CC BY
90
Леденева Т.М., Недикова Т.Н. МОДЕЛИ ОЦЕНКИ КАЧЕСТВА СЛОЖНЫХ СИСТЕМ, УЧИТЫВАЮЩИЕ РАЗНОРОДНУЮ ИНФОРМАЦИЮ
Сложная система, как правило, характеризуется целым набором показателей (признаков, критериев), которые определяют качество ее функционирования, при этом показатели зачастую являются разнородными, устроенными по различным принципам («предпочтительно иметь большее значение», «предпочтительно иметь меньшее значение»). Кроме того, оценки по ним могут быть как качественными (лингвистическими, выраженными на естественном языке - «хороший», «плохой» и т.д.), так и количественными. Таким образом, при формировании обобщенной оценки сложной системы возникает проблема обработки разнотипной, приближенной, возможно неточной информации. Для ее решения необходим комплексный подход, основанный на применении универсальных операторов, позволяющий обрабатывать как количественную, так и лингвистическую информацию.
Будем считать, что количественная информация представима в виде чисел из [0,1], если это не так, то осуществляется нормирование данных с использованием подходящих функций нормирования. Формализация экспертных оценок (лингвистических) обеспечивается введением нечеткой и лингвистической переменной. Нечеткая переменная представляет собой нечеткое подмножество некоторого универсального множества, которое описывает ограничение на возможные значения данной переменной. Лингвистическая переменная определяется через три основные компоненты - множество ее значений (термов), представляющих собой наименования нечетких переменных, областью определения каждой из которых является одно и то же универсальное множество; синтаксическую процедуру, предназначенную для образования новых значений и семантическую процедуру для отображения нового лингвистического значения в нечеткую переменную. Лингвистическая шкала S представляет собой конечное линейно упорядоченное множество термов }> ie{0,..., T} , удовлетворяющих условиям: 1) если i<j , то Si предшествует Sj -<Sj^ ; 2) отрицание терма N(Sj) = ST_i+1 ; 3) объединение термов
Sj vSj =max(Si?Sj) =Sj , если -< Sj; 4) пересечение термов: Sj л Sj = min(Sj,Sj) = Sj , если Sj Sj .
Пусть Aj (x)=Xj - частная оценка альтернативы x e X по i -му критерию или оценка, полученная от i -го
эксперта в процедуре группового выбора. Обобщенная оценка представляет собой скалярную величину и может быть получена путем агрегирования компонент векторной оценки в соответствии с определенным принципом
A(X)= Agg(xi,x2,-,xn ) •
В случае, если оценки и весовые коэффициенты являются числовыми из [0,1] нами рассматриваются следующие классы операторов агрегирования:
треугольные нормы и конормы, моделирующие нечеткие логические связки и и или [1];
порядковые взвешенные операторы (OWA-операторы) [2]: отображение F: [0,1]” ^[0,1] , такое что
n
Fw(xi,x2,...,xn) = ^wiYi , где Y = (у1,У2,---,Уп) - вектор, полученный из X = (xi,x2,...,xn) упорядочением эле-i=1
п
ментов по невозрастанию, W = ( w1,w2,...,wn) - вектор весов, удовлетворяющих условиям Wj е[0,1], ^ Wj = 1 •
i=1
обобщенная форма порядковых взвешенных операторов: F: и [0,1]"-[ОЛЬ если для всех п > 1 существует
П -мерный набор весов Wn = (wn,wn,...,wn) такой, что V (х1,х2,...,Хп) = Х<У1 , где ¥ - упорядоченный по
1=1
невозрастанию вектор оценок X . Такой оператор может быть задан с помощью треугольника, каждая строка
п
которого представляет собой набор весов для конкретного значения П , при этом ^wln = 1 для любого П .
1=1
Числовые характеристики порядковых взвешенных операторов позволяют целенаправленно реализовывать различные стратегии агрегирования и управлять компенсационными свойствами модели оценки. Особенностью порядковых операторов является то, что их можно обобщить на случай лингвистической информации.
