Модель прогнозирования доходности фондового индекса РТС Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

Фондовый рынок

МОДЕЛЬ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ доходности ФОНДОВОГО индекса ртс

а.с. коши,

доктор экономических наук, профессор, академик РАЕН,

заведующий кафедрой «Финансы»

A.B. ТАИЮХИИ, отдел платных образовательных услуг Нижегородский государственный университет им. И. И. Лобачевского

Для определения прогнозного значения доходности индекса РТС fdn¡hfVbбыла разработана с использованием инструментария регрессионного и корреляционного анализа трехфакторная модель, позволяющая спрогнозировать будущее значение доходности индекса РТС.

Разработка модели осуществлялась в несколько этапов.

1. Определение возможных экзогенных факторов, которые могут влиять на доходность фондового индекса.

2. Сбор статистической информации о прошлых значениях факторов.

3. Проверка распределения вероятностей на его подчинение нормальному закону для каждого фактора.

4. Расчет коэффициента парной линейной корреляции каждого фактора (нормально распределенного) с результирующим показателем.

5. Добавление к объясняющим переменным фактора, имеющего значимую корреляцию с результирующим показателем.

6. Окончательное формирование модели.

7. Проверка модели на значимость.

8. Расчет частных коэффициентов парной корреляции всех переменных в целях недопущения мультиколлинеарности факторов.

В процессе построения модели рассматривались следующие макроэкономические факторы:

• темп прироста портфельных иностранных инвестиций в экономике;

• темп прироста денежной массы;

• темп прироста безналичной денежной массы;

• темп изменения ставки рефинансирования ЦБ РФ;

• темп прироста ВВП (в реальном исчислении);

• темп прироста цены на нефть (NYMEX);

• темп прироста цены на золото;

• темп изменения процентной ставки по депозитам;

• темп изменения процентной ставки по кредитам.

Из вышеперечисленных факторов были отобраны всего три, имеющие корреляцию с результирующим показателем, значимо отличающуюся от нуля. Среди них:

• темп прироста цены на нефть;

• темп прироста безналичной денежной массы;

• темп прироста ВВП.

Следует отметить, что все темпы прироста, используемые в модели, брались за квартальный период с 1998 по 2006 г. Выбор квартального, а не месячного интервала обусловлен отсутствием статистики за месячный период по большинству макроэкономических индикаторов.

Доходность индекса РТС (у) определялась по формуле (1).

у = ln (RTS\/RTS0) х 4, (1) где RTSV RTS0 — последнее значение индекса РТС рассматриваемого и предыдущего кварталов соответственно.

Темп прироста цены на нефть (xt) в годовом исчислении рассчитывался по формуле (2).

X = ln (iyp,) X 4, (2)

где Pv P0 — цена закрытия на нефть марки Brent (NYMEX) рассматриваемого и предыдущего кварталов соответственно.

Темп прироста безналичной денежной массы (x2) в годовом исчислении рассчитывался по формуле (3).

финансы и кредит

37

Х2 = 1п ^М^М,) X 4, (3)

где DM1, DM0 — объем безналичной денежной массы в рублях на 1 -е число следующего за рассматриваемым и рассматриваемого кварталов соответственно.

Темп прироста ВВП (х3) в годовом исчислении рассчитывался по формуле (4).

= 1п (топр1/ТопрО) Х ¿А (4)

где Тд1)р1 Тд1)1О0 — темпы роста реального ВВП рассматриваемого и предыдущего кварталов соответственно в процентах к ВВП 1995 г.

у ^ — количество рабочих дней в году и квартале соответственно.

Все три фактора и результирующий показатель во времени — случайные процессы (ХД/), Х2(/), Х(), Y(t)). Введем предположение об их статистической стационарности. Тогда можно считать значения х1;, х2(, х3, у( в каждом квартале случайным исходом испытания, а несмещенные состоятельные оценки параметров распределения случайных величин можно определить выборочным методом.

Если случайные величины Х1, Х2, Х3, Ураспре-делены нормально, то между Х1, Х2, Х3, Yможет быть только линейная взаимосвязь.

