального термораспада основных и легирующих компонентов потока газовой смеси при эпитаксии полупроводниковых слоев.

Заключение

В данной работе предложен аналитический метод моделирования физических процессов, протекающих в условиях эпитаксии из газовой фазы с учетом вращения дискового подложкодержателя. Получены оценки пространственно-временного распределения концентрации ростового компонента и температурных полей в потоке газовой смеси и проведен анализ влияния на них основных технологических параметров. Представленные теоретические данные достаточно хорошо согласуются с экспериментальными, что свидетельствует об адекватности предложенных моделей.

Библиографический список

1. Молекулярно-лучевая эпитаксия и гетероструктуры / под. ред. Л. Ченг, К. Плога, М. : Мир, 1989. - 580 с.

2. Herman, M. A. Epitaxy-Physical Principles and Technical Implementation / M. A. Herman, W. Richter, H. Sitter. - Berlin : Springer, 2004. - 362 с.

3. Stringfellow, G. B. Organometallic Vapor-phase Epitaxy: Theory and Practice / G. B. Stringfellow. - Boston : Academic Press, 1999. - 572 с.

4. Исследование однородности толщин слоев кремния, выращенных в процессе мо-лекулярно-лучевой эпитаксии из сублимационного источника / П. Б. Болдырев-ский, А. Г. Коровин, С. А. Денисов, С. П. Светлов, В. Г. Шенгуров // Журнал технической физики. - 2014. - Т. 84, № 11. - С. 155-158.

5. Болдыревский, П. Б. Влияние переходных процессов в газовой фазе на электрофизические свойства субмикронных структур, полученных МОС-гидридной эпитаксией / П. Б. Болдыревский, О. И. Хрыкин // Известия Академии

наук СССР. Неорганические материалы. - 1990. - № 10. - С. 2215-2217.

6. Фролов, И. А. Механизм эпитаксиального роста GaAs / И. А. Фролов, П. Б. Болдыревский, Б. Л. Друзь, Е. Б. Соколов // Известия АН СССР. Неорганические материалы. - 1977. - Т. 13, № 5. - С. 773-775.

7. Talalaev, R. A. On low temperature kinetic effects in metal-organic vapor phase epitaxy of III-V compounds / R. A. Talalaev, E. V. Yakovleva, S. Yu. Karpova, Yu. N. Makarov // J. Cryst. Growth. - 2001. - Vol. 230. - P. 232-238.

8. Влияние несущего газа и профиля легирования на морфологию поверхности сильно легированных слоев GaN:Mg, выращенных методом МО ГФЭ / В. В. Лун-дин, А. В. Сахаров, Е. Е. Заварин, М. А. Синицын, А. Е. Николаев, Г. А. Михайловский, П. Н. Брунков, В. В. Гончаров, Б. Я. Бер, Д. Ю. Казанцев, А. Ф. Цацуль-ников // Физика и техника полупроводников. - 2009. - Т. 43, № 7. - С. 996-1001.

9. Левич, В. Г. Физико-химическая гидродинамика / В. Г. Левич. - М. : Наука, 1962. - 700 с.

10. Соколов, Ю. Д. Об определении динамических усилий в шахтных подъемных канатах / Ю. Д. Соколов // Прикладная механика. - 1955. - Т. 1 (1). - С. 23-35.

11. Лучка, А. Ю. Теория и применение метода осреднения функциональных поправок / А. Ю. Лучка. - Киев : Изд-во АН УССР, 1963. - 158 с.

12. Pankratov, E. L. Decreasing of quantity of radiation defects in an implanted-junction rectifiers by using overlayers / E. L. Pankratov, E. A. Bulaeva // International Journal of Micro-Nano Scale Transport. - 2012. - Vol. 3 (3). - P. 119-130.

13. Pankratov, E. L. Doping of materials during manufacture /»-«-junctions and bipolar transistors. Analytical approaches to model technological approaches and ways of optimization of distributions of dopants / E. L. Pankratov, E. A. Bulaeva // Reviews in Theoretical Science. - 2013. - Vol. 1 (1). - P. 58-82.

14. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. - М. : Наука, 1974. - 831 с.

