Модели прогнозирования цен акций с применением функций Уолша и марковских цепей Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРИКЛАДНАЯ ИНФОРМАТИКА /----------

1 № 5 (29) 2010

Е. В. Соколов, Д. В. Бородин

Модели прогнозирования цен акций с применением функций Уолша и марковских цепей

В статье для решения задачи прогнозирования авторами предложено использовать математический аппарат, который продолжительное время применяется в прикладных исследованиях для обработки растровых изображений, в голографии и анализе медицинских сигналов. Для реализации этой модели и алгоритма прогнозирования разработана программа в системе Ма№Ь.

Одна из главных задач современного инвестиционного и риск-менеджмента — прогнозирование цен и котировок на финансовых рынках. Прогнозирование бывает качественным (указывается лишь направление движения рынка) или количественным (результат представляет собой численный прогноз).

Результатом количественного прогнозирования могут быть либо наиболее вероятная цена, либо ожидаемый диапазон цен, либо их полный закон распределения. Существующие подходы к анализу и прогнозированию финансовых временных рядов можно разделить на три основные группы:

1) методытехническогоанализа;

2) эконометрические методы;

3) методы математической обработки сигналов.

Преимуществами технического анализа являются универсальность, простота применения, учет психологии участников рынка, применимость к любым временным периодам. Недостатками можно назвать его ориентированность на прошлое, отсутствие экономического обоснования используемых методов, лежащую в основе гипотезу об эффективности рынка, которая не всегда выполняется на практике.

Эконометрические методы обладают проработанным математическим аппаратом, возможностью легкой автоматизации

процесса анализа, широко известны и насчитывают десятилетия успешного применения в финансовой практике. Одним из существенных недостатков наиболее распространенных эконометрических методов, применяемых в настоящее время, является тот факт, что большая их часть базируется на гипотезе о нормальном (или логнормальном) законе распределения вероятностей изменений цен на финансовом рынке. Однако многочисленные исследования показывают, что на финансовом рынке распределение ненормально [5]. Примером может служить гистограмма распределения приращений значений индекса Dow-Jones за 2009 г. (рис. 1), из которой следует, что реальные распределения имеют более острый пик и более тяжелые «хвосты», это озна-

Рис. 1. Гистограмма эмпирического распределения приращений индекса Dow-Jones за январь-октябрь 2009 г. и теоретическая кривая нормального распределения

Модели прогнозирования цен акций с применением функций Уолша и марковских цепей

№ 5(29) 2010

чает большую вероятность редких и значительных изменений цен, чем следует из нормального распределения. Подтверждение тому — знаменитое банкротство инвестиционного фонда 1_ТСМ, когда непрогнозируемое по применяемым статистическим моделям резкое падение котировок оказалось критическим для действующей в фонде системы управления рисками [7].

Методы математической обработки сигналов лишены перечисленных выше недостатков, в них не заложены гипотезы о статистических свойствах временных рядов, они основаны на солидном теоретическом математическом аппарате. Среди таких методов наибольшее распространение получили методы спектрального анализа Фурье [1], суть которых — представление исходного сигнала в виде суммы базисных функций с соответствующими коэффициентами [6]. Методика Фурье широко применяется для анализа и прогнозирования сигналов в физике, оптике, электротехнике, радиотехнике и медицине, а в последнее время — ив экономике. Метод рядов Фурье применим к обработке сигналов, являющихся гладкими функциями, без локальных особенностей, к которым нельзя отнести временные ряды цен акций, характеризующиеся дискретностью и наличием резких выбросов.

Но идея рядов Фурье, заключающаяся в представлении сигнала в виде суммы базисных функций, может быть актуальна при создании моделей прогнозирования цен акций. Поэтому в данной статье в виде базисных функций предлагается использовать не периодические, гладкие и бесконечные гармонические, а кусочно-непрерывные функции. К таким функциям относятся полиномы Лежандра, Эрмитта, Уолша, Лагер-ра, Хаара и т.д. Авторами для решения задачи прогнозирования выбраны функции Уолша, которые продолжительное время применяются в прикладных исследованиях для обработки растровых изображений, в голографии и анализе медицинских сигналов. Это связано со следующими их достоинствами [3]:

1) они кусочно-непрерывны, что позволяет использовать их для моделирования как резких изменений сигналов (цен акций), так и гладких участков;

2) имеют меняющийся период, т. е. чем больше порядковый номер функции, тем более мелкие локальные особенности сигналов эта функция в состоянии моделировать, что дает возможность оптимально подбирать нужные периоды для выделения реальной цикличности рынка;

3) принимают значения 0 или 1, что позволяет успешно пользоваться методами обработки цифровых данных;

4) они квазипериодические, т. е. периодичны только в пределах определенного временного участка.

