CC BY
42
УДК 519.83+519.86 ББК 22.18
МОДЕЛИ МОТИВАЦИОННОГО УПРАВЛЕНИЯ В ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИКЕ И ПРОБЛЕМЫ ИХ ИДЕНТИФИКАЦИИ1
2 3
Антоненко А. В. , Угольницкий Г. А.
(Южный федеральный университет, г. Ростов-на-Дону)
Рассматриваются оптимизационные и теоретико-игровые модели стимулирования инноваций и борьбы с хищениями в электроэнергетике. Обсуждаются проблемы идентификации моделей, имеющие ключевое значение для приложений. Приводятся результаты аналитических и численных исследований.
Ключевые слова: иерархические игры, мотивационное управление, оптимизация, идентификация, электроэнергетика.
1. Введение
Использование оптимизационных и теоретико-игровых моделей организационного управления представляется перспективным инструментом повышения эффективности электроэнергетической отрасли. Анализ литературных источников позволяет сделать следующие выводы.
1. При управлении распределенным потреблением электроэнергии в условиях децентрализованного рынка достаточно активно используются математические модели и компьютерные системы поддержки решений на их основе.
1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты №12-01-00017, 12-01-31287) и Южного федерального университета.
2 Андрей Валерьевич Антоненко, кандидат технических наук, (тел. (918) 564-54-38, [email protected]).
3 Геннадий Анатольевич Угольницкий, доктор физико-математических наук, профессор (Ростов-на-Дону, ул. Лермонтовская, 102, кв. 30, тел.служебный (863) 297-51-14, [email protected]).
2. Среди наиболее широко применяемых моделей можно указать:
- модели прогноза различных параметров функционирования электроэнергетических систем и рынков электроэнергии (цены, нагрузки, потребление) [3];
- модели влияния различных факторов и подготовки данных (эконометрические, динамические) [7];
- модели функционирования рынка и его отдельных участников, в том числе регуляторов и распределяющих компаний (экономико-математические, имитационные) [6];
- модели оценки инвестиций [4];
- модели и системы поддержки решений [10];
- модели управления спросом [12].
3. Большинство описанных моделей опирается на данные коммерческого учета потребления электроэнергии, для получения которых необходимо устанавливать интеллектуальные счетчики.
4. Наиболее важными с точки зрения решения практических задач, стоящих перед электроэнергетическими компаниями на конкурентном рынке, представляются задачи управления спросом. Именно инновации в управлении спросом могут дать наибольший эффект в краткосрочной и долгосрочной перспективе.
5. Комплексное использование моделей и методов управления спросом позволяет не только решать задачи оперативного управления электроэнергетическими системами, но и обеспечить их долгосрочное устойчивое развитие, под которым понимается выполнение базовых социальных, экономических, экологических и технологических требований при условии согласования интересов всех участников рынка электроэнергии. Постановка и решение задач управления устойчивым развитием электроэнергетической отрасли представляется магистральным направлением фундаментальных и прикладных научных исследований в электроэнергетике.
На основании проведенного анализа представляются целесообразными постановка и решение следующих задач управления распределенным потреблением электроэнергии.
1. Интеллектуальная обработка данных, собираемых компьютеризованными электросистемами (приборами учета потребления электроэнергии).
2. Разработка моделей защиты от целенаправленного искажения информации и алгоритмов их решения: а) модели борьбы с неплатежами; б) модели борьбы с уменьшением показателей потребления электроэнергии; в) модели контроля отчетности подразделений энергетических компаний.
3. Разработка моделей активного пользователя электроэнергии и алгоритмов их решения: а) модели использования дифференцированных тарифов на электроэнергию; б) модели «встречного планирования» для повышения точности прогноза потребления и управления нагрузкой; в) модели стимулирования инноваций в коммерческом учете электроэнергии.
4. Разработка моделей иерархического управления устойчивым развитием электроэнергетическими системами и алгоритмов их решения: а) модели административного управления с учетом требований устойчивого развития; б) модели экономического управления с учетом требований устойчивого развития; в) модели перехода к кооперации агентов и совместного обеспечения устойчивого развития.
В ролях ведущего и ведомого в моделях иерархического управления могут выступать различные агенты, например: регулятор рынка - энергетическая компания, энергетическая компания - клиент, крупная оптовая компания - розничные продавцы электроэнергии, компания - филиалы и т.п.
5. Разработка и реализация информационно-моделирующих систем управления в электроэнергетике с учетом требований устойчивого развития.
Итак, для решения практических задач управления спросом на электроэнергию представляется целесообразным использовать модели и механизмы управления организационными системами с учетом концепции управления устойчивым развитием. На первый план здесь выходят модели мотивационного управления, описывающие экономические механизмы стимулирования активных агентов. Изучение таких моделей осуществляется средствами теории контрактов [11], информационной теории иерархических систем [5], теории активных систем [1] (сейчас -94
теории управления организационными системами [8]). В рамках последнего направления впервые намечены пути приложения механизмов организационного управления к электроэнергетике [2]. В авторских исследованиях мотивационное управление трактуется как побуждение - один из методов управления наряду с принуждением и убеждением, которые используются для решения задач обеспечения устойчивого развития сложных систем [9-10].
Целью настоящей статьи является решение двух взаимосвязанных задач. Во-первых, описание достаточно широкого множества оптимизационных и теоретико-игровых моделей, пригодных для решения задач организационного управления в электроэнергетике, и качественная демонстрация типовых выводов, которые могут быть получены с помощью указанных моделей. Во-вторых, описание авторского подхода к идентификации этих моделей, необходимой для решения конкретных практических задач.