Если весовые коэффициенты являются числовыми из [0,1], а оценки являются лингвистическими переменными, для получения обобщенной оценки сложной системы могут быть использованы следующие операторы агрегирования:
лингвистические порядковые взвешенные операторы (ЬОИД-операторы) [3]:
Фте(А)= Сп |\¥к,Ьк,к = 1,п}= ^ ® Ь ©(1-^)® Сп-1рь,Ьь,Ь = 2,п}, где В - вектор, полученный из А рядочением по невозрастанию лингвистических термов, т.е. каждый элемент Ь еВ есть 1-я по порядку
наибольшая оценка в наборе ¡а,^,...,^} ; р = wh , Ь = 2,п ; Сп - выпуклая комбинация П термов,
¿>к
к=2
п
W = (■^1,^2,...,’^п) - вектор весов, удовлетворяющих условиям ^ е [0,1], ^^ = 1 *
1=1
В случае, если и весовые коэффициенты и оценки представлены лингвистическими переменными, для получения обобщенной оценки сложной системы могут быть использованы следующие операторы агрегирования:
операторы лингвистического взвешенного осреднения [4]: LWA[(a1,W1) (^2,^2 )>-., (^п,^п )] = (a,w) , где
W = Ф(’№1,'№2, ...,^), а = f (8(а^1), 8(a2,W2),...,g(an,Wn)), £ ф, ф11 - операторы ьоиа и 1-ьоиа (1-ьоид - обратный к ЬОИД оператор, вектор В получен из А упорядочением по неубыванию лингвистических термов),
причем если £ = ф^ , то 8 ЬС^ ЬС2,ЬСз} ; если £ = Фд1 , то 8 Ы2, Ы2,Ы3} . В качестве лингвистической
конъюнкции ЬС выбираются треугольные нормы, в качестве лингвистической импликации Ь1 выбираются треугольные конормы.
Особым случаем является ситуация, когда информация из неоднородных источников объединяется с целью получения единственной выходной величины, при этом различная природа источников должна учитываться.
Пусть F: [0,1]" —— [0,1] , G: [0,1]™ — [0,1] - операторы агрегирования (каждый со своим набором свойств),
H: [0,1]2 —[0,1] - бинарная операция в [0,1], тогда
H ( F(x(n)), G(x(m))) (n,m е N),
af,g,h =' F(x(n)), m = 0, ,
G(X(m) ), П = 0,
где X(n) =(X1,X2,-,Xn)G[0,1]",X(m) =(X1,X2,--,Xm)G[0,1]“ •
Предлагается следующий алгоритм агрегирования, состоящий из двух шагов: каждый из наборов входных
данных сокращается до скалярной выходной величины, которые затем сворачиваются в обобщенную оценку. Каждый из шагов может быть реализован стандартным оператором агрегирования числовой или лингвистической информации. Основными свойствами оператора такого типа [5] являются: монотонность, симметричность,
наличие нейтрального элемента и аннулятора, идемпотентность и тождественность. Изучение этих свойств дает широкие возможности для использования его в случае получения обобщенной оценки сложной системы, если частичные оценки представляют показатели эффективности, качества или надежности.
ЛИТЕРАТУРА
1. Леденева Т.М., Недикова Т.Н. О некоторых подходах к получению новых нечетких операторов // Математические методы в технике и технологиях: Сб. тр. XVI Междунар. науч. конф. Ростов на Дону, 2003. - Т.
4. - С. 174-179.
2. Yager R.R. Ordered weighted averaging aggregation operators in multi-criteria decision making // IEEE Transactions Of Systems, Man and Cybernetics. -1988. - № 18. - P. 183-190.
3. Yager R.R. Aggregation operators and fuzzy systems modeling // Fuzzy Sets and Systems. -1994. - №
67. - P. 129-145.
4. Herrera F., Herrera-Viedma E. Aggregation operators for linguistic weighted information // IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics.- 1997. - № 27. - P. 646-656.
5. Calvo T., Pradera A. Double aggregation operators // Fuzzy Sets and Systems. -2004. - № 142. - P. 15-33.
