CC BY
109
СТРУКТУРА ВЕЩЕСТВА И ТЕОРИЯ ХИМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
УДК 519.673
В. Х. Федотов, Н. И. Кольцов
МОДЕЛИ ХАОТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ. ЧАСТЬ 1. ЛИНЕЙНЫЕ ИНВАРИАНТЫ
Ключевые слова: странные аттракторы, модели Лоренца, Рикитаке и Росслера, линейные инварианты.
Проведено обобщение известных моделей Лоренца, Рикитаке и Росслера, способных описывать сложную динамику с учетом инвариантных линейных преобразований координат.
Keywords: strange attractors, Lorenz, Rikitake and Rossler models, linear invariants.
A generalization of the known models Lorenz, Rikitake and Roessler able to describe the complex dynamics with the invariant linear coordinate transformations performed.
Введение
Из теории динамических систем известно, что предельное поведение системы двух дифференциальных уравнений может быть только стационарным или периодическим (автоколебательным) [1]. В работах [2-4] исследованы модели, описывающие автоколебания в каталитических реакциях системами двух дифференциальных уравнений. В трехмерных системах возможны и более сложные, непериодические, предельные движения (странные аттракторы, хаос, турбулентность). Одной из наиболее известных причин возникновения странных аттракторов считается бесконечная последовательность бифуркаций удвоений периода [5]. После прохождения бифуркационного значения параметра все более усложняющиеся устойчивые периодические движения переходят в новое качество - хаотических колебаний. Странные аттракторы возникают при изменении параметров простых систем обыкновенных дифференциальных уравнений в физике, химии, биологии и др. [6]. Наиболее известными хаотическими системами, имеющими физический смысл, являются модель Лоренца для прогноза погоды (упрощение гидродинамических уравнений Навье-Стокса)
х ' = -ах+ау, у' = рх-хг-у, г' = ху-уг
при а=10, р>28, у=8/3, (1)
магнитогидродинамическая модель Земли (динамо Рикитаке) [7
х ' = -цх+гу, у' = -цу-ах+хг, г' = 1-ху
при ц=1, а=ц(К 2—К 2), К=2 (2)
и модель биохимической реакции Росслера [8] х ' = -(у + г), у' = х + ау, г' = Ь+ г(х-с)
при а=0.2, Ь=0.2, с>4.2. (3)
Вопросы моделирования сложной динамики применительно к практическим целям затрагиваются в работах [9-10]. При этом, в целом, как отмечают редакторы сборника [6], математическая теория странных аттракторов не разработана. Целью данной работы является обобщение моделей (1)-(3), способных описывать сложную динамику, с учетом инвариантных линейных преобразований координат.
Результаты и их обсуждение
Исследуем и классифицируем хаотические системы, инвариантные (1)-(3) относительно линей-
ных преобразований вида (новые переменные выделены жирным шрифтом):
х=а1х+Ь1, у=а2у+Ь2, г=а3г+Ь3,
где а^аз^О. (4)
Инварианты модели Лоренца. Обобщенная модель Лоренца, инвариантная относительно преобразований (4), запишется
х' = а[а2 у/а1- х + (Ь2-Ь1)/а1], у' = а1 (р- Ь3)х/а2- а1 а3хг/а2 -у- Ь1 а3г/а2 + +рь1/а2- Ь1Ь3/а2 - Ь2/а2, (5)
г' = а1а2ху/а3- у г + Ь1а2у/а3 + а1Ь2х/а3+
+Ьф2/а3 - уЬ3/а3.
Все модификации модели (5), аналогично классической модели Лоренца, имеют «центральное» стационарное состояние Х°= -Ь1/а1, у°= -Ь2/а2, г“= -Ь3/а3 и при р>1 еще два «периферийных» Ха=а2у/а1+(Ь2-Ь1)/а1, уа= [-Ь2 +^у((р-1)]/а2, г“= (Р-Ь3-1)/а3, которые при р=1 сливаются с центральным (бифуркация рождения множественности). Анализ показал, что при а1>-(1+у)/а центральный стационар неустойчив. Если при этом существуют и неустойчивы два периферийных стационара, то возникает бифуркация рождения сложнопериодического (апериодического) режима (хаос).
Модель 5.1. При Ь2=Ь3=0 система (5) запишется: 5.1) х'= а[а2у/а1-х-Ь1/а1], у'= а1рх/а2-а1а3хг/а2- у-Ь1а3г/а2+рЬ1/а2,
г '=а1а2ху/а3-уг+Ь1а2у/а3. Стационарные состояния - центральное ХХ)=-Ь1/а1, у”=0, г°=0 и при р>1, а=10, у=8/3 - и два периферийных х"=а2у/а1-Ь1/а1, у”= +6^2/а2, г”=27/а3. При а1>-(1+у)/а=
-11/30 и р>24 все стационарные состояния неустойчивы. При этих значениях параметров и вблизи них существует область неустойчивости и хаос, рис. 1.