Аналитически функции Уолша вычисляются по формулам [2]:

m пк

Wal(0,0) = 1; Wal(n,Q) = ^[Rad(k,Q)] ,

к =1

п = 0,1,...,W -1,

где 1Жз/(п,0) — функция Уолша порядка п;

0 — безразмерный параметр, играющий роль относительного времени;

Rad(k,Q)— функция Радемахера порядка к; пк — значение к-ого разряда номера функции Уолша п, записанного в виде т-разряд-ного кода Грея;

N — число функций Уолша в системе, связанное с параметром m соотношением N = 2т.

Относительное время рассчитывается как 0 = j;, где Г — время; Т — период анализа (длительность сигнала). Очевидно, что если t < Т,то 0 е [0;1).

Функции Радемахера образуются из синусоидальных функций по формулам:

Rad( 0,0) = 1; Rad(k,Q) = sign [sin(2* я0)].

Общий вид функций Уолша представлен на рис. 2.

Для обработки сигналов, заданных на интервале [О,Г), удобно использовать функции

№ 5(29) 2010

Рис. 2. Функции Уолша различного порядка (интервал определения сигнала Т = 1000)

Уолша, которые после преобразования их аргумента записываются в виде Wal(n,t / Т). Обобщенный ряд Фурье по функциям Уолша одномерного сигнала х(Г), Г е[0;Г) будет иметь вид:

Г,

где

*(0 = Х cnWal{n,~),

п=П I

сп = 1 jx{t)Wal{n, J )dt —

' о '

коэффициенты Уолша.

Так как функции Уолша на интервалах дискретности принимают значения +1 или -1, при вычислении коэффициентов сп не требуется производить операцию умножения. Поэтому спектральный анализ по Уолшу связан с меньшими затратами машинного времени, чем анализ с использованием гармонических функций. Обозначим для удобства функцию Уолша как зависящую от трех параметров:

Wal{n,t,T) = Wal{n,J).

В реальные расчеты всегда включают ограниченное количество коэффициентов ряда. В связи с этим вместо исходного сигнала получается его графическая статистическая модель (ГСМ), которая тем точнее соответствует исходному сигналу, чем больше коэффициентов было взято при расчете. Графическая статистическая модель сигнала имеет вид:

N-1 I N-1

W(t,T) = £crWai{n,—) = £cnWal(n,t,T). (1)

л=0 ’ п=0

Графики функций W(t,T) ступенчатые (см. рис. 2).

Исходный сигнал х(Г) теперь может быть представлен в виде:

x{t) = W (t,T) + w{tk),

где w{tk) — погрешность, т.е. разность между исходным сигналом и его ГСМ; к — номер интервала (уровня Уолша), к = 1,2,...,W.

Сигнал W(t,T) представляет собой долгосрочные процессы и тренды, а разность w{tk) — краткосрочные колебания относительно W(t,T). Сигнал W(t,T) относится ко всему сигналу длиной Т и использует единое для него время f; w{tk) соответствует каждому отдельному периоду функции Уолша

длиной Т0 = . Время на этом интервале (tk)

вычисляют по формуле:

tk = t- (к -1)* Т0.

Тогда погрешность w{tk) принимает следующий вид:

N

w «к) = Ё Wk №

к =1

где wk(t,T0) — погрешность на к-ом участке длиной Т0. Аналитически ее можно представить как разность исходного сигнала и его ГСМ на каждом участке:

[МО - w (t,T)), t е[(к -1) • т0-к • т0) [о,Г е[(к -1) • Т0; к ■ Т0).

