CC BY
61
а б
Рис. 4. Примеры меры сходства с интервальной оценкой а — интервальная мера сходства при в = 0.1, б — интервальная мера сходства при в = 0.25.
Приведенные выше меры сходства являются не единственными вариантами как комбинированных, так и мер сходства с интервальными оценками. Выбор меры сходства, по мнению авторов, должен осуществляться для каждой задачи, исходя из её условий: количества данных, точности экспертных оценок, объема вычислений. В данной работе авторы попытались определить направления, по которым возможен поиск мер сходства между нечеткими множествами, полностью учитывающих требования задачи.
ЛИТЕРАТУРА
1. Мелихов А.Н., Баронец В.Д. Проектирование микропроцессорных средств обработки нечеткой информации. - Ростов-на-Дону. Издательство Ростовского университета, 1990. - 130с.
2. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств: Пер. с франц. М., 1982.
3. Нечеткие множества и теория возможностей. Последние достижения: Пер. с англ./Под ред. Р.Р.Ягера -М.: Радио и связь, 1986.-408с.
4. Борисов А.Н. и др. Принятие решений на основе нечетких моделей: Примеры использования. Рига, 1990.
УДК 519.81
В.П. Карелин, А.Н. Целых МОДЕЛИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ НА ОСНОВЕ УСТАНОВЛЕНИЯ СХОДСТВА НЕЧЕТКИХ Г РАФОВ
При создании систем принятия решения для различных областей применения и сложных ситуаций, характеризующихся как количественным, так и качественным описанием признаков, наличием нечетких исходных данных и сложной структурой связей, необходимо решать задачи классификации и распознавания на основе установления сходства структурных описаний ситуаций.
Наиболее удобным средством представления знаний в виде структурного описания являются семантические сети, представляющие собой взвешенные графы или мультиграфы. Поэтому проблема формирования классов ситуаций для принятия решений (ПР) может быть поставлена как проблема классификации и распознавания на множестве взвешенных структур, представленных в общем виде при помощи нечетких графов [1].
Разработка классификационных моделей и методов ПР актуальна для решения таких задач, как создание систем планирования, структурного проектирования, прогнозирования, экологического мониторинга, управления сложными технологическими объектами и т.п.
Для формирования классов ситуаций необходимо прежде построить отношение сходства на множестве структурных описаний ситуаций, а затем, пользуясь одним из известных методов одноуровневой или многоуровневой (иерархической) кластеризации, разбить множество ситуаций на классы.
Задачу распознавания можно рассматривать в двух постановках. Первая, классическая, связана с определением класса, к которому относится распознаваемая ситуация. Вторая связана с определением той реальной ситуации из заданного множества, с которой наиболее близка заданная эталонная ситуация или, иначе, насколько наш желаемый образ — эталон присутствует в той или иной из имеющихся реально ситуаций.
Для распознавания принадлежности ситуации к тому или иному классу необходимо определять степень нечеткого включения (вложения, отображения) и степень нечеткого равенства (сходства, изоморфизма) нечетких графов, представляющих собой структурное описание ситуаций.
Рассмотрим способы определения степени включения и степени сходства (или нечеткого равенства) нечетких графов. Для определения степени нечеткого включения и степени нечеткого равенства ситуаций, представленных в виде нечетких графов, будем использовать те же формулы, что и при сравнении нечетких множеств [2,3]. Основной операцией здесь является операция импликации или нечеткого следствия, которая выполняется по формуле Заде: а—йэ ачЬ ппп(1 а, Ь), либо по формуле Лукасевича, где
а—>Ь = тт(1, 1 - а + Ь).
Для определения степени включения нечеткого множества А в множество В можно воспользоваться одной из формул:
V, (А, В) = А В = (£(а, 6,)) / * V2(А> В) = m/n(í*' bi)'
i
Ясно, что вторая формула является более жесткой и ее следует применять в исключительных случаях.
Для определения степени сходства нечетких множеств в работах [2,3,4] приведены формулы, из которых наиболее распространенными являются следующие.
Сходство по Заде:
С,3(А, В) = (Х(я, *-*b¡)) Irt, С\(А, В) = тт(а,. <-> 6,).
/ '
Здесь a«-)b = min (а—Л, Ь—>а).
Сходство по Лукасевичу- Хэммингу:
Cf(A, В) = 1 -(2Ц-b\) / п; С? (А, В) = 1 -тах|а,. -6,|.
i
Сходство по Дейку:
С°(А,В) = = (2£тт(а,. fb¡^/ (£a¡ + ^)
Сходство по Танимото:
СТ(А'В) =rSH = = (2mm(«,.fc,»/(Smax(0¡,i,,».
Отличие в определении степени включения и степени сходства для нечетких графов от нечетких множеств обусловлено тем, что нечеткий граф - более сложная структура, ^чем нечеткие множества. Для нечеткого графа С=(Х,и) (здесь X- множество вершин , и-множество ребер ), описывающего ту или иную ситуацию, как вершины хеХ, так и ребра иеи могут быть взвешены либо значением некоторой лингвистической переменной (т.е. нечетким множеством), либо числовым значением от О до 1.
