Модель определения надежности конструкции крыла самолета Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том XIII 1 982 №5

УДК 629.7.017.1

629.735.33.015.4:539.43

МОДЕЛЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ НАДЕЖНОСТИ КОНСТРУКЦИИ КРЫЛА САМОЛЕТА

Е. Л. Зимонт, В. Я• Сеник

Предложена модель определения надежности конструкции крыла самолета. На основе критериев живучести крыла определены критические состояния. В частном случае получены формулы для определения вероятностей осуществления критических состояний и проведены расчеты.

Использование прогрессивных методов эксплуатации и обслуживания авиационной техники по живучести и по состоянию требует создания конструкции, у которой образующиеся и развивающиеся в процессе эксплуатации трещины распространяются достаточно медленно и могут быть обнаружены современными средствами дефектоскопии прежде, чем несущая способность конструкции снизится ниже допустимого уровня.

Одним из способов обеспечения требуемых характеристик живучести является создание безопасно повреждаемых конструкций, состоящих из ряда элементов, включенных в силовую схему параллельно с тем, чтобы при разрушении одного из них остальная часть конструкции сохраняла требуемую несущую способность.

Конструкция крыла современного самолета состоит из ряда панелей, соединенных между собой продольными швами. В зависимости от технологии изготовления панелей подкрепляющими элементами для них служат стрингеры или ребра. Имеющиеся в конструкции крыла концентраторы напряжения (отверстия, галтели, радиусные переходы) могут явиться инициаторами возникновения усталостных трещин. Известно также, что новый, только что изготовленный самолет может иметь производственные дефекты [1, 2], которые по своему воздействию эквивалентны трещинам небольших размеров. Кроме Того, в эксплуатации возможны случайные повреждения.

Если характеризовать состояние крыла самолета наличием в его элементах трещин разной длины, то можно выделить часть состояний (назовем их критическими), которые характеризуются тем, что дальнейший рост трещин может привести к разрушению конструкции.

Целью настоящей работы являются определение критических состояний для крыла самолета и получение расчетных формул для вероятностей осуществления этих состояний в течение заданной наработки.

Наиболее опасными для крыла являются многоочаговые повреждения, которые характеризуются тем, что возникшие в разных местах трещины могут объединяться и приводить к разрушению конструкции. Такое повреждение происходит при возникновении нескольких трещин в одном силовом сечении крыла, поэтому можно ограничиться рассмотрением одного сечения.

Конструкция крыла должна проектироваться с учетом допустимых размеров разрушений. Согласно [3] конструкция крыла должна иметь допустимую остаточную прочность при полном разрушении одной из панелей и отсутствии трещин в других панелях. Кроме того, не должно происходить полного разрушения ни одной панели в случае многоочагового повреждения сечения, при котором возникают одноочаговые трещины допустимых размеров в нескольких панелях. Допустимым размером считается трещина в два межстрингерных расстояния с разрушенным стрингером.

Таким образом, даже если панель разрушена полностью, а несущая способность других панелей не снижена, такое состояние не является еще критическим. Возникновение трещин на других панелях не приведет к разрушению до тех пор, пока одна из них не достигнет размера Ь0, начиная с которого несущая способность панели заметно уменьшается.

В случае, когда наиболее поврежденная панель имеет трещину допустимого размера Ьлоп, а на одной из остальных панелей размер трещины превысил /,0, дальнейший их рост может привести к разрушению конструкции, поскольку размер первой трещины превысит допустимый.

Рассмотрим ситуацию, при которой трещина допустимого размера расположилась на стыке двух панелей и стыковочный элемент разрушен. В этом случае снижена несущая способность сразу двух панелей. Поскольку рост такой трещины происходит со скоростью, не меньшей скорости развития трещины в одной панели, дальнейший рост ее может привести к быстрому разрушению одной из панелей (обычно обеих), что приведет к состоянию, при котором одна панель разрушилась целиком, а размер трещины в другой превысил Трещину в двух соседних панелях будем считать относящейся к стыковочному элементу, чтобы отличать ее от трещины, целиком лежащей в одной панели.