Покажем, что случайная величина Yраспреде-лена по нормальному закону.

Несмещенные состоятельные выборочные оценки параметров можно найти по эмпирическим данным [5]. Для этого диапазон значений Yбыл разбит на 6 равных интервалов (количество интервалов определено по формуле Стерджеса), после чего были определены значения эмпирических частот, а затем и частостей X Исходя из полученных значений распределение случайной величины может быть нормальным. Несмещенные оценки параметров распределения следующие: Е (У) = 0,3558; ^2(У) = 1,4004.

Выдвигаем нулевую гипотезу Н0: случайная величина У имеет нормальный закон распределения с параметрами а и а2 (У ~ N (а; ст2)).

Для проверки гипотезы на уровне значимости 0,05

используем критерий согласия х2—критерий Пирсона. Статистические и гипотетические вероятности попадания Ув интервал представлены в табл. 1.

Отсюда,

X2 = 6,188044.

Так как х20 05.3 = 7,814728, а следовательно, х2<= Х2ак, то гипотеза Н0 не противоречит опытным данным.

Покажем, что случайная величина Х1 распределена по нормальному закону.

Несмещенные состоятельные выборочные оценки параметров можно найти по эмпирическим данным [4]. Для этого диапазон значений Х1 был разбит на 6 равных интервалов (количество интервалов определено по формуле Стерджеса), после чего были определены значения эмпирических частот, а затем и частостей Х1. Исходя из полученных значений распределение случайной величины может быть нормальным. Несмещенные оценки параметров распределения следующие: Е (Х1) = 0,1543; 52(ХГ1) = 0,6227.

Выдвигаем нулевую гипотезу Н0: случайная величина Х1 имеет нормальный закон распределения с параметрами а и а2 (Х1 ~ N (а; а2)).

Для проверки гипотезы на уровне значимости 0,05 используем критерий согласия х2 — критерий Пирсона. Так как количество попаданий во второй интервал меньше 5, то целесообразно объединить первый интервал со вторым. Статистические и гипотетические вероятности попадания Х1 в интервал представлены в табл. 2.

Отсюда,

X2 = 1,782047.

Так как х20 05 2 = 5 9 9 1 465, а следовательно, Х2<= Х2ак, то гипотеза Н0 не противоречит опытным данным.

Покажем, что случайная величина Х2 распределена по нормальному закону.

Несмещенные состоятельные выборочные оценки параметров можно найти по эмпирическим данным [2]. Для этого диапазон значений Х2 был

Таблица 1

Статистические и гипотетические вероятности попадания Yв интервал

Интервал -151,09 % -94,66 % -38,22 % 18,21 % 74,64 % 131,07 % 187,50 %

Статистическая вероятность 0,054 054 054 0,162 162 162 0,189 189 0,243 243 0,216 216 216 0,135 135

Гипотетическая вероятность 0,044 289 443 0,12 748 413 0,232 155 0,267 602 0,19 527 385 0,090 182

Таблица 2

Статистические и гипотетические вероятности попадания Х1 в интервал

Интервал -111,05 % -12,13 % 37,33 % 86,80 % 136,26 % 185,72 %

Статистическая вероятность 0,257 143 0,371 429 0,285 714 0,057 142 857 0,028 571

Гипотетическая вероятность 0,307 927 0,308 454 0,236 628 0,099 712 014 0,023 042

Таблица 3

Статистические и гипотетические вероятности попадания X в интервал

Интервал -1,30 % 11,57 % 24,45 % 37,32 % 50,20 % 63,07 % 75,95 %

Статистическая вероятность 0,114 286 0,142 857 0,257 143 0,142 857 0,285 714 286 0,057 143

Гипотетическая вероятность 0,066 119 0,159 814 0,249 198 0,250 762 0,162 842 263 0,068 221

разбит на 6 равных интервалов (количество интервалов определено по формуле Стерджеса), после чего были определены значения эмпирических частот, а затем и частостей Х2. Исходя из полученных значений распределение случайной величины может быть нормальным. Несмещенные оценки параметров распределения следующие:

Е (Х2) = 0,1543;

^(Х2) = 0,6227. Выдвигаем нулевую гипотезу Н0: случайная величина Х2 имеет нормальный закон распределения с параметрами а и ст2 (Х2 ~ N (а; ст2)).

