Модель пространственно-распределенного теплообмена стенки и потока на базе модального представления Текст научной статьи по специальности «Математика»

МОДЕЛЬ ПРОСТРАНСТВЕННО-РАСПРЕДЕЛЕННОГО ТЕПЛООБМЕНА СТЕНКИ И ПОТОКА НА БАЗЕ МОДАЛЬНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ1

И.А. Данилушкин, О.Н. Тимофеева

Самарский государственный технический университет 443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244

Предложена динамическая модель теплообмена стенки и потока теплообменного аппарата с учетом пространственной распределенности процесса. Рассмотрен способ решения системы дифференциальных уравнений в частных производных посредством разложения в бесконечный ряд по собственным функциям одного из уравнений. Для ограниченного числа учитываемых мод выполнен численный эксперимент, проведен анализ полученных результатов.

Ключевые слова: процесс теплообмена, нагрев потока, температурное распределение, объект с распределенными параметрами, структурная теория распределенных систем, собственная функция, модальное представление.

Исследование нагрева потока жидкости в технологических установках базируется, в первую очередь, на учете пространственной распределенности процесса теплообмена. В большинстве случаев математические модели, разрабатываемые для выявления качественных особенностей поведения процессов нагрева и синтеза законов управления ими, позволяют ограничиться системой двух одномерных дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих взаимосвязанные температурные распределения нагреваемого потока и поверхности, с которой он контактирует. В качестве базовой модели рассматривается процесс нагрева потока жидкости или газа от стенок трубы.

Относительно высокая скорость движения нагреваемого потока позволяет пренебречь передачей тепла за счет теплопроводности по направлению движения среды, а специальные конструктивные решения, повышающие эффективность теплообмена, позволяют считать температуру потока постоянной по сечению, перпендикулярному направлению потока. Температурное распределение в стенке трубы рассматривается как одномерная задача теплопроводности, поскольку протяженность поверхности контакта вдоль потока обычно в несколько десятков/сотен раз превышает толщину стенки. В поперечном сечении температура стенок трубы также принимается постоянной.

Таким образом, система уравнений с соответствующими граничными и начальными условиями имеет следующий вид:

дт (х- ‘ ) = а е 2 т (х0 + ^ -рт (т (х,,) -0(х,г)), 0<х <ь, г > 0, (1)

дг дх2 су

1 Работа выполнена при финансовой поддержке грантов РФФИ №я09-08-00297-а, №10-08-00754-а; ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы», заявка НК-66П/11, заявка 2010-1.3.1-230-009/8; АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы», проект №2.1.2/13988.

Иван Александрович Данилушкин - к.т.н., докторант.

Ольга Николаевна Тимофеева - аспирант.

дт (х, г)

дх

д0( х, г) дг 4

= 0,

дт (х, г)

х=0

дх

= 0, т (х,0) = То( х),

х=Ь

д0( х, г)

= Р0(т (х, г)-0(х, г)), 0 < х < Ь, г > 0,

(2)

(3)

дх

0(0, г) = г(г), 0(х,0) = 00(х) • (4)

Здесь Т(х, г) - температура стенки трубы; а = X/су - коэффициент температуропроводности стенки, X, с , у - физические характеристики материала стенки: коэффициент теплопроводности, теплоемкость и плотность соответственно; н>(х, г) - распределение мощности теплоисточников, нагревающих стенку трубы; 0( х, г) - температура потока; V - скорость потока; Ь - длина трубы; Т0(х), 0е(х) - начальные распределения температуры стенки и потока соответственно; г (г) - температура потока на входе в теплообменник; рт , Р0 - коэффициенты теплопередачи от потока к стенке и от стенки к потоку соответственно. Они оба одинаково зависят от коэффициента конвективного теплообмена между стенкой и потоком, но различаются благодаря разным объемам сред, участвующих в теплообмене, разным значениям их плотности и теплоемкости.

Методами структурной теории распределенных систем [1-4] для системы (1)-(4) может быть получено структурное представление вида рис. 1.

w( х, р) су

Рис. 1. Структурная схема объекта управления

Здесь Щт (х, 5, р) - распределенная передаточная функция температурного поля стенки

Щ (х, 5, р) = -Ь

1

С0$(ппх/Ь)• С08(пп5/Ь)

_р 4Рт п=1 р 4 Рт 4 а(пп/Ь)'

Щ (х, 5, р) - распределенная передаточная функция температурного поля потока

■(х-5)).