Для поставленной в статье задачи прогнозирования временных рядов цен акций с использованием функций Уолша иллюстрацией вида исходного сигнала является временной ряд котировок индекса ММВБ (рис. 3 (а)). Полученный в результате обработки исходного сигнала по формуле (1)

Е. В. Соколов, Д. В. Бородин

Модели прогнозирования цен акций с применением функций Уолша и марковских цепей

№ 5(29) 2010

ния. В данной статье в качестве критерия точности обработки исходного сигнала выбрано суммарное среднеквадратичное отклонение (СКО).

Суммарное СКО () для погрешности (разности исходного сигнала и его ГСМ) рассчитывают по формуле:

= 1

(x(t) - W (t,T ))2 Т

Рис. 3. Результаты применения графической статистической модели сигнала

восстановленный сигнал (ГСМ) изображен на рис. 3 (б), на котором видно, что график ГСМ исходного сигнала кусочно-постоянный, т. е. состоит из набора уровней. При этом каждый уровень соответствует тому или иному значению индекса. На рисунке 3 (в) приведен график погрешности восстановления, т. е. разность между исходным сигналом и его ГСМ.

В соответствии с теорией рядов Фурье увеличение количества членов ряда должно приводить к бесконечно точному приближению исходного сигнала. Практические расчеты показали, что увеличение числа членов ряда более 200 приводит к некоторому увеличению погрешности. Это обусловлено тем, что отдельные локальные особенности сигнала начинают влиять на весь спектр, что вызывает появление ложных выбросов в тех местах сигнала, в которых ряд Уолша «предсказывает» их появление. Следовательно, встает задача поиска оптимального значения числа функций Уолша, обеспечивающих приближение сигнала с заданной точностью и не приводящих к его искажению.

Поиск оптимального количества функций может осуществляться по критерию минимизации максимального отклонения исходного сигнала от ГСМ, минимизации суммарного абсолютного отклонения либо минимизации суммарного среднеквадратичного откпоне-

С учетом вышеизложенного модель математической обработки временных рядов цен акций с использованием функций Уолша имеет вид:

_ V1

\2

W(t,T) = ^ cnWal(n,t,T)-, (4)

n=0

m пк

1Жэ/(О,0) = 1; Wal(n,Q) = ^[Rad{k,Q)] ,

n = 0,1 -1;

(5)

Rad(0,0) = 1; Rad(kfi) = sign[sin(2*я0)]. (6)

Алгоритм математической обработки временных рядов цен акций с применением данной модели следующий:

1) для исходного сигнала х (Г) по формуле (3) рассчитываем коэффициенты Уолша (сп);

2) варьируя число используемых для приближения функций Уолша (N) в диапазоне от 40 до 400 с шагом 10, по формулам (4)-(6) определяем набор ГСМ (W(t, Г));

3) рассчитываем разность исходного сигнала и его ГСМ для каждого значения N\

4) исходя из результатов, полученных в предыдущих пунктах, находим суммар-

№ 5(29) 2010

ное СКО погрешности приближения () по формуле (2);

5) определяем оптимальное число функций Уолша (Nopt), которое соответствует минимуму целевой функции (2);

6) с помощью найденного на предыдущем шаге числа функций Уолша (Nopt) получаем соответствующую ему оптимальную ГСМ (W(t, Т)).

Авторами были проведены исследования в программе MatLab 7.0 для котировок цен акций 20 российских и 20 американских компаний, индексов ММВБ, PTC, NASDAQ и Dow-Jones Industrials 30 для разных значений длительности сигналов (от 1 года до 20 лет). Пример зависимости величины суммарного СКО от числа функций Уолша для акций Боинга, Ростелекома, индексов NASDAQ иРТС представлен на рис. 4.

Результаты исследований показали, что существует минимум суммарного СКО и соответствующее ему число функций Уолша. На американском рынке оптимальное количество функций Уолша, обеспечивающее минимум суммарного СКО, равно 120-140 (см. рис. 4, точки А и В), что соответствует длинам уровней Уолша 90-100 дней, т. е. кварталу — периоду публикации как финансовой отчетности отдельных компаний, так и макроэкономических показателей страны. При этом чем более гладким является временной ряд цен акций и чем меньше в нем резких всплесков и выбросов, тем меньше функций требуется для его приближения с приемлемой точностью. Пример тому — временной ряд цен акций Боинга, для которого N =116, т. е. соответствует минимальному значению (рис. 4).