Степени включения или сходства нечетких графов можно определить, используя приведенные выше формулы, когда заданы либо отображение (инъективное или биективное), либо соответствие (также инъективное или биективное) между множествами вершин графов. В этом случае между соответствующими вершинами и ребрами по одной из формул находится степень включения (сходства), а для всего графа общая степень включения (сходства) определяется либо как среднеарифметическое, либо как минимальное значение из найденных. Если же семантика отношений (ребер, связей) отличается от семантики вершин, то можно сходство определять отдельно для вершин и для ребер, а затем взять среднее для этих двух значений. Можно и комбинировать использование операций взятия минимума и среднеарифметического при установлении сходства как между вершинами, так и между ребрами. Например, при сравнении двух нечетких множеств А и В, помечающих соответственные ребра, можно найти среднеарифметическое значение для локальных оценок сходства С( а,, ), а общую оценку по всему множеству ребер определить как минимум среди
найденных среднеарифметических. Использование того или иного подхода на практике будет зависеть как от конкретных обстоятельств, так и от субъективных предпочтений лица, принимающего решение.
В случае, когда отображение или соответствие между вершинами одного и другого графов заранее не заданы, задача отыскания включения (вложения) одного графа в другой с заданной степенью I*, где 1], связана с перебором вариантов установления различных
соответствий и проверки для каждого варианта степени I вложения или изоморфизма. Один из способов сокращения перебора при отыскании I - вложения нечетких графов рассмотрен в [2,5] Этот способ легко обобщается для отыскания I - изоморфизма и I изоморфного вложения с заданной степенью Ь.
Обобщение состоит в том, что предварительно на множестве вершин X и У сравниваемых нечетких графов 0=(Х,и) и Н=(У,\У) определяется гипотетическое нечеткое отношение попарного сходства вершин хеХ и уеУ, построенное с учетом весов на вершинах и на смежных с конкретными вершинами ребрах обоих графов. Рассматривая I - срез этого отношения, как четкое отношение Я, будем устанавливать соответствие между теми вершинами Х| и у„ которым в Л соответствует элемент Гу = 1. Для полученного соответствия между X и У’сУ, определяем степень сходства I и, если I < I*, то поиск продолжим.
В большинстве практических задач, заранее задаются подмножества вершин из X и из У, между которыми может быть установлкно соответствие. Очевидно, что введение тех или иных ограничивающих условий позволяет сокращать перебор при отыскании сходства или I -изоморфизма графов.
Наряду с рассмотренными подходами к определению I изоморфизма или I-изоморфного вложения графов, основанными на использовании тех или иных формул для определения степени нечеткого сходства, возможен и другой подход. Суть его в том, что для заданных нечетких графов в и Н можно сразу определить четкие I - срезы, с заданным значением I и затем отыскивать изоморфизм или изоморфное вложение, используя уже известные алгоритмы и подходы для четких графов [5]. Легко показать, что найденное 1 -соответствие между X и У определит для исходных нечетких графов виН! - изоморфизм или 1 - изоморфное вложение со степенью сходства по Заде или по Лукасевичу не меньшей, чем I заданное.
ЛИТЕРАТУРА
1. Вагин В.Н. Дедукция и обобщение в системах принятия решений.- М.:Наука.1988.-384с.
2. Карелин В.П. Теория и средства поддержки комбинаторных моделей принятия решений в организационно-технологических системах.Дисс...докт. техн. наук. Таганрог, 1995г.- 334с.
3. Карелин В.П., Целых А.Н. Нечеткие классификационные модели принятия решений в ситуационных советующих системах. И Известия вузов. Северо-Кавказский регион. ( Технич. науки). 1999, №1.
4. Нечёткие множества и теория возможностей. Последние достижения. Пер. с англ./ Под ред. Р.Р.Ягера М.: Радио и связь, 1986.-408 с.
5. Мелихов А.Н..Карелин В.П. Методы распознавания изоморфизма и изоморфного вложения чётких и нечётких графов: Учебное пособие,- Таганрог: Изд.ТРТУ, 1995,- 112 с.
УДК 518.5
В.И. Финаев, В.В. Бссшаиошников МЕХАНИЗМЫ НЕЧЕТКОГО ВЫБОРА В ЗАДАЧАХ ПРИНЯТИЯ СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
Рассмотрим варианты выбора X X на основе подхода, когда некоторая итоговая функция выбора формируется из функций выбора по отдельным нечетким отношениям. Выбор осуществляется в несколько этапов, на каждом из которых будет происходить сокращение
вариантов, т.е. мощность множеств в^х после каждого этапа выбора будет уменьшаться при продвижении к цели.
Определение 1. Если каждый этап нечеткого выбора реализуется на основе некоторого нечеткого отношения, то естественный процесс нечеткого выбора называется механизмом последовательного нечеткого выбора.
Механизм последовательного нечеткого выбора зададим множеством О нечетких
отношений = (ЧрЯг*• ‘чЧкЬ схематически представим в виде рис. 1.
^41 »42 »•••»Ч к
Рис.1
Введем аббревиатуру Нпс для обозначения механизма последовательного нечеткого выбора. Механизму Нпс сопоставим
- нп— _
Се (X) = С "(СС „(С ,ЛХ )))-))■ 0)
Анализ вида функции (1) показывает, что вначале происходит выбор по нечеткому отношению q,. В результате будет отобрано В| вариантов, В, = СЦ, (X) с X На В!
вариантах происходит выбор по нечеткому отношению ч2 и осуществляется в результате
