Применение цепей Маркова при определении стратегии функционирования и развития предприятия по критерию экономической устойчивости Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

УДК658А519.217+338.1 ББК У9(2)30

ПРИМЕНЕНИЕ ЦЕПЕЙ МАРКОВА ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ СТРАТЕГИИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ И РАЗВИТИЯ ПРЕДПРИЯТИЯ ПО КРИТЕРИЮ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ

А. В. Шмидт

Статья посвящена проблемам исследования и прогнозирования экономической устойчивости промышленных предприятий. Автором рассмотрен вероятностно статистический подход с применением цепей Маркова для оценки и прогнозирования экономической устойчивости. В статье автор предлагает математическую модель определения стратегии функционирования и развития предприятия по критерию экономической устойчивости.

Ключевые слова: экономическая устойчивость промышленных предприятий, критерии экономической устойчивости, стратегия функционирования.

Рассмотрим алгоритм, устанавливающий порядок оценки и прогнозирования экономической устойчивости предприятия относительно цели функционирования или развития. В качестве цели, как указывалось, целесообразно принять достижение желаемой области значений стоимости предприятия.

Наиболее приемлемым для инвестора методом прогнозирования стоимости предприятия, по мнению многих авторов, является доходный подход [1], при котором стоимость предприятия рассчитывается на основе прогнозных показателей денежных потоков. Для инвестора важно не только, какой будет получен доход и, соответственно, какова ожидаемая стоимость предприятия, но и насколько стабильно этот доход будет получен. Причиной нестабильности ожидаемых от бизнеса доходов являются риски бизнеса.

В разработанном нами методическом подходе возможно применение и других критериев устойчивости, например, достижение определенных показателей доходности, снижение удельных издержек, эффективность использования ресурсов и т. д. [5].

В дальнейшем примем за меру экономической устойчивости предприятия вероятность достижения цели.

Результаты прогнозирования показателя экономической устойчивости предприятия следует использовать при:

• оценке экономической устойчивости предприятия и разработке мероприятий по повышению экономической устойчивости предприятия;

• оптимизации стратегии управления производством по критерию устойчивости;

• планировании затрат на обеспечение экономической устойчивости предприятия.

В соответствии с доходным подходом стоимость предприятия определяется денежным потоком [1], т. е. разностью между всеми полученными и выплаченными предприятием денежными средствами за определенный период времени

cr = I-CFi . CF^

—+-

(1)

'(1 + гг)' ra+l-q где С/ - стоимость предприятия; CF, - прогнозное значение денежного потока в /-м временном периоде (Cach Flow); Rj - норма доходности (ставка дисконта) в г-м временном периоде; п - число рассматриваемых этапов в прогнозном периоде.

» = £. (2)

t„ - время прогнозного периода; tx - время этапа; CFtH i - значение денежного потока за первый год постпрогнозного периода; q - долгосрочные темпы роста денежного потока.

Внутренние и внешние возмущения, не учтенные в модели генерирования денежного потока, рассматриваем как причину изменения эффективности работы предприятия, отклонения денежного потока, а значит, и инвестиционной стоимости предприятия от целевой области. Возможность отрицательного отклонения между плановым и фактическим результатом, т. е. опасность неблагоприятного исхода на одно ожидаемое решение определяется как риск [2—4].

Прогнозирование экономической устойчивости предприятия осуществляется в соответствии с блок-схемой (рис. 1).

Исходная информация, необходимая для оценки экономической устойчивости предприятии, должна включать следующие данные:

• прогнозные значения денежного потока, значения денежных потоков при переходе системы из одного состояния в другое (матрицу денежных потоков);

• значение (точечное или распределение) границы области цели (минимально допустимый накопленный денежный поток за прогнозируемый период);

• вероятности начальных «стартовых» состояний системы;

• матрицу переходных вероятностей [6-9].

Определение исходной информации

• Определение заданной траектории движения миниэкономической системы, т. е. планируемых денежных потоков от производственной (операционной), финансовой и инвестиционной деятельностей предприятия.

