CC BY
45
Модели и методы анализа систем массового обслуживания с параметрической неопределенностью
Гончаренко В. А. Военно-космическая академия имени А. Ф. Можайского Санкт-Петербург, Россия vlango@mail.ru
Аннотация. Обсуждается подход к описанию случайных процессов, используемых в теории очередей, для учета влияния параметрической неопределенности исходных данных. Рассмотрен метод представления распределений вероятностей в виде двухуровневой композиции интегрального ядра и фазовой функции. Предложены методы расчета систем массового обслуживания в условиях интервальной неопределенности параметров распределений времени между входными заявками и времени их обслуживания.
Ключевые слова: рандомизация, случайный параметр, параметрическая неопределенность, интегральное ядро, обобщенная функция, распределение фазового типа, аппроксимация, фазовая функция.
Введение
При исследовании процессов функционирования современных информационно-вычислительных систем (ИВС) активно используются математические модели массового обслуживания [1]. Одной из основных проблем проектирования и модернизации ИВС является трудность их формирования на начальных этапах разработки достоверных исходных данных. Использование простейших случайных потоков без последействия значительно упрощает исследование систем, однако может приводить к существенным искажениям оцениваемых характеристик систем [2]. Для более точного описания моделей обслуживания используются произвольные потоки случайных событий [1, 3].
Точные методы расчета систем массового обслуживания (СМО) весьма ограничены в применении, поэтому развиваются различные приближенные методы. Среди них так называемые аппроксимационные методы, предполагающие аппроксимацию реальных распределений вероятностей распределениями фазового типа [2], описывающие случайные процессы в виде совокупности последовательных и/или параллельных экспоненциальных фаз. Данный подход, предложенный еще А. Эрлангом, был развит Д. Коксом [4], М. Ньютсом [5] и другими учеными [3, 6, 7], найдя широкое применение в теории надежности и теории очередей при расчете немарковских систем.
Однако физическая природа протекающих в ИВС случайных процессов и воздействие на них различных возмущающих факторов приводит к отклонениям параметров распределений. Кроме того, данные параметры могут быть не полностью определены, и по отношению к ним могут использоваться приближенные оценки [8]. Всё это приводит к необходимости использовать более обобщенные модели случайных процессов с неопределенностью [9].
Актуальна задача разработки общих подходов к описанию СМО с возмущениями или с неопределенностью параметров. В статье развиваются методы расчета СМО для общего случая, когда произвольные распределения могут быть аппроксимированы распределениями фазового типа с использованием не дискретных фаз, а непрерывной фазовой функции. При этом аппроксимирующее распределение представляется в виде композиции экспоненциального ядра и фазовой функции, в частном случае выступающей плотностью распределения (ПР) случайного параметра экспоненциального ядра.
Описание случайных процессов обслуживания
с параметрической неопределенностью
Информация об исследуемой системе может иметь разные уровни неопределенности [9]:
• неизвестность соответствует начальной стадии изучения системы и характеризует состояние практически полного отсутствия информации;
• недостоверность соответствует первым этапам сбора информации, когда процесс сбора временно приостановлен или для этого не хватает ресурсов;
• неоднозначность соответствует ситуации, когда полностью определённое описание не может быть получено даже при наличии всей требуемой достоверной информации, поскольку неопределенность свойственна самой сущности рассматриваемых процессов.
В процессе изучения системы уменьшается степень недостоверности исходных данных. Воздействия различных возмущающих факторов на параметры случайных потоков приводят к их детерминированным или случайным возмущениям, а также к неоднозначности их описания.
Неопределенность описания случайного процесса из-за недостоверности исходных данных и действия возмущающих факторов часто может быть сведена к параметрической неопределенности, которую необходимо в процессе накопления исходных данных либо устранить, либо описать более точно (в случае, если неоднозначность параметров присуща реальным процессам).
Предположим, что случайные внешние воздействия на систему представимы в виде неопределенности (в частности, случайности) параметров распределений случайных величин, характеризующих систему [9].
Рассмотрим рекуррентный поток, описывающий один из случайных процессов в исследуемой СМО и заданный набором номинальных параметров © = {91, 92, ..., 9т} функции распределения (ФР) интервалов между событиями. Параме-
тры распределении подвержены изменениям, определяющимся как логикой и динамикой функционирования самоИ системы, так и проявлением различных возмущающих факторов, отклоняющих параметры системы от номинальных. Пусть эти изменения оказывают аддитивное влияние на номинальные значения параметров, тогда реальные значения последних могут быть представлены в виде
0i (t) = 0. (t) + Д0i (t); i = 1 ^ m.
