Модель оценки пропускной способности улично-дорожной сети Текст научной статьи по специальности «Математика»

дФ(а,а>)

да

) —Ф(л0,й>)

а=,о„

дФ(я, ¿У )

да

Ф(а0,со)

аг

Н(а0,со)

2 Р

дН(а,со)

да

при условии, что р > 0.

В заключение отметим следующее. Приведение исходных ^ -уравнений к нелинейным уравнениям второго порядка позволяет строить уравнения установления как для системы с одной степенью свободы, В результате появляется возможность упростить эти уравнения, используя метод усреднения, и тем самым найти и проанализировать параметры решения и его устойчивость, Такой подход, связанный не с прямым построением приближенных решений точной системы, а с анализом точных решений приближенной системы, является гораздо более гибким, поскольку содержит первый в качестве частного случая и оставляет возможность проведения качественного анализа и использования ЭВМ для численных расчетов.

Библиографический список

1. Одареев В,А, Об одном способе разделения нелинейной системы дифференциальных уравнений II Асимптотические методы в динамике систем. - Иркутск: ВСФ СО АН СССР, 1988, - С. 66-89,

2. Одареев В,А. Исследование периодических колебаний нелинейной системы на основе дифференциальных уравнений второго порядка II Асимптотические методы в теории систем, - Иркутск: Иркутский научный центр СО АН СССР, 1989, - С. 116-134.

3. Воробьев H.H. Теория рядов. - М.: Наука, 1975, - 368 с.

4. Цзе Ф.С., Морзе И.Е., Хинкл Р.Т. Механические колебания. - М.: Машиностроение, 1966. - 508 с.

5. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний, - М.: Наука, 1974. - 504 с,

6. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. - М.: Наука, 1978. - 552 с,

7. Булгаков Б,В, Колебания. - М,: Гостехиздат, 1954, - 891 с,

А.Ю.Михайлов, И.М.Головных

Модель оценки пропускной способности удично-дорожной сети

Оценка пропускной способности отдельных элементов (перегонов, пересечений и развязок различных типов) улич-но-дорожных сетей (УДС) имеет устоявшуюся терминологию и методы расчетов. Принципиально иная ситуация сложилась с оценкой пропускной способности УДС. Сам термин пропускная способность УДС давно и широко используется как специалистами в области организации дорожного движения (ОДД). так и градостроителями. При этом до сих пор нет единого принятого определения этого понятия, более того, принципиально различаются подходы градостроителей и специалистов в области ОДД.

Достаточно долго для отечественной градостроительной практики было характерным использование ориентировочных значений пропускной способности магистральных улиц разных категорий и показателя плотности УДС, определяемого как отношение суммарной протяженности магистральных улиц и дорог Ь к размеру территории , т.е. 5' ~ Ь/Р. Показатели плотности существующих УДС и их загрузки движением рассматривались в монографиях и статьях А.В.Сигаева, С.А.Ваксмана, Р.В.Горбанева, Т.А.Глухаревой, Р.Э.Любарского и др. Как правило, предметом исследований были статистические данные, включавшие следующие показатели: плотность УДС, протяженность улиц и дорог в расчете на одного жителя, количество зарегистрированных транспортных средств на 1 км улиц и дорог, годовой пробег транспортных средств на 1 км улиц и дорог и т.д. Ряд исследований посвящен установлению связи между показателями плотности и пропускной способности. Так, для центров городов М.Г.Крестмейном [4] предложен относительный показатель пропускной способности, являющийся отношением входной мощности магистралей к площади центральной части города. Несколько отличающуюся методику предложила Д.Л.Гришкавичене [1]. В ней используются два показателя:

плотность полос проезжих частей (отношение суммарной протяженности полос движения к территории}, км полос/км2;

уровень организации движения - количество приведенных автомобилей, которое может пропустить полоса движения на перегоне или пересечении при условии соблюдения условия безопасности движения.

Показатель емкости сети магистральных улиц, который использовался в проектных работах мастерской генерального плана ЛенНИИПроекта (1985-1986 гг.), для оценки пропускной способности центральных районов Санкт-Петербурга был предложен в диссертации О.Н.Крыловой [5]. Критерием являлось отношение суммарной протяженности колонны транспортных средств, въезжающих в центр, к суммарной длине всех полос движения городского центра. Аналогичная модель оценки пропускной способности была предложена для центра Варшавы [6]. Под пропускной способностью территории понималось максимальное количество транспортных средств, которые могут в данный момент двигаться или находиться на стоянках в пределах рассматриваемой территории.

Важнейший недостаток показателя плотности и его модификаций - отсутствие какой-либо конкретной информации о тех или иных участках УДС.

Как отечественные, так и зарубежные специалисты в области ОДД чаще всего связывают исчерпание пропускной способности сети с появлением заторов. Характерным является определение пропускной способности УДС, предложенное В.Т.Капитановым и Е.Б.Хилажевым [3]. Пропускная способность понимается ими как множество векторов, компонентами которых являются интенсивности транспортных потоков на входах сети. При этом имеется хотя бы одна компонента, минимальное увеличение которой приводит к образованию затора на каком-либо участке УДС.