• Определение характеристик внутренних и внешних возмущений, не учтенных в модели функционирования предприятия

г

Определение числа и взаимосвязей состояний, числа этапов в прогнозном периоде

7

Определение вероятности состояний предприятия на всех этапах

S ґ 7

Определение прогнозируемого денежного потока и стоимости предприятия

7

Расчет количественного показателя экономической устойчивости предприятия

Рис. 1. Блок-схема процесса прогнозирования экономической устойчивости предприятия

При определении исходной информации следует использовать расчетные, статистические и экспертные методы.

В процессе функционирования предприятия могут произойти события (возмущающие воздействия макро-, мезо- или микроуровня) Bh Въ ...,

Вь вероятности которых известны или получены при определении исходной информации. Наступление события Д или нескольких событий приводит предприятие в одно из состояний S\,Sb ..., S,„.

Попадание в любое состояние рассматривается как случайное событие.

Назначаем число состояний предприятия и ориентированный взвешенный граф переходов.

Длительность этапа t назначается с учетом следующих условий:

• денежные потоки соседних этапов CFf и CFj_i должны быть независимыми;

• вероятность нескольких реализаций одного неблагоприятного возмущающего воздействия Д на этапе должна быть малой величиной, которой можно пренебречь;

• длительность этапа должна быть равна или кратна отчетному периоду, принятому на предприятии.

Вероятность состояний системы после к-то этапа определяем по формуле

P<m>{k) = P<m>(k-V)*nk-\,k’ к=\, 2, ..., И,

где P<m>(k),P<m>(k-1) - векторы вероятностей состояний на А: и к-1 этапах; Г1к_]к - матрица переходных вероятностей

П,

к-1,к

Р\ 1 Р\ 2 - РЫ

Рг\ Ргг ••• Pin

_Pm\ Pm2

Прогнозируемые значения денежного потока на этапах:

CF(г) = CFX (і) + CF2(і) +... + CFm(і) = CF<m>(і). CF<m> (0 =

Pu^n Pnd\2 P\md\m

Pixdjx Pl2Chl ••• Plm^lm

J

Pmm mm

_Рт\^т\ Рт2^т2 где СР0) - среднее значение денежного потока на /-м этапе; С/7//; - значение денежного потока на i-м этапе в у'-м состоянии с учетом потоков вероятности; с1у - значение денежного потока на этапе при переходе из состояния / в состояние у.

Дня определения дисперсии значений денежного потока на этапе представим СР0) в виде

СР}(0 = е>(0*^(0.

где (1,(1) - значение денежного потока генерируемого предприятием на г-м этапе в у-м состоянии без учета вероятности реализации состояния; Р/1) - вероятность нахождения предприятия на г-м этапе В /-М состоянии.

Полученные значения случайной величины £)/0, i = \, 2, т в различных состояниях предприятия 5,, у = 1, 2, т и соответствующие вероятности нахождения предприятия в этих состояни-

ях Р}{0 можно представить в виде ряда распределения (табл. 1) и многоугольника распределения (рис. 2).

Таблица 1

Ряд распределения значений денежного потока <ЭД, / = 1,2, т, / и вероятности Р$) нахождения предприятия в состояниях Э,-

Состояние 5і

Р/0 Ял О) О.гО) ОЛ)

Рі(і) р і0) Рі(і) Рт(І)

Дисперсия значений денежного потока на г'-м этапе вычисляется по формуле

0{СР(1)] = £ [£ • (0 - СР(1)}2 Р. (г).

(3)

Стоимость предприятия определяется денежным потоком, генерируемым на последовательно рассматриваемых этапах. Математическое ожидание стоимости предприятия определяется суммой математических ожиданий значений денежных потоков на п этапах и постпрогнозном периоде

м[сг] = Х^+СІ7(й+1)

і=і

(і+пУ

(4)

л+1

Дисперсия значений стоимости предприятия равна

= (5)

/=1 (1 + /І) (Гп+\-Ч)

Если граница области допустимых значений стоимости предприятия является детерминированной величиной, то вероятность устойчивости предприятия равна

^ {СТ-М[СТ])2

. [ 0 ЩЫ

р = -

1

(ІСт

(6)

^2лЩСу-]

Если граница допустимых значений области цели представляет собой случайную величину, распределенную по нормальному закону с математическим ожиданием М[Гт/ и дисперсией В[Г-,] (рис. 3), то для определения показателя экономической устойчивости промышленного предприятия вводим случайную величину в:

0 = Ст-Г6 (7)

с математическим ожиданием

М[в] = М[СТ] - М[Гб] (8)

и дисперсией

В[С] = 0[СТ] + £>//*/. (9)

Вероятность экономической устойчивости в этом случае равна

^ (.в-Щв])2

“V

1

2Щв]

Сів.