(1)
Данные параметры при неоднозначности исходных данных могут принимать как детерминированные, так и случайные значения из фиксированного множества или непрерывного диапазона в зависимости от времени или независимо от него.
В то же время аналогично может быть задан поток событий, параметры которого имеют недостоверное представление в виде взвешенного множества возможных значений, определенных по результатам статистического или экспертного оценивания. Эта недостоверность выражается в последнем слагаемом.
Таким образом, обобщенное представление случайного потока событий с параметрической неопределенностью (возмущением) позволит учесть как недостоверность исходных данных, так и возмущающие факторы.
Параметры распределения ©(t) или интенсивность потока A(t) могут быть представлены в зависимости от имеющихся исходных данных случайной функцией времени или случайной величиной, не зависящей от времени.
В первом представлении рассматриваемые параметры (©(t) или A(t)) являются случайными процессами, не зависящими от моментов наступления событий случайного потока. В частности, случайный поток, интенсивность которого есть случайный процесс, называют дважды стохастическим потоком [10]. Интенсивность такого потока может быть как непрерывной, так и кусочно-постоянной случайной. В последнем случае речь идет о MC (Markov сЬаш)-потоках, в которых A(t) сохраняет постоянное значение в течение некоторого времени, после чего скачком принимает новое значение [11].
Во втором представлении моменты изменения случайных параметров ©(t) распределения времени между событиями или случайной интенсивности потока А определяются моментами наступления событий. Следовательно, интервалы между событиями распределены по одному закону, но со стохастически различными параметрами, вероятностный закон распределения которых характеризует ситуацию неопределенности их значений.
Таким образом, ФР времени между наступлением событий при случайности параметров распределений сама становится случайной функцией - F(x, ©) = y(x), полной характеристикой которой является функционал распределения G(y(x)) = P{y(x) < y(x)). Например, для экспоненциальной ФР F(t, A) = 1 - e~KA с равномерно распределенным параметром А в диапазоне [a, b] функционал распределения G(y(t)) получим в виде
G( y(t)) = ln[e"aV (1 - y(t ))]/(b - a)t.
Математическим ожиданием случайной ФР является усредненная по параметрам ФР [9].
Пусть случайный параметр А экспоненциальной функции распределения сам имеет экспоненциальную плотность распределения:
И(А) = 0е~6А; А> 0.
В этом случае функция и плотность распределения времени между событиями находятся довольно просто:
0
F (t) = —; f (t) = -t + 0
2 '
(? + 0)
Однако f (?) при ? ^ 0 имеет очень длинный «хвост», из-за чего высшие начальные моменты будут бесконечными. Данное распределение является частным случаем распределения Парето. Такие случайные процессы относятся к самоподобным, весьма трудны в исследовании, но типичны для потоков в компьютерных сетях, моделях дорожной сети и многих других приложениях [12].
Таким образом, процессы восстановления, используемые для аппроксимации случайных процессов со случайно распределенными параметрами, совпадают с последними на уровне математических ожиданий исследуемых процессов. Качество же такой аппроксимации зависит от величины дисперсии случайного процесса. Кроме того, при рандомизации параметра функции распределения ¥(?) средняя интенсивность потока получает смещение влево от первоначального значения для нерандомизированной ФР.
Предложенный подход может быть использован при построении и исследовании нового класса моделей с неопределенностью параметров в теории очередей [9, 13].
Формирование аппроксимационных
распределений с произвольной фазовой функцией на основе двухуровневой композиции
При моделировании систем массового обслуживания часто используются распределения фазового типа [2]. Используем понятие фазовой функции как обобщение набора фаз (последовательных, параллельных) в методе фаз Эрланга [14]. Фазовая функция представляет собой произвольную дифференцируемую функцию, принадлежащую пространству основных и обобщенных функций [15], описывающую структуру фазового построения распределения вероятностей фазового типа.
Согласно [16], плотность распределения случайной величины ? для V? может быть представлена в виде уравнения Фредгольма 1-го рода как композиция интегрального ядра f (?, А) и фазовой функции И (А):
f (t) = J f (t, A)h(A)dA.
