CC BY
80
УДК 517.955
МОДЕЛЬ РАДИОАКТИВНОГО РАСПАДА РАДОНА Паровик Р.И.1,2
1 Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, 684034, Камчатский край, с. Паратунка, ул. Мирная, 7
2 Филиал Дальневосточного Федерального государственного университета, 683031, г. Петропавловск-Камчатский, ул. Тушканова, 11/1
E-mail: parovikroman@gmail.com
В работе предложена модель радиоактивного распада вещества на примере радона (222Rn). В модели предполагается, что вероятность распада радона, а также период его полураспада зависят от фрактальных свойств геологической среды. Установлены зависимости параметров распада от фрактальной размерности среды.
Ключевые слова: фрактальная размерность, радиоактивный распад, дробная производная
(с) Паровик Р.И., 2012
MSC 00A71
MODEL RADIOACTIVE RADON DECAY Parovik R.I.1,2
1 Institute of Cosmophysical Researches and Radio Wave Propagation Far-Eastern Branch, Russian Academy of Sciences, 684034, Kamchatskiy Kray, Paratunka, Mirnaya st., 7, Russia
2 Branch of the Far Eastern Federal State University, 683031, Petropavlovsk-Kamchatsky, Tushkanova st., 11/1, Russia
E-mail: parovikroman@gmail.com
In a model of radioactive decay of radon in the sample (222Rn). The model assumes that the probability of the decay of radon and its half-life depends on the fractal properties of the geological environment. The dependencies of the decay parameters of the fractal dimension of the medium.
Key words: fractal dimension, radioactive decay, a fractional derivative
(c) Parovik R.I., 2012
ВВЕДЕНИЕ
В 2005 году вышла работа немецких физиков [1], в которой приводился эксперимент по ускорению процесса распада нестабильных ядер железа (57^е). С помощью искусственно созданной слоистой структуры с центром в виде тонкой пленки 57^е был организован рентгеновский волновод.
В эксперименте короткая вспышка рентгеновского излучения проходила вдоль железного слоя волновода и приводила ядра в неустойчивое возбужденное состояние. Далее через долю микросекунды ядра переходили в исходное состояние с испусканием рентгеновского фотона исходной энергии, при этом наблюдалось изменение вероятности распада возбужденного состояния ядра. В результате такого изменения ядро в 6 раз быстрее стало испускать гамма-квант.
Авторы объясняют этот эффект наличием ограниченного пространства (стенками волновода) так как, попадая в волновод, фотон имеет несколько другое распределение, чем в пустом неограниченном пространстве.
Следовательно, можно сделать вывод о том, что распад нестабильных ядер может в зависимости от конкретных ситуаций ускоряться или замедляться. Поэтому может изменяться Т - период полураспада вещества и X - вероятность распада вещества.
Если волновод заполнен фрактальной геологической средой, то естественно предположить, что параметры X и Т должны зависеть от фрактальной размерности среды. В настоящей работе согласно этому предположению предложена новая модель радиоактивного распада радона.
МОДЕЛЬ РАДИОАКТИВНОГО РАСПАДА 222ш.
Закон распада радионуклидов [2] интерпретируется так: число атомов радона АЫ, распадающихся за промежуток времени между ? и ? + А?, пропорционально числу атомов радона еще не распавшихся к моменту и некоторой постоянной величины X, характеризующей скорость превращений данного элемента.
С помощью математического уравнения этот закон можно записать в дифференциальной форме следующим образом:
dN (t) dt
= -Я N (t)
(1)
Знак минус говорит об уменьшении числа атомов в процессе распада. Уравнение (1) предполагает наличие стопроцентной концентрации частиц радиоактивного радона в рассматриваемом пространстве. Если известно число атомов радона Ыо в начальный момент времени ? = 0, то решение уравнения (1) запишется так:
N = N0e
-Я t
(2)
Из уравнения (1) постоянная распада определяется как отношение:
Я=
dN (t) dt
N (t)
(3)
Для радона X = 2,1■10 6 с 1 [2]. Период полураспада радона Т определяется согласно уравнению (2), когда N = Ы0/2 и составляет Т = 1п2/Х « 3,82 дня (рис.1).
О М2 5,8 11,6 17,4
Рис. 1. Кривые распада (1) радона и его накопления (2)
В работе [2] автор пишет, что «.. . константа X является основной константой радиоактивного распада, и ее значение для радионуклида (радона) остается практически неизменным в различных условиях существования его в земной коре». Однако как показал эксперимент в работе [1], а также и в работах [3],[4] можно создать условия, при которых процесс распада может протекать быстрее или медленнее.
Если рыхлые отложения считать фрактальной средой со сложной структурой пор и проводными каналами, то естественно предположить, что распад радона будет зависеть от фрактальной размерности геосреды.
Уравнение распада радона в некоторой точке фрактальной геосреды может быть записано в терминах дробной производной [5]
дО0N (т) = -ЯN (t),
(4)
ГЖ d0«N (t) =
І
г(1 - а) к=1 (? - т)< гамма-функция Эйлера, 0 < а < 1 .
Параметр а пропорционален или равен фрактальной размерности среды [6] и показывает количественную меру того как частицы радона заполняют окружающее пространство. Надо отметить, что при значении параметра а = 1 мы приходим к уравнению (1). Фрактальные свойства геосреды обуславливают эффекты памяти: частица «помнит» как она попала именно в эту точку фрактальной среды. Временная корреляция описывается интегралом со степенным ядром, стоящим в правой части уравнения (4).
