CC BY
34
УДК 678.01: 539.3: 541.126
МОДЕЛЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ВЗРЫВЧАТЫХ СОСТАВОВ И ПАРАМЕТРОВ ПРОЦЕССА ДЕТОНАЦИИ
ЛЕОНТЬЕВ П.А., *РЫБАКОВ НА., ЗАРУБСКИЙ В.Г., *РЫБАКОВ А.П.
Пермский институт ФСИН России, 614012, г. Пермь, ул. Карпинского, 125
*Пермский национальный исследовательский политехнический университет,
614990, Пермский край, г. Пермь - ГСП, Комсомольский проспект, 29
АННОТАЦИЯ. Дано описание модели эффективных характеристик гетерогенных систем. Показана применимость данного приближения для количественной оценки физических характеристик взрывчатых составов и параметров процесса детонации.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: гетерогенные системы, детонация, приближение эффективных характеристик. ВВЕДЕНИЕ
Современные перспективные взрывчатые составы, как и вообще высокоэнергетические материалы, являются существенно гетерогенными системами. Не ставя задачу разбора и анализа существующих моделей и методик определения характеристик гетерогенных сред вообще, и смесевых высокоэнергетических составов, в частности, отметим их общую черту. Каждая из них пригодна лишь для определения значений характеристики какой-либо определенной природы и непригодна для других. Например, модель Забабахина, модель Нечаева [1] пригодны только для определений значения давления в точке (состоянии) Жуге детонационной волны в смесевом взрывчатом составе. С помощью названных моделей никаких других характеристик и параметров вычислить нельзя. Хотя было бы вполне целесообразно определять различные характеристики в рамках единого формализма, что обеспечивало бы единую точность оценки характеристик.
Ранее [2] одним из соавторов дано обоснование модели приближения эффективных характеристик. При таком подходе гетерогенный материал рассматривается как статистически однородная среда, поведение которой описывается эффективными характеристиками. Этот подход вполне естественен и аналогичен тому, как используют характеристики свойств индивидуальных конденсированных материалов, считая их однородными и забывая о пространственной дискретности их атомов и молекул.
Модель основана на полевых методах теории многих тел. Основная идея модели состоит в том, чтобы члены со случайными коэффициентами стохастического дифференциального уравнения рассматривались как неоднородная часть эллиптического уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнение диффузии концентрации частиц записывается через плотность источников частиц и диффузионный поток (модификация уравнения Фика). Далее в этом уравнении учитывается вклад фоновой среды и производится преобразование Фурье по времени. При решении полученного дифференциального уравнения используется функция Грина, имеющая смысл пропагатора частицы в фоновой среде. Эффективные параметры среды получаются из решения этого дифференциального уравнения. Конечные результаты получаются с использованием двух приближений. Первое -приближение Максвелла-Гарнета - является несимметричным приближением, при котором характеристики фоновой среды отождествляются с характеристиками материала матрицы. Второе - приближение Бруггемана - является симметричным приближением самосогласованного поля, при котором характеристики фоновой среды отождествляются с эффективными характеристиками гетерогенной системы. В каждом приближении получены простые, инженерные выражения для расчета эффективных характеристик двухкомпонентной смеси через характеристики компонент и их объёмные доли в смеси. Кроме того, приближение Максвелла-Гарнета позволяет получить простое выражение для характеристик многокомпонентной смеси с произвольным числом компонент.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ МОДЕЛИ
Рассмотрим явление диффузии как наиболее наглядное. Уравнение диффузии концентрации частиц для нереагирующего вещества записывается через плотность источников частиц и диффузионный поток, пропорциональный концентрации.
Уравнение зависимости концентрации реагирующего вещества из двух компонент
п(г, I) от времени имеет вид
дп ( г^ )
а
= - V j(r,t)-s(r,t) х п(г,0 + S(r,t),
(1)
где б(г^) - плотность источников частиц; э(г^) - скорость реакции; ](г, ^ - диффузионный поток, пропорциональный градиенту концентрации,
](Гд) = -D(r) х V х п(гД) ;
В(т) - коэффициент диффузии.
