Модель подвешивания магнитолевитирующего поезда Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2017, № 5 (71)

РУХОМИЙ СКЛАД ЗАЛ1ЗНИЦЬ I ТЯГА ПО1ЗД1В

УДК 629.439

В. А. ПОЛЯКОВ1 , Н. М. ХАЧАПУРИДЗЕ

1*

,2*

1 Отд. № 7, Институт транспортных систем и технологий НАН Украины, ул. Писаржевского, 5, Днипро, Украина, 49005, тел. +38 (056) 232 30 55, эл. почта p_v_a_725@mail.ru, ORCID 0000-0002-4957-8028

2*Институт транспортных систем и технологий НАН Украины, ул. Писаржевского, 5, Днипро, Украина, 49005, тел. +38 (056) 370 21 86, эл. почта itst@westa-inter.com, ORCID 0000-0003-0682-6068

МОДЕЛЬ ПОДВЕШИВАНИЯ МАГНИТОЛЕВИТИРУЮЩЕГО ПОЕЗДА

Цель. Реализация левитационной силы (ЛС) магнитолевитирующего поезда (МЛП) происходит в процессе взаимодействия магнитных полей сверхпроводящих поездных (СПК) и короткозамкнутых путевых контуров (КПК) левитационного узла (ЛУ). Исходя из этого, целью настоящего исследования является получение корректного описания такого взаимодействия. Методика. На современном этапе основным и наиболее универсальным инструментом анализа и синтеза процессов и систем является их математическое и, в частности, компьютерное моделирование. В то же время радикальные преимущества этого инструмента делают ещё более важной прецизионность выбора конкретной методики проведения исследования. Особую актуальность это имеет по отношению к столь большим и сложным системам, какими являются МЛП. По этой причине в работе особое внимание уделено аргументированному обоснованию выбора селективных особенностей исследовательской парадигмы. Результаты. Результаты анализа существующих версий модели реализации ЛС свидетельствуют о том, что каждая из них, наряду с преимуществами, обладает и существенными недостатками. В связи с этим, одним из основных результатов исследования должно явиться построение математической модели реализации указанной силы, сохраняющей преимущества упомянутых версий, но свободной от их недостатков. В работе аргументированно обоснована рациональность применения, для целей исследования ЛС поезда, интегративной холистической парадигмы, ассимилирующей преимущества теорий электрических цепей и магнитного поля. Научная новизна. Приоритетность создания такой парадигмы, а также соответствующей версии модели реализации ЛС составляют научную новизну исследования. Практическая значимость. Основным проявлением практической значимости работы является возможность, в случае использования её результатов, существенного повышения эффективности динамических исследований МЛП при одновременном снижении их ресурсоёмкости.

Ключевые слова: магнитолевитирующий поезд; математическая модель левитации; интегративная парадигма исследования

Токи и поля контуров ЛУ МЛП - компоненты единого электромагнитного субпроцесса гиперпроцесса электромеханического преобразования энергии. Моделирование этих компонентов вполне возможно [4] в рамках парадигм теорий электрических цепей и электромагнитного поля. Поэтому существующие версии математической модели подвешивания (ММП) МЛП построены [4, 13, 14] исходя из упомяну -

Введение

тых парадигм. Анализ свойств упомянутых версий модели свидетельствует о том, что каждая из них обладает как преимуществами, так и недостатками. Их общая положительная черта - достаточная функциональность. Основной же имманентный недостаток таких версий - нестационарность дифференциальных уравнений, вызванная циклической переменностью их коэффициентов, соответствующих собственным и взаимным индуктивностям дискрет-

Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2017, № 5 (71)

ных путевых контуров (ДПК) ЛУ как между собой, так и со сверхпроводящими поездными контурами (СПК), в зависимости от положения поезда. Это существенно затрудняет решение задач описываемой динамики [12], радикально снижая практическую ценность версий модели.

Цель

Изложенное выявляет [5, 8, 11] актуальность создания ММП МЛП, ассимилирующей достоинства имеющихся версий такой модели, но свободной от их недостатков. Синтез такой модели является основной целью настоящей работы.