Если рассматривать УДС как систему массового обслуживания, то оценку сети и ее отдельных элементов можно свести к двум следующим показателям:

уровень обслуживания - качество обслуживания заявок;

пропускная способность - максимальное количество заявок, которые может обслужить сеть (или ее элемент) при заданном уровне обслуживания,

Определение максимального количества заявок сводится к задаче линейного программирования, где целевой функцией является сумма корреспонденций, обслуживаемых сетью, как это предлагалось Г.Н.Зубковым [2]. Если УДС рассматривается в виде ориентированного графа, то суммарные потоки на дугах и пропускные способности дуг формируют линейные ограничения задачи. Линейные ограничения позволяют рассматривать оценку пропускной способности УДС в том понимании, как ее формулировали В.Т.Капитанов и Е.Б.Хилажев [3]. Вместо значений пропускной способности дуг в линейных ограничениях могут использоваться максимальные объемы движения, соответствующие заданным уровням обслуживания. В этом случае оценивается максимальное количество корреспонденций, которые может пропустить УДС при заданном качестве обслуживания.

Для задач оценки распределения потоков обязательным условием является заданная матрица корреспонденции, причем случаи, когда матрица не является фиксированной, получили название эластичного спроса (elastic demand). В рассмотренной выше постановке задачи линейного программирования пока не отражен спрос на обслуживание, который можно описать дополнительными ограничениями. Современное развитие методов линейного программирования предоставляет возможность рассматривать задачу оценки максимального объема корреспонденций в условиях эластичного спроса даже с учетом существующей матрицы корреспонденций,

За последние примерно 15 лет предложено несколько новых методов решения задач линейной оптимизации и разработано много пакетов программ линейного программирования. Об этом свидетельствуют многочисленные публикации, информационные материалы о теоретических и вычислительных аспектах, алгоритмах и пакетах линейного программирования, предоставляемые целым рядом специализированных веб-сайтов университетов и научных учреждений Европы и Северной Америки. Очень подробные справочные данные и библиографию, сравнительный анализ программного обеспечения содержит http: II www. lionhrtpub. сопл/ orms/ surveys/ LP.

Современные методы линейного программирования, их реализация в виде пакетов и библиотек программ предоставляют возможность эффективных решений так называемой задачи со смешанными ограничениями

шах с' х

при линейных ограничениях

А-х<Ь,

при двухсторонних ограничениях

где х - вектор оцениваемых параметров mxl, х>0; х° - вектор известных начальных значений оцениваемых параметров mxl, > 0; с - вектор коэффициентов целевой функции т х 1 А - матрица коэффициентов линейных ограничений пхт\ Ъ - вектор правых частей линейных ограничений их 1, b>0; х1Ь - вектор нижних ограничений параметров mxl, xlb > 0; хиЬ - вектор верхних ограничений mxl, хиЬ > 0.

Современное развитие библиотек линейного программирования (модификация метода Sequential Quadratic Programming или метод Primal-dual iníerior-point method) позволяет просто и эффективно решать данную задачу. В на-

стоящее время решение задачи выполнено, например, в математических пакетах MATLAB (версии 5.1, 5.2, 6,0), MOSEK 2.0. Принципиально важно, что кроме набора ограничений

Ах < Ъ; х > 0; х1Ь < х < хиЬ; х'ь > 0; xw* > О

можно вводить вектор начальных значений оцениваемых параметров х°. Это дает возможность включать в задачу оценки пропускной способности существующую матрицу корреспонденции которую можно преобразовать и представить в виде вектора х°, Тогда двухсторонние ограничения х,ь и хиЬ характеризуют эластичный спрос, другими словами границы, в которых могут изменяться значения корреспонденций х.

Модель оценки пропускной способности УДС получает следующие обозначения: N - совокупность вершин графа, описывающего УДС;

М - совокупность начальных и конечных вершин корреспонденций (в литературе по сетевым задачам для таких вершин иногда применяют термин нагрузочные вершины - load nodes);

t(J - поток из начальной вершины i в конечную вершину j [t(/ - элемент квадратной матрицы корреспонденций

Т), iJ&M ;

р - маршрут следования, ре Р:

Xjj р - часть потока из начальной вершины i в конечную вершину j, использующая путь (маршрут) движения

Р>

саЬ - пропускная способность дуги ab , направленной из вершины а в вершину b , a,b е N; fab - интенсивность движения по дуге ab , a,b е N;

dр аЬ -1, если маршрут р проходит через дугу ab , dр ab = 0 - в остальных случаях. Оценка пропускной способности УДС предполагает, что кроме значений дуг пропускной способности саЬ известны существующие значения , х^ и t^. Значения интенсивности движения устанавливаются в результате обследования УДС, а по их значениям восстанавливается существующая матрица корреспонденций Т°. При этом существующее распределение потоков по сети xfjp и корреспонденции t®, образующие матрицу Т°, связаны зависимостями

= 4 для всех пар ij ,

р

Связь между существующими значениями интенсивности движения f®b и существующими потоками х°р задается уравнениями

Е Е ЕdP.ohxL = fab АЛЯ всех пар ab . (1)

