Модель псевдориманова сферически симметричного пространства с нестационарной лоренц-инвариантной метрикой Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 517.958:52/59

Модель псевдориманова сферически симметричного пространства с нестационарной лоренц-инвариантной метрикой

© А.А. Гурченков1, ИИ. Мороз2, Н.Н. Попов3

1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия 2МФТИ (ГУ), Долгопрудный, Московская область, 141700, Россия 3ВЦ РАН, Москва, 119333, Россия

Рассмотрена модель сферически симметричного псевдориманова пространства сигнатуры (—+) с нестационарной метрикой. Показано, что компоненты метрики удовлетворяют гравитационному уравнению поля, полученному на основе постулата зависимости скалярной кривизны псевдориманова пространства от плотности распределения массы материи. Это уравнение является фундаментальным соотношением теории гравитации. Относительно метрики построена система уравнений геодезических, представляющих собой дифференциальные уравнения второго порядка относительно четырех независимых переменных. Показано, что систему дифференциальных уравнений можно аналитически решить. Получено два типа решений внутри и вне светового конуса. Установлено, что вне светового конуса пробные тела движутся по закону Хаббла. Это соответствует наблюдаемому эффекту разбегания галактик со скоростями, пропорциональными расстоянию между ними.

Ключевые слова: сферически симметричное псевдориманово пространство, нестационарная метрика, гравитационные уравнения поля, уравнения геодезических, первые интегралы.

Рассмотрим модель четырехмерного псевдориманова сферически симметричного пространства, задаваемого нестационарной метрикой

Эта метрика представляет собой частный вид нестационарной сферически симметричной метрики [3-5]

Метрика (1) инвариантна относительно линейных преобразований Лоренца и относительно нелинейных преобразований, связанных

[1, 2]

(1)

ds2 = g44 (r, t) dt2 + g11 (r, t) dr2 + g22 (r, t) (d92 + sin2 9dф2 ) + + gi4 (r, t)drdt.

с равномерным вращением неинерциальных систем отсчета вокруг неподвижного центра сферической симметрии [6]. Отметим, что для метрики (1) выполняются условия

g22 = -Г2 < 0, ..., gllg44 -gl42 = - —-< 0, ...,

- Ro2 Ro2 + r2 -12

если R02 + r2 -12 > 0.

Это означает, что при выполнении условия R02 + r2 -12 > 0 метрика (1) описывает сферически симметричное псевдориманово пространство сигнатуры (----ь) . Пространство, соответствующее метрике (1), представляет собой четырехмерную псевдосферу [7-13]

t2 + u2 - х2 - y2 - z2 = R02,

на которой группа SO (2,3) действует транзитивно.

Покажем, что метрика (1) удовлетворяет системе дифференциальных уравнений для гравитационного поля

„ 1 „ 8tcG

R = 2 Rgj =—т, (2)

2 с2

где Rj — тензор Риччи; R — скалярная кривизна пространства; G — гравитационная постоянная; с — скорость света; р — плотность распределения массы материи в пространстве; gj — метрика псевдориманова пространства.

Это уравнение было впервые введено в работе [7]. Оно учитывает тот фундаментальный факт, что скалярная кривизна пространства пропорциональна плотности распределения массы материи в нем.

Данная зависимость определяется формулой

с 2

Р = R-^. (3)

32nG

Для удобства вычислений перейдем к следующей системе координат: х1 = r, х2 = - cos 0, х3 =ф, х4 = t. Тогда метрика (1) примет вид

2 = R02 + х12 dx 2 + х42 - R02 dx 2

as ~ —2-2-2 их 4 л--2-2-2 их1 —

R0 + Х1 — Х4 Rq + Х1 — Х4

х 2

х1

их 2 + (1 - Х22)UX32 - _ 2 2^-2UX1UX4. (4)

1 — Х2 у Rq + Х1 — Х4

Модель псевдориманова сферически симметричного пространства...