(10)

л/ЬтЦв] 0

Рассмотрим предложенный алгоритм на примере оценки экономической устойчивости промышленного предприятия на примере ООО «Кран».

Источником образования денежного потока

Рис. 2. Распределение значений денежного потока, генерируемого предприятием на этапе /

Рис. 3. Плотности распределения стоимости предприятия (а), границы допустимых значений области цели функционирования (развития) (б) и случайной величины (в)

Прогнозируемый денежный поток ООО «Кран»

Таблица 2

Год 2006 2007 2008 2009 2010

Денежный поток, тыс. у.е. 106 800 172 700 247 500 385 300 504 300

ООО «Кран» являются производственная (операционная), инвестиционная и финансовая деятельность.

Прогнозируемый период разбиваем на пять этапов (п = 5). Продолжительность каждого этапа составляет один год, постпрогнозный период не учитываем.

Прогнозируемый денежный поток (без учета рисков и дисконтирования) представлен в табл. 2.

В качестве внешних и внутренних возмущений рассматриваем риски производственной, инвестиционной и финансовой деятельности предприятия. Рассматриваем только значимые для предприятия риски.

Принимаем пять возможных состояний предприятия:

51 - предприятие работает стабильно, реализованных рисков нет;

52 - на предприятии реализован один риск инвестиционной или финансовой деятельности;

53 - реализован один риск производственной деятельности;

54 - реализованы два риска в любых сочетаниях;

55 - реализованы три риска соответственно.

Реализацию на этапе более трех рисков считаем маловероятной и в расчетах не учитываем.

Размеченный граф состояний предприятия имеет вид, представленный на рис. 4.

Вектор начальных состояний предприятия имеет вид

Р<5> (0) =< Рх (0);Р2 (0); Р3(0); Р4(0); Р5Щ >, где ОД = 1; Р2{ 0) = 0; /з(0) = 0; Р4(0) = 0;

Р5( 0) = 0.

Матрица переходных вероятностей имеет вид

77 =

Р\ 1 Р\2 Рп 0 0

Рг\ Р22 0 Р24 0

Ръ\ 0 Ръъ Ръ4 0

0 Р 42 Раъ Раа Р45

0 0 0 Рі4 Р55

0,65

0,5

0,45

0

0

0,15

0,15

0

0,2

0

0,2

0

0,2

0,15

0

0

0,35

0,35

0,3

0,3

0

0

0

0,35

0,7

Матрица значений денежных потоков на этапе генерируемых предприятием при переходе из состояния 5, в 5+ь где /'= 1, 2, 3, 4, 5, имеет вид

Пй

йп йп 0 0

^21 ^22 0 ^24 0

<1з, 0 ^33 ^34 0

0 л42 й?43 (Іщ ^45

0 0 0 <І54 ^55

1

0,55

0,55

0

0

0,6

0,5

0

0,6

0

0,5

0,15 0,15

0

0

0

0,2

0,2

0,1

-0,25

0

0

0

-0,2

-0,3

Параметр с1п равен значению прогнозируемого денежного потока на рассматриваемом этапе без учета риска. Значения с1п для этапов представлены в табл. 2.

Матрица произведений переходных вероятностей и значений денежных потоков генерируемых ООО «Кран» при переходе из 5, в 5, 1

П/хі - 3\\

0,650

0,275

0,247

0

0

0,090 0,120 0,075 0

0 0,100 0,030 0,025 0 0

0

0,070

0,070

0,030

0

0

0

-0,070

-0,075 -0,210

Вероятности состояний предприятия на этапах представлены в табл. 3 и на рис. 5.

Математические ожидания и дисперсии значений денежного потока ООО «Кран» на прогнозируемых этапах представлены в табл. 4 и на рис. 6.