Методика

Электромеханическое энергопреобразование ЛУ МЛП осуществляется в процессе взаимодействия полей токов СПК и ДПК. Поэтому паттерном левитационной силы (ЛС) поезда является взаимодействие тока элемента СПК с полем токов ДПК. Такое взаимодействие может быть описано выражением закона Ампера [2]:

/y = V г'РУ- 5ßy- Sin «ßA. ,

(1)

Потому, в инерциальной системе отсчёта 2ер У ре [(хр -Е),(хр + Е)], модель электромагнитного компонента взаимодействия р -го СПК с учитываемыми (в этом взаимодействии) ДПК имеет вид [1, 2]:

d

d

ст„= L •— ip + L

pß рр dt p| dt

f + у ip

CTpß=CTpß"CTpß; CTpß=-

Vp, |^e[(Xß-E),(Xß+E)]; (2) d

dt

(pß •iß)

Vpe[(Xß-E),(Xß+E)], к = и v к = 1, (3)

где аррУре[(Хр-Е),(Хр+Е)], к = иук = I -

электродвижущие силы (э. д. с.) в катушках р -го ДПК при изменениях сцеплений с их под-

контурами потока тока iß цепи ß -го СПК;

где /ру - сила, действующая на у -тый элемент

Р -го СПК; 1ру,, Вру, ару - длина элемента, ток в нём, индукция поля, в котором элемент находится, а также угол между /Ру и Вру .

Расчётные схемы СПК и секций ДПК приняты, соответственно, в виде наборов гальванически не связанных проводящих прямоугольных рамок, а также пар идентичных прямоугольных катушек, соединённых согласно нуль-поточной схеме [4]. Тогда ЛС поезда определима как векторная сумма величин

/х УА,е[1, N], хе[1,4], каждая из которых, -

это результат взаимодействия тока одного из элементов СПК с полем токов взаимодействующих с ним ДПК. В последнем выражении, N - число упомянутых СПК. Динамика электромагнитного компонента такого взаимодействия определяется уравнениями второго закона Кирхгофа [2]. Подсистема «СПК - ДПК», как правило, вырождена [8] - ёмкостные показатели её элементов пренебрежимо низки.

1рр, 1рц, Гр У P, Ц е [(Хр - Е) (Хр + Е)] - собственные и взаимные индуктивности, а также активные сопротивления ДПК; Хр - номер (от начала участка трассы, вдоль которого происходит движение МЛП) последнего ДПК, поперечную осевую линию которого миновала поперечная осевая линия р -го СПК; Е- половина числа ДПК, с которыми учитывается электромагнитное взаимодействие каждого СПК;

гр, /ЦУр, це [(Хр-Е),(Хр+Е)] - токи ДПК;

МрКр Уре[(Хр-Е),(Хр +Е)], к = иvк = ^ - взаимные индуктивности между р -ым СПК и катушками взаимодействующих с ним ДПК; t - текущее время.

Благодаря принятым конструкционным мерам [4], значения токов 7^УЯе[1,К], изменяются достаточно медленно и, на интервалах, соизмеримых со временем наблюдения движения поезда, могут считаться равными между собой и постоянными

i* = is = const V^e [1, К],

(4)

где К - число СПК, установленных на МЛП. Значение же Е нужно выбирать так, чтобы по обеим сторонам от каждого р -го СПК в ДПК,

Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2017, № 5 (71)

предшествующих, а также следующих за учитываемыми, величины

арр уР<Хр"Е V p>Xp+E, к = и V , к = I

даже в неравновесном состоянии ЛУ, были бы пренебрежимо малы.