Из сказанного выше следует, что элементами, состояние которых характеризует состояние сечения крыла,, являются панели и стыковочные элементы, если в качестве стыковочных элементов рассматривать собственно стыковочный элемент с частью примыкающей к нему обшивки. Если состояние каждого относящегося к сечению крыла элемента характеризовать длиной трещины 1Ь то процесс постепенного разрушения конструкции можно представить как траекторию движения точки £(/) в фазовом пространстве, каждая координата которого описывает состояние одного элемента (рис. 1, а). Тогда задача об определении вероятности осуществления критических состояний формулируется в рамках теории надежности, если в фазовом пространстве данной конструкции ввести

поверхность критических состояний С(Ь), разделяющую области разрушающих состояний и неразрушающих. Достижение траекторией ЦЬ) поверхности С {Ь) и обозначает достижение конструкцией критического состояния. Вероятность осуществления этого события в интервале времени (О, Т) определится интегралом

т

Ркр=4/№£С(1)) Л,

О

где /(г1!/. £ С(£)) — плотность распределения вероятностей времени осуществления критического состояния, которая в свою очередь определяется интегралом по поверхности С(А):

/(*|Г£С(Г))= | /(*|Г)<*Г,

7*£С(75

где /(£|£)— плотность распределения времени осуществления состояния А.

Определим поверхность С (Ь) для рассматриваемой модели сечения крыла. Она состоит из отдельных участков, которые, учитывая сказанное выше, могут быть описаны так:

1. Худшая панель разрушилась целиком, на одном из оставшихся элементов длина трещины достигла значения А0, на остальных меньше £0.

2. На худшей панели трещина достигла значения Ьюп, одновременно хотя бы на одном из оставшихся элементов длина трещины больше (но меньше Ьжоп).

3. В стыковочном элементе длина трещины Ьяоп, в остальных элементах меньше Ьлоа.

Поскольку поверхность, состоящая из С(Ь) и поверхности, отделяющей область физически неосуществимых состояний, должна

—>'

быть замкнута, дополним С{Ь) следующим образом.

и

%

Рис. 2

4. На худшей панели размер трещины больше £дош на одном из оставшихся элементов равен Ь0, на остальных не больше 10.

Критическую поверхность С(1) можно условно изобразить в координатах 1и 12, /С1 (рис. 1, б), где через /, обозначена длина трещины на худшей, т. е. наиболее поврежденной панели, /2 — длина трещины на следующей по степени повреждения панели (/2 <^/0, /„ — длина трещины в наиболее поврежденном стыке; ^пан — длина трещины, равная ширине панели (полное разрушение панели). Состояния, соответствующие точкам, находящимся внутри фигуры, соответствуют неразрушающим. Индексы при С соответствуют номерам критических состояний. Первому критическому состоянию, в отличие от остальных, соответствует не часть поверхности, а часть кривой.

.

Чтобы определить /(£ | Ь) для конструкции, необходимо знать вероятности достижения того или иного состояния каждым отдельным элементом. Модель разрушения элемента введем по аналогии с представлением, изложенным в [4]. На рис. 2 показаны возможные реализации роста трещины в функции времени. Плотность распределения вероятностей начального размера трещины обозначена через Ь{1). Вид этой функции в общем случае таков, что при 1 = 0 она представляет собой произведение а8(/), где 8(/)—о— функция Дирака, а а — вероятность того, что в начальный момент трещины не было. Через £(£|/) обозначена плотность распределения вероятностей времени до начала роста трещины начальной длины I. При / = 0 функция 5'(^|0 = 5'(^1 0) характеризует момент возникновения трещины.

Представим скорость роста трещины в виде детерминированной функции v(l, Ь, -у,, . . . , ?„), в которой параметры представляют собой реализации случайных величин. Функции А(/), £(^|/) и г/(/, •••, 7„) определяют распределение <р(*|/) вре-

мени Ь достижения трещиной заданной длины I и распределение Л(/ |£) возможных значений длины I в заданный момент времени t.