Этот замысел определяет структуру статьи. В разделе 1 описываются модели стимулирования инноваций в электроэнергетике: классическая модель стимулирования типа «центр -агент», теоретико-игровая модель с равноправными игроками, теоретико-игровая модель типа Гермейера-Вателя, иерархическая игровая модель, кооперативно-игровая модель. Описаны решения этих моделей и дана их интерпретация с точки зрения электроэнергетики. В разделе 2 описаны модели борьбы с хищениями электроэнергии. В целом модель представляет собой иерархическую игру трех лиц типа «принципал - супервайзор -агент», для которой предложены стратегии принципала в борьбе с коррупцией. Возможно также рассмотрение с позиций супер-вайзора и агента. Помимо качественного анализа, в обоих разделах приводятся иллюстративные результаты числовых расчетов. В разделе 3 подчеркивается важность проблем идентификации моделей, обсуждаются существующие подходы к их решению, и дается набросок авторской методики. В Заключении формулируются полученные результаты и намечаются перспективы дальнейших исследований.
2. Модели стимулирования инноваций в электроэнергетике
В качестве примера инновации рассматривается установка компьютеризованных электросистем «Аргус», обеспечивающих автоматизацию учета потребления электроэнергии и ряд функций управления нагрузкой. Применение данного оборудования позволяет увеличить эффективность использования установленной электрической мощности объектов до 30%, повысить уровень пожарной безопасности объектов, снизить затраты на эксплуатацию систем электроснабжения объектов до 15% и увеличить их срок эксплуатации. Максимальная эффективность применения оборудования достигается при новом строительстве и реконструкции объектов. Оборудование имеет европейский и российский сертификаты соответствия, его применение одобрено и рекомендовано НП «Центр энергосбережения и инновационных технологий» Ростовской области и ОАО «Донэнерго».
Однако остается открытым вопрос о субъекте финансирования установки компьютеризованных электросистем (интеллектуальных счетчиков) «Аргус» для различных категорий потребителей. Для его решения целесообразно использовать различные классы моделей стимулирования.
2.1. КЛАССИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СТИМУЛИРОВАНИЯ
В классической модели стимулирования [3] центр компенсирует агенту затраты на совершение действий, приносящих доход центру. Обозначим: u - доля установленных счетчиков от максимального числа (100%-й обеспеченности); c(u) - затраты агента на установку счетчиков (выпуклая функция); s(u)- компенсация центром затрат агента; H(u)- доход центра от установки счетчиков (вогнутая функция).
Модель имеет вид
F(u) = H(u) - s(u) ^ max, s(u) e S(u);
f (u) = s(u) - c(u) ^ max, 0 < u < 1.
Ее решение
Гс(и) + 5, и = и*, * *(и) = \„
[0 иначе; где 5 - мотивирующая надбавка,
F(и*) = тах F(и) = тах [Н(и) - с(и)].
0<и <1 0<и<1
Возьмем в качестве примера
Н(и) = аиа (0 < а < 1), с(и) = Ьи0 (0 > 1).
Здесь а - доход центра при 100%-м охвате территории счетчиками; Ь - затраты агента на 100%-ю обеспеченность счетчиками; а, 0- модельные параметры. Тогда
F(u) = H(u) - c(u) = aua - bup ,
dF
— = aaua-1 - 0bup-1 ^ u* = du
i aa ^ p-a
pb
точка максимума,
так как
d2F(2u*) = a(a - l)ua-2 - 0(0 - l)up-2 < 0. du
Окончательно получаем оптимальное решение в виде u*,u* е [0,1], umax =jl,u* й [0,1] a a > b, 0, u* й [0,1] a a < b.
При а = Ь = 1 получаем и* = (а / 0)0 а < 1, т.е. 100%-я обеспеченность не оптимальна.
Проведем иллюстративные расчеты по сетке дляа = 0,1; 0,3; ...; 0,9; 0 = 2, 4, ..., 10, и различных соотношений значений параметров а и Ь. Результаты представлены в таблицах 1-5.
В случае равных затрат и дохода при 100% обеспеченности значение и возрастает при возрастании параметров а и 0. Таким образом, наибольшее из возможных значение и получается при использовании наибольших значений параметров а и 0. Когда значение дохода а ^ 0, значение и возрастает при увеличении параметра 0. Наибольшее значение и получается при ис-
пользовании наибольших возможных значений параметров а и /3.
Таблица 1. Значение и* при а = Ь = 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,1 0,07 0,21 0,31 0,39 0,45 0,50 0,54 0,57 0,60
0,3 0,18 0,33 0,43 0,50 0,55 0,59 0,63 0,65 0,68
0,5 0,25 0,40 0,49 0,55 0,60 0,64 0,67 0,70 0,71
0,7 0,31 0,45 0,53 0,59 0,63 0,67 0,70 0,72 0,74
0,9 0,35 0,49 0,56 0,62 0,66 0,69 0,71 0,74 0,75
Таблица 2. Значение и* при а = 0,1, Ь = 50
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,1 0 0,0078 0,0363 0,0789 0,1266 0,1742 0,2195 0,2615 0,3
0,3 0 0,0085 0,0427 0,0926 0,1465 0,1987 0,2472 0,2913 0,3311
0,5 0 0,0063 0,0407 0,0935 0,1507 0,2056 0,2561 0,3017 0,3426
0,7 0 0,0037 0,0356 0,0897 0,1492 0,2064 0,2587 0,3057 0,3477
0,9 0 0,0017 0,0292 0,0833 0,1446 0,2038 0,2579 0,3064 0,3494
Таблица 3. Значение и* при а = 25, Ь = 50
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,1 0,0358 0,1435 0,2437 0,3251 0,3907 0,4442 0,4886 0,526 0,558
0,3 0,0665 0,2179 0,3297 0,4117 0,4742 0,5235 0,5635 0,5966 0,6246
0,5 0,0625 0,25 0,3701 0,4529 0,5139 0,5611 0,5989 0,63 0,656
0,7 0,0302 0,2617 0,3929 0,478 0,5388 0,585 0,6216 0,6514 0,6762
0,9 0,0003 0,2577 0,4052 0,4942 0,5558 0,6018 0,6377 0,6667 0,6908
Когда значение а = Ь/2, значение и возрастает при возрастании параметра /.Наибольшее значение и получается при использовании наибольших возможных значений параметров а и /3.