Щ (х, 5, р) = 1( х -0-ехр[-

V I V

(5)

(6)

Взаимное влияние температурных полей учитывается за счет стандартизирующих функций для стенки и потока соответственно [4]:

®т (х р) = ^ РР + рт е(х р), (7)

су

®е (х,Р) = реТ(хР) + ^(х)g(р) +0о(х). (8)

Задача управления температурным полем потока в ряде случаев формулируется либо в виде ограничений на максимальную температуру стенки нагревателя (например, при подогреве потока нефти [5]), либо в виде требования к поддержанию постоянной температуры стенки по всей длине нагревателя (пример - температура катализатора в проточном реакторе при протекании в нем эндотермических / экзотермических реакций [6]). В обоих случаях необходимо получить передаточную функцию по каналу «распределение теплоисточников» - «распределение температурного поля стенки», учитывающую наличие обратной связи за счет пространственно-распределенного сигнала. Передаточная функция замкнутой системы с распределенными параметрами в общем случае может быть найдена путем решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода [1]. Для структурной схемы (см. рис. 1) зависимость Т(х, р) от входного распределенного сигнала н>(х, р) записывается следующим образом:

Г1 ^

Т(х р) = Жт(х ^ р) ® — чх р) + ртЖе(х ^ р) ®РеТ(х р) , (9)

I су )

где символ ® означает интегрирование двух связанных этим символом функций по области, в которой меняются две внутренние (ближайшие в записи формулы к знаку ®) пространственные переменные [1]. Подставив в выражение (9) w(х, р) = 5(х -^), по определению получаем, что Т(х, р) = ЖкТ (х, ^, р) - распределенная передаточная функция замкнутой системы. Тогда уравнение Фредгольма для ЖкТ (х,£, р) примет вид

Ж„т (х ^ р) = ртре^Т (x, ^ р) ® Же(x, ^ р) ® ^Т (x, ^ р) + — ЖТ(x, ^ Р), (10)

су

ядром которого выступает интеграл произведения функций

Жт (х, £, р) ® Же (х, £, р) =

х 1

г -1

Л Ь

0

1 + 2^ С0$,(птІЬ)- ^(пЯ^/ь)

р + Рг п=1 Р + Рг + a(nVь)2

1 ( Р + Р(

— ехр|

V

-(п-^^. (11)

Решение интегрального уравнения (10) с ядром (11) не может быть найдено аналитически. Для нахождения передаточной функции по каналу «распределение теплоисточников» - «распределение температурного поля стенки» предлагается воспользоваться представлением распределенного сигнала в виде разложения в ряд по ортонормированному базису. В качестве такого базиса выбрана совокупность собственных функций однородного уравнения вида (1) с граничными условиями (2):

ФоСх) = ^1’ Фп(х) = ^ с™(пЛх/ь)> п е{1, 2,...}. (12)

Тогда передаточная функция ЖТ (х, ^, р) (5) может быть представлена в виде бесконечной суммы

ЖТ (x, ^ р) = 2 Фя (х) • Фя Ф • 2я (Р), (13)

я=0

где

*я (Р) =----- ---1 ( / Л2 , П е(0,1, 2,"} (14)

^ + РТ + а(ял/ Ь)

Любой распределенный сигнал системы может быть представлен в виде бесконечной суммы пар произведений собственных функций (12) и соответствующих временных мод. Для Т(х, р) можно записать

ТО

Т(хр) = £фя (х) • Тп (р). (15)

я=0

С учетом (15) выражение для распределения температуры потока 0(х, р) как сигнала на выходе передаточной функции Же (х, ^, р) записывается следующим образом:

Ь то Ь

е(x,Р) = ГЖе(x,^Р) • реТ&р№ = ре2Тя(р • ГЖе(л^р) • Фя. (16)

0 я=0 0

Благодаря свойствам ортонормированного базиса значение к-той временной моды разложения сигнала 0(х, р) в ряд по базису (12) может быть найдено с помощью интеграла

Ь

ек (Р) Р) •Фк (х)«х, к е{0,1,2,...}. (17)

0

Подставив (16) в (17), получим

то Ь Ь

ек (Р) = ре2тя (Р) ГГЖе (x, ^ Р) •Фя Ф«^Фк (х)«х , к е{0,1,2,...} . (18)

я=0 0 0

Представив распределение мощности теплоисточников в виде разложения в ряд по базису (12) с помощью временных мод

Ь

щк (Р) = Г щ(х, Р) •Фк (х)«х , к е{0,1,2,..} (19)