(2)
Интегральное ядро f (?, А) может задаваться одной из легко интегрируемых функций, чаще всего экспоненциальной, поскольку именно на базе экспоненциального интегрального ядра можно построить большое количество распределений фазового типа. Таким образом, фазовая функция И(А) служит своего рода оператором преобразования функции f (?, А) к функции f (?) и в ряде случаев может не иметь физического смысла плотности распределения [14]. В частном случае при интерпретации И(А) как ПР случайного параметра
используются как обобщенные (например, гипердельтное распределение [17]), так и основные [15] функции (например, равномерное, нормальное, экспоненциальное распределения).
В качестве аппроксимирующей плотности распределения случайного параметра X можно применить гипердельтное распределение:
ка (X) = Х С,5(Х-Х,),
(3)
1=1
где С- - вероятности, удовлетворяющие условию ^¡=Сг = 1; 8(Х) - дельта-функция Дирака.
При гипердельтной аппроксимации фазовой функции к(Х), подставляя (3) вместо к(\) в (2), получим гиперпредставление ПР случайной величины г:
/ ц) = Х С{/(г, X,).
г=1
(4)
При экспоненциальном интегральном ядре / (г, X,) из следующей формулы получим гиперэкспоненциальную плотность распределения, часто используемую для аппроксимации реальных распределений в теории очередей:
/ (г) = Е схе
-Хл
(5)
г=1
При аппроксимации произвольного распределения распределением с произвольной фазовой функцией используем метод производных [18], при котором аппроксимация производится на основе равенства производных аппроксимирующей и аппроксимируемой функций в нулевой точке. Можно установить взаимосвязь между аппроксимацией методом производных произвольной ПР и аппроксимацией методом моментов фазовой функции этой плотности [16].
В [16] была доказана лемма, что аппроксимация методом производных произвольной плотности распределения случайной величины, представленной формулой (3), соответствует аппроксимации методом моментов фазовой функции этой плотности.
При экспоненциальности интегрального ядра / (г, X) ПР / (г) согласно (2) определяется фазовой функцией (оператором) й(Х):
/ (г) = \Хв~~хгк{Х)а X.
(6)
На основе формулы (6) при различных фазовых функциях можно получить выражения для распределений времени между событиями. Для гиперэкспоненциальной плотности распределения (5) фазовая функция представляется гипер-дельтной функцией (3).
Для плотности распределения Эрланга к-го порядка к к-1
/ (г) =
Хокгк (к -1)!
.-Xо г
фазовая функция представляется обобщенной функцией:
К (X) =
Xо • d8(X — Xо) Xd X
Возможен и обратный переход - от фазовой функции к функции распределения. Так, если фазовая функция является плотностью равномерного распределения
К (X) =
1^-а) Л{Ъ -X) Ъ - а
где 1^) - единичная ступенчатая функция Хевисайда, то плотность распределения времени между событиями будет задаваться равномерно-экспоненциальным законом:
/ (г) =
(1 + аг)е"аг - (1 + Ъг)е~Ы
(Ъ - а)г2
Начальные моменты случайного параметра X случайного экспоненциального распределения /(г, X) могут быть определены с помощью производных усредненной по параметру плотности /(г) точки г = 0 [7]:
у к = (-1)к-11(к-1)(0).
В отсутствие сведений о характере изменения параметров распределений исходят из принципа «максимума неопределенности», и расчет системы проводят при допущении равномерного распределения случайного параметра X. При наличии сведений о другом виде распределения случайного параметра X (например, нормальном), или о начальных моментах случайных параметров характеристики потока находятся на основе предлагаемого аппроксимационного метода.
Предложенный метод позволяет использовать единое представление для распределений случайных величин в виде композиции интегрального ядра и фазовой функции, даже если последняя по физическому смыслу не является плотностью распределения. При построении фазовых функций используется математический аппарат обобщенных функций, представляющих собой линейные непрерывные функционалы на пространстве основных функций.
Методы расчета систем массового обслуживания с параметрической
неопределенностью
Класс моделей обслуживания с параметрической неопределенностью образуется с помощью введения представления исходных распределений в виде уравнений Фредгольма 1-го рода с интегральным ядром в виде фазового распределения и произвольной фазовой функцией (как дискретной, так и непрерывной).
Приведем основные классы систем массового обслуживания с параметрической неопределенностью:
1) модели с экспоненциальным ядром и дискретной фазовой функцией - получим стандартные фазовые распределения (типа гиперэкспоненциального и гипоэкспоненци-ального);
2) модели с экспоненциальным ядром и фазовой функцией, не являющейся плотностью (например, в виде производной функции Дирака);
3) модели с ядром фазового типа (распределения экспонента, гиперэкспонента, гипоэкспонента, Эрланга, Кокса и т. д.) и непрерывной фазовой функцией (равномерной, нормальной, экспоненциальной и т. д.);
4) модели с ядром нефазового типа и произвольной фазовой функцией.