В случае, когда затраты агента Ь ^ 0, оптимальная доля установленных счетчиков от максимального числа и* максимальна и равна 1 при любых значениях параметров а и /.
Распределение и* при возрастании параметра 3 зависит от текущего значения параметра а, т.е. выгодно брать наибольшее значение а.
Таблица 4. Значение и* при a = 50, b = 0,1
Ж 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,1 77,22 5,44 2,64 1,91 1,60 1,43 1,33 1,26 1,21
0,3 1284,40 12,68 4,26 2,66 2,06 1,76 1,58 1,46 1,38
0,5 62500,00 25,00 5,87 3,26 2,39 1,97 1,73 1,58 1,48
0,7 302152933,14 53,14 7,92 3,88 2,69 2,15 1,86 1,68 1,55
0,9 3,41e+26 137,51 10,87 4,59 3,00 2,33 1,98 1,76 1,62
Таблица 5. Значение и* при a = 50, b =25
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0,1 0,17 0,30 0,39 0,46 0,52 0,56 0,60 0,63 0,65
0,3 0,48 0,50 0,55 0,60 0,64 0,67 0,69 0,71 0,73
0,5 1 0,63 0,64 0,67 0,70 0,72 0,74 0,76 0,77
0,7 3,07 0,76 0,72 0,73 0,74 0,76 0,77 0,79 0,80
0,9 357,05 0,91 0,78 0,77 0,78 0,79 0,80 0,81 0,82
2.2. ТЕОРЕТИКО-ИГРОВАЯ МОДЕЛЬ С РАВНОПРАВНЫМИ ИГРОКАМИ
Рассмотрим игру в нормальной форме с тремя игроками: местный орган управления (i = 1), товарищество собственников жилья (i = 2) и энергетическая компания (i = 3). В общем виде модель можно записать как
gi(u1,и2,и3) ^ max, uj е Ut , i = 1,2,3, и основную задачу представляет идентификация функций выигрыша gi, осуществляемая по методике последовательного усложнения с использованием экспертных оценок (см.раздел 3). Возьмем в качестве примера
gi(u1,u2,u3) = ai(u1 + u2 + u3)a' -0.5biui2, at > 0, bt > 0, 0 < at < 1, i = 1,2,3; где u' - доля бюджета развития игрока i, ассигнуемая на инновации в электроэнергетике^ - доход игрока 'от этих инноваций.
Для нахождения равновесий по Нэшу надо решить систему уравнений
0 = ^Л^ = atat (u1 + u2 + u3)a-1 - b1u1, i = 1,2,3.
Su,.
В общем виде требуется численное решение. В частном случае a, = a, b, = b, a, = аполучаем bul = bu 2 = bu 3 = bu = aa(3u )a-1, i
откуда u* = [3a-1 aa /b]2-a .
1
В безразмерном варианте a = b = 1 имеем u* = [3a-1a]2-a.
2.3. ТЕОРЕТИКО-ИГРОВАЯ МОДЕЛЬ ГЕРМЕЙЕРА-ВАТЕЛЯ Изученная в [4] модель может быть записана в виде
(1) ёг (u^ U2, u3) = W, (u, ) + G( У , У2 , У3) ^ mаX, yt = at - ut, г = 1,2,3.
Таким образом, каждый игрок располагает ресурсом aг, который он распределяет между частным интересом hi(u1), зависящим только от его собственных действий, и общим интересом G, зависящим от действий всех игроков. В [4] доказано, что при монотонных функциях h1(u1) и G в игре (1) существует хотя бы одно Парето-оптимальное равновесие по Нэшу. Рассмотрим случай двух игроков, тогда Парето-оптимальное равновесие по Нэшу будет сильным равновесием. Положим для простоты ai = a2 = 1, т.е. каждый игрок располагает единичным ресурсом (бюджетом развития). Пусть функции выигрыша имеют вид
(2) g1(u1, u2) = 2Л/й1 + 2^2 - щ - u2 ^ max, 0 < u1 < 1,
(3) g2(u1, u2) = + 2^2 - u1 - u2 ^ max, 0 < u2 < 1,
где uг - часть бюджета развития, ассигнуемая игроком г на его частные интересы; 1 - uг - оставшаяся часть бюджета, ассигнуемая игроком i на финансирование инноваций (которое предполагается общим интересом обоих игроков), i = 1, 2.Тогда можно показать, что ситуация (2/3, 2/3)является сильным равновесием в игре (2)-(3), т.е. две трети бюджета каждый игрок ассигнует на частные интересы, треть - на стимулирование инноваций. При этом игроки получают одинаковые выигрыши g1(2/3, 2/3) = g2(2/3, 2/3) = W6/3 . Заметим, что если рассмотреть игру (2)-(3) в иерархической постановке с ведущим первым игроком, то равновесие по Штакельбергу имеет вид (2/3, 1/6), при
этом выигрыш ведущего игрока g1 (2/3,1/6) = 2(л/2"/3 + V7/6) больше выигрыша ведомого игрока g2 (2/3,1/6) = 2 (л/Г/6 + V 7/6)
и больше выигрыша в сильном равновесии.
Главная проблема здесь заключается в идентификации функций выигрыша (1), поскольку ясно, что при их виде, отличном от (2)-(3), оптимальное распределение ассигнований будет иным. Например, рассмотрим модель вида
g1(u1, и 2) = д/ 2 - и1 - и 2 - u1 ^ max, 0 < и1 < 1;
g 2(u1, u 2) = д/ 2 - u1 - u 2 - u 2 ^ max, 0 < и 2 < 1. Легко убедиться, что здесь ситуация «чистого альтруизма» (0, 0) является сильным равновесием и совпадает с равновесием по Штакельбергу, при этом выигрыши игроков равны:
g1 (0,0) = g2(0,0) = л/2 .
