CC BY
25
УДК 330.101.54
Е.А. Ильина, А.Л. Сараев*
МОДЕЛЬ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ ДИФФУЗИИ ИННОВАЦИЙ
В публикуемой статье предложена математическая модель диффузии потребительских инноваций, учитывающая влияние внешнего случайного возмущающего фактора. Уравнения стохастической динамики продаж инновационных товаров описывают случайный процесс непрерывного и распределенного увеличения числа потребителей инновационных продуктов. Показано, что учет в стохастической модели внешнего случайного возмущающего фактора приводит к существенным отклонениям от классической детерминированной модели плавного освоения рынка инновационными товарами.
Ключевые слова: инновация, диффузия инноваций, стохастические уравнения, винеровский процесс, коэффициент сноса, коэффициент волатильности, коэффициент инновации, коэффициент имитации.
Моделирование особенностей реагирования рынков на внедрение и продвижение инновационных товаров является одной из актуальных задач современной экономической теории и практики ведения бизнеса. Прогнозирование процессов диффузии потребительских инноваций способно во многих случаях эффективно оценивать скорости роста продаж новых товаров, определять параметры частичного или полного захвата рынков, выявлять степени рисков для малого и среднего инновационного бизнеса и т. д. Разработка адекватных моделей диффузии инноваций как процесса заполнения и захвата рынков новыми продуктами, технологиями и идеями должна опираться на теорию случайных полей [1].
Пусть в рамках некоторого рынка внедряется совершенно новый продукт в виде товара, технологии, идеи или услуги. У этого инновационного оригинального продукта нет аналогов и конкуренции со стороны уже имеющихся на рынке продуктов. Возникающий вместе с этим продуктом новый спрос порождает в момент времени определенное количество потребителей Q, осуществивших его покупку.
Величина Q = Q(t) является случайной, непрерывной, непрерывно дифференцируемой и ограниченной на числовой полуоси (0 < ^ < да) функцией времени. Переменная времени ^ предполагается непрерывной, единицей ее измерения служит соответствующий обстоятельствам рыночный период (месяц, квартал, год). Функция Q = Q(t) удовлетворяет неравенству
Q = Q(t) < Р-
Здесь Q(0) = 0, Р =Нт Q(t) - максимальное число потенциальных покупателей продукта, определяющее потенциал рыночного спроса.
Приращение количества потребителей инновационного продукта AQ за некоторый малый промежуток времени образуется из трех компонентов
AQ = AaQ + AbQ + А^. (1)
Здесь AaQ - число покупателей-новаторов, ориентирующихся на рекламу и средства массовой информации, AbQ - число потребителей-имитаторов, ориентирующихся на отзывы уже совершивших приобретение людей, AwQ - случайные колебания числа покупателей-имитаторов, обусловленные во-латильностью рынка.
Число покупателей-новаторов AaQ, полагающихся на рекламу и средства массовой информации, за промежуток времени At можно представить в виде
AaQ = а • (Р - Q) • М. (2)
Здесь а - коэффициент инновации.
* © Ильина Е.А., Сараев А.Л., 2017
Ильина Елена Алексеевна (elenaalex.ilyina@yandex.ru), Сараев Александр Леонидович (alex.saraev@gmail. сот), кафедра математики и бизнес-информатики, Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева, 443086, Российская Федерация, г. Самара, Московское шоссе, 34.
Число покупателей-имитаторов ДаЗК, полагающихся на отзывы уже совершивших приобретение потребителей, запромежуток времени Да узфелеляилея соотпншением
АгН^я-ЖО-ЗР-жЯ^. (3)
Здесь Ь - коэффициент нмитации.