Панель, рассматриваемая как элемент конструкции, состоит из подэлементов, представляющих собой стрингер с частью примыкающей к нему с обеих сторон обшивки. Трещина может возникнуть на любом подэлементе. Будем предполагать, что в слу-

чае возникновения на одной панели нескольких трещин развивается только первая из возникших. Это можно допустить, если вероятность возникновения двух трещин в небольшом интервале времени мала, а скорость развития трещины при 1>Ь0 значительно больше скорости развития трещины при I < £0; тогда первая трещина в своем развитии сильно „обгонит” вторую. Это предположение позволяет пока не рассматривать многоочаговые повреждения одной панели.

Скорость развития трещины примем величиной детерминированной, одинаковой для всех элементов данной конструкции, но разной для разных длин трещины. Это соответствует неслучайным ■Ь • • • . и-

Поскольку конструкцию стремятся сделать равновыносливой, будем считать, что возникновение трещин на стрингерах и стыках равновероятно. Кроме того, в работе используется предположение о независимости этих событий. Плотность распределения вероятностей возникновения трещины на каждом стрингере или стыке обозначим /(£); Г({) — соответствующая ей функция распределения.

Примем также, что в начальный момент трещин не было, что соответствует а = 1 в формуле для к(1). В принятых предположениях об отсутствии начальных трещин и о детерминированном росте трещины момент возникновения трещины определяет однозначно и момент достижения ею данного состояния.

Учитывая все изложенное, можно определить вероятность осуществления каждого критического состояния в течение времени т.

Введем следующие обозначения:

Ра(Т = ^ (Рп(7’><) или Рп (Т < Щ — вероятность того, что трещина на панели возникла в момент времени t (позже < или раньше ^), здесь имеется в виду первая трещина;

РС(Т = ^) или />с'(7’<0) — то же для стыка;

— время развития трещины от момента возникновения до Ь0\

^доп — время развития трещины от момента возникновения до /,доп;

(пая — время развития трещины от момента возникновения до /,пан.

Первое критическое состояние осуществится в момент времени t, если на наиболее поврежденной панели трещина возникнет в момент — £нан, на

втором по степени повреждения элементе в момент Т = 1 — ^0, на остальных в моменты Т — 4-

Это событие может осуществиться двумя способами, так как вторым по степени повреждения элементом могут оказаться панель или стык. Вероятность такого события определится как сумма

dPl^f(t\L^Cl(L))dt = N(N-\)P*(T<.t-tnm)P*(T = t-t0)X

Х[Рп(ТХ — (о)]”~2 [Pc(T>t — *0)]*+' + (ЛГ + 1) ИР* ( Г< г - *пан) X X[P^^(T>t- /* (Г = / — <0) \PЧT>t-

где N—количество панелей (число стыков на единицу превышает количество панелей).

Коэффициенты перед слагаемыми представляют собой число всевозможных перестановок. Легко видеть, что справедливы следующие соотношения:

Я' {Т > t — *,) = I -/*(*- <о); РС(Т = = ~ (о) М-,

PП(TJCt-iП^^n)= 1 -[1—.Р

Pn<.T>t-t0) = [l-F(t-t0)}n■, pn(T—t — *0) = п/(* - *„) М [1 - /=■(* -где я—количество стрингеров.

Получим окончательную формулу для вероятности осуществления первого критического состояния в течение заданного времени Т

т

лN+nN—n

Л =N(N + nN-п) J f (t — t0) [1— F(t - <0)]'

. ... х

о

X {1 —[1 —/=■(/ — <„„)]»} М. (1)

Для осуществления второго критического состояния должны выполняться одновременно два события: А^ — на худшей панели трещина длиной £доп; А2 — хотя бы на одном из оставшихся элементов трещина больше 1.0, но меньше Ьяоп. Вероятности осуществления этих событий в момент времени Ь можно записать в следующем виде:

Я(Л1) = Рп(Г = ^_;доп);

р(А2)*= [Рп( т> / - ^оп)]^-1 [Р°( т> t - ;Д0П)Г+1-— [Р" ( 7> < - ^о)]"-1 [рс (Г> < - ^0)]^+1.