References

1. Molekulyarno-luchevaya epitaksiya i geterostruktury [Molecular beam epitaxy and het-erostructures]. Eds. L. Cheng, K. Ploga, Moscow: Mir, 1989, 580 p.

2. Herman M. A., Richter W., Sitter H. Epitaxy-Physical Principles and Technical Implementation. Berlin: Springer, 2004, 362 p.

3. Stringfellow G. B. Organometallic Vapor-phase Epitaxy: Theory and Practice. Boston: Academic Press, 1999, 72 p

4. Boldyrevskiy P. B., Korovin A. G., Denisov S. A., Svetlov S. P., Shengurov V. G. Zhurnal tekhnicheskoy fiziki [ ]. 2014, vol. 84, no. 11, pp. 155-158.

5. Boldyrevskiy P. B., Khrykin O. I. Izvestiya Akademii nauk SSSR. Neorganicheskie ma-terialy [Proceedings of AS USSR. Non-organic materials]. 1990, no. 10, pp. 22152217.

6. Frolov I. A., Boldyrevskiy P. B., Druz' B. L., Sokolov E. B. Izvestiya AN SSSR. Neorganicheskie materialy [Proceedings of AS USSR. Non-organic materials]. 1977, vol. 13, no. 5, pp. 773-775.

7. Talalaev R. A., Yakovleva E. V., Karpova S. Yu., Makarov Yu. N. J. Cryst. Growth. 2001, vol. 230, pp. 232-238.

8. Lundin V. V., Sakharov A. V., Zavarin E. E., Sinitsyn M. A., Nikolaev A. E., Mikhay-lovskiy G. A., Brunkov P. N., Goncharov V. V., Ber B. Ya., Kazantsev D. Yu., Tsatsul'nikov A. F. Fizika i tekhnika poluprovodnikov [Semiconductor phyiscs and technology]. 2009, vol. 43, no. 7, pp. 996-1001.

9. Levich V. G. Fiziko-khimicheskaya gidrodinamika [Physical and chemical hydrodynamics]. Moscow: Nauka, 1962, 700 p.

10. Sokolov Yu. D. Prikladnaya mekhanika [Applied mechanics]. 1955, vol. 1 (1), pp. 23-35.

11. Luchka A. Yu. Teoriya i primenenie metoda osredneniya funktsional'nykh popravok [Theory and application of the functional amendments averaging method]. Kiev: Izd-vo AN USSR, 1963, 158 p.

12. Pankratov E. L., Bulaeva E. A. International Journal of Micro-Nano Scale Transport. 2012, vol. 3 (3), pp. 119-130.

13. Pankratov E. L., Bulaeva E. A. Reviews in Theoretical Science. 2013, vol. 1 (1), pp. 58-82.

14. Korn G., Korn T. Spravochnikpo matematike dlya nauchnykh rabotnikov i inzhenerov [Mathematical reference book for resarchers and engineers]. Moscow: Nauka, 1974, 831 p.

Панкратов Евгений Леонидович

доктор физико-математических наук, доцент, кафедра математических и естественнонаучных дисциплин, Нижегородский государственный университет имени Н. И. Лобачевского (Россия, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23)

E-mail: ELP2004@mail.ru

Болдыревский Павел Борисович

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математических и естественнонаучных дисциплин, Нижегородский государственный университет имени Н. И. Лобачевского (Россия, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23)

E-mail: bpavel2@rambler.ru

Pankratov Evgeniy Leonidovich Doctor of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of mathematical and natural scientific disciplines, Lobachevsky State University of Nizhny Novgorod (23 Gagarina avenue, Nizhny Novgorod, Russia)

Boldyrevskiy Pavel Borisovich Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of mathematical and natural scientific disciplines, Lobachevsky State University of Nizhny Novgorod (23 Gagarina avenue, Nizhny Novgorod, Russia)

УДК 533.7: 533.22 Панкратов, Е. Л.

Модели процессов тепломассопереноса при эпитаксии полупроводниковых слоев из газовой фазы / Е. Л. Панкратов, П. Б. Болдыревский // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2017. - № 2 (42). - С. 91-107. DOI 10.21685/2072-30402017-2-8