Инварианты модели Рикитаке. Обобщенная модель Рикитаке (2) с учетом (4) примет вид х' = -цх+а2а3гу/а1+(а2Ь3у +
+а3Ь2г +Ь2Ь3-цЬ1)/а1, у' = -цу-аа1х/а2+а1а3хг/а2 + +(а1Ь3х+а3Ь1г+Ь1Ь3-цЬ2-аЬ1)/а2, (6)
гг = 1/а3- а1а2ху/а3 - а1Ь2х/а3- Ь1а2у/а3 —Ь1Ь2/а3. Классическая модель Рикитаке имеет два действительных у"=1/х", хХ)=+^[а+^(а2+4ц2)]/ 2ц,
г“=[а+^( а2+4ц2)]/2 и два комплексно-сопряженных
стационарных состояния Х= +{^[а- ^(а2+4ц2)]/2ц}і,
2 —2
где а=ц(К -К ), і - мнимая единица. Все модификации (6), аналогично модели Рикитаке, имеют два действительных стационарных состояния. Если все они неустойчивы, то возникает бифуркация рождения сложнопериодического режима (хаос).
-300----------[--------'--------[--------[--------'-------'--------[--------'-------'--------
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
Рис. 1 - Зависимости х(ґ), у(ї), г(ї) для модели 5.1 при а1=а2=а3=0.1, Ьі=0.5, Ь2=Ьз=0 и а=10, Р=25, у=8/3
Модель 6.1. При Ь2=Ь3=0 система (6) запишется х --|ах+а2а3гу/а1-цЬ1/а1, у' =-цу-аа1х/а2 +а1а3х^а2+(а3Ь^-аЬ1)/э2,
г=1/а3-а1а2ху/а3-Ь1а2у/а3. Два действительных стационарных состояния ую=1/х1Х), Х=
(+{^[а+^(а2+4ц2)] /2ц}- Ьі)/аі, г"= [а+^(а2+4ц2)]/2 неустойчивы, например, при а1= а2=а3=Ь1=1. Вблизи этих значений параметров существует область неустойчивости и хаотический режим, рис. 2.
Рис. 2 - Зависимости х(ґ), у(ї), г(ї) для модели 6.1 при ц=1, К=2 и Ь1=1, Ь2=Ь3=0
Инварианты модели Росслера. Обобщенная модель Росслера (3) с учетом (4) примет вид х' = -а2у/а1-а3г/а1-(Ь2 +Ь3)/а1, у' = а1х/а2+ау +(Ьі+аЬ2)/а2, (7)
г' = (Ь+ Ь1Ь3-сЬ3)/а3+ а1хг + +а1Ь3х/а3+(Ь1-с)г.
Классическая модель Росслера при й=с2-4аЬ>0 имеет два действительных стационарных состояния ую=-г“, х"=аг“, г”=(о+^0)]/(2а), которые сливаются в одно при 0=0 и становятся комплексносопряженными при 0<0. Все модификации (7), аналогично модели Росслера, имеют два действительных стационарных состояния. Если все они неус-
тойчивы, то возникает бифуркация рождения сложнопериодического режима (хаос).
Модель 7.1. При Ь2=Ь3=0 система (7) запишется х' = -а2у/а1-а3г/а1, у' = а1х/а2+ау +Ь1/а2, г' = Ь/а3+а1хг+(Ь1-с)г. Два действительных стационарных состояния у= - а3г“/а2, Хю= (аа3г“
-йі)/аі, г“=(о+^0)]/(2ааз) неустойчивы, например, при а1=а2=а3=Ь1=1. Вблизи этих значений параметров существует область неустойчивости и хаос, рис.
3.
Рис. 3 - Зависимости х(Т), у(#), г(Т) для модели 7.1 при а=0.2, Ь=0.2, с=4.2, а1= а2=а3=Ь1=1 и Й2=Й3=0
Классификация инвариантных моделей хаоса приведена в табл. 1. Варьирование ненулевых значений дает различные инварианты моделей (1)-(3). Например, строке 8 при а1=а2=а3=1, Ь1=Ь2=Ь3=0 соответствуют классические модели Лоренца, Рикитаке и Росслера. При а1=а2=а3^1 -модифицированные модели (1)-(3) и т.д. При а1=а2=-1, а3=1, Ь1=Ь2=Ь3=0 (т.е. для преобразования х———х, у——-у, г—г) - модели, инвариантные по свойствам и форме моделям (1)-(3).