^2 Ри О Р45 Рх о

О Л'4 < рн *$5

Рис. 4. Размеченный граф состояний промышленного предприятия

Таблица 3

Вероятности состояний предприятия на различных этапах деятельности

Таким образом, математическое ожидание стоимости предприятия за прогнозируемый период составит М[СТ] = 413 968,9 тыс. у.е., среднее квадратическое отклонение <7Сг = 113 544,67 тыс. у.е.

Приняв границу области цели Г6 = 300 ООО тыс. у.е., получим вероятность достижения цели развития ООО «Кран» Р = 0,84.

Полученные результаты показывают, что предприятие в прогнозном периоде не достигло стационарного режима функционирования, вероятности состояний с одним, двумя и более реализованными рисками велики, коэффициент вариации стоимости ООО «Кран» значителен, вероятность достижения цели мала и как следствие этого экономическая устойчивость предприятия недостаточна.

Рассмотрим исходное экономическое состояние предприятия как фактор устойчивости. Этапы

(время) функционирования предприятия можно разбить условно на два интервала (рис. 7).

Участок с 1 до к этапа называется участком переходного режима функционирования предприятия, а участки с к+1 до п этапа - участки стационарного функционирования предприятия. Число этапов (время) переходного режима - значительно. В случае неоднородного случайного процесса, когда переходные вероятности зависят от номера этапа, переходный режим функционирования присутствует на всех рассматриваемых этапах. Эффективность работы предприятия на участке переходного режима зависит от его начального состояния. Начальное состояние предприятия можно охарактеризовать количеством реализованных и нереализованных рисков.

Проанализируем переходный режим функционирования предприятия. Ожидаемый денежный поток после п этапов, если процесс начался с состояния /, определяется по рекуррентной формуле [2]

т

м

где У{(п-1) - ожидаемый совокупный доход после п шагов, ели процесс начался с состояния г; Vj(n-l) - ожидаемый совокупный доход после п-

1 шагов, если процесс начался с состояния с], -средний ожидаемый доход на одном шаге, если процесс начался в /-м состоянии.

т

/=1

Этап Вероятность состояния предприятия

Б1 Б2 БЗ Б4 Б5

0 1,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

1 0,6500 0,1500 0,2000 0,0000 0,0000

2 0,5875 0,1200 0,1700 0,1225 0,0000

3 0,5184 0,1306 0,1699 0,1383 0,0429

4 0,4787 0,1250 0,1584 0,1595 0,0784

5 0,4449 0,1225 0,1513 0,1706 0,1107

Таблица 4

Математические ожидания и дисперсии значений денежного потока ООО «Кран»

Этап Прогноз, тыс. у.е. Прогноз с дискон-тир., тыс. у.е. Математическое ожидание, тыс. у.е. Дисперсия, тыс. у.е.2

1 106 800,00 95 357,14 82 007,14 1 497 796 439

2 172 700,00 137 675,4 89 062,21 2 417 509 453

-» э 247 500,00 176 165,6 83 738,69 2 701 542 953

4 385 300,00 244 865,1 85 628,81 3 378 888 338

5 504 300,00 286 153,4 73 532,08 2 896 655 740

1,2000 1,0000 0,8000 о. 0,6000 0,4000 0,2000 0,0000

'£Г

■81

- а - Э2

■"•"■■А БЗ

—■ - Б4

—• - Э5

Рис. 5. Изменения вероятностей состояний предприятия на различных этапах деятельности

600000,00

0

15 500000,00

го ’

1 400000,00

с

I 300000,00

X

1 200000,00 ф ’

і 100000,00 X

І 0,00

Этапы

і Прогноз Н Прогноз с дисконтированием Ш Прогноз с учетом рисков

Рис. 6. Прогнозируемые значения денежного потока ООО «Кран» с учетом и без учета рисков возникновения возмущающих воздействий

Переходный режим функционирования предприятия

Стационарный режим функционирования предприятия

Рис. 7. Режимы функционирования предприятия

Разность денежных потоков с начальными состояниями г и к определяется по рекуррентной формуле

д,.ад = ад-ад=

= Чг ~ Як + Е (Рц -Р!дУ](п-1). (11)

Для иллюстрации полученного результата определим разность денежных потоков предприятия на условном примере с матрицей переходных вероятностей

>11 Рхг '0,5 0,5'

_Рг\ Ргг_ 0,4 0,6

и матрицей доходов, соответствующих переходным вероятностям матрицы Пу.