Для российского рынка такого явного значения минимума суммарного СКО нет, функция имеет более пологий вид, в качестве оптимального числа функций Уолша выбран диапазон 170-190 (рис. 4, точка С), которому соответствует квазипериод примерно в 2-3 недели.

Проведенные авторами исследования позволили установить следующие свойства графических статистических моделей:

Л* V '“I !*■ !«■ :*Ч V»! -и)п ±;i Ml 1»

IIIV—

Рис. 4. Погрешность приближения по критерию суммарного СКО

1. Устойчивы по отношению к отдельным выбросам сигналов, т.е. не изменяются при резких колебаниях цен, не обусловленных фундаментальными факторами. Это свойство важно при использовании сигнала для последующего прогнозирования цен акций.

2. Чувствительны к существенному изменению состояния рынка (например, кризисным явлениям), т.е. ГСМ изменчивы при резком падении или подъеме цен акций, если это движение рынка связано с фундаментальными факторами.

3. Длина ступеньки Уолша определяется двумя факторами: числом функций Уолша N и общей длиной сигнала Т.

4. Разница между исходным сигналом и его ГСМ, т.е. погрешность (см. рис. 3 (в)) средняя, стремящаяся к нулю. Это позволяет сделать вывод о том, что полученная ГСМ соответствует исходному сигналу, очищенному от случайных колебаний (рыночного шума).

5. Изменения ГСМ полностью отражают изменения исходного сигнала, так как коэффициент корреляции между этими сигналами равен 0,9...0,99. При этом с ростом числа функций Уолша степень корреляции возрастает.

Далее рассмотрим возможности применения аппарата марковских цепей.

Марковской цепью называется случайная последовательность состояний, причем вероятность перехода из предыдущего состояния в последующее не зависит от того, когда и как система попала в предыдущее состояние. Под состоянием понимается некоторое значение или диапазон значений случайной величины.

Е. В. Соколов, Д. В. Бородин

Модели прогнозирования цен акций с применением функций Уолша и марковских цепей

№ 5(29) 2010

При прогнозировании цен акций, представленных в виде ГСМ (формула (1)), в качестве этой случайной величины выступают значения уровней Уолша:

I= W(Г,Т) |Ге[{к-1)• Т0;к• Т0),

где Wk — цена акции в виде уровня Уолша; к — порядковый номер уровня Уолша.

В системе уровней Уолша протекает случайный процесс. Система имеет дискретное множество состояний и периодически «перескакивает» из одного в другое. Переход между уровнями Уолша можно считать марковским процессом, поскольку при этом:

1) отсутствуетсвойство последействия;

2) система переходит из одного состояния в другое скачком (дискретно);

3) в любой момент времени система находится только в одном состоянии.

Состояниями марковской цепи являются диапазоны некоторой ширины (Н), в которые попадают приращения уровней Уолша (цены акций) на каждом шаге, рассчитываемые по формуле:

(к -1) = WK - ^_1(

где — сигнал приращений уровней Уолша;

{к-1) — приращение ^-ого уровня Уолша относительно (^-1)-ого;

№к, №кА — значения ^-ого и (А-1)-ого уровней Уолша соответственно. Исследования показали, что корреляция между сигналом Уолша и его приращением оказывается менее 0,1. Это позволяет сделать вывод о независимости приращения и исходного сигнала (что является необходимым условием применения марковской модели).

Пример разбиения индекса ММВБ на марковские состояния приведен на рис. 5, где цифрами 1...7 указаны номера состояний, каждое шириной Н = 100 пунктов. Отметим, что если проводится исследование

Рис. 5. Приращение значений индекса ММВБ, представленного в виде уровней Уолша

Н — размер (ширина) состояния; Мт — нижняя граница первого состояния; й1№ ... й№7— численные характеристики состояний; Огапдв — размах сигнала

отдельных акций, то Н измеряется в долларах, рублях или других денежных единицах, в которых измеряют цену акции.

Разбив сигнал на состояния, можно подсчитать количество точек, попавших в каждое /'-ое состояние, определить количество переходов сигнала из /'-ого состояния в /-ое и соответственно вероятности этих переходов. Их называют переходными вероятностями и рассчитывают по формуле:

Рп (к) =

V/, У = 1,2. ..М,

где Рц (к) — переходные вероятности; к — число уровней Уолша;

М — число состояний марковской цепи;

Пц — число переходов сигнала из /'-ого состояния ву-ое.