0

можно записать уравнение для к-той временной моды температурного поля стенки:

Г1 ^

тк (р) = 2к (р) • — Щ (р) + рт ек (р) , к е{0,1,2,...}. (20)

I сУ )

Подставив в (20) выражение для к-той временной моды температурного поля потока (18), получим бесконечную систему уравнений для временных мод температурного поля стенки:

Тк(Р) = гк(Р)'

Г 1 то ьь \

— щк (Р) + ртре 2 Тя (Р) Г Г Же ^ Р) • Фя • Фк (х)«х

СУ я=0 0 0

к е {0,1,2,...}. (21)

Если ограничиться конечным числом N учитываемых мод в системе уравнений (21), то можно реализовать решение системы в одном из компьютерных пакетах численного моделирования динамических систем, например Ма11аЬ/81ши11пк [7]. Для этого необходимо вычислить двойной интеграл. Обозначив его

LL

Щп(Р) = Ц^(х ^ Р) • Фп • фк(х)йх , (22)

0 0

можно записать

( 1 N-1 ^

Тк (Р) = ^ (р • — Чк (Р) + РтРеЕТп (Р) • ^ (Р)

\ су

п=0

к е{0,1,2,..., N -1}

Рассмотрим сначала

L х

| Wе (х ^ Р) • фп ^ ехр|- Р ^Ре (х - Ъ)) • фп , п е{0Д 2,...}.

При п = 0

х /1

V

ехр

Р + Ре

(х - Ъ)] • Л 1г^ =

0

При п е {1, 2,...}

1 1

Ь р + Ре

1 - ехр| -

Р + Ре

(23)

(24)

(25)

х \1

V

ехр

р + ре

(х - Ъ) I \ Ь С0§(п^/ЬИ = л Ь (--РГ\Т~(-----77)2

V ) \Ь \Ь (р + ре) + (плх/Ь)

1

(Р + Ре)е08(плх/Ь)+п^Хвт(плх/Ь)-(р + Ре)ехр|- ^ + Ре х Ь I V

(26)

С учетом полученных выражений (25) и (26) может быть найдено значение интеграла Wkn (р). Ввиду громоздкости вычислений целесообразно рассмотреть отдельно несколько случаев.

1) к = 0, п = 0 :

1 1

^(р) = Ь +Р

Ь Р + Р 2) к = 0, п е {1, 2,...}:

V2

^п (Р) = — v-

ь -

Р + Ре

1 -ехр| -Р+РеЬ

Ь (Р + Ре)2 + (п^/Ь )2

3) к е {1,2,...}, п = 0:

Л 1

0( Р) = ±- V-

Ь (Р + Ре)2 + (к^/Ь )2 4) к, п е {1,2,...}, к = п:

(-1)п+1 + ехр| - ^+^Ь

-1 + (-1)к ехр|-ь

(27)

(28)

(29)

х

V

0

V

V

1

V

^кк (р) =

2

Ь

(Р + Ре)2 +(к^/Ь)2

-(р + Ре)-- р )2

2 (Р + Ре)

V • (р + Ре )

-(кку/Ь)2

1 + (-1)иехр| -^^РеЬ

(30)

1

V

ч 1 су Гь

и

^оо( р)

р)

^02( р)

рт ре

2о( р)

^1о( р)

Ги( р)

г12( р)

рт ре ^( р) Т

^2о( р)

^21( р)

Ж,2( р)

рт ре *2( р) т т 2

о

Рис . 2. Структурная схема модели, учитывающей три первые моды, N = 3

5) к, п є {і, 2,к Ф п :

п 2 (і + (-1)к+п )

2 , 2 п - к

V

(31)

С помощью полученных выражений (27)-(31) были разработаны структурные схемы динамической модели для численного решения системы уравнений (23) при N = 2, N = 3, N = 4 в специализированных компьютерных пакетах. На рис. 2 представлена схема модели для случая N = 3 ,

На рис. 3 представлено температурное распределение по длине теплообменного аппарата, рассчитанное для некоторых фиксированных моментов времени при различном количестве учитываемых мод.

На рис. 4 представлены графики переходных процессов в трех точках по длине теплообменного аппарата также при различном количестве учитываемых мод.

Численные эксперименты проводились при следующих значениях параметров:

Рг Ре = 0,3 1/с2, і = 0,7 м, V = 0,02 м/с, с = 811 Дж/(кг-град), у = 2700 кг/м3,

бензиновых фракций в лабораторной установке каталитического риформинга [8]. Начальная температура катализатора и потока принята равной нулю градусов.