Рассмотрим модели третьего класса, допускающие возможность учета реальной неопределенности или возмуще-
ний параметров распределений. Предположим наличие интервальной неопределенности информации о параметрах исходных распределений в СМО. При интервальном подходе [13] неопределенные параметры 0. модели задаются в виде диапазона возможных значений [0m;n., 0max.]. Это могут быть границы случайного изменения параметров, доверительные интервалы, построенные с заданной надежностью для 0i по результатам наблюдений над реальным узлом, экспертные оценки возможных значений параметров проектируемой системы, допустимые отклонения параметров узла от номинальных значений и т. д., в зависимости от характера рассматриваемой неопределенности.
Пусть СМО имеет экспоненциальные распределения входного потока и потока обслуживания с неопределенными параметрами распределений, бесконечный накопитель очереди и дисциплину обслуживания FIFO. Параметры экспоненциальных распределений А и ц принимают значения в известных пределах [a, b] и [с, d], соответственно. Необходимо получить вероятностно-временные характеристики СМО с учетом данной неопределенности.
При использовании усредненных детерминированных значений параметров экспоненциальных распределений А = (a + b)/2 и ц = (с + d)/2 приходим к известной модели типа M / M / 1. Однако при этом никак не учитывается реальный уровень неопределенности исходных данных, что приводит к существенным погрешностям и к смещению математических ожиданий оцениваемых характеристик.
Используем прием рандомизации экспоненциальной модели типа M / M / 1, предложенный в [13]. Будем рассматривать множество моделей, являющихся окрестностью модели M / M / 1, в которой допускаются отклонения (колебания) параметров распределений в заданных выше пределах, а сами параметры А и ц будем считать случайными и непрерывно распределенными в этих диапазонах. Обозначим данную систему в символике Кендалла M / M /1. Условные плотности распределений интервалов времени между поступающими в узел заявками a (t, X|X) и времени их обслуживания в узле b (x, ц|ц) (при условии, что случайные параметры А и ц приняли значения X и ц) имеют вид
a (t, X | A) = Ae Xt; t > 0, a <A< b;
b (x, || | ||) = |ie ^; x > 0, c < || < d.
(7)
(8)
В отсутствие сведений о характере изменения X и ц будем исходить из принципа максимума энтропии [9], считая возможные значения параметров равновероятными. Плотности равномерных распределений случайных параметров А и ц, соответствующие максимальной неопределенности информации, имеют вид
у^ч Д/(Ь - а),Ае [а,Ъ]; [1/(О - с),це [с, О];
Л(А) = 1п1„Г ы •/2(Д) = 1п „Г
[0, А „ [а,Ъ]; [0, ц„ [с,а].
Безусловные (усредненные по случайным параметрам) плотности распределений а(?) и Ъ( х) можно получить, используя обобщенную формулу полной вероятности для непрерывного случая:
а(?) = \хг-А*таА= (1 + а?)е"а? + (1+ Ъ0е~Ы ; (9)
а (Ъ — а)?
,, ч а —цх ^ ^ \ 7 (1 + сх)е~сх + (1 + Ох)е_ах ,1ПЧ Ъ(х) = | це ^(ДОц = --^-^^-. (10)
с (а — с) х
Полученные а(?) и Ъ(?) являются математическими ожиданиями функционалов распределений случайных плотностей распределения, но они имеют также собственные начальные моменты ак и соответственно:
= ln(b/a)
а1 = ; ak =
b - a k (k - 1)(b - a)(ab)
(bk-1 - ak-1) • k! , 1
--Sr;k >1; (11)
ß1 =^; ßk = d - c Л
(dk-1 - ck-1) • к! (k - 1)(d - c)(cd )k
T; k > 1. (12)
Чтобы найти характеристики СМО М / М /1 со случайными параметрами, используем метод спектрального разложения интегрального уравнения Линдли [8, 13], основное соотношение для которого имеет вид
A* (-s) • В* (s) -1 = ¥+ (s) / (s) ;
(13)
где Л (s) и B (s) - преобразования Лапласа - Стилтьеса (ПЛС) исходных плотностей распределений a(t) и b(x);
(s) - рациональная аналитическая функция от s без нулей в Re(s) > 0; lim (s)/ s = 1 для Re(s) > 0; (s) - рацио-
s—
нальная аналитическая функция от s без нулей в Re(s) < D; lim (s)/ s = _1 для Re(s) < D .
s— 0
ПЛС A* (s) и B* (s) для (9) и (10) будут иметь вид
A (s) = 1 - sa(s); В (s) = 1 - sß(s),
(14)
где а(я) = 1п[(Ъ + б)/(а + я )]/(Ъ — а) и Р(я) = 1п[(О + б)/(с + я)] / (О - с).