Данные вероятности в совокупности образуют матрицу переходных вероятностей:

Т = (р#), /, у = 1,2,.../Ц

где Т— матрица переходных вероятностей. Каждый ее элемент (р^) — это вероятность перехода из /'-ого состояния ву-ое. Всего существует М состояний, в которых может находиться система.

№ 5(29) 2010

Сумма элементов матрицы по каждой строке — вероятность того, что система, находившаяся на предыдущем шаге в состоянии /', на следующем шаге окажется в одном из М возможных состояний. Поскольку система всегда находится в одном из М состояний, то вероятность такого события равна 100%. Следовательно, сумма элементов матрицы по любой строке всегда должна быть равна 1:

м

X р„= 1, V/ = 1,2 ...М.

I=1

Эта матрица переходных вероятностей соответствует накопленной на момент расчета информации. Обозначим число уровней Уолша к. Каждому уровню Уолша соответствует шаг расчета. Тогда, зная матрицу переходных вероятностей за к шагов, можно определить вероятности состояний, в котором система будет находиться на следующем (^+1)-ом шаге:

Р/ (к +1) = р1к1 (к), V/ = 1,2 ...М,

где ру{к +1) — вероятность нахождения системы ву-ом состоянии на (^+1)-ом шаге;

Ру{к) — переходная вероятность на ^-ом шаге, соответствующая состояниям ¡К и у при условии, что на к-ом шаге система находилась в ¡к состоянии.

Для выделения данной вероятности из матрицы переходных вероятностей Т с математической точки зрения необходимо эту матрицу умножить на вектор, характеризующий состояние системы на к-ом шаге. Поскольку состояние системы на к-ом шаге известно, то его вероятность равна 1, а вероятности всех других состояний — 0, т. е.:

рк (к) = 1; р, (к) = 0; / ф ¡к .

Тогда:

Ри (к) = (Р1(Л-) р1к (к),..., рм (к)) ■ Т =

= (0, ...,1,...,0) • т.

Таким образом, из матрицы Т оказывается выделенной строка с порядковым номером iK.

Следует отметить, что в разрабатываемой модели используются несколько управляемых параметров:

• размер состояния Н;

• нижняя граница первого состояния Min;

• численное значение приращения уровней Уолша, соответствующее каждому состоянию.

Поскольку состояние — это не конкретная цена акции, а диапазон цен, то в качестве его характеристики вычисляют середину этого диапазона по формуле:

Dsw = Min + (у -1/2) • Н, Vy = 1,2... М,

где — численное значение приращения уровней Уолша дляу-ого состояния; у — номер состояния.

Наконец, зная вероятности состояний и их значения, можно вычислить прогнозное значение приращения уровней Уолша (которому соответствует приращение цен акций) на следующем (^+1)-ом шаге:

м

Dw (к) = £ pw • Djv.

i=1

Значение прогнозного уровня Уолша (прогнозной цены акции на следующий период) рассчитывают по формуле:

А +1 = ^ + Dw (к),

где Dw{к) — вычисленное по модели значение приращения цены акции за период;

Й/к+1 — прогнозное значение цены на следующий временной период; к— номер шага на момент прогнозирования.

Для приведенного выше примера с индексом ММВБ (см. рис. 3 (б), 5) матрица переходных вероятностей будет иметь вид:

Е. В. Соколов, Д. В. Бородин

Модели прогнозирования цен акций с применением функций Уолша и марковских цепей

№ 5(29) 2010

0 0 1 0 0 0 0 \

0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0,75 0,25 0 0

0,021 0 0 0,396 0,438 0,125 0,021

0 0 0 0,35 0,567 0,05 0,033

0 0 0,444 0,222 0,333 0 0

0 0,333 0 0,333 0,333 0 0 ,

В данной матрице номер строки означает номер состояния, из которого происходит переход, номер столбца — номер состояния, в которое осуществляется переход. Тогда число на пересечении строки и столбца — это вероятность перехода.