Компоненты ковариантной метрики gj, отличные от нуля:

x42 - R02 х12 2 2

gll = ~^-2-1Г, g 22 = ---Г, g33 =- х12(1 -х22)

^ 4J 1 (5)

Ro + Xi2 Xi Х4

g 44 = —2-2-2 , g14 = 7Г2-2-2 , g 41 = g14•

Ro + X1 — X4 Ro + X1 — X4

Компоненты контравариантной метрики g'J, отличные от нуля:

11 R02 + X12 22 1 - X22 33 1 g =--g =--g =

о ,-.7 •>••••>& 7 •>••••> С>

Ro2 ' ' X12 e (1 -Х22) X12

2 v 2

„44 . Ro2 - ~ X4 14 = X1X4 14 = g41 (6)

6 ~ T> 2 > & ~ n 2 ' ö _ 6 •

Ro Ro

Подставив значения компонент метрик из (5) и (6) в формулу

Г| =1 gkl f^ + ^-% I, i, J,k = 1, •••, 4, J 2 l йхг 5xj 5xl 1

для символов Кристоффеля Г| , получим следующие выражения:

Г = (X42 - Ro2 )X1 г1 = (Ro2 + X12) X1 11 = (Ro2 + X12 -X42)Ro2 , 22 =-(1 -X22)Ro2 ,

r1 = (Ro2 + X12 )(1 - X22 )X1 = (Ro2 + X12 )X1

Г33 = —1-, Г44

Ro2 ' 44 (Ro2 + X12 - X42 )Ro2

Г1 =__X12 X4_ Г 2 = 1 Г 2 = X2

Ro2(Ro2 + X12 - X42r 12~ X/ 22~1 - X22'

Г33 =(1 - X22 )X2, Г33 = -, Г23 =^7-XLT, (7)

X1 1 - X2

Г4 = X12X4 Г4 = (1 - Xl2 )x12X4

Г 22 = -^--Г, Г 33 = -

(1 - X22 )Ro2' 33 Ro2

4 = (X42 - Ro2 )X4 4 = (Ro2 +X12 )X4

11 = / „ n-^-, Г 44

(Ro2 + X12 - X42 )) (Ro2 + X12 - X42 )Ro2'

t-^4 X1X4

Г 14 = -

2

(Ro2 + X12 - X42 )) Компоненты тензора Риччи, отличные от нуля,

ЯГк ягк

И - '' 'к + ГрГк -ГрГк■ 1 /- 1 4

И' - Яхк Х + Г 'Г рк Г 'кГ Р', 1 ' - 1, ..., 4,

находят по формулам:

п _ ЯГ11 дГ14 р4 , т-2 т4 . т-4т-4 т-4 т-4

И11 - "Г------т! ц! 14 +2! ц! 12 _ А ц! 41 + А 111 44 А 14! l4,

дх4 дх1

И - дГ22 дГ23 , дГ22 , Г1 Г1 , Г1 Г4 , Г3 Г2 , Г4 Г1 , И22 Г---"ТТ + 12У 1Н 23А 22 + А 22! 41 "+"

дх1 дх дх

+Г22Г 44 — Г23Г

22 44 23 23

33 дГ?3 дГ33

33 , О! 33 С! 33 1 , 1422 р4

И33 - ^ + ^ ++ Г33Г11 + Г33ГГ4 + Г323Г22 + Г33Г 41 + (8)

дх1 дх2 дх4

,Г4 Г4 Г2 Г3

33 44 33 23,

И - дГ44 дГ41 ,Г4 Г1 , 2Г1 Г2 Г1 Г4 ,Г1 Г1 Г1 Г1 И44 - —------т А 44А 41 + 2А 44А 12 _ А 44! 14 + I 44! ц - I 41! 4l,

дх1 дх4

И - дГИ дГП , 2Г1 Г2 ,Г1 Г4 Г4 Г1 И14 - —------т 2А 14А 12 + А 14! 14-1 ц! 44.

дх1 дх4

Подставив в (8) значения символов Кристоффеля из соотношений (7), получим

- (х42 —Ио2)х1 , - (Ио2 + х12)х1

11 -(Ио2 + х12— х42))2 , 22 -—(1 — х22)) , Г1 - (Ио2 + х12)(х22) Г1 - (Ио2 + х12 )х1

Г33 - —2-, Г44 --

Ио2 ' 44 (Ио2 + х12— х42 )Ио2 '

__х12 х4 ^2 _ 1 т2 _ х2

Г 14 ----^-Г 12 --, Г 22 -■

Ио2( Ио2 + х12— х42У V 1 — х22

Г23 -(1 — х22)х2, Г33 - —, Г

3

23 -

х2

2

х1 1 — х2

Г 4 -— Х12 х4 Г 4 - (1 — х22 )х12 х4

Г 22- —(1 — х22)Ио2 , 133-— Ио2 ,

Г 4 - (х42 —Ио2 ) х4 Г 4 - (( +х12 )х4

Г 11 - -;-ТТТГГ, Г 44 -

(Ио2 + х12— х42 )) (Ио2 + х12— х42 ))