Тогда после подстановки (14) в (13) и некоторых преобразований получим следующее соотношение:
s (V ß( s) - 1/ a( s) - s) = У+ (s) 1/ a(s)/ ß(s) (s).
(15)
Несмотря на то, что левая часть (15) не является рациональной функцией, она удовлетворяет условиям аналитичности. Чтобы найти (я) и (я), используя теорему Руше [13], покажем, что числитель левой части (15) имеет кроме нулевого корня еще только один действительный корень < 0. Уравнение
1/ ß(s) -1/ a(-s) - s = 0
(16)
является трансцендентным и разрешимо относительно я в частных случаях (а = Ъ или/и с = О) - соответственно, узлы типа М/О/1, О/М/1 или М/М/1. '
Для решения задачи общего типа (О/О/1) используем следующий прием: корень уравнения (16) найдем по аналогии с решением для узла типа О/М/1, но выраженный через переменную 5:
s1(s) = a - -
b - a
(b - a)/(1 / ß(s) - s) -1'
(17)
Тогда функции (я) и (я) можно представить в виде следующего спектрального разложения:
¥+ ( б) = да • ( Б — Б1( Б)); (18)
(s) =
О - s1(s))/ a(-s)
1/P(s) - 1/a(-s) - s '
(19)
В частных случаях данное разложение трансформируется в соответствующие решения для частных типов СМО (M/G/1, G/M/1 или M/M/1). Так, при || = c = d корень s1 из (17) превратится в константу:
b - a
1
е(Ъ - а)/1
Используя данные функции, найдем основные характеристики отдельного узла сети со случайными параметрами. Вероятность застать узел незанятым:
( , ^
r0 = lim
(s)
b-с
в1.
(20)
е(Ъ - а)р1
При X = а = Ъ г0 совпадает с вероятностью простояр0: о =Р0 = 1-^ (21)
d - с
ПЛС ПР времени ожидания заявки в очереди:
*
Ж (5) = -
-. (22)
ПЛС ПР периода простоя имеет вид
у *(5) = 1 - 5(1 -а(5)/в(-5) -5а( 5)) (23) 5 + 51(-5)
Обозначив Ж * (5) = г0/ Н (5), У * (5) = 1 - Е (я)/Г (5), запишем выражения для их начальных моментов «>к и ик, соответственно:
% =1Zfk](-1)1+1 H(j)(0K-j ;
ro 1=1 v1 )
k-1f k Л •+, F (1 )
Uk = Z| .|(-1)1 +1 F(0) 1=1V1 ) F (0)
F ( 1 ;(0) U k+1 E (k)(0)
-Uk -1 + (-1)k
F (0)
(24)
(25)
где Е(/)(0), Г(/)(0) и Н(/)(0) - производные /'-го порядка по 5 соответствующего выражения в точке 5 = 0, которые вычисляются с помощью рекуррентного алгоритма [13].
Выведем формулу среднего времени ожидания обслуживания в узле:
ю1 =
Р1
' 1 + (b-a)2 • (Р2/2-Р12)• e(b-a)e1 Л
(e'
,(b-a)p1 - 1)2
(26) 2P1 ' }
Для расчета сетей массового обслуживания представляет интерес время пребывания заявки в узле и выходящий из узла поток заявок. ПЛС плотностей распределения времени пребывания заявки в узле G* (5) и времени между выходящими заявками П* (5) имеют вид
= Ж * (5) • В• (5) = Г0(^в( 5) - 5) ;
(5 - 51(5))Р(5)
П'(5) = (1 - Г0 + Г0У* (5)) • В* (5).
С учетом (12), (24) и (25) получим начальные моменты распределения времени пребывания заявки в узле у к и распределения времени между выходными заявками 5 к:
у к = X [к ] ® у Рк -у; к (к Л
5к =Рк + г0 . ^к - у и у.
Для коэффициента вариации выходящего потока имеем
С8=^/Са2 + 2(Пз- (а1 -р1)®1)/ а12 .