2.4. ТЕОРЕТИКО-ИГРОВАЯ ИЕРАРХИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Рассмотрим иерархическую игру, в которой первый игрок -ведущий (с правом первого хода), второй - ведомый. Ведущий стремится заинтересовать ведомого во внедрении инноваций. Модель имеет вид
g1 (u1,u2) ^ max, u1 e U1; g2(u1,u2) ^ max, u2 eU2. Рассмотрим в качестве примера игру
g1 (u1,u2) = a1u1 - 0.561u12 + c1u2 ^ max, 0 < u1 < 1;
g2(u1,u2) = a2u2 - 0.5b2u\ + c2u1 ^ max, 0 < u2 < 1. Здесь ui - доля бюджета развития игрока i, ассигнуемая на инновации в электроэнергетике (установку счетчиков «Аргус»); gi -общий доход игрока i от инноваций в ситуации (иь и2). Найдем сначала равновесие по Штакельбергу:
= a2 -b2u2 ^ u2* = R2(u1) = —; Su2 b2
5g'(u1, u2*) = a1 - b1u1 ^ u1* = a1; du1 b1
ST\ = {(ai/bi, a2/b2)} и является также равновесием Нэша, так как уравнения dg1 / dui = 0, eg2/ ды2 = 0 независимы. Теперь найдем равновесие в игре Г2, используя теорему Гермейера [5].
Теорема Гермейера. Пусть функции выигрыша первого и второго игроков M1(x1, x2), M2(x1, x2) непрерывны на компактах X1, X2 (множествах допустимых управлений игроков). Введем следующие функции: стратегию наказания игрока 2 xp (x2) по правилу M2(xp, x2) = min M2(x1, x2), и доминирующую страте-
xleXl
гию игрока 1 xf(x2), которая удовлетворяет условию M 1(xf,x2) = maxM(xl5x2). Кроме того, введем величины и
xleXl
множества:
L2 = maxM2(xp (x2), x2);
E2 = {x2 e X2 :M2(xp(x2),x2) = L2};
D2 = {(x1> x2) e X1 X X 2 : M2(xU x2) > L2}; K1 = sup M1(x1,x2) <M1(x1E,x2) + s,
( x, x2)ef2
(D2 = 0 ^ K1 = -да); K 2 = min max M1 (x1, x2).
x2eE2 x1eX1
Тогда гарантированный выигрыш игрока 1 (ведущего) в игре Г2 (игре, в которой первый игрок имеет информацию о выборе второго игрока) равен w1 = max(K1, K2), а соответствующая е-оптимальная гарантирующая стратегия имеет вид
~1S (x2) = <
K1 > K2, xf (x2), x2 e E2, K1 < K2,
xp (x2) иначе. саны выше.
a
В нашем примере uf (u2) = ; up (u2) = 0;
b1
где x1 и xS описаны выше.
а ч а1
L2 = тах ^ 2(0, ы2) = g 2(0,^) =
Ь2 2Ь2
^ 2 = {(а2)}; Ь2
£>2 = {(и1,и2): g2(Ul,и2) > ¿2};
2 / • 6 2 ^Ч'^ 2 Л * „ *) = _а_ + а2С1 ■
К2 = &(«ЛЩ2*) = ТГ" + , , 2Ь1 Ь2
для нахождения величины К1 надо решить задачу а1 • щ - 0,5 • Ь1и12 + с1 • и1 ^ тах
, 2 а2
а2Щ Ь^и2 + С2Щ >
2Ь2
0 < щ < 1, 0 < и2 < 1; откуда вновь
(30) щ1* = а1, и2* = а2, К1 = + ^
Ь2 Ь2 2Ь2 Ь1
= {щ *
а1 а 2
Ь1 ' 2 Ь2 '
В силуЕ2 = {и2*}при любом соотношенииКь К2 получаем
~1 * (и 2) = <
0 иначе;
т.е. в данном случае решения игр Г и Г2 совпадают. Проблема в том, что вопрос об идентификации параметров а, Ь,, достается открытым.
2.5. КООПЕРАТИВНО-ИГРОВАЯ МОДЕЛЬ
Удобной кооперативно-игровой моделью служат так называемые игры голосования [11]. Игра голосования с характеристической функцией V определяется формулой
(4) V (К Ы ^К
[0 иначе.
Здесь величина д, > 0 интерпретируется как число голосов, которыми располагает игрок /. Таким образом, коалиция побеж-
103
дает (у(^) = 1), если набирает не менее нужного числа голосов Q, и проигрывает в противном случае. Удобно задавать игру голосования строкой ..., qn).
В рассматриваемой модели игроками являются местный орган управления (/ = 1), товарищество собственников жилья (/ = 2) и энергетическая компания (/ = 3). В общем случае можно интерпретировать qi как комплексный ресурс игрока I, а Q- пороговое значение ресурса, при котором интеграция является эффективной. В качестве примера будем придерживаться трактовки, согласно которой Q - стоимость реализации инновационного инвестиционного проекта (например, установка интеллектуальных счетчиков потребления электроэнергии), qi - сумма, которую игрок / готов инвестировать в проект. Проект может быть выполнен, если участники (все или некоторые) совместно инвестируют в его реализацию необходимую сумму Q.
Рассмотрим игру голосования вида (4). В предложенной трактовке выигрывающими являются те и только те коалиции, которые располагают необходимыми средствами для реализации инвестиционного проекта, а решение игры показывает принцип распределения доходов от его реализации.