Для проверки гипотезы на уровне значимости 0,05 используем критерий согласия х2 — критерий Пирсона. Так как количество попаданий во второй интервал меньше 5, то целесообразно объединить первый интервал со вторым. Статистические и гипотетические вероятности попадания Х2 в интервал представлены в табл. 3. Отсюда,

X2 = 6,232 993. Так как х20 05 3 = 7,814 728, а следовательно, Х2<= х2ак, то гипотеза Н0 не противоречит опытным данным.

Покажем, что случайная величина Х3 распределена по нормальному закону.

Из эмпирических данных видно, что временной ряд не является строго стационарным. Очевидно, что самые значительные темпы прироста ВВП наблюдаются в третьем квартале любого года, а самое серьезное снижение — в первом квартале. Таким образом, даже при равенстве дисперсий, математическое ожидание случайной величины зависит от номера квартала. Приведем динамический ряд к стационарному виду, нивелируя влияние сезонного фактора. Скорректированные на сезонность уровни ряда представлены в табл. 4. Их вычисление производилось по следующему алгоритму.

х/ = 7 /«; (5)

В = х /' / Е (Х3), (6)

где х у — среднее значение темпа прироста ВВП за 7-й квартал,

х-3* — темп прироста ВВП в 7-м квартале в год к, Е (Х3) — среднее значение случайной величины Х3, рассчитанное по данным сгруппированного вариационного ряда.

Результаты расчета индексов сезонности представим в табл. 4.

Таблица 4

Индексы сезонности для ВВП в реальном исчислении, %

Год 1-й квартал 2-й квартал 3-й квартал 4-й квартал

1998 9,48 30,24 -24,06

1999 -25,56 29,07 59,51 -21,88

2000 -28,11 24,77 60,86 -30,15

2001 -41,43 20,54 62,14 -28,89

2002 -44,47 22,79 62,40 -22,68

2003 -38,56 24,29 55,84 -17,02

2004 -40,60 25,27 54,56 -18,36

2005 -59,24 31,49 50,42 0,94

2006 -71,60 39,13 49,63 4,38

среднее -43,70 25,20 53,96 -17,52

Ь -648,96 216,60 577,86 -320,16

Значения скорректированных уровней ряда получены по формуле (7).

х 3С = х 3,. - Е (Х3) х 1с. (7)

Несмещенные состоятельные выборочные оценки параметров можно найти по эмпирическим данным [3]. Для этого диапазон скорректированных значений Х3 был разбит на 6 равных интервалов (количество интервалов определено по формуле Стерджеса), после чего были определены значения эмпирических частот, а затем и частостей Х3. Исходя из полученных скорректированных значений распределение случайной величины может быть нормальным. Несмещенные оценки параметров распределения следующие:

Е (Х3) = 0,0788;

&(Х3) = 0,1074. Выдвигаем нулевую гипотезу Н0: случайная величина Х3 имеет нормальный закон распределения с параметрами а и ст2 (Х3 ~ N (а; ст2)).

Для проверки гипотезы на уровне значимости 0,05 используем критерий согласия х2—критерий Пирсона. Статистические и гипотетические вероятности попадания Х3 в интервал представлены в табл. 5 Отсюда,

X2 = 4,533 912. Так как х20 05 3 = 7,814 728, а следовательно, Х2<= Х2ак, то гипотеза Н0 не противоречит опытным данным.

Так как случайные величины Х1, X, Х3, Уимеют нормальный закон распределения, то связь между ними может быть только линейной, и модель множественной линейной регрессии можно представить в виде:

Таблица 5

Статистические и гипотетические вероятности попадания Х3 в интервал

Интервал -20,34 % -12,04 % -3,74 % 4,56 % 12,86 % 21,16 % 29,47 %

Статистическая вероятность 0,057 143 0,114 286 0,171 429 0,371 429 0,142 857 143 0,142 857

Гипотетическая вероятность 0,027 546 0,107 919 0,239 101 0,29 997 0,213 183 683 0,085 774

у. = во + РЛ, + РЛ, + Р3Х3, + В, (8) где Р0, Р1, Р2 — неизвестные параметры;

в, — возмущение (случайная ошибка), или в матричной форме:

У = Х х р + в.