Для оценки влияния неопределенности параметров распределений на характеристики системы удобно использовать коэффициенты неопределенности параметров:
А1 = (Ъ - а)/(Ъ + а); А 2 = (^ - с)/^ + с),
принимающие значения от 0 до 1. Отсутствию неопределенности соответствуют нулевые значения коэффициентов, при увеличении степени неопределенности параметров коэффициенты стремятся к единице.
На рис. 1 изображена криволинейная поверхность, отражающая зависимость относительного времени ожидания ю1/р1 от коэффициентов неопределенности А1 и А2 при фиксированном коэффициенте загрузки р = 0,5. Анализ показал, что характеристики модели более чувствительны к неопределенности параметров обслуживания, чем к аналогичной неопределенности параметров входного потока. При увеличении загрузки р зависимость ю/Р1 монотонно возрастает, но А2 оказывает на нее большее влияние, чем А1. Аналогичные выводы можно сделать и по высшим моментам.
дп а®
□ 0-2- □ ЪЛ П4-6 □6-3 па-ю П10-12 П12-14 £314-16 □ 16-18
Рис. 1. Зависимость ю1/р1 от коэффициентов А1 и А2
На рис. 2 изображена зависимость отношения коэффициентов вариации выходящего и входящего потоков С5/Са от коэффициентов А1 и А2. Из графика видно, что при фиксированном А1 и увеличении А2 данная зависимость возрастает, а при фиксированном А2 и увеличении А1 - наоборот, убывает. Это объясняется тем, что при увеличении А2 увеличивается коэффициент вариации времени обслуживания, что ведет к большему разбросу времени между выходящими заявками по сравнению со входящими. При увеличении же А1 увеличивается коэффициент вариации входного потока Са, причем более быстро, чем С5. Зависимости коэффициента
r
вариации С6 от загрузки системы при различных неопределенностях ведут себя по-разному. При Д1 = 0 и Д2 Ф 0 эта зависимость возрастающая, при Д1 Ф 0 и Д2 = 0 - убывающая. При р « 0,7-0,75 зависимости пересекаются. Это обусловлено тем, что при малом р разброс выходящего потока почти целиком определяется характером входного потока. При увеличении же р на выходном потоке начинает все больше сказываться влияние механизма обслуживания.
Рис. 2. Зависимость С6/Са от коэффициентов Д1 и Д2
На основе предложенного подхода так же рассчитаны и другие модели с параметрической неопределенностью -с гиперэкспоненциальными Нп и/или эрланговскими Еп законами во входном потоке или потоке обслуживания, однако при одновременной немарковости распределений аналитический вывод зависимостей затрудняется трансцендентностью уравнений, и требуются численные решения.
Заключение
Предложенный подход позволяет рассчитывать усредненные вероятностно-временные характеристики СМО в условиях параметрической неопределенности исходных распределений, вызванной как изменчивостью, так и недостоверностью параметров. На основе анализа полученных зависимостей можно сделать вывод, что характеристики анализируемой системы более чувствительны к колебаниям (неопределенности) параметров обслуживания, чем параметров входного потока.
Практическая значимость метода определяется его возможностью использования на различных этапах проектирования и модернизации ИВС в зависимости от имевшегося объема исходных данных, и более обоснованного предъявления требования к производительности ИВС, критичных к нарушению устойчивости функционирования.
Литература
1. Рыжиков Ю. И. Алгоритмический подход к задачам массового обслуживания: моногр. / Ю. И. Рыжиков. - СПб.: ВКА им. А. Ф. Можайского, 2013. 496 с.
2. Buchholz P. Input Modeling with Phase-Type Distributions and Markov Models. Theory and Applications / P. Buchholz, J. Kriege, I. Felko. - Springer, 2014. 127 p.
3. Рыжиков Ю. И. Итерационный метод расчета многоканальных систем с произвольным законом обслуживания / Ю. И. Рыжиков, А. Д. Хомоненко // Проблемы управления и теории информации. 1980. № 3. С. 203-213.
4. Cox D. R. A use of complex probabilities in theory of stochastic processes / D. R. Cox // Proc. Cambr. Phil. Soc., 1955. Vol. 51, № 2. P. 313-319.
5. Neuts M. F. Matrix-Geometric Solutions in Stochastic Models: an Algorithmic Approach, Chapter 2: Probability Distributions of Phase Type / M. F. Neuts. - Baltimore: Johns Hopkins Univ. Press, 1981. 352 p.
6. Смагин В. А. Об одном методе исследования немарковских систем / В. А. Смагин // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1983. № 6. С. 31-36.