СПК и ДПК взаимоподвижны. Поэтому

Lpp,^,Мр\ Ур,це[(Хя-Е),(Хя+Е)],

Яе [1,К], к = и V к = I имеют циклически изменяющиеся во времени значения. Это, в свою очередь, приводит к нестационарности коэффициентов уравнений (2), (3) и, как отмечено, существенно снижает практическую ценность версии модели. С целью устранения указанного недостатка, реализацию слагающих ЛС МЛП следует рассматривать относительно координатных систем, в каждой из которых рассматриваемый СПК и учитываемые во взаимодействии с ним ДПК условно взаимно неподвижны. В таком качестве, удобнее всего принять [11] отсчётные системы

СЯ„цУЯе[1,К],це[1,3], каждая из которых жёстко связана с Я -ым СПК. Инерциальны-миСЯ„ц УЯе[1,К],це[1,3], в общем случае, не являются. В то же время, весьма желательно [7], чтобы уравнения, описывающие динамику электромагнитного компонента взаимодействия СПК с ДПК, имели тензорный характер. Такие уравнения могут быть получены [10], из равенств типа (2) путём замены в них локальных

ё Б

производных — абсолютными —, а также

перехода в модели (2), (3) к координатам „Ц УЯ е [1, К], ц е [1,3]. Соотношение между упомянутыми производными, как известно, имеет вид [10]:

D

dt

— < = — < '®а X Ve [1,3] , (5)

где ецауУц, уе [1,3], юа - символ Леви-Чивита, а также вектор угловой скорости вращения Са^Уцер].

После указанной замены, соотношения, полученные из (2), приобретают тензорный характер. Поэтому, в частности, их форма становится инвариантной по отношению к координатам, в которых они записаны. Переход же к ко-

ординатам Ла V^e[1,3] осуществим согласно выражениям:

V ре [(Ха-ЕШа+Е)];це [1,3] (6) где - матрица преобразования координат:

q^.^na

Уре [(х„-Е),(ха+Е)];це [1,3]. (7)

На оси ^аУце[1,3]

и вРУре[(Ха -Е),(Ха +Е)] могут проецироваться любые векторные величины, характеризующие электродинамику взаимодействия СПК и ДПК в системах отсчёта соответственно

Са„цУцер] и евРУре[(Ха-Е),(Ха+Е)]. В частности, ими могут быть векторы токов, э. д. с. и индукции полей.

Выражения для связей вида

„а=„а (вр)

Уре[(Ха-Е),(Ха+Е)]; цер] (8)

могут быть получены исходя из того, что [5], в процессе описываемого координатного преобразования, его инвариантами являются амплитуды токов в рассматриваемых контурах, а также их э. д. с.

С помощью же матрицы

8ц=|г(8ц)Г _

Уре [(Ха-Е),(Ха+Е)]; це [1,3], (9) осуществимо обратное преобразование Рр = пр .„ц

8 = Уц • „а

V Ре [(Ха-Е),(Ха+Е)];це [1,3]. (10)

В

выражениях

cpß vpe [(хв -е),(хв +е)],

bß

ß

(3) для

K"uVK"!,

MKß Vpe[(Xß -E),(Xß +Е)], к "u vk "l существенно зависят, в частности, от взаимного рас-

Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету зашзничного транспорту, 2017, № 5 (71)

положения рассматриваемого р -го СПК и ДПК, взаимодействие с которыми для него рассматривается. Поэтому

MpKß = MК (wß) Vpe[(Xß -E),(Xß +E)],

К = иVK = l,

(11)

Cpß=Cpß-Cpß ; Cpß = -is • wß-

dw

M

pß

Vpe[(Xß-E),(Xß+E)], к = u vk = l, (12)

ß

dw

M

pß

Vpe[(Xß-E),(Xß+E)], к = и vk = l

ß

ний, зависимостей вида (11). Таким образом, каждый из ß векторов

Cpß Vpe [(Xß - E),(Xß + E)] оказывается определёнными в системе отсчёта

где мр - координата, определяющая текущее положение рассматриваемого р -го СПК относительно начала отсчёта движения МЛП вдоль оси пути. При этом, поскольку ДПК вдоль трассы движения поезда располагаются регулярно, последние зависимости имеют гармонический характер. В то же время, современные способы измерения позволяют [9] экспериментально-расчётными методами со вполне приемлемой точностью определять значения взаимных индуктивностей контуров магнитосвязан-ных электрических цепей при различном текущем их пространственном взаиморасположении. Это, в свою очередь, позволяет, используя упомянутые методы, поточечно строить искомые зависимости (11) на требуемой сетке Мр. Далее, с использованием методов,