Вероятность распада радона во фрактальной среде из уравнения (4) определяется:
d0tN (т)
N (t)
Пусть на некоторой глубине фрактального грунта расположен датчик регистрации концентрации радона в одинаковые моменты времени т . Тогда можно в соотношении (5) аппроксимировать оператор дробной производной [6]:
^(т) = г(,_ „) Е Ьк №-1+1 - ,ьк = (1 + 1)1-а - /-“,] = 1...М, (6)
1 (2 а) к=0
где М - количество данных.
Следовательно, выражение (5) согласно (6) запишется так:
X =
т а J
Е bk (Nk—J+І —Nk—J
Г (2 — a) k=0
N (t)
(7)
a
Для уравнения (4) можно задать начальное распределение радона, как и для уравнения (1):
N (0)= N0 (8)
Решение уравнения (4) с учетом условия (8) известно [7] и его можно записать в терминах специальной функции Миттаг-Леффлера:
N (г)= ЫоЕа ( -Xга), (9)
- ( - хга )к
где Еа ( -Xга) = Е тт?—;—тг - функция Миттаг-Леффлера, свойства которой по-к=о Г (ак + 1)
дробно рассмотрены в книге [8]. На рис. 2 представлены расчетные кривые, полученные по формулам (2) и (9) для различных значений параметра а .
---------------------1---------------------1----------------------1----------*----------1 ' і
О Т 2Т З Т 4Т 5Т бТ
Рис. 2. Расчетные кривые распада радона, полученные по формулам (2) и (9): кривая 1 - а = 1; кривая 2 - а = 0,8; кривая 3 - а = 0,6; кривая 4 - а = 0,4
Согласно рис. 2 можно сделать вывод, что при значении 0 < а < 1 вероятность распада радона уменьшается, а решение (2) имеет уже другой (степенной) вид. Степенная функция имеет так называемые «тяжелые» затягивающиеся хвосты, что
обуславливает замедление скорости распада радона. Однако, когда параметр а изменяется в пределах от 1 до 2, то уравнение (4) будет иметь другой тип и можно предположить, что скорость распада радона будет увеличиваться.
Функция Миттаг-Леффлера в (9) может быть также вычислена с помощью несобственного интеграла [9]:
Е. (-X,■ ) = ^ _ ^л + 1. (1»)
Подставим (1») в (9) с учетом N = N0/2 и г = Т , тогда получим в неявном виде выражение для периода полураспада
ха Іe xTXa п
J x2a + 2xa cos (an) + І 2sin (an)
(11)
Решив уравнение (11) в зависимости от значения параметра а, определим Т, а параметр X можно оценить с помощью формулы (7). Соотношения (7) и (11) показывают, что параметры Т и X зависят от значений а.
оо
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Уравнение типа (9) было использовано автором в работе [10] для определения параметра по экспериментальным данным радоновых полей на Петропавловске-Камчатском геодинамическом полигоне. Результатом работы стало установление связи параметра а с сейсмической активностью Южной Камчатки. Деформационные возмущения в земной коре изменяют ее фрактальную структуру вследствие чего, изменяется и фрактальная размерность.
Уменьшение скорости распада радона приводит к увеличению его миграционной способности (диффузионной длины [2]), а это в свою очередь может объяснить аномалии в поле подпочвенного радона, наблюдаемые на сети станций.
Интересен случай когда 1 < а < 2, тогда тип уравнения будет изменяться вместе с вероятностью распада радона. Известно, что на вероятность распада радона могут влиять различные воздействия: магнитное поле [3], интерференция волновых функций ядра [4], солнечная активность [11], а также возможны и другие воздействия.
Библиографический список
1. Rohlsberger R. et al. Accelerating the spontaneous emission of X rays from atoms in cavity // Physical Review Letters. - 2005. - Vol. 95 (9).
2. Новиков Г.Ф. Радиометрическая разведка. - Л.: Недра, 1989. - 407 с.
3. Михеев В.Л., Морозов В.А., Морозова Н.В. О возможности контролируемого изменения скорости радиоактивного распада атомных ядер // Письма в ЭЧАЯ. - 2008. - Т.5. - № 4 (146). - С. 623-627.
4. Филиппов Д.В. Увеличение вероятности разрешенных электронных в-распадов в сверхсильном магнитном поле // Ядерная физика. - 2007. - Т. 70. - № 2. - С. 280-287.
5. Нахушева В.А. Математическое моделирование нелокальных физических процессов в средах с фрактальной структурой: дис. ... д-ра физ.-мат. наук. - Таганрог, 2008. - 268 с.
6. Беданокова С.Ю. Математическое моделирование солевого режима почв с фрактальной структурой // Вестник СамГУ. Серия Физико-математические науки. - 2007. - № 2 (15). - С. 102-109.
7. Нахушев А.М. Дробное исчисление его применение. - М.: Физматлит, 2003. - 272 с.
8. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. - М.: Наука, 1966. - 672 с.
9. Gorenflo R., Loutchko J., Luchko Y. Computation of the Mittag-Leffler function and its derivative // Fract. Calc. Appl. Anal. - 2002. - Vol. 5. - P. 491-518.
10. Паровик Р.И., Фирстов П.П., Макаров Е.О. Математическое моделирование фрактальной размерности геосреды и сейсмическая активность Южной Камчатки // Вестник КРАУНЦ. Физикоматематические науки. - 2011. - № 2 (3). - С. 42-49.
11. E. Fischbach et al. Additional experimental evidence for a solar influence on nuclear decay rates // Astroparticle Physics. - 2012. - Vol. 37. - P. 81-88.
Поступила в редакцию / Original article submitted: 05.02.2012