7. Бочаров П. П. Методы анализа и расчета систем массового обслуживания с распределениями фазового типа / П. П. Бочаров, В. Г. Литвин // Автоматика и телемеханика. 1986. № 5. С. 5-23.
8. Буранова М. А. Анализ времени ожидания для узла сети типа G/D/1 при неточном знании параметров трафика / М. А. Буранова, В. Г. Карташевский // Информационные технологии и телекоммуникации. 2017. Т. 5, № 1. С. 24-33.
9. Гончаренко В. А. Формальный аппарат представления случайных процессов обслуживания с возмущающими воздействиями и неопределенностью параметров / В. А. Гон-чаренко // Тр. ВКА им. А. Ф. Можайского. 2015. Вып. 648. С. 13-18.
10. Kingman J. F. C. On doubly stochastic Poisson process / J. F. C. Kingman // Proc. Cambridge Philos. Soc., 1964. Vol. 60, № 4. P. 923-930.
11. Горцев А. М. О связи МС-потоков и МАР-потоков событий / А. М. Горцев, Л. А. Нежельская // Вестн. ТомГУ. Управление, вычислительная техника и информатика. 2011. № 1. С. 13-21.
12. Рыжиков Ю. И. Теория очередей и распределение Па-рето / Ю. И. Рыжиков // Тр. ВКА им. А. Ф. Можайского. 2015. Вып. 648. C. 28-43.
13. Гончаренко В. А. Анализ реактивности узла вычислительной сети в условиях интервальной неопределенности / В. А. Гончаренко // Изв. вузов. Приборостроение. 2008. № 7. С. 34-39.
14. Кочегаров В. А. Проектирование систем распределения информации. Марковские и немарковские модели / В. А. Кочегаров, Г. А. Фролов. - М.: Радио и связь, 1991. 216 с.
15. Гельфанд И. М. Пространства основных и обобщенных функций. Обобщенные функции / И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов. - М.: Физматгиз, 1958. Вып. 2. 307 с.
16. Гончаренко В. А. Композиционный метод формирования аппроксимационных распределений с произвольной фазовой функцией / В. А. Гончаренко // Труды СПИИРАН. 2016. Вып. 3 (46). С. 212-225.
17. Смагин В. А. О моделировании случайных процессов на основе гипердельтного распределения / В. А. Смагин, Г. В. Филимонихин // Автоматика и вычислительная техника. 1990. № 1. С. 25-31.
18. Смагин В. А. К аппроксимации законов распределений методом производных / В. А. Смагин // Изв. вузов. Приборостроение. 1993. № 2. С. 16-21.
Models and Methods of Queueing Systems Analysis with Parametric Uncertainty
Goncharenko V.A. Mozhaisky Military Space Academy St. Petersburg, Russia vlango@mail.ru
Abstract. The article discusses an approach to the description of the random processes used in queueing theory to account for the influence of parametric uncertainty of the input data. A method of the representation of probability distributions in the form of duplex composition of integral kernels and the phase function is considered. Methods of calculation of queueing systems under interval uncertainty of parameters of distributions of time between input requests and time of their service are offered.
Keywords: randomization, random parameter, parametric uncertainty, integral kernel, generalized function, phase-type distribution, approximation, phase function.
References
1. Ryzhikov Ju. I. Algorithmic Approach to Queuing Problems [Algoritmicheskij podhod k zadacham massovogo obslu-zhivaniya], monogr. St. Petersburg, VKA im. A. F. Mozhajskogo, 2013. 496 p.
2. Buchholz P., Kriege J., Felko I. Input Modeling with PhaseType Distributions and Markov Models. Theory and Applications. Springer, 2014. 127 p.
3. Ryzhikov Ju. I., Khomonenko A. D. Iterative Method of Calculation of Multichannel Systems with Arbitrary Law of Service [Iteratsionnyj metod rascheta mnogokanal'nyh sistem s proizvol'nym zakonom obsluzhivaniya]. Problems of Control and Inf. Theory [Problemy upravleniya i teorii informatsii], 1980, no. 3, pp. 203-213.
4. Cox D. R. A use of Complex Probabilities in Theory of Stochastic Processes. Proc. Cambr. Phil. Soc., 1955. Vol. 51, no. 2, pp. 313-319.
5. Neuts M. F. Matrix-Geometric Solutions in Stochastic Models: an Algorithmic Approach, Chapter 2: Probability Distributions of Phase Type. Baltimore: Johns Hopkins Univ. Press, 1981. 352 p.