Положим для определенности q\ < q2 < q3 , т.е. упорядочим участников по возрастанию их готовности инвестировать в проект. Будем считать также, что q\ + q2 > q3 (в противном случае инвестиционный ресурс третьего игрока превосходит суммарный ресурс двух остальных, и объединение становится существенно неравноправным). Очевидно, что представляет интерес рассмотрение проектов, стоимость реализации которых находится в диапазоне Q е q\ + q2 + q3]. Действительно, если Q < q3 , то третий игрок может реализовать проект самостоятельно, и необходимости в объединении не возникает. Если же Q > q\ + q2 + q3 , то даже объединения ресурсов всех игроков все равно недостаточно для реализации проекта. Проведем анализ всех возможных случаев соотношения ресурсов игроков и стоимости проекта при сделанных предположениях. 1. qз < Q < q\ + q2 .
В этом случае все одноэлементные коалиции проигрывающие, а все двухэлементные и максимальная коалиция - выигрывающие. Игра симметрична, С-ядро в ней отсутствует. Вектор 104
Шепли имеет вид Ф(у) = (1/3, 1/3, 1/3), т.е. в этом распределении все игроки получают одинаковую долю дохода от реализации проекта. Имеется устойчивое множество Вг/2 = {(1/2, 1/2, 0), (1/2, 0, 1/2), (0, 1/2, 1/2)}, которое представляет собой так называемое дискриминирующее решение. Это означает, что те два игрока, которые первыми объединятся и создадут выигрывающую коалицию, исключают третьего игрока из распределения дохода, деля его поровну между собой.
2. q\ + q2 < Q < q\ + qз .
Здесь участия третьего игрока необходимо и достаточно, чтобы неодноэлементная коалиция была выигрывающей, поэтому С(у) = {(0, 0, 1)}, Ф(у) = (1/6, 1/6, 2/3). Хотя третий игрок не является здесь в полном смысле слова диктатором, но его роль в инвестировании существенно выше, чем у двух других игроков, поэтому в С-ядре он забирает весь доход полностью, а в более демократичном векторе Шепли - две трети дохода (оставшаяся треть делится поровну между первым и вторым игроками).
3. q\ + qз < Q < q2 + qз .
Здесь в системе для определения С-ядра ненулевую правую часть имеют соотношениях2 + х3 > 1,Х\ + х2 + х3 = 1, Поэтому С^) ={(0, х2, х3), х2 + х3 = 1, х2 > 0,х3 > 0}. Из соображений симметрии и неучастия первого игрока получаем вектор Шепли в виде Ф(у) = (0, 1/2, 1/2). Таким образом, здесь основную роль в инвестировании играют более сильные второй и третий игроки, которые и делят между собой инвестиционный доход, исключая первого игрока из распределения.
4. q2 + qз < Q < q\ + q2 + qз .
Здесь С(v) = 0, Ф(у) = (1/3, 1/3, 1/3),единственной выигрывающей коалицией является максимальная (т.е. для реализации проекта требуется обязательное объединение усилий всех игроков, которые в этом случае делят инвестиционный доход поровну).
3. Модели борьбы с хищениями электроэнергии
Эта проблема также является весьма актуальной. Так, по данным следственного управления Следственного комитета РФ по Ростовской области, в 2012 году группа сотрудников ОАО
«Донэнерго», состоящая из электромонтеров и руководителей отделов по передаче электроэнергии, незаконно получала денежные средства. Именно, при снятии показаний счетчиков электроэнергии инспекторы-контролеры, находящиеся в сговоре с потребителями, вносят незаконные изменения в учетные единицы (ставят перемычки, перематывают счетчики) в сторону значительного уменьшения количества потребляемой энергии.
Рассмотрим иерархическую систему вида
Рис. 1.Схема трехуровневой иерархической системы.
Структурная схема экономических отношений в проблеме борьбы с хищениями (уменьшением показателей потребления электроэнергии) выглядит следующим образом:
Выигрыш принципала = доход от продаж э/энергии -- затраты на премию супервайзору - затратынаконтроль хищений.
Выигрыш супервайзора = премия + «откат» -штрафпри поимке.
Выигрыш агента = доход от недоплаты - «откат». Обозначим: р - доля от дохода компании, идущая на премию работнику; д - доля выявленных случаев подлога; Ь - доля «отката»; 5 - сообщаемое контролером значение энергопотребления 106
(КВт-ч); r - истинное значение энергопотребления (КВт-ч); c - цена 1 Квт-ч электроэнергии (руб/КВт-ч); (с = 3,45) a - затраты компании на выявление всех случаев подлога (руб); M - штраф за подлог (руб/КВт-ч).
Тогда имеем: cs - доход компании; pcs - премия работника; c(r - s) - цена скрытого энергопотребления (доход от недоплаты); bc(r - s) - «откат»; aq - затраты компании на контроль; Mq(r - s) - штраф при выявлении подлога в размере (r - s). Модель можно записать в виде
(5) gp (Р, q, s) = (1 - p)cs - aq ^ max, 0 < p < 1, 0 < q < 1;
(6) gs (Р, q, s,b) = Pcs + (bc -Mq)(r - s) ^ max, 0 < s < r;
(7) gA (s, b) = c(1 - b)(r - s) ^ max, 0 < b < 1.
Рассмотрим сначала ситуацию с позиции агента с функцией выигрыша (7). Предположим, что функция «информационной коррупции» s = s(b) известна. В простейшем случае будем считать ее линейной функцией величины взятки:
(8) s(b) = r(1 - b).
Таким образом, в отсутствие коррупции (b = 0) контролер сообщает принципалу истинное значение потребления s = r, а при максимально возможном «откате» b = 1 не показывает потребление вообще (s = 0).Тогда задача оптимизации агента имеет вид
gA(b) = crb(1 -b) ^ max, 0 < b < 1, ее очевидное решение b* = 1/2, при этом s* = r/2, gA (b*) = cr/4,
cb *(r - s*) = cr /4, gp (p, q, s*) = (1 - p)cr /2 - aq; т.е. при 50%-м «откате» половина(!) максимально возможного (при объективных значениях показателей) дохода компании поровну распределяется между коррупционными доходами супер-вайзора и агента, а доход компании соответственно составляет менее половины от максимально возможного с учетом затрат на премии супервайзору и контроль хищений.