Случайтыа флорбалос числг псс1е!:;у^;1теле;ое^1^Р'1^тес1но]:)о:^ Р.^еРе£Л гфеуфловляюо собой стохастический фактор проце сса
ЛлЖ = <вееЖе(н-Ж)Азс. (4)
Трпть у ^ сопхдлртныл ]зине;з)с^]:^с^^гр грюцсее, Ая = и • 03]-, л - вохашльность рынка, г ~ N(0,1) -случайная величина с нормнльным зьконом расщюделения, средним значением )г> = 0 и единичной долнерсией =т Ь. Таким обитзом, фтинула (Р) пиннимает вид
bQ =
Г Э^ТР-ЭЭ)-co+a-b-bр•(p-Q)• c w о (5)
а + Ь- — P
Р
Предельный курачри Дн —у 0 привьдин к аоохастэческому диффертнциальеюму уравнению диффу-
0ии ^уаВ
dQ = ^^Q•Qj•(P-Q)•Pt + (о•b•Q-(P-Q)-dw. (6)
Э
Замучн пуруменкоИ q = — к уравнении (6) приводит к безразмерному уравнению диффузии Ито
dq = A{q)-da + B(q)-dw. (7)
Заеаь A(q) ер (р + Ъ • q\ (l - q) и B(q) = <т ■ Ь ■ q • (l - q) - коэффициент с ноиа и ^ос^ффициент волатиль-ности соотватаоветно.Началмоеуслоаие для уравнения (7) иаеет аид
qB=0=q(0)=0H (8)
Численное решение ууавнения с мучаррным рслквием (8) еыполняется мстидом последовательных приближенийв соответствиис алгоритмом
q^i =qe + (p+b-qs)-.p-qeT-AH+(o-b-qs-M-q(H-po-y-Pt- (9)
Здесь на каждом малом арнменннм шнпе Д/, нкниная анеоаланоге зрлчелия, генерируется случайное число es и вычисляется следующее значение qs+i. Таким образом, образуются случайные последовательности {Hs} и (g.}. На координатной плоскости эти последовательности образуют систему точек {Hs, qs} и соответствующую дй линию с фрппганпенй ннломаннодеью. При пoвтарении реализации алгоритма (7) всякий кбразуеиаяновая еомин^1 линоы, поаеолакукаждасл раеелучайная величина е генерирует новыеслучайныезначения.
На рис. 1 предстаклены аиснонные реализации решений задачи (9), (8). Сеохастические линии представляют собой цеализации случайного прпцнеса диНрузмиинноваций для нищих и тех же начальных условий и числовыхпараметров.
Рн(. 1
В чи с ленных расчетах лиймтиний инте коал С = [°Л0] был рак°ит oía и й 10В ^к^иитак^,^ еличина шага была принятаДе Дц 0,30. Чхсоо реялислцис аоучдйниео прицснил ииффкоиы инноваций было выбрано m = 200. На рио. 1 еоказасо cohobo деолта оо ныао. ЛогОФ^Тинос иннкаасии а = 0,05)1соэУ)фициент имитации Т = а,ые оолстиосносотрынос прецполнеалась к = O.Tlo
След.: oaнедиoCc ало о нокольной точко и = 0 от в точках, близких к процессу насыщения, t ~ 10, сто-хастичессийпроцесс оyoнцoитсо практоиноки детермиюыюваниым.чсо овляенен ополне ожидаемым и определяетси видон Пункции воляниньносни с°^(у)а= сa : b ■ q • (log) .
Вид той фуэиции ие потвы(ляеыг в полннИ маре ваопользоаооьеу фодихнoн Ино и хайти точное решение для среднкэа :^н^чтн^я Уупоцио ¿иС'В, - УЦии oоаcooтдрсcдoх осреунении эрыысненоыа ( X)
О (в) = (A0q)( •0( = Ta + B-q3-H--oTH 'dt, (10)
получается уретнаниеы содержаника coyциcиичсокиo мкмтнл ^то(эл(1:.о порядка
ТуО00 = о-ы()<н а. <?)-Т-(нСТ • (11)
Вычислекое aoMedа (в2) приводит к появлению моментов третьего и четвертого порядков. Таким образом л.разуелао дooкынлфнayцeпoфф0 асаоиыагипсских урнсиений, лотодую необходимо оборвать, сделав опредылынныо допущения.
В рассмлойивоeнон случое сoтйoтоаннo пyиoпеyoжить, чдо флуннусции велиднны e¡(t) определяются случайнашо иолсбониями ииилк покупнстлоИ IHмитyооpoо> и не можно ефодотапото н виде
H = (нC + гт•Cн1•1=-(н))•о^ (12)
Тогда
а.23 =ЗнО0 +2.нсЗнЗ2 и(1 -<н»■^з + сг2 • Oof • 2= -(н>Н ■. (13)
Усреднениecooтпошeнпд 3^3)
(в2)=г в)2' =+=■ 2 • (г- г не ) (14)
приводитк уравианасю и^'с^нсситсспьсто одличоныТсН)
^ = а + (О-а) М)-Т .^.(г-гс-1 -(i -Hf\ (15)
Сравнение численного решения уравнения (15) и среднего значения вычисленного для всех m = 200 реализаций алгоритма (7)приведенонарис.2.
Рис. 2
Численный анализ показывает практическое совпадение результатов расчета по формуле (9) - нижняя кривая и формуле (15) - верхняя кривая.
На рис. 3 представлены кривые реализации случайного процесса с кривой для среднего значения процесса.