Считаем, что коэффициенты диффузии Б(г) и скорости реакции э(г) имеют постоянные значения для каждой фазы
Б(Г) = Б1; ей = sl; 1 = 1,2.
ап(г^)
dy
0 /
Об XV* ■ * с
X /
В уравнении (1) левая часть
а
dx
^ - диффузионный поток сквозь поверхность, Б - плотность источника внутри объёма, в - реагирующие частицы
Рис. 1. Изменение концентрации частиц в элементарном объёме
скорость изменения концентрации в элементарном объеме; в правой части первое
слагаемое ^](г,о) - диффузионный поток сквозь поверхность элементарного объёма; второе слагаемое (з(г, ^ х п(г, -
уменьшение концентрации за счет реакции;
слагаемое
плотность
третье
источников частиц внутри элементарного объёма (рис. 1).
Перейдем к макрообъёму V. Усредняем концентрацию < п(г, /) > по этому объему:
< п(М)>= V JvJJn(rГt)dV .
В этом объёме вводим эффективные параметры среды Deff и для которых уравнение (1) принимает вид
д < п(г, t) >
д!
= DeffV2 < п(г, t) > - < п(г, t) > +Б(г, t).
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ГРИНА
Если в обе части (1) добавить слагаемое
Db V 2п(М)-вьп(г;0,
где Db и Sb - константы, характеризующие параметры «фоновой среды», то решение полученного уравнения после преобразования Фурье по времени запишется в виде:
п(г, ш) = -1¿гД, (г-г, ш) V5j(г, ш) +5.(г )п(г, ш) - ¡5!(г', ш)]
= пь(г ,ю) - |с1г УОь (г - г', ю)5](г , ю) - |с!г Оь(г - г , ю)5.(г )п(г , ю), (2)
где пь(г, ш) - концентрация, создаваемая в фоновой среде источниками с плотностью S(r, ^.
В уравнении (2) Оь(г,ю) - функция Грина, имеющая физический смысл пропагатора частицы в фоновой среде
Оь(г,ю) =
1
4ПОьГ
-а(ю)г
где а(ю) =
iю + sb
Db
и R1 а0 > 0; а0 = а(0).
Вводя радиус корреляции I и выделяя при усреднении
п от областей с
г-г
й 1 и локальное поле п1х от областей с
п(г, ю)= п. (г, ю)+п1х(г,ю)
решения (2) собственный вклад
г-г
>1,
с учётом обращения в 0 интеграла по объёму от УО, в статическом пределе ю = 0 имеем:
п. = - | ¿г Оь (г - г , ш = 0)5.(г)п(г,ш) = ^.5.(г)п(г,ш),
(3)
(4)
г - г <1
Г - - 12
где gs = - I Gb(г, ш= 0)Сг = —- х
м D.
г < 1 ь
1-(1 + 1а 0)е 1ап
1а 0
Из (3) и (4) получаем:
п1х(г,ю) = (^^(г))п(г,ю).
Аналогично для градиента: V п = (V п). + (V п)
1х
и
(V п). = - I с'-.
У У Оь(г - г', ш = 0) 5 j(r,ш )
< 1
3 D
(5)
•[1 ^^ь ]5 j(г,ш ) = gd5 j(г,ш ),
где gd = -
Из (5) и получим, что откуда
3D
^Р^ь ].
< п1х (г,ш) >= п(г,ш)+gs < 5.(г)п(г,ш) >
< 5.(г)п(г,ю) >= [< 5.(г)(1 + gs5s(г))-1 >-1 -gsJ < п(г,ю) >,
seff = ^
= ^ +
.^С + ^Й)-1^1.
Или, обозначая через Ф объёмную долю компоненты с D1,S1 получаем:
.1 -.ь
-Ф + . .2-.Ь
1 + gS(Seff-Sb) 1 + gS(S1-Sb) 1 + gS(S2-Sb)
(1-Ф).