Поскольку последнее приращение цены акции (^=127), представленное на рис. 5, попало в 3 состояние, то из матрицы Т можно выделить третью строку. Умножая ее на вектор (0, 0, 1, лучим:

чение уровня Уолша было равно 1Ж127 = 1590 (см. последний уровень цены на рис. 3 (б)), поэтому следующее окажется равным 1590 - 25 = 1565. Реальное значение следующего уровня (данные получены позже, после построения графиков на рис. 3 (б)) — 1502. Погрешность прогнозирования (5^+1) можно рассчитать по формуле:

11565-15021

|0/ _ I I

К+1 -иу

(0 0 1 0 0

0, 0, 0, 0), по формуле (7) по- _ ^С+1

"0 0 1 0 0 0 0 '

0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0,75 0,25 0 0

0 0) х 0,0210 0 0,396 0,4380,125 0,021

0 0 0 0,35 0,5670,05 0,033

0 0 0,444 0,2220,333 0 0

о 0,333 0 0,3330,333 0 0у

1502

= 4,2%.

= (0 0 0 0,750,250 0).

Таким образом, из матрицы переходных вероятностей были определены вероятности переходов из третьего состояния в другие. С вероятностью 75% переход будет произведен в 4 состояние (ему соответствует приращение, равное половине ширины состояния, т. е. -50), с вероятностью 25% — в пятое состояние (с приращением +50).

Вычислим матожидание приращения уровней Уолша для следующего шага по формуле (8):

(127) = 0,75 • (-50) + 0,25 • (+50) = - 25.

Это дает возможность спрогнозировать следующий уровень Уолша: последнее зна-

На основании вышеизложенного модель прогнозирования цен акций в долгосрочном периоде имеет вид:

о К+1

~

К+1 - ^+1|

Wк = W (Г ,Т) |Г е[{к -1) • Т0; к ■ Т0);

(к -1) = wK - \мк _■

= Мю + (у -1/2) • Н, V/ = 1,2... М;

Рп (к) =

-, V/, У = 1,2... М;

№ 5(29) 2010

м

Dw(к) = £р1к1 ■ D> ;

У=1

WK+1 = WK + Dw (к).

Алгоритм прогнозирования следующий:

1. Полученная ГСМ (W (Г/Г)), соответ-

ствующая оптимальному числу функций (Nopt), является базой для прогнозирования и может быть представлена в виде набора уровней Уолша Wk по формуле (10), где к = = 1,2..К; К — число уровней Уолша в дан-

ном сигнале.

2. Рассчитываем приращения цен акций Dw по формуле (11). В этом сигнале будет К-1 точек.

3. Задаем параметры модели: размер состояния Н и границу первого состояния Min. Значение параметра Min выбраем равным минимальному значению сигнала Dw, округленному с точностью до Н.

4. Разбиваем диапазон изменения сигнала Dw на интервалы шириной Н, начиная со значения Min. Всего получаем М интервалов. По формуле (12) определяем численные характеристики этих интервалов.

5. Рассчитываем переходные вероятности Рц по формуле (13).

6. Для последней точки сигнала приращения цен Dw {К) определяем, в какое состояние попала эта точка, находим прогнозное значение приращения по формуле (14).

7. Вычисляем прогнозируемое значение уровня Уолша по формуле (15). Данная величина является прогнозным значением цены акции на следующий период. Пример результата прогнозирования приведен на рис. 6 (а).

8. По истечении периода времени Т0 для получения новой ГСМ и следующего уровня Уолша осуществляем расчеты по формулам (2)-(6).

9. Определяем погрешность прогнозирования (5^+1) по формуле (9). Результаты представлены на рис. 6 (б).

10. Для новой ГСМ, перебирая Н в диапазоне от 0,05-Drange до 0,5-Drange с шагом 0,05-Drange, где Drange = max (Dw (К)) -

-min (DW{K)), по формуле (9) вычисляем минимум погрешности 5^+1. Этот минимум соответствует оптимальному значению Hopt.

11. Для получения прогнозной цены акции на (К+1)-ом шаге предыдущий алгоритм (п. 1-10) полностью повторяется. При этом в п. 3 используется значение параметра H t, которое определено на предыдущем шаге. Находим следующее значение прогнозной цены (Й/к+2).

Аналогично получаем все значения прогнозной цены, на рис. 6 (а, б) прогноз представлен помесячно на год вперед.