Г11 г12 '9 1

_Г21 г22_ _3 -7

Значения представлены в условных единицах, которые в дальнейшем не обозначаем.

После преобразования формулы (11) получим Д1_2(и) = К!(«)-К2(и) = Д1_2(1) =

= ^1—2(/7 —1)(1 ^12 ~Рг\) ■

В стартовом состоянии

ДЬ2(0) = К1(0)-К2(0) = 0.

На первом этапе

Л1-2 (!) = - ^2 = 6 - (-3) = 9,

где gx = риги +Рх2гп =0,5-9 + 0,5-3 = 6,

82 = Р21г2\ + Р22г22 = 0,4 • 3 + 0,6(-7) = -3 .

На последующих этапах ^1-2(2) = А]_2(1) + ЛЬ2(1)(1 -рх2 ~Рг\) =

= 9 - 9(1 - 0,5 - 0,4) = 9,9 ;

^1-2 (3) = А}_2 (1) + Д[_2 (2)(1 — рх2 — Р2\) = Я 99; ДЬ2 (4) = Д1-2 (1) + Д,_2 (3)(1 - р12 - р2Х) = 9,999;

^1-2 (5) = ^1-2 0) + ^1-2 (4)(1 - Р\2 ~ ?2\) = 9,9999 И т.д.

Результаты расчетов представлены на рис. 7 кривая а.

Изменим переходные вероятности в матрице

Щ

0,75 0,25

77,=

4 0,2 0,8

Разность ожидаемых денежных потоков с разными начальными состояниями ^1-2 (0) = 0 ■

Д1_2(1) = а-£2=7,5-(-5) = 12,5.

^1-2 (2) = ^1—2(1) + ^1-20)0“ Р\2 — ?2\) ~ 19,375 . ДЬ2(3) = Д^_2 (1) + Д,_2 (2)(1 - Рх2 - Р21) = 23,156 . ^1-2 И) = ^1-2 (1) + Д1-2(3)(1 - Р\г ~ Рг\) = 25,236 . ^1-2 (5) = ^1—2 (1) + ^1-2(^)(^ 7^12 ~ Р21) ~ 26,38 .

Результаты расчета представлены на рис. 8 (кривая б).

Проведенный анализ показал, что на экономическую устойчивость влияет начальное «стартовое» состояние предприятия.

Различные начальные состояния при равных остальных параметрах являются причиной различной средней стоимости предприятия. Снижение средней стоимости предприятия снижает вероятность попадания реализации процесса в область устойчивых состояний предприятия.

Рис. 8. Разность ожидаемых денежных потоков с разными начальными состояниями: а) Р12=0,5, Р12=0,4, б) Р12=0,25, Р12=0,2

С целью раскрытия стратегии функционирования предприятия по критерию экономической устойчивости разобьем матрицу переходных вероятностей на несколько подмножеств

ных вероятностей из подмножества Л2 можно снизить так же, как и в предыдущем случае, за счет проведения дополнительных организационнотехнических мероприятий по снижению рисков.

На рис. 10 показана зависимость показателя устойчивости от изменения переходных вероятностей из подмножества А3. Переходные вероятности из подмножества А3 увеличиваются за счет организации мероприятий по скорейшей ликвидации негативных проявлений риска.

На рис. 11 показана зависимость показателя устойчивости от снижения ущерба от реализованных рисков. Увеличивались денежные потоки из подмножеств В] и В2

Ущерб или его часть может быть компенсирован страховой компанией. Денежные потоки из множества В\ могут быть увеличены с помощью страхования косвенного ущерба, из множества В2 - обычным страхованием.

Проведенный анализ показал, что на экономическую устойчивость оказывает существенное влияние начальное состояние предприятия. Полученные зависимости показателя устойчивости предприятия от уровня страхования и организационно-технических мероприятий по снижению рисков позволяют с более обоснованных позиций подойти к разработке оптимальных управленческих решений, а также к синтезу более экономически устойчивого предприятия.