Аналогично
Deff-Db
Dl-Db
■Ф +- D2-Db
(1-Ф).
1 + gd(Deff-Db) 1 + gd(Dl-Db) 1 + gd(D2-Db)v '' (6)
Выражение (6) является общим для нахождения эффективных характеристик двухкомпонентных смесей.
е
1
ь
г — г
ь
НЕСИММЕТРИЧНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ (рис. 2) И ПРИБЛИЖЕНИЕ САМОСОГЛАСОВАННОГО ПОЛЯ (рис. 3)
1
При в)=в2=0, а gd _- и в несимметричном приближенииБМ =ВЬ, известном
3D ь
как приближение Максвелла-Гарнетта [2], из (6) следует выражение
3
°^=1+а + 2 1-, (7)
-х —-1
а -1 Ф
^ D eff D 1пс
где D •eff = —^; а _ -—.
D м D м
В приближении самосогласованного поля Db=Deff, когда фазы рассматриваются симметричным образом, и называемом в литературе приближением Бруггемана [2], из (6) нетрудно получить
Deff = 4 {(2- а)-3(1- а)Ф ±^/[(2- а)-3(1- а)Ф]2 + 8а2}. (8)
_ _ D eff _ D1nc
Здесь, как и в (7) D'eff _ — ; а _ _ .
Dм Dм
о о
о о о о О °
Светлые кружки - частицы матрицы, тёмный кружок - выделенная частица включения
Рис. 2. Несимметричное приближение Максвелла-Гарнета
Включений мало, фоном для выделенной частицы включения является матрица Бм _ Бь.
°о о°
о
О о О
о
<9 оо
пР
Светлые кружки - частицы матрицы, тёмные кружки - частицы включения
Рис. 3. Симметричное приближение Бруггемана
Концентрации частиц включений и матрицы примерно равны.
Фоном для выделенной частицы включения является сама гетерогенная среда Db = Deff.
АНАЛИЗ ПОЛУЧЕННЫХ РЕШЕНИЙ
Модель основана на описании явления диффузии с помощью второго закона Фика. Решение дифференциального уравнения эллиптического типа найдено с помощью функции Грина, играющей роль пропагатора, то есть функции распространения частицы. Использование преобразования Фурье позволяет разделить длинно- и коротковолновые части спектра и получить решение в виде (6).
Выражение (8) удовлетворяет критерию случайной неоднородности; дает корректные предельные значения при стремлении DM и Dinc к нулю или бесконечности, а также при Ф ^ 0 и Ф ^ 1; описывает эффект перколяции, давая при этом правильные значения верхнего и нижнего перколяционных пределов; хорошо совпадает с численным и физическим экспериментом, при не слишком больших и не слишком малых значениях Ф. Различие результатов, полученных по этим формулам при заданном а, не превышает нескольких десятых долей процента.
В приближении Максвелла - Гарнетта можно получить простое выражение для эффективной характеристики многофазной среды. Пусть имеется п фаз-компонент, каждая с объемной долей Ф,, характеристикой Di. Выбираем произвольным образом одну из компонент в качестве матрицы. Тогда ее характеристика есть Dм и объемная доля п-1
=1-1 Фi . Нетрудно показать, что имеет место следующее соотношение i=1
D'eff -1 п-1 а, -1
= Е-^-ф, (9)
D'eff+2 ,=1 а, + 2
или
D'eff=1 +-г
еи п-1
Еа, -1 1
D ,
где D eff и а , = —- как и прежде.
D М
ПРОВЕРКА МОДЕЛИ НА СМЕСЕВЫХ ТВЕРДЫХ ВЗРЫВЧАТЫХ СОСТАВАХ
В качестве тестирования модели сравним значения некоторых параметров взрывчатой смеси тротила с гексогеном (смесь ТГ), как рассчитанные по формулам (7)-(9), так и экспериментальные данные. Значения параметров индивидуальных веществ тротила и гексогена взяты из работ [3, 4]. На рис. 4 помещены значения (в %) чувствительности к удару по стандартной пробе Каста. На рис. 5 помещены значения параметров: D - скорость детонации, Q - теплота взрыва.