Таким образом, на каждом шаге расчета с помощью последнего, К-ого, уровня Уолша графической статистической модели вычисляют (К+1)-ой уровень прогнозной цены. Через период времени Т0 (на следующем шаге расчета) появляется новая информация о ценах акций за период, и реальный сигнал состоит уже из {К+1) уровней. Последний (К+1)-ой уровень используется для нахождения погрешности прогнозирования и следующего, (К+2)-ого уровня прогнозной цены.

На рисунке 6 прогнозирование осуществляется на базе ГСМ, включающей не менее 20 уровней Уолша. Если взять меньше данных, то матрица переходных вероятностей будет вырождена [4]. Вырожденность матрицы переходных вероятностей означает наличие в ней нулевых строк и столбцов, т. е. существование состояний, в которые и из которых не было ни одного перехода. Получение такой матрицы означает, что необходимо набрать больше данных. Оптимальное количество уровней Уолша составляет 20-30. Данные, включающие более чем 30 временных интервалов, представляются избыточными, и при их добавлении переходные вероятности изменяются пренебрежимо мало.

Для реализации предложенной модели и алгоритма прогнозирования разработана программа в системе MatLab. Были получены прогнозы цен акций 40 ведущих эмитентов на российском и американском фондовых рынках и прогнозы основных индексов (за период 2008-2009 гг.). Прогнозные значения цен акций и индексов сопоставлялись с реальны-

Е. В. Соколов, Д. В. Бородин

Модели прогнозирования цен акций с применением функций Уолша и марковских цепей

№ 5(29) 2010

а) прогнозное и реальное значение индекса ММВБ за период 2006-2009 гг.

б) погрешность прогнозирования в долях единицы

Рис. 6. Результаты решения задачи прогнозирования цен акций

ми значениями и индексами. Результаты проведенного исследования следующие:

• максимальная погрешность прогнозирования цены акции не превышает 20%;

• средняя погрешность прогнозирования цены акции за период равна ± (1 -2)%;

• среднеквадратичное отклонение погрешности прогнозирования составляет 10-14%;

• горизонт прогнозирования, для которого модель обеспечивает высокую точность прогноза, варьируется от1до9 месяцев;

• ошибка прогнозирования представляет собой случайную величину, независимую от анализируемого временного ряда цен акций;

• в условиях резких движений рынка (например, при наступлении финансового кризиса) необходимо перейти к меньшему масштабу времени (т. е. от месячных — к недельным и дневным данным) и проводить прогнозирование на их основе.

Преимуществами разработанной модели являются высокая (на длинных горизонтах — от 6 до 9 месяцев) точность и возможность автоматизации процесса прогнозирования. Следует отметить, что технический анализ и эконометрические методы для прогнозирования на такие продолжительные сроки оказываются малоприменимыми, а фундаментальный анализ дает меньшую точность и отличается субъективностью.

На базе разработанной модели прогнозирования была реализована торговая система, алгоритм работы которой заключался в получении прогноза цены акции на следующий период, сравнении с текущим значением цены и в зависимости от результата — открытии длинной либо короткой позиции. Причем срок удержания позиции равен периоду прогноза. Тестирование и оптимизация торговой системы показали, что средняя доходность составила около 22% годовых, а прибыльные сделки — от 54 до 81 % в зависимости от рынка и временного масштаба.

Список литературы

1. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов / Пер. с англ.; под ред. Ю. К. Беляева. — М.: Мир, 1976. — 758 с.

2. Вадутов О. С. Математические основы обработки сигналов. — Томск: изд-во Томского политех, ун-та, 2007. — 100 с.

3. Залманзон П. А. Преобразования Фурье, Уолша, Хаара и их применение в управлении, связи и других областях/ Пер. с англ. — М.: Наука, 1989. — 496 с.

4. Лабскер Л. Г. Вероятностное моделирование в финансово-экономической области. — М.: Альпина Паблишер, 2002. — 224 с.

5. Орлов А. И. Эконометрика. — М.: Феникс, 2009. — 576 с.

6. Сергиенко А. В. Цифровая обработка сигналов. — СПб.: Питер, 2007. — 752 с.

7. Энциклопедия финансового риск-менеджмента / Под ред. А. А. Лобанова, А. В. Чугунова. 4-е изд., перераб. и доп. — М.: Альпина Бизнес Букс, 2009. — 936 с.