2

-.-^4 х1 х4 Г 14 ---

(Ио2 + х12 — х42 )Ио2'

_ 3 ( - R?) _ 3Х!2

R11 - / „ п-:-„ , R22

(( + Х12 - Х42)R0^ (1 - X22)Ro2'

3 (1 - X22 )) 3 ((o2 + X12 )

R33 _ Ro2 ' R44 _ (Ro2 + X12 - X42)) ' (9)

3x1 x4

(14 _ -

(Ro2 + X12 - X42 ))

Найдем выражение для скалярной кривизны R _ g'jRj . Для этого воспользуемся формулами (6) и (9). Тогда

12

R _ —г (Ю)

Ro2

Из справедливости соотношений (5), (9) и (Ю) следует, что компоненты метрики (4) удовлетворяют системе дифференциальных уравнений для гравитационного поля (2). Сформулируем полученные результаты в виде следующей теоремы.

Теорема. Четырехмерной псевдосфере t2 + u2 - X2 - y2 - z2 _ Ro2 соответствует нестационарная метрика

dS2 _ ^ + ^ dt2 - ^ - 12 dr2 -

Ro2 + r2 -12 Ro2 + r2 -12

- r2 (d02 + sin2 0dф2)--—--drdt,

V ' Ro + r2 -12

компоненты которой удовлетворяют системе дифференциальных уравнений гравитационного поля (2).

Скалярная кривизна пространства R в каждой точке постоянна и

находится по формуле R _ -12-.

Ro2

Из результата теоремы следует, что, несмотря на зависимость компонент метрики от радиальной и временной координат, скалярная кривизна в каждой точке пространства остается постоянной. Согласно соотношению (3), это означает, что плотность распределения массы материи во всем пространстве постоянна. Для установления законов перемещения массы тел необходимо исследовать поведение геодезических псевдориманова пространства [14-23]. Несомненный интерес представляет движение пробных тел по геодезическим в таком пространстве.

Уравнения геодезических в псевдоримановом пространстве имеют общий вид

хк + Гкх'х' - о, к, ', ' -1,..., 4,

(11)

где х' -

dxj

Г11 -

Подставим в уравнения (11) значения символов Кристоффеля из (7):

(х42 —Ио2 )х1 1 - (Ио2 + х12) х1

Г22 - — ■

(Ио2 + х12— х42 )) (1 — х22 )Ио2

Г1 - (Ио2 + х12 )(х22 )х1 - (Ио2 + х12 )х1 Г 33 ----, Г 44 - •

Ио2

(Ио2 + х12— х42 )Ио2'

Г14 -—-

2

х1 х4

Ио2( Ио2 + х12— х42)'

1 Г3 - х2

, 1 23 - _ —

х1

Г22 --, Г22 - --7, Г23 -(1_ х22)хх2,

х1

1 — х22

Т"3 _ * у3 _ "2 У4 _ А 13 —-, 1 23 ^-^ 1 22 - _

2

х1 х4

Г 4 -Г 11 -

1 — х22

(х42 — Ио2 )х4

(Ио2 + х12— х42))2' Х44 " (Ио2 + х12— х42)Ио2'

Г 4 -44

(1 — х22 )Ио2'

(Ио2 + х12 )х4

Г4 -

33

(1 — х22)

2

х1 х4

Ио2

4

Г 14 - —

х1 х4

(Ио2 + х12— х42 )Ио2

Получим следующую систему дифференциальных уравнений:

х4 — Ио х1 . 2 Ио + х1 х1 . 2

х + ~-2-2 —х + „ 2 , „2 „ 2 О 2 хх4

Ио + х1 — х4 Ио Ио + х1 — х4 Ио

— (Ио2 + х12) х1

( х 2 х2

Ио2

- + (1 — х22) ^32

1 — х2'

2

х1 х4 х1 х4

Ио2 Ио2 + х2 — х42

— 2

- о,

х2 2

х*2 +-х2 + — хх1хх2 + (1 — х22) х2хх32 - о,

1 — х2 х1

х 2 . . 2 х2 . . -

х-3 +--хх1 х3--2 х2х3 - о,

х1 1 — х2

(12)

х4 — Ио х4 2 Ио + х1 х4 2 Зх4 + - 2 , „2 „ 2 т, 2 х + ~-2-2 —*4

Ио2 + х12 — х42 Ио2 Ио2 + х12 — х42 Ио2

2„ { 2

х1 х4

Ио

2

х2

Л

- + (1 — х22) ^32

1 — х2'

х1 х4

Ио2 Ио2 + х12 — х42

х1х4 — о.