например, полиноминальной регрессии [6], реализация которых доступна в ряде современных систем компьютерной математики (например, МаШешайса), зависимостям вида (11) может, с сохранением достаточно высокой точности содержания, быть придана форма аналитических выражений. Помимо того, с учётом равенств (4), выражения (3) могут быть преобразованы к виду

2ер Уре[(Хр -Е),(Хр +Е)]. Далее, с использованием соотношений вида (6) - (8), каждый такой вектор может быть определён в системе СрТ^ Уце[1,3] проекциями стЦрУце[1,3].

После преобразований, уравнения, полученные из (2) и (3) путём их трансформации в триэдр СрГ\Ц Уце[1,3] с использованием соотношений (5) и (6), приобретают вид

Ciß = L||

f+ eißv-®ß-i'

+Lxx-I "Гil+ exße •«ß •r 1 + Vr

V|,v, x,e e [1,3];

Cxß=Ä|-Cpß

Vpe[(Xß-E),(Xß+E)]; |xe[1,3]

Cpß=Cpß-Cpß;

(13)

Cpß=-is

•wR

dwR

-M,

pß

где мр - скорость продольного (вдоль касательной к оси) движения рассматриваемого р -го СПК относительно пути. Значения

й

для подстановки в выражения (12) могут быть получены с использованием, созданных описанным путём в форме аналитических выраже-

Уре[(Хр-Е),(Хр+Е)],к = и vк = 1. (14)

Уравнения (13) имеют постоянные коэффициенты, являются тензорными и описывают токовую динамику ЛУ МЛП в координатах Уце[1,3]. После их (как правило - численного) разрешения относительно этих переменных, последние, с использованием соотношений (10), могут быть преобразованы в координаты гр Уре[(Хр-Е),(Хр+Е)], значения которых определяют реальные токи в цепях ДПК.

Магнитная цепь ЛУ предполагается ненасыщенной [4]. Поэтому она может считаться условно-линейной подсистемой и, следовательно, к ней применим принцип аддитивности. Исходя из этого, результирующее поле токов ДПК в любой точке геометрического простран-

Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2017, № 5 (71)

ства ОНу Уу е [1,3], в котором реально движется СПК относительно ДПК, может описываться как сумма полей, создаваемых в этой точке токами отдельных модулей ДПК:

В = В • ер • ер = 1 •

ур _ урр ' _ '

Vp е [(Xß- E),(Xß + E)], У е [1,3], (15)

где Вур, ВуррУре[(Хр- Е),(Хр+ Е)], уе[1,3] -

пространственные компоненты индукции поля, создаваемого всеми (учитываемыми во взаимодействии с р -ым СПК) модулями ДПК, а также отдельными такими модулями в рассматриваемой точке этого пространства. В свою очередь, значения компонентов Вуар Ууе[1,3] для каждого а -ого модуля ДПК, определимы выражениями

Бу^(/а) " B^ß(/а) -^(/а) Vy е [1,3], (16)

образом,

находятся

значения

B.

'ypß

Уре[(Хр -Е),(Хр + Е)], уе [1,3], а затем по ним,

согласно (15), - и Вур Уу е [1,3].

Поскольку пространство системы ОНу

Ууе [1,3] - евклидово, то, исходя из его метрики, мгновенное значение модуля вектора пол-

ной индукции поля, создаваемого токами ДПК, взаимодействующих с р -ым СПК, может быть определено выражением

Bß " л ¡Б.

Ф

>(2) . „У-„У-

yß

ey" 1 Vy е [1,3]. (17)

Результаты

где Вуар Уу е [1,3],к = и vк = I - пространственные компоненты индукции поля токов катушек а -го ДПК (взаимодействующего с р -ым СПК). Выражения для определения значений Вукрр (/р) Ур е [(Хр- Е ),(Хр+ Е)], уе [Щ к = и vк = 1 получены в [3]. Далее, в соотношения вида (16) последовательно подставляются значения токов /р Уре [(Хр -Е),(Хр +Е)] и, таким

Создана интегративная парадигма моделирования подвешивания МЛП, ассимилирующая достоинства теорий цепей и поля, но свободная от их недостатков. Построена ММП МЛП, не имеющая дефектов предыдущих версий модели. Этим решена задача настоящей части исследования.