Анализ графиков (см. рис. 3, 4) показал, что увеличение количества учитываемых мод ведет к снижению статической и динамической ошибок моделей. Максимальная погрешность модели наблюдается в начале теплообменника, при х = ом. Так, «перегрев» начала в переходном режиме при t = 41с (см. рис. 4, а) для двух мод составляет около 7о% относительно установившегося значения, а для четырех мод, при t = 34 с (рис. 4, в) - уже около 26%. При этом исходя из физики исследуемого процесса понятно, что «перегрева» быть не должно.

Графики, представленные на рис. 3, также показательны - «перегрев» центральной области теплообменника при х = о,4 м по сравнению с концом (х = о,7 м) в переходном режиме (линии 3, 4 на рис. 3, б, в) уменьшается с увеличением количества учитываемых в модели мод.

Предлагаемый подход к моделированию может использоваться при исследовании объектов и систем с распределенными параметрами в компьютерных пакетах численного моделирования динамических систем, при синтезе и анализе систем автоматического управления объектами с распределенными параметрами.

w(х, р) = q = const.

(32)

Подставив (32) в (19), получим

^0 = -Л • д ; Wk = 0, к є{і, 2,...}.

(33)

X = 7 Вт/(мград), д = 180 кВт/м3. Такие параметры соответствуют режиму нагрева

а

б

в

Рис . 3. Температура стенки в разные моменты времени: а - при моделировании учтены две моды, N = 2; б - при моделировании учтены три моды, N = 3; в - при моделировании учтены четыре моды, N = 4:

1 - t = 5 с; 2 - t = 1о с; 3 - t = 3о с; 4 - t = бо с; 5 - t = 25о с

а

б

в

Рис. 4. Температура стенки в разных точках по длине: а - при моделировании учтены две моды; б - при моделировании учтены три моды; в - при моделировании учтены четыре моды

1. Бутковский А.Г. Структурная теория распределенных систем. - М.: Наука, 1977. - 32о с.

2. Бутковский А.Г. Характеристики систем с распределенными параметрами. - М.: Наука, 1979. -224 с.

3. Рапопорт Э.Я. Структурное моделирование объектов и систем управления с распределенными параметрами. - М.: Высшая школа, 2оо3. - 299 с.

4. Рапопорт Э.Я. Анализ и синтез систем автоматического управления с распределенными параметрами: Учеб. пособие. - М.: Высш. школа, 2оо5. - 292 с.

5. Данилушкин В.А., Калашников С.А., Шумаков М.А. Применение индукционных нагревателей в трубопроводном транспорте высоковязких нефтей // Вестник Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Технические науки. - Вып. 14. - 2оо2. - С. 178-181.

6. Кондрашева Н.К., Кондрашев Д.О., Абдульминев К.Г. Технологические расчеты и теория каталитического риформинга бензина: Учеб. пособие. - Уфа: Монография, 2оо8. - 1бо с.

7. Дьяконов В.П. $ти!тк 5/6/7: Самоучитель. - М.: ДМК-Пресс, 2оо8. - 784 с.

8. Тимофеева О.Н., Данилушкин И.А. Численно-аналитическое решение задачи теплообмена между катализатором и потоком // Математическое моделирование и краевые задачи: Труды VII Всероссийской научной конференции с международным участием. Ч.2: Моделирование и оптимизация динамических систем и систем с распределенными параметрами. - Самара: СамГТУ, 2о1о. - С. 254257.

Статья поступила в редакцию 20 апреля 2011 г.

UDC 517.958

A MODEL OF SPATIALLY DISTRIBUTED HEAT TRANSFER BETWEEN PIPE AND FLOW BASED ON MODAL REPRESENTATION

I.A. Danilushkin, O.N. Timofeeva

Samara State Technical University

244, Molodogvardeyskaya st., Samara, 443100

A dynamic model of heat transfer between pipe and flow of a heat exchanger taking into account a spatial distribution of the process is proposed. A method for solving differential equations in partial derivatives through expansion into an infinite series of eigenfunctions of the one of equations is considered. For a fixed number of modes a numerical experiment is carried out. The results are analyzed.

Keywords: heat transfer, heat flow, temperature distribution, an object with distributed parameters, the structural theory of distributed systems, eigenfunctions, the modal representation.

I.A. Danilushkin - Candidate of Technical Sciences, Associate professor. O.N. Timofeeva - Postgraduate student.