Оценкой этой модели по выборке является уравнение:

уI = Ь0 + Ь 1ХИ + Ь 2Х2, + Ь 3Х3, + е, (9)

или в матричной форме:

У = ХX Ь + е [1].

Используя элементы линейной алгебры и метод наименьших квадратов, определяем вектор неизвестных параметров Ь.

Ь0 = - 1,07 296; Ь1 = 0,50 645; Ь2 = 3,16 038;

Ь3 = - 0,0 182.

Полученные результаты объяснимы с экономической точки зрения. С ростом цены на нефть происходит увеличение вероятности высокой цены в будущем, вычисленной по ретроспективе, что увеличивает ожидаемые доходы российских топливно-энергетических компаний и, как следствие, справедливую стоимость топливно-энергетического бизнеса. Рыночная стоимость топливно-энергетических компаний составляет значительную долю капитализации индекса РТС. Повышение безналичной денежной массы приводит к увеличению инвестиционной активности институциональных инвесторов и корпораций и, безусловно, способствует росту фондового рынка.

Таким образом, математическое ожидание У при конкретных значениях факторов неопредел ен-ности можно вычислить по формуле:

Е (У)1 = - 1,07 296 + 0,50 645 х ху + 3,16 038 х

х х2, - 0,0 182 х х3 (10)

Множественный коэффициент корреляции ^) для данной модели равен:

R =0,64 814.

Коэффициент детерминации ^2) для данной модели равен:

R2= 0,42 009.

Можно сделать вывод, что изменчивость выбранных факторов приближенно на 42 % объясняет изменчивость зависимой переменной.

Используя ^-критерий Фишера-Снедекора, проверим значимость уравнения регрессии на уровне значимости а = 0,05.

Так, если известен коэффициент детерминации

R2, то критерий значимости уравнения регрессии может быть записан в виде:

F = R2 х (п-р-1) / ((1-Я2) х р) > Fa.kl.k2, (11) где к1=р, к2=п-р-1;

р - количество объясняющих переменных;

п — количество элементов в выборке [1].

Для данной модели:

F = 11,5903;

F = 2 9 113

Так как F > Fа.k1.k2, то уравнение множественной регрессии значимо.

Таким образом, модель является многофакторной, для этого необходимо обеспечить достоверность прогноза и проверить ее на мультиколлинеар-ность факторов. Необходимо, чтобы объясняющие переменные были независимыми случайными величинами. Для этого были рассчитаны выборочные частные коэффициенты парной корреляции факторов. Их значения приведены ниже.

Гх1х2 = 0,0727; Гх1х3 = - 0,0314; Гх2х3 = 0,1029.

Как видно из расчетов, выборочный коэффициент частной парной линейной корреляции много меньше 0,7 для всех объясняющих переменных. Можно утверждать, что мультиколлинеарность факторов отсутствует.

Доверительный интервал для математического

ожидания Ех (У) примет вид:

х0

УХ0 - Ч-а-п-р-1 х 'ух <= ЕХ0 (У) < =

УХ0 + ¿1-а; п-р-1 х 'Ух, (12)

где 'Ух характеризует изменчивость зависимой переменной в результате колеблемости объясняющих переменных.

Доверительный интервал для индивидуальных значений зависимой переменной у0 примет вид: у„ - 1 ,х <= у <= у„ + I ,х , (13)

Х, 1-а;п-р-1 УО •'О Х, 1-а;п-р-1 У,' у '

где 'У характеризует изменчивость зависимой переменной как в результате колеблемости объясняющих, так и под воздействием случайных, не учтенных в модели факторов.

Спрогнозируем значение индекса РТС на основе значений факторов, заложенных в Прогнозе социально-экономического развития Российской Федерации до 2010 г. В данном документе определены прогнозные значения темпов роста ВВП и цены за 1 баррель нефти.