Вероятность осуществления второго критического состояния в заданный момент Ь определяется следующим образом:

<1Ръ=/{!\1(:С2 (Г)) <И = ЫР (Л) Р Из).

Интегрируя по времени и преобразуя аналогично тому, как это делалось выше, получим окончательную формулу осуществления второго критического состояния

Р2 = лАГ j f(t - гдоп) [I - F(t - tA0П)Г

X

Х{[1 ~F{t-tAoa)\N+nN-n-[\-F(t-t0)f+nN-n}dt. (2)

Для третьего критического состояния имеем

dP3 = f{t\L^C3{L))dt = (N+ 1 )РНТ = І-ІЛ0П)Х X [Я" (Г > t - [Рс (Г> < -

откуда

т

Р3 = (ДГ+ 1) j /(* - гдоп) [ 1 - f (< - tMm)f(л+1) dt. (3)

о

Четвертое состояние, как и первое, может осуществляться двумя способами, сумма которых и дает искомое событие:

dPi = f{t\t£Ct(L))dt = N(N- l)Pn(t — іпш< T<t-tAOn) x X Рп (T — t — t0) [Рп (T t — t0)]N~2 [Pc (Г> ^ — ^o)]Af+1 +

+ N (N + 1) P" it - tnau <T<t - twn) Pc (T = t - t0) X X [Рп(Г>г — [Я® (Г > t - <o)]^.

Учитывая, что

Pn (t — ^пан T t ^доп) = [ ^ ^пан)]Л П: F{f ^доп)]Я»

и интегрируя по времени, получим окончательно

т

Р4 = N{N+nN - n) J f{t - h) {[1 - F(t- Wj“- [I - F{t - wnx 0

X [1 — F(t — t0)f+n"-n dt. (4)

Конкретные количественные расчеты проводились для случая усталостного разрушения конструкции, состоящей из восьми панелей, каждая из которых подкрепляется четырьмя стрингерами.

При этом принималось, что время возникновения усталостной трещины подчиняется логарифмически-нОрмальному распределению с плотностью

^е __—

/« =

V2тс <sXst t

■exp

к*

где lg£

I St

средний логарифм долговечности,

■среднеквадратическое отклонение логарифма долговечности.

Для рассматриваемой конструкции lg ^ = 4,68 (что соответствует долговечности, равной 48000 часам), olg< = 0,15; время развития

трещин от момента возникновения до размеров L0, 1доп и LaaH равно соответственно 1700, 5600 и 5800 часам. Принятые для расчета значения параметров являются характерными для пассажирских самолетов.

Результаты приведены на рис. 3 в виде функции от наработки. Индексы 1, 2, 3, 4 при Р соответствуют номерам критических состояний, индекс 2 относится к суммарной вероятности осуществления критических состояний.

Вид кривых подтверждает естественный рост вероятности с наработкой. Увеличение наработки от 16 000 до 24 000 часов (что составляет соответственно третью часть и половину средней долговечности) приводит к росту величин вероятностей на 3 — 4 порядка. Наибольший вклад в суммарную вероятность вносит третье критическое состояние.

В заключение авторы благодарят В. Л. Райхера и Г. И. Нестеренко за неоднократное обсуждение работы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Надежность и живучесть самолетных конструкций (по материалам зарубежной печати). Обзор ЦАГИ № 465, 1976.

2. Wood Н. A., Gallagher D. J., Engle R. М., Potter J. М. Current practice on estimating crack growth damage accumulation with specific application to structural safety durability and reliability. Air Force Flight Dynamics Laboratory. Technical report AFFDL—TR—75—32, 1975.

3. Нестеренко Г. И. Живучесть самолетных конструкций. „Прочность, надежность и долговечность авиационных конструкций*. Межвузовский сб., вып. 2, Киев, 1976.

4. П р о н и к о в А. С. Надежность машин. М., .Машиностроение", 1978.

Рис. 3

Рукопись поступила 4fIV 1981 г.