Здесь вновь основная проблема заключается в идентификации функции 5 = 5(Ь), наиболее адекватно отражающей реальный процесс коррупции, поскольку формула (8) дает лишь первое приближение. Так, более общая степенная параметризация вида 5(Ь) = г(1 - Ь)к приводит к результатам
1 г
Ь* = 1--ТТГ, 5* =-,
(к +1)1'к к +1
и оказывается, что подходит лишь вариант к > 1, поскольку иначе контролеру выгодно завышать показания счетчиков. Тем не менее, уже эти простейшие предположения показывают наличие серьезных экономических оснований для коррупции.
Численные исследования проводились для функций коррупции следующего вида:
1. 5(Ь) = Я*(2 - е1п2*ь),В* = 0,55;£* = 5402,72.
Рис.2.В* = 0,55, S* = 5402,72
Здесь результаты идентичны случаю линейной функции. 2. 5(Ь) = Я*(1 - Ь)а*е(-П). Рассмотрим несколько характерных значений параметров (см. таблицы 6-12, рис. 3-18).
При отрицательных значениях параметра ^ возможны ситуации (при а < 0, когда функция коррупции принимает значения, большие истинной величины потребления.
В случаях, когда параметры t и а возрастают (как вместе, так и раздельно), возникает ситуация, в которой, несмотря на малую долю отката, супервайзор сообщает значительно меньший уровень потребления, чем реальный. Можно предположить, что параметры t и а некоторым образом описывают «приятельские» отношения между агентом и супервайзором, при которых второй за «чисто символическую» плату сильно искажает информацию в пользу первого.
Таблица 6. а = 0,1
Г Ь* 5*
0,1 0,55 8734,52
0,3 0,51 8009,79
0,5 0,48 7358,14
0,9 0,45 6273,88
1 0,44 6041,83
2 0,39 4325,37
3 0,36 3296,26
4 0,32 2628,99
10 0,22 1118,71
S(b):(t = 0,1, t = 1, t = 10)
Рис. 3. График функции s(b)при а =0,1 и t = 0,1
Рис. 4.График функции 5(Ь)при а =0,1 и t = 1
Таблица 7.а = 1
Рис. 5.График функции 5(Ь)при а =0,1 и t = 10
t Ь* 5*
0,1 0,49 4875,14
0,3 0,47 4630,19
0,5 0,45 4394,89
0,9 0,42 3966,00
1 0,41 3868,23
2 0,37 3057,93
3 0,33 2492,92
4 0,30 2086,72
10 0,21 1006,30
S(Ь): ^ = 0,М = 1, t = 10)
ь ь
Рис. б.График функции 5(Ь)при Рис. 7. График функции 5(Ь)при а =1 и t = 0,1 а =1 и t =1
ъ
Рис. 8.График функции 5(Ь)при а =1 и t = 10
Управление большими системами. Выпуск 47 Таблица 8. а = 2
Т Ь* 5*
0,1 0,42 3269,29
0,3 0,40 3145,55
0,5 0,39 3027,18
0,9 0,37 2805,64
1 0,37 2754,13
2 0,33 2305,15
3 0,30 1963,21
4 0,28 1699,48
10 0,20 905,99
Таблица 9. а = 5
/ Ь* 5*
0,1 0,30 1647,63
0,3 0,29 1609,46
0,5 0,29 1573,69
0,9 0,28 1503,90
1 0,28 1488,13
2 0,26 1336,67
3 0,24 1208,41
4 0,23 1100,41
10 0,17 700,25
S(b):(t=0,1, t=1,t=10)
ь
Рис. 9. График функции я(Ь)при Рис. 10.График функции а =5 и t = 0,1 я(Ъ)при а =5 и t = 1
ъ
Рис. ¡¡.График функции s(b)при а =5 и t = 10
Таблица 10 л = -1
а Ь* 5*
1 0,71 5831,78
2 0,51 3982,35
3 0,42 2920,17
4 0,37 2289,16
10 0,23 977,72
ь ь
Рис. 12.График функции Рис. 13.График функции 5(Ь) я(Ъ)при t = -1и а = 1 при t = -1 и а = 2
Рис. 14. График функции 5(Ь) при t = -1 и а = 3
0,2 0,4 0,6
Рис. 15.График функции 5(Ь) при t = -1 и а=10
Таблица 11Л = -2
а ь* 5*
2 0,66 4305,55
3 0,51 3320,61
4 0,42 2602,10
10 0,24 1055,30
Таблица 12Л = -5
а Ь* 5*
5 0,57 2610,87
10 0,29 1339,24
ь ь
Рис. 16.График функции s(b) Рис. 17.График функции s(b) при t = -5 и а=5 при t = -5 и а=10
Далее, рассматривая задачу оптимизации супервайзора (6), получаем условие неманипулируемости механизма передачи информации о потреблении электроэнергии: (9) Mq > с(Ь - р).
В этом случае s* = г, т.е. супервайзору выгодно сообщать истинное значение энергопотребления. Заметим, что при нарушении условия (9) супервайзору, напротив, выгодно вообще не показывать энергопотребление (5* = 0).
Рис. 18. График функции s(b) при t = -5 и a=2
Теперь рассмотрим иерархическую игру Г2 (6)-(7) супер-вайзора и агента, считая управления принципала p, ^параметрами. Получаем
s (b) = r; s (b) = <{
[U иначе;
La = U; Ea = [U,1] = ;
Da = {(s,b): (1 - b)(r - s) > U} = [U, r) x [U,1);
К2 = min max gS (s,b) = max (pc + Mq)s = (pc + Mq)r.