Таблица 1 - Модели хаоса, инвариантные относительно преобразований (4)
№ а1 Ьі а2 Ь2 а3 Ьз Примечание
1 *0 *0 *0 *0 *0 *0 Обобщенные модели (5)-(7)
2 *0 *0 *0 *0 *0 0
3 *0 *0 *0 0 *0 *0
4 *0 *0 *0 0 *0 0 Модели 5.1, 6.1 и 7.1
5 *0 0 *0 *0 *0 *0
6 *0 0 *0 *0 *0 0
7 *0 0 *0 0 *0 *0
8 *0 0 *0 0 *0 0 Классические модели (1)-(3)
Отметим, что модели (5)-(7) и данные табл.1 далеко не исчерпывают всех возможных модификаций моделей хаоса. На основе более сложных (билинейных, трилинейных) преобразований, можно построить бесконечно много других модификаций моделей хаоса, отличных от приведенных в табл. 1. Рассмотрим трилинейные преобразования общего вида (новые переменные выделены жирным шрифтом):
х= a1x+b1y+c1г+d1, у=а2х+Ь2у+с2 г+с(2,
г= азХ+Ьзу+Сз г+бз, (8)
где определитель из коэффициентов Д = det (а1, Ь1, Сі; а2, Ь2, С2; аз, Ьз, Сз) = а^Ьз+ а2ЬіСз+ Ь2азСі-а1Ь2С3- а2С1Ь3- С2а3Ь1 * 0. Очевидно, что моноли-нейные преобразования (4) являются частным случаем (8). Преобразуем модели хаоса с учетом преобразований (8). Например, классическая модель Лоренца (4) после преобразований (8) примет вид а1х+Ь1у /+С1г = а[(а2-а1)х+(Ь2-Ь1)у+(С2 --Сі)г+(С2-Сі)] = /і ,
а2х+Ь2у+С2 г ' = (ра1-а2)х+(рЬ1-Ь2)у+ +(РСі-С2)г+(рс(і-с(2)--(аіХ+Ьіу+Сіг+Сі)(азХ+Ьзу+Сз г+сіз) = /2, (9) а3х+Ь3у+С3 г ' = (а1х+Ь1у+С1г+С1)(а2х+Ь2у+С2 г+су -у(азХ+Ьзу+Сз г+с(з) = /3 .
Разрешая систему (9), линейную относительно производных по новым переменным, получим обобщенную модель Лоренца, инвариантную относительно преобразований (8)
х ' = Дх /Д, у ' = Ду /Д, г ' = Дг /Д, (10)
где Дх = det(/і, Ьі, Сі; /2, Ь2, С2; /з, Ьз, Сз) = -(-Ь1Сзс2+ С1с2Ьз-С1Ь2усз-С1Ь22Ь1у2+Ь1уЬзуС2-
аЬ)2І^02Ьз+ аЬ22уОз-Ьі2сізС3ух-Ьі2Сзу2Ьз-Ьі2Сзус(з+
Ь12у2Ь2С2+ Ь12уа2хС2- Ь12Сз2уг-Ь12Сзру+ Ь12уС22г+ 22 Ь1 ус2С2- Ь1СзЬ2у-Ь1Сз с1г-Ь1а1Сзрх-Ь1Сзс1сз-
Ь1СзС2г- Ь1Сзрс1- Ь1Сза2х-Ь1а1Сз2хг- ЬіаіСзхсз+
Ь1С1г2С22+ ЬіубзС2+ Ь1а1хС22г+ Ь1с1с2С2+ Ь1с1С2г+
Ь1а1х2а2С2- Ь1СзС1гсз- Ь1СзрС1г- Ь1Сзс1Ьзу+
Ь1С1гб2С2+ Ь1б1а2хС2-Ь1уа2хЬ2С1+ Ь1уСзгС2+
Ь1а1хЬ2уС2-Ь1а1ЬзСзух+ Ь1азЬзС1ух- Ь1азСзс1х+
Ь1азухС2+ рС12гЬз+ +С12г2СзЬз+ С12гЬз2у+
2 2 2 2 2 2 2 С1 газхЬз-Ь2 С1 гу-Ь2С1 гб2-Ь2С1 гС2- Ь2С1 га2х-
С1Ь2Ь1уб2+ С1рЬ1уЬз+ С1б1азхЬз- С1Ь2уСзг+
С1 Ь1у2Ьз2-С1 Ь22с(іу+ С1 Ь2уЬз+С1 с Ьз2у-С1 Ь2с с(2+
22 c1 a1 xb3 y-c1 a1 b2 xy+
C1a1xd3b3+
С1а1х2а3Ь
С1а1РхЬ3- С1а1Ь2хС2-С1а1Ь2х2а2-С|Ь2С1С2г- С1Ь2уа3х-с1Ь2уЬ3у- С1Ь2С1а2х+ С1а2Ь1хС2г- С1хС3га3Ь1+ С1Ь1уС3Ь3- С1а1Ь2хС2г+ С1а1хС3гЬ3+ С1С1С3гЬ3-аа2хС2Ь3+ аа2хЬ2С3+ аЬ1уС2Ь3- аЬ1уЬ2С3-аС22гЬ3+аС2гЬ2С3-аС2С2Ь3+ аС2Ь2С3+ аа1хС2Ь3-аа1хЬ2С3+аС1гС2Ь3-аС1гЬ2С3+ аС1С2Ь3- аС1Ь2С3+ С1а2хЬ3+ Ь1а1хС2С2+С1С2гЬ3-Ь1С32С1г2+ Ь1С1Ь2уС2+
С1рС1Ь3-Ь1а3а1С3х2+ С1С1С3Ь3+ С12гС3Ь3), Ду =