Научная новизна и практическая значимость

Научную новизну исследования составляют приоритетность создания интегративной холистической парадигмы моделирования подвешивания МЛП, а также соответствующей версии модели реализации ЛС. Основным проявлением практической значимости работы является возможность, в случае использования её результатов, существенного повышения эффективности динамических исследований МЛП при одновременном снижении их ресурсоёмко-сти.

Выводы

Холистичность и интегративность созданной парадигмы исследования позволили существенно повысить качество ММП МЛП, созданной с использованием такой парадигмы. Её использование в процессе динамических исследований МЛП позволит повысить их эффективность и снизить ресурсоёмкость.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Арменский, Е. В. Единая теория электрических машин : учеб. пособие / Е. В. Арменский, И. В. Кузина.

- Москва : Изд -во Моск. ин-та электрон. машиностроения, 1975. - 256 с.

2. Бессонов, Л. А. Теоретические основы электротехники: электрические цепи : учебник / Л. А. Бессонов.

- Москва : Высш. шк., 1996. - 578 с.

3. Бирюков, В. А. Магнитное поле прямоугольной катушки с током / В. А. Бирюков, В. А. Данилов // Журнал техн. физики. - 1961. - Т. XXXI, № 4. - С. 428-435.

4. Высокоскоростной магнитный транспорт с электродинамической левитацией : монография / В. А. Дзензерский, В. И. Омельяненко, С. В. Васильев, В. И. Матин, С. А. Сергеев. - Киев : Наук. думка, 2001. - 479 с.

5. Копылов, И. П. Математическое моделирование электрических машин : учеб. для вузов / И. П. Копылов. - Москва : Высш. шк., 2001. - 327 с.

6. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Е. Корн. - Москва : Наука, 1973. - 831 с.

7. Крон, Г. Применение тензорного анализа в электротехнике : монография / Г. Крон. - Москва ; Ленинград : Госэнергоиздат, 1955. - 275 с.

8. Львович, А. Ю. Электромеханические системы : учеб. пособие / А. Ю. Львович. - Ленинград : Изд-во ЛГУ, 1989. - 296 с.

9. Панфилов, В. А. Электрические измерения : учебник / В. А. Панфилов. - Москва : Академия, 2006. -288 с.

10. Рашевский, П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ / П. К. Рашевский. - Москва : Наука, 1967. -644 с.

11. Сипайлов, Г. А. Электрические машины (специальный курс) : учеб. для вузов / Г. А. Сипайлов, Е. В. Кононенко, К. А. Хорьков. - Москва : Высш. шк., 1987. - 287 с.

12. A Review on Development and Analysis of Maglev Train / G. K. Tandan, P. K. Sen, G. Sahu [et al.] // Intern. J. of Research in Advent Technology. - 2015. - Vol. 3. - Iss. 12. - P. 14-17.

13. Magnetic suspension applications on the railway traction for high speed maglev trains / M. Dumitrescu, V. §tefan, C. Ple§can [et al.] // Bulletin of the Transylvania University of Bra§ov. - 2015. - Vol. 8 (57). - Special Issue No. 1. - P. 233-244.

14. Wairagade, A. K. R. Magnetic Levitation Train / A. K. R. Wairagade, M. B. H. Balapure, P. Ganer // J. for Research. - 2015. - Vol. 01. - Iss. 08. - P. 1-5.