Второе и третье уравнения системы (12) интегрируются непосредственно, в результате чего имеем

Х VС22(1 - Х22) - Сз2 Х _ С3 (13)

Х2 _ Х12 'Х3 _ ХлГХ?)' (13)

где С2, С3 — произвольные постоянные. Исключив переменные Х2 и Х3 из системы (12), придем к системе, состоящей из двух независимых уравнений относительно двух неизвестных функций — х1(^), х^):

Х42 — Яо2 Х1 . 2 Яо2 н Х12 Х1 . 2 Х1 н--2-2-2—2 Х1 н--2-2-2—2 Х4 ~

Яо н Х1 — Х4 Яо Яо н Х1 — Х4 Яо

Яо2 + Х1 С2 2 Х1 Х4 Х1Х4

Яо2 Х13 Яо2 н Х12 — Х42 Яо2

Х42 — Яо2 Х4 , 2 Яо2 Н Х12 Х4 , 2

Х4 н 2 2 2 2 Х1 н 2 2 2 2 ^4

Яо Н Х1 — Х4 Яо Яо Н Х1 — Х4 Яо

Х1Х4 С2 2Х1Х42 Х1Х4 о

Яо2 Х13 Яо2 н Х12 — Х42 Яо2

Из соотношения (4) и равенств (13) следует уравнение

(14)

Яо2 + Х1 . 2 Х4' '— Яо2 . 2 С2 2 Х1Х4

Яо2 н Х12 — Х42 Яо2 н Х12 — Х42 Х12 Яо2 н Х12 — Х42

Учитывая справедливость уравнения (15), систему (14) можно значительно упростить и переписать в виде

•• Х1 С22 о

Х1+Я* ~ "Х^ _о,

Х4 _ о. (16)

4 Яо2

Если ограничиться рассмотрением только радиальных геодезических, то следует положить С2 _ о. В этом случае общее решение системы уравнений (16) при выполнении начальных условий

Х1 ( о)_ о, Х4 ( о)_р1,

Х1 (о)_|Ч Х4 (о )_Я Яо Яо

имеет вид

xi (sj = ai sin ——, x4 (sj = B2 sin-— +Bi cos——,

V / T) V / 1 E> E>

Ro R R

где ai, Pi, P2 > 0.

Эта модель интересна тем, что отсчет времени x4 начинается не от нулевого момента, а от значения р1. Это означает, что если приведенную конструкцию рассматривать в качестве космологической модели нашей Вселенной, то наблюдаемый возраст Вселенной вовсе не должен совпадать с ее реальным возрастом и может значительно его превышать [14-23].

Все радиальные траектории пробных тел начинаются из одной точки и описываются синусоидальным законом

r (sj = a1 sin—.

V 7 Ro

Движение продолжается до момента остановки времени. Этот момент находится из условия обращения скорости течения времени в нуль:

и \ р2 so pi • so ~ t(so j = — cos---sin— = o,

Ro Ro Ro Ro

so = Roarctg -pp2.

pi

Отметим, что если в формуле (4) ds2 < o, то систему уравнений (i4) можно упростить:

Xi-

x4

Xi C22

Ro2 Xi3

x4 = o.

Ro2

Решение этой системы в случае радиальных геодезических при начальных условиях Х1 (0) = 0, Х1 (0) = 0, х4 (0) = Д, Х4 (0) = 1 имеет вид

л л*

х1 = —, х4 = Д0еЬ—.

Все пробные тела в таком пространстве движутся относительно абсолютного времени л почти по закону Хаббла. Мировое время начинает свой отсчет с момента ¿(0) = Д0.

Заключение. Согласно полученным результатам, рассматриваемая модель интересна тем, что мировое время может начать свой отсчет не с нулевого момента, как это принято считать в современных теориях, а с некоторого момента, отличного от нуля. Это означает, что кажущийся многомиллионный возраст Вселенной вовсе не отражает начальной действительности, а сама Вселенная может быть значительно моложе.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Popov N.N. Geometrical Interpretation of Gravity Theory. ASSA, 2012, vol. 12, no. 3, pp. 54—66.

[2] Popov N.N., Tsurkov V.I. A Model for a Spherically Symmetric Space Generated by a Spherical Gravitational Source and a Gravitational Medium with Constant Mass Density. IJAA, 2013, 3, 2A.

[3] Permutter S. Astrophys. J., 1999, 517, 565.

[4] Ries A.G. Astron. J, 1983, 116, 1009.

[5] Петров А.З. Новейшие методы в общей теории относительности. Москва, Наука, 1967.

