МОДЕЛЬ ТЕПЛОДИНАМИКИ ГРУНТОВ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ Текст научной статьи по специальности «Физика»

И. Г. Соловьев, А. В. Васькевич

МОДЕЛЬ ТЕПЛОДИНАМИКИ ГРУНТОВ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ

Дано представление термодинамической модели грунта в пространстве состояний зональных температур. Приведены результаты численного анализа

Исследуется вопрос о моделировании теплодинамических процессов в грунтах в условиях динамического промерзания и оттаивания. Поставленная задача имеет давнюю историю [1-4] и хорошо разработанный вычислительный аппарат [5, 6]. Однако развитие современных технических средств теплостабилизации отрицательных температур [7], с одной стороны, качественное совершенство и доступность информационно-вычислительных ресурсов [8] — с другой, делает актуальным решение новой задачи о стабилизации мерзлотных условий грунтов в оперативно динамическом режиме, как это реализуется в системах автоматического регулирования с обратными связями по контролируемым состояниям среды [9].

Данная работа носит вводный характер и посвящена описанию математической модели грунтов как объектов автоматизированного терморегулирования. По сути, рассматривается классическая задача Стефана [3] в непрерывном времени — t, но приведенная к дискретным осредненным состояниям зон, распределенных в пространстве. Для простоты анализа ограничимся одномерным случаем зонально-слоевого разделения по глубине, как это показано на рис. 1, где зафиксирована ситуация с протаиванием верхней части грунта.

Рис. 1. Схема грунта с зоной фазового разделения Каждая /'-я зона характеризуется: ®' (/) — средней температурой, Н,— величиной (размером), ®п'

средней температурой фазового перехода, — динамическим диапазоном, в пределах которого процессы фазового перехода в зоне начинаются и заканчиваются, что записывается в виде

(1)

Иначе говоря, если ~ ®п' _ то /'-я зона находится в талом состоянии; если ~ ®п' , то /-я зона в мерзлом состоянии; в случае (1) зона содержит как талые, так и мерзлые подобласти и слой фазового

перехода при Д.

Объемные параметры зон талого и мерзлого состояний (рис. 1) будем оценивать переменной Ш/(/) =

/?;(/)//-/,. В условиях (1) соответствующую переменную определим через температуру следующим

образом: если

то искомая зависимость имеет вид:

(2)

С учетом вновь введенного обозначения номера всех талых зон в момент времени ^ определяются условием

/т(0 = {/: mi(t) = 1},

номера зон со слоями фазовых переходов

/п(0 = {/: 0 < шКО < 1}

и номера мерзлых зон

/м(0 = {i: ш/(/) = 0}.

Кроме указанных переменных состояния, каждая слоевая зона характеризуется теплофизическими параметрами, такими как: теплоемкость грунта в талом и мерзлом состояниях соответственно — cri, сМ/;

теплопроводность — 1т/, 1м/; объемная влажность — Ь/. Для зон с переходным состоянием / € /п(/)

соответствующие характеристики определяются как функции своих ш/, т. е.

Указанный способ задания параметров является универсальным для

V,* е/ = 'т(т(0и МО.

(3)

так как

(с,(□),X, (0))= (си,д„(). (с,(1)Д,(1)) = (cVlXv).

При отсутствии конвективного теплопереноса термодинамика непереходных зон € тСОи и (О) удовлетворяет уравнению Фурье [10], которое для дискретных пространственных координат может быть записано в виде системы

с межслоевыми теплопроводностями

где ^ 1-1 1-1 11 . Для вывода уравнения переходной зоны воспользуемся введенными на рис.

1 обозначениями. По аналогии с (4) можно записать: для талой подзоны

для мерзлой

условие Стефана для фазового перехода

О.

где ♦ — энергия фазового перехода для воды, г, — плотность сухого грунта. Суммировав три приведенных уравнения, получаем

(5)

По аналогии с ^ '1 ■ (2) введем линейную модель, связывающую среднюю температуру зоны с

температурами ®»(0 в подзонах следующими соотношениями:

(6)

Из графиков введенных зависимостей (рис. 2) следует, что с достижением условия ®' ®п' в 7-й

зоне начинается процесс перехода из мерзлого состояния в талое. Слой фазового перехода, по сути, образует

первую подзону с ®н - ®п' и/?, " 0. Вторая подзона охватывает размер почти всей 7-й зоны Н,-/?, ~ /-/,,

поэтому ~ ®;' Процесс оттаивания 7-й зоны заканчивается, когда выполнено условие: ®' ~ + ПрИ

этом слой фазового перехода, образуя вторую подзону ~ ®П| нулевого размера Н, - /?, в 0, переходит в первую подзону следующего г + 1 сегмента, средняя температура 1-го сегмента совпадает со средней первой

зоны: = ®'

+щ

©п,-д©, ©я, +д©, _е

&

п,

Ш,

Рис. 2. Зависимость температуры /-й зоны и соответствующих подзон

Осуществим подстановку (6) в (5). С учетом определения ш/ = Ь/ / И/ и модели (2) для левой части уравнения после выноса И/ за знак производной справедливы следующие равенства:

И, ~ (РАО, ц (?) + ст, ц, , (0 + сш (1-й, <№>* (0) =

ей

= И, — [м-,.(П(р,.Р,.0» + ст.-(©ДО+0[1,+ Д0.) -

ей

"ГН

1

Н([мг(0^(Сп-Сри)+1си( + ^-(рДО^-Ь^Спев^-ви+Ав,)-

(0-

©П,+Д6,) + 2(СТ

п/ т

С®, (?)