U<b<1 U<s<r U<s<r
Для нахождения величины К1надо решить задачу (pc + Mq - bc)s ^ max
(1 - b)(r - s) > U, U < b < 1, U < s < r;
или
(pc + Mq - bc)s ^ max U < b < 1, U < s < r откуда
K1 = (pc+Mq)(r-s) < K2
поэтому оптимальная гарантирующая стратегия супервайзора (т.е. механизм управления, который он сообщает агенту в качестве правила своего поведения) имеет вид
ir, Mq > c(b - r),
5 *(b) = ]
[0 иначе.
Это правило побуждает агента выбирать долю отката из условия b > r + Mq/c, чтобы избежать применения супервайзором стратегии наказания sp(b) = r.
Итак, при любом «откате» супервайзору выгодно сообщать истинную информацию об энергопотреблении, если выполнено условие неманипулируемости (9), и вообще не показывать (на практике - максимально занижать) его значение, если условие (9) нарушается.Поэтому для борьбы с хищениями принципал должен обеспечить выполнение условия (9) различными методами иерархического управления (принуждением или побуждением) [9].
Принуждение(р = const).
- aq ^ max
0 < q < 1, c(b - P).
q >
M
или
aq ^ min
^tlA < q < 1. M
Очевидным решением этой задачи является 1, ф-p) > 1,
q* =
M
c(b - Р) 0 < c(b - Р) < 1
MM 0 иначе.
Побуждение(д = const). cs(1 - p) ^ max
0 < p < 1,
, Mq
Р > b--;
c
или
cs(1 - p) ^ max c
Эта задача также имеет очевидное решение c
c
0 иначе.
c
Ясно, что чем больше доля «отката», тем значительнее должны быть усилия принципала по борьбе с коррупцией как административными, так и экономическими методами. При некоторых значениях параметров оптимальное решение становится экономически нереальным (принципал должен отдать все средства на премию или контроль).
4. Проблемы идентификации моделей
Как видно из проведенного анализа, ключевую роль в практическом использовании моделей мотивационного управления в электроэнергетике (как и в других областях) играет идентификация моделей. Рассмотрим, например, возможные безразмерные постановки теоретико-игровой модели стимулирования и их решения (равновесия по Штакельбергу при ведущем первом игроке):
(10) g1(U1,u2) = Ul -+ u2 ^max, 0 <u1 < 1; g2(u1,u2) = u2 - 0,5u^ + u1 ^max, 0 < u2 < 1.
(11)
(13)
Таким образом, результат существенно зависит от идентификации моделей. В модели (10) оба игрока должны предпринимать максимальные усилия, что приносит равную высокую прибыль обоим. В модели (11), в которой затраты увеличиваются вдвое, игрокам достаточно предпринимать половинные усилия, но и прибыль снижается вдвое. В модели (12) высокие по сравнению с ожидаемым доходом затраты ведут к тому, что в равновесии по Штакельбергу обоим игрокам выгодно ничего не делать (соответственно, и прибыль равна нулю). Попытка предпринять положительные усилия приведет к убыткам, то есть в этой ситуации игроки должны ждать наступления более благоприятных условий. А вот в модели (13), где по сравнению с (12) затраты снижаются вдвое, уже выгодно предпринимать максимальные усилия, хотя в силу менее благоприятных условий по сравнению с моделями (10) и (11) прибыль игроков меньше.
Итак, подбирая различные модели, можно получить качественно различные результаты. Конечно, подбор должен осуществляться не с помощью произвольной манипуляции, а на основании содержательных экспертных оценок конкретной ситуации.
Формальные подходы к решению задачи идентификации математических моделей предлагают теория идентификации [7] и эконометрика [6]. В рамках авторского подхода решение задач идентификации основывается на построении «генетических рядов» математических моделей [12]. Это направление представляется ключевым при ответе на вопрос «могут ли математические модели адекватно описывать сложные системы?» Идея подхода заключается в следующем. Сначала строится максимально простая модель, отражающая лишь самые существенные черты моделируемого объекта. Как правило, такая модель содержит совсем небольшое число параметров и допускает явное
аналитическое исследование. После того, как это исследование проведено и получены определенные результаты, становится ясно, в чем ограниченность модели, какие свойства реального объекта она не описывает. Тогда модель усложняется в нужном направлении, и процедура повторяется. Возникающая последовательность усложняющихся моделей одного и того же объекта в пределе позволяет описать его поведение с любой требуемой точностью («истина как предел»).
Решение задачи идентификации включает четыре этапа:
а) дескриптивная идентификация - выбор класса математических моделей, используемых для описания проблемы и решения связанной с ней задачи;
б) структурная идентификация - выбор вида функций, образующих модель данного класса;
в) параметрическая идентификация - установление физического смысла и способа измерения параметров модели;
г) числовая идентификация - выбор значений параметров, участвующих в определении каждой функции (при необходимости).
Для каждого этапа целесообразно строить последовательность постепенно усложняемых математических моделей, все более точно описывающих реальность (в пределе - дающих сколь угодно точное описание). Например, для дескриптивной идентификации это могут быть последовательности типа задача оптимизации - игра двух лиц - игра трех лиц; задача оптимального управления - динамическая игра 2 лиц -динамическая игра 3 лиц;
для структурной идентификации - последовательности типа
линейная функция - степенная функция - более сложные функции;
для параметрической идентификации - последовательность типа качественное оценивание - оценивание по специальной экспертной методике - точное определение способа измерения. Возможный подход к параметрической идентификации любой функции: выбор разумной сетки (для интерпретируемых, репрезентативно различных значений переменной); экспертное оценивание значений функции по этой сетке; получение аналитического вида функции методом наименьших квадратов; 120
для числовой идентификации - перебор значений по сетке с последовательным уменьшением шага. Некоторые примеры приведены в тексте статьи.