В. О. ПОЛЯКОВ1*, М. М. ХАЧАПУРЩЗЕ2*

Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету зашзничного транспорту, 2017, № 5 (71)

1 Вщ. № 7, 1нститут транспортних систем i технологш НАН Украши, вул. Шсаржевського, 5, Дтпро, Украша, 49005, тел. +38 (056) 232 30 55, ел. пошта p_v_a_725@mail.ru, ОЯСГО 0000-0002-4957-8028

2*1нститут транспортних систем i технологш НАН Украши, вул. Шсаржевського, 5, Дшпро, Украша, 49005, тел. +38 (056) 370 21 86 , ел. пошта itst@westa-inter.com, ОЯСГО 0000-0003-0682-6068

МОДЕЛЬ П1ДВ1ШУВАННЯ МАГН1ТОЛЕВ1ТУЮЧОГО ПО1ЗДА

Мета. Реалiзацiя левггацшно1 сили (ЛС) магнгголевггуючого по!зда (МЛП) вщбуваеться у процес взае-модп магнгтних полiв надпровщних по!зних (НПК) i короткозамкнених шляхових контурiв (КШК) левгта-цшного вузла (ЛВ). Виходячи iз цього, метою цього дослщження е одержання коректного опису тако! взае-модп. На сучасному етат основним i найбшьш ушверсальним шструментом аналiзу й синтезу процеав i систем е !х математичне та, зокрема, комп'ютерне моделювання. Методика. У той же час радикальш переваги цього шструмента роблять ще бшьш важливою прецизiйнiсть вибору конкретно! методики проведения дослщження. Особливу актуальнiсть це мае стосовно таких великих i складних систем, якими е МЛП. 1з цiеi причини у робот особлива увага придiлена аргументованому обгрунтуванню вибору селективних особливо-стей дослщницько! парадигми. Результати. Результати аиалiзу юнуючих версiй моделi реалiзацii' ЛС сввд-чать про те, що кожна з них, поряд iз перевагами, мае й ютотш недолiки. У зв'язку з цим, одним iз основних результатiв дослiджения повинна бути побудова математично! моделi реалiзацii зазначено! сили, що зберiгае переваги згаданих версiй, але вiльноi вiд !х недолiкiв. У роботi аргументовано обгрунтована рацiональнiсть застосування, для цiлей дослвдження ЛС по!зда, iнтегративноi холiстичноi парадигми, що асимшюе переваги теорiй електричних ланцюгiв i магнiтного поля. Наукова новизна. Прюритетшсть створення тако! парадигми, а також вiдповiдноi версп моделi реалiзацii ЛС становлять наукову новизну дослщження. Практична значимiсть. Основним проявом практично! значимостi роботи е можливють, у випадку викори-стання !! результатiв, iстотного пiдвищення ефективносп динамiчних дослiджень МЛП при одночасному зниженнi !х ресурсоемностi.

Ключовi слова: магттолевпуючий по!зд; математична модель левиацп; iнтегративна парадигма дослi-дження

Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2017, № 5 (71)

V. A. POLYAKOV1, N. M. KHACHAPURIDZE2*

'Dep. № 7. Institute of Transport Systems and Technologies of Ukraine's NAS, Pisarzhevsky St., 5, Dnipro, Ukraine, 49005, tel. +38 (056) 232 30 55, e-mail p_v_a_725@mail.ru, ORCID 0000-0002-4957-8028

2*Institute of Transport Systems and Technologies of Ukraine's NAS, Pisarzhevsky St., 5, Dnipro, Ukraine, 49005, tel. +38 (056) 370 21 86, e-mail itst@westa-inter.com, ORCID 0000-0003-0682-6068