ей

где

(7)

а С/(Ш;(/)) — из (3). Для правой части уравнения (5) имеем:

Л-1.Дем(()-^Р)+

©п, +А0, ))-

- ¿0,)-©„(())-

где

(9)

могут содержать m,_i, m,, m,+i, неравные предельным значениям g этом СЛуЧае имеет место

теплодинамика сочлененных зон с фазовыми переходами. Приравняв левую и правую части полученных выражений с учетом (4), приходим к искомой модели теплодинамики грунта.

Для /«/T(0U'u(0

(10)

для

'«/„(О

. I М-

где и — из (7)-(9) соответственно, причем ш, = {0 ^ 1}, а ш,

Моделирование теплодинамических процессов в пятислойной схеме с однородными свойствами

©

осуществлялось для трех начальных значений распределения ' (0) вдоль геотермали [11]. В таблице

©п

приняты следующие обозначения: Н— мощность слоевого деления (м), 0 — среднегодовая температура

поверхности (°С), 6 — квазистатическое значение температуры на глубине 12 м.

Н £l cu h. А0 b ®П Начальное распределение (0) по геотермали

1 2 3 4 5 А®„

2 3.13106 2.34106 1.51 1.69 1 0,25 -0,5 -10 -4 -3,4 -3,4 -3,3 -2,7 -2

0 0 3,4 2,6 1,7 1,1 0,9 0

0 10 11,3 9,2 6,7 4,7 3,2 2

а

ч V _

9 / = р

//

/ ■л /

*

Рис. 3. Распределение температуры по глубине

Годовая динамика температуры поверхности задается функцией вида

©О© = ©о-ДОоапиИ, Л0п = 15°С.

Численное интегрирование системы (10) осуществлялось по явной схеме Эйлера.

Результаты моделирования представлены на рис. 3, где выделены графики распределения температур по глубине для средних чисел января — 1, апреля — 4, июля — 7 и октября — 10. Наибольшее затухание амплитуды колебаний температуры по глубине наблюдается в случае нулевой геотермали, где зона деятельного слоя грунта, отмеченная пунктиром, максимальна.

ЛИТЕРАТУРА

1. Фельдман Г. М. Методы расчета температурного режима мерзлых грунтов. М.: Наука, 1973. 254 с.

2. Гоечищев С. Е., Чистотинов Л. В., Щур Ю. Л. Основы моделирования криогенных физико-геологических процессов. М.: Наука, 1984. 232 с.

а

■ е-ф

3. Горбылёв М. И., Красс М. С., Соловьев Б. С. Искусственное замораживание грунтов при освоении месторождений нефти и газа Западной Сибири. НТС Задачи механики природных процессов / Под ред. С. С. Григоряна, М. С. Красс. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983. С. 64-70.

4. ГореликЯ. Б., КолунинВ. С. Физика и моделирование криогенных процессов в литосфере / Отв. ред. акад. В. П. Мельников. Новосибирск: Изд-во СО РАН, филиал «Гео», 2002. 317 с.

5. Инженерно-геологический мониторинг промыслов Ямала. В 2 т. Т. 1: Моделиро-вание термомеханического взаимодействия сооружений с грунтами / М. М. Дубина, В. В. Коновалов, В. Р. Цибульский, Ю. А. Черняков. Новосибирск: Наука, 1996. 136 с.

6. Пермяков П. П., Аммосов А. П. Математическое моделирование техногенного замерзания в криолитозоне. Новосибирск: Наука, 2003. 224 с.

7. Долгих Г. М., Кинцлер Ю. Э., Окунев С. Н. Практический опыт строительства оснований зданий и сооружений в условиях ВМГ. Тюмень: Фундаментстройаркос, 2002. 156 с.

8. Черняк Л. GRID как будущее компьютинга // Открытые системы. 2003. № 1. С. 16-19.

9. Современные системы управления / Р. Дорф, Р. Бишоп. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. 832 с.

10. Ершов Э. Д. Общая геокриология. М.: Недра, 1990. 559 с.

11. Инженерно-геологический мониторинг промыслов Ямала. В 2 т. Т. 2: Геокриологические условия освоения Бованенковского месторождения / В. В. Баулин, В. И. Аксёнов, Г. И. Дубиков и др. Тюмень: Ин-т проблем освоения Севера СО РАН, 1996. 240 с.

I. G. Solovyov, A. V. Vas'kevitch A MODEL OF SOILS' HEAT DYNAMICS IN STATE SPACE

The article presents a thermodynamic model of soils in the state space of zonal temperatures, quoting the results of numerical analysis.

В зависимости от объемной влажности Ь и минерализации воды температура для зон неодинакова.