' j р

Значения пропускной способности ребер саЬ, являющиеся правыми частями линейных ограничений задачи линейного программирования, необходимо задать в виде вектора-столбца. Зто влечет изменение индексов: саЬ, fab и d ab соответственно будут представлены как ск> fk и dp к, где к — 1,2,..., К . В результате условие (1) получает следующий вид:

Е Е Е dP* хО,р = fk m всех ^ е ^ •

' У />

Пропускная способность УДС определяется как максимальное количество корреспонденций, которые может обслужить сеть при известных ск и заданной гипотезе изменения матрицы корреспонденций Т. Количественно она оценивается максимумом целевой функции

тахЕЕЕ*^ ®

< j p

при линейных ограничениях, учитывающих пропускную способность дуг ск,

Е Е Е dP* х^Р ~ с>< m всех к' (3)

' У Р

и условии неотрицательности оцениваемых параметров х;/ р > 0.

В рассматриваемой задаче оценки пропускной способности (2) гипотеза изменения матрицы корреспонденций Т может задаваться двумя способами, в виде:

нижних х'у р и верхних х^р ограничений для потоков х)}р\

верхних ограничений ^ количества корреспонденций .

Значения х'Ц р , ХуЬр, Г ^ позволяют задавать дополнительные ограничения задачи и разные гипотезы изменения

матрицы корреспонденций Т.

1) Изменение потоков с сохранением маршрутов следования

Задана гипотеза изменения транспортных потоков х1)р в виде нижних хЦр и верхних ограничений х"]р. При этом предполагается, что используются прежние пути следования р , часть потоков хир растет (ху/ > ), а часть потоков уменьшается (х,л < х^.). Двухсторонние ограничения имеют вид

1Ь ^ иЬ

X < Г < У

Л цр - л0р - л Цр ■

2) Рост части потоков с сохранением маршрутов следования

Предполагается увеличение лишь части потоков (ху1 > х^) и сохранение потоками маршрутов следования. В этом случае двухсторонние ограничения задаются следующим образом:

1 = 12,.; П.

3) Рост всех потоков с сохранением маршрутов следования Предполагается рост всех потоков и сохранение ими прежних путей следования:

<х <хиЬ, ЦР цр цр '

где х1~ - нижние ограничения, приняты равными существующим потокам х®р. 4} Изменение потоков и их маршрутов следования

Задается гипотеза изменения матрицы корреспонденции Т, т.е. накладываются верхние ограничения для элементов матрицы . В этом случае ограничения будут состоять из ограничений (3) и вводимых дополнительно линейных ограничений

ХХ.р мявсех р

При этом предполагается, что потоками кроме уже используемых маршрутов следования р используются и другие дополнительные маршруты.

*

Результатом оценки пропускной способности УДС (3) являются значения потоков Ху р, при которых исчерпана пропускная способность одного или нескольких участков УДС. Соответствующие такому состоянию УДС значения корреспонденций (у и интенсивностей движения // определяются как

(и = 2 х1,Р мя всех паР У •

р

/к для всех к-

> ] р

Выбор ограничений х'у р , ХуЬр или ^ базируется на соответствующих начальных исходных данных:

в случае проекта реконструкции УДС с длительным расчетным сроком используется оценка матрицы корреспонденций и прогноз распределения потоков (перспективная картограмма интенсивности движения);

в случае проекта ОДД или реконструкции используются известное существующее распределение потоков

Хук , полученное в результате обследований УДС, и восстановленная матрица корреспонденций Г°.

Важнейшим и обязательным условием использования предложенной модели оценки пропускной способности (3) в

проектах ОДД являются известные существующие матрица корреспонденций Т° и распределение потоков Хук .

Методы восстановления матриц корреспонденций на основе данных о существующем распределении потоков ин-тенсивно изучаются последние тридцать лет, имеют обширную библиографию и включены в состав ряда специализи-

рованных программ. Кроме того, авторами уже исследована модель робастной оценки матриц корреспонденции ос-нованной на применении метода наименьших модулей и использовании только данных обследований интенсивности движения.

Библиографический список

1. Гришкявючене Д.Р, Критерий полосности и уровня организации движения при оценке пропускной способности улично-дорожных сетей городов: Автореф, дисс. ... канд. техн. наук, - М., 1980, - 22 с.

2. Зубков Г.Н, Применение моделей и методов структурного анализа систем в градостроительстве, - М,: Стройиздат, 1984. - 152 с,

3. Капитанов B.T., Хилажев Е.Б. Управление транспортными потоками в городах, - М.: Транспорт, 1985, - 94 с.

4. Крейстмейн М.Г. Исследование систем магистральных улиц центров крупных городов: Автореф, дисс. ... канд. техн, наук, - М., 1980. - С. 17.

5. Крылова О.Н, Методы расчета емкости сети магистральных улиц и автостоянок в центральном районе крупного города (на примере Ленинграда): Автореф. дисс. ... канд. техн. наук. - А, 1978. - 20 с.

6. Olszewski Р„ Suchorevsky W. traffic capacity of the city center. Traffic Eng. and Contr., v. 28, N6, p, 336 - 343, 339 - 343, 348,