Темпы роста ВВП составят в 2007 г. 106,5 %, в 2008 г. - 106,1 %, в 2009 г. - 106 %, в 2010 - 106,2 %.

y = 195,98e0 0922x -R2 = 0,9945

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53

Рис. 1. Динамика безналичной денежной массы

5,00%

-10, 00%

Рис. 2. Ожидаемая доходность индекса РТС в 2007 — 2010 гг.

Отсюда логарифмический темп прироста ВВП в 2007 г. составит 6,3 %, в 2008 г. — 5.9 %, в 2009 г. — 5,8 %, в 2010 г. — 6 %.

Цена за 1 баррель нефти в 2007 г. составит 55 долл. США, в 2008 г. — 53 долл. США, в 2009 г. — 52 долл. США, в 2010 г. — 50 долл. США.

Таким образом, годовой логарифмический темп прироста цены на нефть в 2007 г. составит 10,35 %, в 2008 г. — 3,7 %, в 2009 г. — 1,9 %, в 2010 г. — 3,9 %.

Прогнозный темп прироста безналичной денежной массы определим, проанализировав временной ряд и найдя уравнение линии тренда. Динамика безналичной денежной массы, а также график функции тренда представлены на рис. 1.

Уравнение для линии тренда может быть записано в следующем виде:

У = 195,98 х е°'0922х, где У — значение величины безналичной денежной массы;

х — номер квартала при начале исчисления со второго квартала 1998 г.

Качество аппроксимации очень высокое (Я2 = 0,9945).

Таким образом, величину безналичной денежной массы определим на 01.01.2007 в размере 8 588,79 млрд руб., на 01.01.2008 — в размере 12 419,37 млрд руб., на 01.01.2009 — в размере 17 958,39 млрд руб.,

на 01.01.2010 - в размере 25 967,8 млрд руб.

Логарифмический годовой темп прироста безналичной денежной массы в 2007 г. равен 32,42 %, в 2008 - 2010 гг. равен 36,88 % ежегодно.

В результате применения прогнозной модели вычислим прогнозную (выборочную) доходность индекса РТС на 2007 г. Она равна - 10,19 %.

Ожидаемая доходность с вероятностью 0,6 лежит в интервале от — 28,08 % до 7,69 %. С вероятностью 0,6 доходность индекса РТС в 2007 г. будет лежать в интервале от — 71,76 % до 51,37 %.

В результате применения прогнозной модели вычислим прогнозную (выборочную) доходность индекса РТС на 2008 г. Она равна 7,28 %.

Ожидаемая доходность с вероятностью 0,6 лежит в интервале от — 10,1 % до 24,65 %. С вероятностью 0,6 доходность индекса РТС в 2008 г. будет лежать в интервале от — 54,23 % до 68,79 %.

В результате применения прогнозной модели вычислим прогнозную (выборочную) доходность индекса РТС на 2009 г. Она равна 8,19 %.

Ожидаемая доходность с вероятностью 0,6 лежит в интервале от — 9,07 % до 25,45 %. С вероятностью 0,6 доходность индекса РТС в 2009 г. будет лежать в интервале от — 53,3 % до 69,69 %.

В результате применения прогнозной модели вычислим прогнозную (выборочную) доходность индекса РТС на 2010 г. Она равна 7,17 %.

Ожидаемая доходность с вероятностью 0,6 лежит в интервале от — 10,22 % до 24,56 %. С вероятностью 0, 6 доходность индекса РТС в 2010 г. будет лежать в интервале от — 5 434 % до 68,68 %.

Таким образом, на рис. 2. изображена ожидаемая доходность индекса РТС в 2007 — 2010 гг.

Можно прогнозировать достаточно стабильное, устойчивое значение доходности индекса РТС в 2008 — 2010 гг.

Литература

1. Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2006. 573 с.

2. www. cbr. ru

3. www. gks. ru

4. www. nymex. com

5. www. rts. ru

15 000,00

5 000,00

0,00

0,00%

-5,00%