Подмножество А\ состоит из одного элемента ри, подмножество Аг включает элементы включает элементы р0- у которых / < /', подмножество А3 включает элементы матрицы, у которых г > ], кроме элемента рп.

Состояние предприятия 5| - самое благоприятное и поэтому необходимо максимизировать вероятность нахождения предприятия в этом состоянии. Вероятность перехода рп увеличивается в случае проведения предупредительных организационно-технических мероприятий по снижению вероятности реализации риска. На рис. 8 представлены результаты расчетов, показывающие изменение вероятности достижения цели предприятием с изменением значения элемента матрицы рп, для различных начальных состояний.

На рис. 9 представлены результаты расчетов, показывающие изменение показателя устойчивости предприятия с изменением подмножества А2, для различных начальных состояний. Элементы подмножества А2 обуславливают переход предприятия в худшее состояние. Значения переход-

Jlumepamypa

1. Сычева, Г. И Оценка стоимости предприятия (бизнеса) / Г.И Сычева, Е.Б. Колбачев, В.А. Сычев В.А. // Высшее образование. — Ростов-на-Дону: Феникс, 2004. - 384 с.

2. Howard, L. Markov Chains and Dynamic programming / L. Howard. - New York: J. Willey & Sons, 1960.

3. Тихонов, В. И. Марковские процессы / В. И. Тихонов, М.А. Миронов. — М.: Советское радио. 1997. - 488 с.

4. Фильтрация и стохастическое управление в динамических системах / под. ред. К. Т. Леонде-са. - М.: Мир, 1980. - 404 с.

5. Форрестер, Дж. Основы кибернетики предприятия / Дж. Форрестер. - М.: Прогресс, 1971. - 340 с.

6. Смирнов, Н.В. Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений / Н.В. Смирнов, И.В. Дудин-Барков-ский. - М.; Наука, 1965. - 556 с.

ріі

Рис. 9. Зависимость вероятности экономической устойчивости предприятия ОТ изменения переходной вероятности Ри

1,00 г» ♦ » » »

0,80 0,60

-*---Э1

, __*- -Б2

0,40

0,20 ■- ■—-—_—_---------------------------------------------;-—Лг - ЭЗ

. _ _ ЯК"

0,00

5# # 5# ^ ^ ^

Ри

Рис. 10. Зависимость вероятности экономической устойчивости предприятия от изменения переходных вероятностей из подмножества Аг

1,00 0,90 0,80 0,70 0,60 о. 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 0,00

-*—81

-Б2 - БЗ

.

0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14

Ри

Рис. 11. Зависимость вероятности экономической устойчивости предприятия от изменения переходных вероятностей из подмножества А3

Э1

»ір « БЗ

0,00 0,04 0,08 0,12 0,16 0,20 0,24 0,28 0,32 0,36 0,40

Рис. 12. Зависимость вероятности экономической устойчивости предприятия от уровня страхования

7. Смирнов, Э.А. Основы теории организации: учебн. пособие для вузов / Э.А. Смирнов. - М.: Аудит, ЮНИТИ, 1998.

8. Соколов, М.Д. Стратегическое управление экономической устойчивостью торгового пред-

приятия: автореф. дис. ... канд. экон. наук / М.Д. Соколов. - СПб., 2000. -19 с.

9. Старикова, С. С. Экономическая устойчивость предприятия: методический подход: автореф. дис. ... канд. экон. наук / С.С. Старикова. -Саранск, 1999. - 23 с.

Поступила в редакцию 18 мая 2009 г.

Шмидт Андрей Владимирович. Кандидат экономических наук, доцент кафедры экономики и финансов, Южно-Уральский государственный университет (г. Челябинск). Область научных интересов - исследование, анализ и прогнозирование экономической устойчивости промышленных предприятий.

Shmidt Andrey Vladimirovich. Candidate of Economic Sciences, Associate Professor of the Economics and Finance Department of South Ural State University, Chelyabinsk. Research interests: research, analysis and forecasting of economic stability of industrial enterprises.

Тел.: (8-351) 267-90-90. E-mail: uvr@susu.ac.ru