det(a1, /1, С1; а2, /2, С2; а3, /3, С3), Дг = det(a1, Ь1, /1; а2, Ь2, /2; а3, Ь3, /3). Два последних определителя не раскрыты из-за громоздких выражений. Варьируя в (10) коэффициенты а1,Ь1,С1,С1, а2,Ь2,С2С2, а3,Ь3,С3,С3 (так, чтобы Д ф 0) можно получить любое число модификаций моделей хаоса, инвариантных относительно преобразований (8). Нетрудно убедиться, что при Ь1=С1=Ь2=С2=Ь3=С3 =0 модель (10) упрощается и совпадает с (4).
Модель 9.1. Например, при а1=0, а2=0, а3=1, Ь1=0, Ь2=1, Ь3=0, с1=1, с2=с3=С1=С2=С3=0 получим следующую модификацию модели Лоренца: 9.1) х ' = уг-ху, у ' = (р-х)г-у, г ' = а(у-г). Эта
модификация отсутствует именно в таком виде в табл. 1 и соответствует замене переменных х— г, у— у, г— х. Это значит, что она инвариантна классической модели Лоренца относительно преобразований (8) как по свойствам так и по форме.
Модель 9.2. При Ь1=1 (остальные коэффициенты те же) получим более сложную модификацию модели Лоренца: 9.2) х ' = уг+^-ух, у ' = (р-х)г+(р-х-1)у, г ' = (х -а-р)г- (р-х-1)у. Эта модификация также отсутствует в табл. 1 и соответствует замене переменных х— у+г, у—у, г—х. Это значит, что она инвариантна классической модели Лоренца относительно преобразований (8) только по свойствам, но не по форме, рис. 4.
Рис. 4 - Зависимости x(t), y(t), z(t) для модели 9.2 при a=10, Р=28, Y=8/3,
a3=b1=b2=C1=1,a1=a2=b3=C2=C3=d1=d2= d3=0
Таким образом, нами получены все возможные линейные инварианты известных моделей хаоса, которые также могут быть использованы для описания сложного динамического поведения различных процессов и явлений природы.
Литература
1. Н.Н. Баутин, Е.А. Леонтович. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М., Наука, 197б, 497 с.
2. B.V. Alekseev, N.I. Koltsov, React. Kinet. Catal. Lett., І9, 1-3, 1З - 22 (19В2).
3. V.Kh. Fedotov, N.I. Koltsov, B.V. Alekseev, S.L. Kiper-man, Ibid.,23, 3-4, 301-30б (19В3).
4. В.Х. Федотов, Б.В. Алексеев, Н.И. Кольцов, С.Л. Ки-перман, Изв. вузов. Химия и хим. технол, 28, З, 120122 (!9ВЗ).
З. Н.В. Бутенин, Ю.И. Неймарк, Н.А. Фуфаев, Введение в теорию нелинейных колебаний. М., Наука, 197б, 3В4 с.
6. Странные аттракторы / Под ред. Я.Г. Синая, Л.П. Шильникова. Л., Мир, 19В1, 2З3 с.
7. Т. Рикитаке, Электромагнетизм и внутреннее строение Земли. Л.: Недра, 19бВ. 332 с.
В. O.E. Rossler, Ann. N. Y. Acad. Sci., 3І6, 37б-392 (1979).
9. О.В. Матухина, Вестник Казан. технол. ун-та, І6, 2, 191-194 (2013).
10. Р.Г. Мухарлямов, О.В. Матухина Вестник Казан. технол. ун-та, І5, 12, 220-22З (2012).
© В. Х. Федотов - канд. хим. наук, доц. каф. информационных систем ЧувГУ, fvh@inbox.ru; Н. И. Кольцов -проф. каф. физической химии и ВМС ЧувГУ, koltsovni@mail.ru.
д-р хим. наук,