6. Smagin V. A. About one Method of Research of Non-Markovian Systems [Ob odnom metode issledovaniya nemark-ovskih sistem]. Proc. Acad. Sci. USSR [Izvestiya ANSSSR. Teh-nicheskaja kibernetika], 1983, no. 6, pp. 31-36.
7. Bocharov P. P., Litvin V. G. Analysis and Calculation Methods of Queueing Systems with Phase-type Distributions [Metody analiza i rascheta sistem massovogo obsluzhivaniya s raspredele-niyami fazovogo tipa]. Automation and Telemechanics [Avtoma-tika i telemehanika], 1986, no. 5, pp. 5-23.
8. Buranova M. A., Kartashevskiy V. G. The Analysis of the Latency Period for Knot of Network of the G/D/1 Type at Inaccurate Knowledge of Parameters of the Traffic [Analiz vremeni ozhidaniya dlya uzla seti tipa G/D/1 pri netochnom znanii param-
etrov trafika]. Inf. Technol. Telecommunications [Informatsion-nye tekhnologii i telekommunikatsii], 2017, T. 5, no. 1, pp. 24-33.
9. Goncharenko V.A. The Formal Apparatus of Representation of Stochastic Processes of Service with the Disturbance and Uncertainty Parameters [Formal'nyj apparat predstavleniya sluchajnyh protsessov obsluzhivaniya s vozmushchayushchi-mi vozdejstviyami i neopredelennost'yu parametrov]. Proc. Mozhaisky Military Aerospace Acad. [Trudy Voenno-kosmicheskoj akademii im. A. F. Mozhajskogo], 2015, vol. 648, pp. 13-18.
10. Kingman J. F. C. On Doubly Stochastic Poisson Process. Proc. Cambridge Philos. Soc., 1964, vol. 60, no. 4, pp. 923-930.
11. Gortsev A. M., Nezhelskaya L.A. On Relationship of MC-flows and MAP-flows of Events [O svyazi MS-potokov i MAP-potokov sobytij]. Tomsk State Univ. J. Controland Comput. Sci. [Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika], 2011, no. 1, pp. 13-21.
12. Ryzhikov Y. I. Queuing Theory and the Pareto Distribution [Teoriya ocheredej i raspredelenie Pareto]. Proc. Mozhaisky Military Aerospace Acad. [Trudy Voenno-kosmicheskoj aka-demii im. A. F. Mozhajskogo], 2015, vol. 648, pp. 28-43.
13. Goncharenko V. A. Analysis of a Reactivity of the Computer Network Node in Conditions of Interval Uncertainty [Analiz reaktivnosti uzla vychislitel'noj seti v usloviyah interval'noj neo-predelennosti]. J. Instrum. Eng. [Izvestiya vuzov. Priborostro-enie], 2008, no.7, pp. 34-39.
14. Kochegarov V. A., Frolov G. A. Designing of Systems of information Distribution. Markovian and Non-Markovian Models [Proektirovanie sistem raspredelenija informacii. Markovskie i nemarkovskie modeli]. Moscow, Radio i svjaz', 1991. 216 p.
15. Gel'fand I. M., Shilov G. E. Spaces of the Test and Generalized Functions. Generalized Functions 2 [Prostranstva os-novnyh i obobshhennyh funkcij. Obobshhennye iùnkcii, vyp.2]. Moscow, Fizmatgiz, 1958. 307 p.
16. Goncharenko V. A. Composite Formation Method of Approximating Distributions with an Arbitrary Phase Function [Kom-pozitsionnyj metod formirovaniya approksimatsionnyh raspre-delenij s proizvol'noj fazovoj funktsiej]. SPIIRAS Proc. [Trudy SPIIRAN], 2016, Is. 3 (46), pp. 212-225.
17. Smagin V. A., Filimonihin G. V. About Modelling of Stochastic Processes on a Basis of Hyperdelta Distribution [O modelirovanii sluchajnyh protsessov na osnove giperdel'tnogo raspredeleniya]. Automation and Computer Eng. [Avtomati-ka i vychislitel'naja tehnika], 1990, no. 1, pp. 25-31.
18. Smagin V. A. To the Approximation of the Laws of Distributions by the Method of Derivatives [K approksimatsii zakonov raspredelenij metodom proizvodnyh]. J Instrum. Eng. [Izvestiya vuzov. Priborostroenie], 1993, no. 2, pp. 16-21.