При усложнении по различным признакам последовательности математических моделей («генетические ряды») становятся «генетическими сетями». При этом в каждый текущий момент исследования возникает необходимость компромисса между его целями и возможностями (точностью моделирования, с одной стороны, и сложностью исследования и требованиями к его информационному обеспечению, с другой).
5. Заключение
В статье на качественном уровне показана возможность и целесообразность использования описанного спектра оптимизационных и теоретико-игровых моделей в электроэнергетике, приведены примеры выводов, которые могут быть получены с их помощью. В частности, проведено исследование игр голосования как модели оценки инновационных инвестиционных проектов в электроэнергетике. Применительно к коррупции описана схема действий принципала по борьбе с коррупцией, выведено условие неманипулируемости механизма передачи информации о потреблении электроэнергии.
Ключевым моментом практической применимости моделей является их адекватная идентификация, методика которой предложена в статье и проиллюстрирована на примерах. Именно, идентификацию моделей целесообразно осуществлять на основе построения последовательностей постепенно усложняемых моделей с использованием экспертных оценок. В дальнейшем предполагается разработка программного комплекса поддержки решения задач идентификации, предоставляющего пользователю возможность выбора структуры и параметров моделей в интерактивном режиме. Эта схема трактуется как определенная альтернатива традиционному подходу к идентификации моделей на основе анализа эмпирических данных методами прикладной статистики.
Литература
1. БУРКОВ ВН., НОВИКОВ Д. А.Теория активных систем: состояние и перспективы. - М.: Синтег, 1999. - 128 с.
2. БУРКОВ ВН., ГУБКО М.В., НОВИКОВ Д.. А.Организационные механизмы управления в электроэнергетике // Управление развитием крупномасштабных систем. - М.: Изд-во физ.-мат. лит-ры, 2012. -С.261-278.
3. БУРКОВ ВН., КОРГИН НА., НОВИКОВ ДАВведение в
теорию управления организационными системами. - М.: Либроком, 2009. - 264 с.
4. ГЕРМЕЙЕР Ю.Б., ВАТЕЛЬ И.АИгры с иерархическим вектором интересов // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. - 1974. - №3. - С. 54-69.
5. ГОРЕЛИК В.А., ГОРЕЛОВ М.А., КОНОНЕНКО А.ФЛнализ конфликтных ситуаций в системах управления. - М.: Радио и связь, 1991. - 288 с.
6. ДОУГЕРТИ К.Введение в эконометрику. - М.: Инфра-М, 1999. - 416 с.
7. ЛЬЮНГ Л.Идентификация систем. Теория для пользователя. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1991. - 432 с.
8. НОВИКОВ Д.А. Теория управления организационными системами. - М.: Физматлит, 2005. - 584 с.
9. УГОЛЬНИЦКИЙ Г.А. Иерархическое управление устойчивым развитием. - М.: Изд-во физ.-мат. лит-ры, 2010. -336 с.
10. УГОЛЬНИЦКИЙ Г.А. Устойчивое развитие организаций. -М.: Физматлит, 2011. - 320 с.
11. УГОЛЬНИЦКИЙ Г.А. Модели конфликтов. - М.: Вузовская книга, 2012. - 320 с.
12. УГОЛЬНИЦКИЙ Г.А. Математическое моделирование сложных систем // Научное наследие Ю.А. Жданова и современные проблемы моделирования сложных социосистем (на материалах Юга России). - Ростов-на-Дону: изд-во СКНЦ ВШ ЮФУ, 2012. - С. 32-41.
13. BAYON L., SUAREZ P., MATIAS J.M., TABOADA J. Influence of forecasting electricity prices in the optimization of com-
plex hydrothermal systems // Journal of Computational and Applied Mathematics. - 2009. - №232. - P. 262-274.
14. FOLEY A.M., GALLACHOIR B P., HUR J. et al. A strategic review of electricity systems markets // Energy. - 2010. -№35. - P. 4533-4530.
15. HASANI M., HOSSEINI S.H. Dynamic assessment of capacity investment in electricity market considering complementary capacity mechanisms // Energy. - 2011. - №36. - P. 277-293.
16. LAFFONT J.-J., MARTIMORT D. The Theory of Incentives. The Principal-Agent Model. - Princeton, 2002. - 421 p.
17. MIRZA F.M., BERGLAND O. The impact of daylight saving time on electricity consumption: Evidence from southern Norway and Sweden // Energy Police. - 2011. - №39. -P.5008-5025.
18. SHI L., ZENG M., Li L. A Novel Electricity Marketing Model Integrating Intelligent Disaster-Recovery System // Systems Engineering Procedia. - 2012. - №4. - P. 133-142.
19. STADLER M., KRAUSE W., SONNENSCHEIN M., VOGEL U. Modelling and evaluation of control schemes for enhancing load shift of electricity demand for cooling devices // Environmental Modelling and Software. - 2009. - №24. -P. 285-295.
INCENTIVE MANAGEMENT MODELS IN ELECTRIC POWER INDUSTRY AND PROBLEMS OF THEIR IDENTIFICATION
Andrey Antonenko, Southern Federal University, Rostov-on-Don, Cand. Sc., assistant (Rostov-on-Don, 8(918) 564-54-38, [email protected])
Gennady Ougolnitsky, Southern Federal University, Rostov-on-Don, Doctor of Science, professor (Rostov-on-Don, Lermontovskaya st., 102, ap 30, 8(863)297-57-14, [email protected])
Abstract: We study optimization- and game-theory-based models of incentives for innovationfundingand for counter-theft control in electric power industry. We discuss topical problems of models ' identification arising in applications. We also provide results of analytical and numerical calculations.
Key words: hierarchical games, incentive control, optimization, identification, electric power industry.
Статья представлена к публикации членом редакционной коллегии Р.М. Нижегородцевым
Поступила в редакцию 11.06.2013.
Опубликована 31.01.2014.