[6] Popov N.N. The Oomplementary Group of Proper Motions of the Minkowski Metric. TWMS Journal. Pure appl. Math. 2012, pp. 3, 1, 103—110.

[7] Popov N.N. Geometrical Interpretation of Gravity Theory. ASSA, 2012, 12, 3.

[8] Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Наука, Москва, 1979.

[9] Гурченков А.А., Елеонский В.М., Кулагин Н.Е. О сопоставлении бифуркаций в классической и квантовой механике. Случай интегрируемых систем. Mосква, 2009, Изд-во ВЦ РАН, 84 с.

[10] Gurchenkov A.A., Yalamov Y.I. Unsteady Flow over a Porous Plate with Injection (Suction). Прикладная механика и техническая физика, 1980, № 4, с. 66.

[11] Гурченков А. А., Есенков А.С., Цурков В.И. Управление движением ротора с полостью, содержащей идеальную жидкость. Ч. II. Известия РАН. Теория и системы управления, 2006, № 3, с. 82—89.

[12] Гурченков А.А., Есенков А.С., Цурков В.И. Управление движением ротора с полостью, содержащей идеальную жидкость. Ч. I. Известия РАН. Теория и системы управления, 2006, № 1, с. 141—148.

[13] Гурченков А.А. Момент сил внутреннего трения быстровращающего-ся цилиндрического сосуда, заполненного вязкой жидкостью. Известия вузов. Сер. Приборостроение, 2001, т. 44, № 2, с. 44.

[14] Gurchenkov A.A. Stability of a Fluid-Filled Gyroscope. Инженерно-физический журнал, 2002, т. 75, № 3, с. 28—32.

[15] Gurchenkov A.A., Yalamov Y.I. Unsteady Viscous Fluid Flow between Rotating Parallel Walls with Allowance for Thermal Slip Along One of Them. Doklady Physics, 2002, vol. 47. no. 1, pp. 25—28.

[16] Gurchenkov A.A. Stability of a Fluid-Filled Gyroscope. J. of Engineering Physics and Thermo Physics, 2002, vol. 75, no. 3, pp. 554.

[17] Гурченков А.А. Неустановившееся движение вязкой жидкости между вращающимися параллельными стенками при наличии поперечного

потока. Прикладная механика и техническая физика, 2001, т. 42, № 4, с. 48—51.

[18] Гурченков А.А., Корнеев В.В., Носов М.В. Динамика слабовозмущенного движения заполненного жидкостью гироскопа и задача управления. Прикладная математика и механика, 2008, т. 72, № 6, с. 904—911.

[19] Гурченков А. А. Диссипация энергии в колеблющейся полости с вязкой жидкостью и конструктивными неоднородностями. Докл. Академии наук, 2002, т. 382, № 4, с. 476.

[20] Gurchenkov A.A., Nosov M.V, Tsurkov V.I. Control of Fluid-Containing Rotating Rigid Bodies. CRSPress, 2013, 147 p. (in English).

[21] Гурченков А. А. Неустановившееся движение вязкой жидкости между вращающимися параллельными стенками. Прикладная математика и механика, 2002, т. 66, вып. 2, с. 251—255.

[22] Гурченков А.А., Елеонский В.М., Кулагин Н.Е. Слоистые структуры в нелинейных векторных полях. Москва, Изд-во ВЦ РАН, 2007, 177 с.

[23] Гурченков А. А., Кулагин Н.Е. Об узорах симметрии в простых моделях нелинейного скалярного поля. Москва, Изд-во ВЦ РАН, 2004, 84 с.

Статья поступила в редакцию 05.07.2013

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом:

Гурченков А.А., Мороз И.И., Попов Н.Н. Модель псевдориманова сферически симметричного пространства с нестационарной лоренц-инвариантной метрикой. Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, вып. 12. URL: http://engjournal.ru/ catalog/appmath/hidden/ 1168.html

Гурченков Анатолий Андреевич — д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры «Высшая математика» МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сфера научных интересов: управление и устойчивость вращающихся твердых тел с жидким наполнением. е-mail: challenge2005@mail.ru

Мороз Ирина Игоревна — аспирантка МФТИ (ГУ). Сфера научных интересов: геометрическая теория гравитации. e-mail: iimoroz@yandex.ru

Попов Николай Николаевич — канд. физ.-мат. наук, доцент ВЦ РАН им. А.А. Дородницына. Сфера научных интересов: стохастические задачи механики деформируемого твердого тела. e-mail: nnpopov@mail.ru