MAGNETICALLY LEVITATED TRAIN'S SUSPENSION MODEL

Purpose. The implementation of the magnetically levitated train's (MLT) levitation force (LF) occurs during the interaction between fields of superconducting train's (STC) and short-circuited track's contours (STC), which are included in to levitation module (LU). Based on this, the purpose of this study is to obtain a correct description of such interaction. Methodology. At the present stage, the main and most universal tool for the analysis and synthesis of processes and systems is their mathematical and, in particular, computer modeling. At the same time, the radical advantages of this tool make even more important the precision of choosing a specific methodology for research conducting. This is particularly relevant in relation to such large and complex systems as MLT. For this reason, the work pays special attention to the reasoned choice of the selective features of the research paradigm. Findings. The analysis results of existing versions of LF implementation's models show that each of them, along with the advantages, also has significant drawbacks. In this regard, one of the main results of the study should be the construction of this force implementation's mathematical model, which preserves the advantages of the mentioned versions, but free from their shortcomings. The rationality of application, for the train's LF researching, of an integrative holistic paradigm, which assimilates the advantages of the electric circuit's and magnetic field's theory's, is reasonably justified in work. Originality. The scientific novelty of the research - in priority of such a paradigm's and the corresponding version's of the LF's implementation's model's creating. Practical value. The main manifestation of the practical significance of the work is the possibility, in the case of using its results, to significantly increase the effectiveness of dynamic MLT research while reducing their resource costing.

Keywords: magnetically levitated train; mathematical model of levitation; integrative paradigm of research

REFERENCES

1. Armenskiy, Y. V., & Kuzina I. V. (1975). Yedinaya teoriya elektricheskikh mashin [Monograph]. Moscow: MIEM.

2. Bessonov, L. A. (1996). Teoreticheskiye osnovy elektrotekhniki: elektricheskiye tsepi [Monograph]. Moscow: Vysshaya shkola.

3. Biryukov, V. A., & Danilov, V. A. (1961). Magnitnoye pole pryamougolnoy katushki s tokom. Technical Physics, XXXI (4), 428-435.

4. Dzenzerskiy, V. A., Omelyanenko, V. I., Vasilev, S. V., Matin, V. I., & Sergeev, S. A. (2001). Vysokoskorost-noy magnitnyy transport s elektrodinamicheskoy levitatsiey [Monograph]. Kyiv: Naukova dumka.

5. Kopylov, I. P. (2001). Matematicheskoye modelirovaniye elektricheskikh mashin [Monograph]. Moscow: Vysshaya shkola.

6. Korn, G., & Korn, Y. (1973). Spravochnikpo matematike dlya nauchnykh rabotnikov i inzhenerov. Moscow: Nauka.

7. Kron, G. (1955). Primeneniye tenzornogo analiza v elektrotekhnike [Monograph]. Moscow-Leningrad: Gostekhizdat.

8. Lvovich, A. Y. (1989). Elektromekhanicheskiye sistemy [tutorial]. Leningrad: St. Petersburg State University.

9. Panfilov, V. A. (2006). Elektricheskiye izmereniya [tutorial]. Moscow: Akademiya.

10. Rashevskiy, P. K. (1967). Rimanova geometriya i tenzornyy analiz. Moscow: Nauka.

11. Sipaylov, G. A., Kononenko, Y. V., & Khorkov, K. A. (1987). Elektricheskiye mashiny (spetsialnyy kurs) [tutorial]. Moscow: Vysshaya shkola.

12. Tandan, G. K., Sen, P. K., Sahu, G., Sharma, R., & Bohidar, S. (2015). A Review on Development and Analysis of Maglev Train. International Journal of Research in Advent Technology, 3 (12), 14-17.

13. Dumitrescu, M., §tefan, V., Ple§can, C., Bobe, C. I., Dragne, G. M., Badea, C. N., Dumitru, G. (2015). Magnetic suspension applications on the railway traction for high speed maglev trains. Proceeding of the Interna-

Наука та прогрес транспорту. Вкник Дншропетровського нацюнального ушверситету залiзничного транспорту, 2017, № 5 (71)

tional Scientific Conference «CIBV 2015», October, 30-31, 2015, Brasov, Romania. [Special Issue]. Bulletin ofthe Transylvania University of Bra§ov, 8 (57), 233-244. 14. Kelwadkar, A., Wairagade, R., Boke, M., Balapure, H., & Ganer, P. (2015). Magnetic Levitation Train. Journal for Research, 01 (08), 1-5.

Статья рекомендована к публикации д.физ.-мат.н., А. А. Зевиным (Украина); д.т.н., проф. И. В. Жуковицким (Украина)

Поступила в редколлегию: 05.06.2017 Принята к печати: 12.09.2017