ч
0,5
1,0
о
t
о
5
10
Рис. 3
В случае если волатильность рынка обращается в нуль о = 0 и процесс становится детерминированным, полученные результаты совпадают с результатами классической модели Ф. Басса диффузии инноваций [7].
Библиографический список
1. Соловьев В.И. Экономико-математическое моделирование рынка программного обеспечения. М.: Вега-Инфо, 2009.
2. Сараев А.Л., Сараев Л.А. Особенности динамики выпуска продукции и производственных факторов модернизируемых предприятий // Вестник Самарского государственного университета. 2014. № 6 (117). С. 251-260.
3. Сараев А.Л. Уравнения динамики экономического развития предприятия, модернизирующего производственные технологии // Основы экономики, управления и права. 2014. № 3(15). С. 93-100.
4. Сараев А.Л. Уравнения нелинейной динамики кризисных явлений для многофакторных экономических систем // Вестник Самарского государственного университета. 2015. № 2(124). С. 262-272.
5. Егорова А.Ю., Сараев А.Л., Сараев Л.А. Вариант динамической модели переоборудования производственного предприятия, учитывающей эффект запаздывания внутренних инвестиций // Вестник Самарского государственного университета. 2015. № 5(127). С. 210-216.
6. Сараев А.Л. Динамическая многофакторная модель модернизации производственного предприятия // Вестник Самарского государственного университета. 2015. № 5(127). С. 224-232.
7. Bass F.M. A new product growth model for consumer durables // Management Science. 1969. Vol. 15.
1. Solov'yev VI. Ekonomiko-matematicheskoye modelirovaniye iynka programmnogo obespecheniya [Economic and mathematical modeling of the software market]. M.: Vega-Info, 2009. 176 p.
2. Sarayev A.L., Sarayev L.A. Osobennosti dinamiki vypuska produktsii i proizvodstvennykh faktorov moderniziruyemykh predpriyatiy [Features of the dynamics of output and production factors of modernized enterprises]. In: Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo universiteta [Vestnik of Samara State University], 2014, no. 6(117), pp. 251-260.
3. Sarayev A.L. Uravneniya dinamiki ekonomicheskogo razvitiya predpriyatiya, moderniziruyushchego proizvodstvennyye tekhnologii [Equations of the Dynamics of the Economic Development of an Enterprise Modernizing Manufacturing Technologies]. In: Osnovy ekonomiki, upravleniya i prava [Fundamentals of Economics, Management and Law], 2014, no. 3(15), pp. 93-100.
4. Sarayev A.L. Uravneniya nelineynoy dinamiki krizisnykh yavleniy dlya mnogofaktornykh ekonomicheskikh sistem [Equations of nonlinear dynamics of crisis phenomena for multifactorial economic systems]. In: Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo universiteta [Vestnik of Samara State University], 2015, no. 2(124), pp. 262-272.
5. Yegorova A.Yu., Sarayev A.L., Sarayev L.A. Variant dinamicheskoy modeli pereoborudovaniya proizvodstvennogo predpriyatiya, uchityvayushchey effekt zapazdyvaniya vnutrennikh investitsiy [ariant of the dynamic model of re-equipment of a manufacturing enterprise that takes into account the effect of the delay of domestic investment]. In: Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo universiteta [Vestnik of Samara State University], 2015, no. 5(127), pp. 210-216.
6. Sarayev A.L. Dinamicheskaya mnogofaktornaya model' modernizatsii proizvodstvennogo predpriyatiya [Dynamic multi-factor model for the modernization of a production enterprise]. In: Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo universiteta [Vestnik of Samara State University], 2015, no. 5(127), pp. 224-232.
7. Bass F.M. A new product growth model for consumer durables. In: Management Science, 1969, vol. 15.
176 с.
References
E.A. Ilyina, A.L. Saraev*
MODEL STOCHASTIC DYNAMICS DIFFUSION OF INNOVATIONS
In the published article the mathematical model of diffusion of innovations in consumer, taking into account the influence of the external random disturbing factor. The equations of the stochastic dynamics of sales of innovative products describe the random process of continuous and distributed to increase the number of consumers of innovative products. It is shown that the inclusion in the stochastic model of a random external disturbance factor leads to a significant departure from the classical deterministic model smooth development of innovative products market.
Key words: innovation, diffusion of innovations, stochastic equations, Wiener process, the drift coefficient, volatility factor, factor innovation, imitation factor.
Статья поступила в редакцию 4/VIII/2017.
The article received 4/VIII/2017.
* Ilyina Elena Alexeevna (elenaalex.ilyina@yandex.ru), Saraev Alexander Leonidovich (alex.saraev@gmail.com), Department. of Mathematics and BusinessInformatics, Samara National Research University, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086, Russian Federation.