В табл. 1 помещены экспериментальные значения теплоты взрыва смесей органических ВВ с алюминием и значения, рассчитанные по формулам (7)-(9). Экспериментальные значения взяты из работы [5]. Теплоты взрыва компонентов взяты из работ [6, 7]. В табл. 2 помещены экспериментальные значения плотности и теплоты взрыва смесей тротила, нитрата аммония и алюминия, взятые из работы [5]. Там же приведены значения, рассчитанные по формулам (7)-(9). В табл. 1 и 2 в - массовая доля, р - плотность.
В табл. 3 приведены экспериментальные значения из работы [8] и рассчитанные по формуле (9) значения скорости детонации смесевых составов, содержащих октоген, магний и политетрафлюороэтилен.
/ V Чувств. к удару, %
50 -
Фг
<—>
0,5 1,0
• - данные эксперимента; сплошная линия - расчёт по (9) Рис. 4. Чувствительность к удару смесевых составов тротил+гексоген
D,
О,
КДж
8 -- 5 --
0,5
. О
1,0
1 - теплота взрыва О, + - скорость детонации D - экспериментальные данные; сплошные линии расчет по (9)
Рис. 5. Параметры смесевых составов тротил+гексоген
Теплоты взрыва смесей органических ВВ с алюминием
Фг,
Таблица 1
0
7
4
0
Взрывчатая основа Ра„ % кДж/кг 0 расч , КД Ж/И-
Тротил 15 5464 5655
Тротил 25 6352 6574
Тротил 35 6721 6956
Гексоген 15 6365 6587
Гексоген 25 7232 7485
Гексоген 35 7693 7962
Тринитроэтиловый эфир тринитромасляной кислоты 15 6863 7103
Тринитроэтиловый эфир тринитромасляной кислоты 25 7622 7888
Тринитроэтиловый эфир тринитромасляной кислоты 35 8246 8534
Бензотрифуроксан 15 7207 7459
Бис(тринитроэтил) этилендинитрамин 15 7508 7770
Бис(тринитроэтил) этилендинитрамин 25 8204 8491
Бис(тринитроэтил) этилендинитрамин 35 8749 9055
Таблица 2
Теплоты взрыва смесей тротила, нитрата аммония и алюминия
в % г тротил 5 Рнит.ам.' % Ралюм'% Рэкс^ кг/м3 Ррасч, Кг/м3 кДж/кг Ррасч. кДж/кг
8 88,5 3 1159 1138 3440 3560
8 85,0 6 1060 1041 4299 4449
8 81,5 9 968 951 4760 4926
8 78,0 12 886 870 5254 5437
12 84,0 3 1050 1031 3993 4132
12 81,5 6 1010 992 4542 4701
12 77,0 9 881 865 4890 5061
12 74,5 12 851 836 3566 3690
16 79,5 3 952 935 4102 4245
16 76,0 6 876 860 3930 4067
16 74,5 9 891 875 5074 5251
16 71,0 12 818 803 5183 5364
20 74,0 3 882 866 3909 4046
20 72,5 6 856 841 4127 4271
20 70,0 9 844 829 4760 4926
20 67,5 12 800 786 5267 5451
15 76,7 5 918 901 4068 4210
30 61,9 5 726 713 3888 4024
15 68,5 13 790 776 5007 5182
30 54,7 13 848 833 4823 4931
15 74,2 5 813 798 3926 4063
30 58,9 5 655 643 3314 3429
15 66,5 13 706 693 4823 4991
30 51,7 13 570 560 4341 4492
35 51,7 9 600 589 3947 4085
10 76,7 9 871 855 4408 4562
23 58,2 15 636 624 4978 5152
23 70,2 3 804 789 3683 3811
23 61,7 9 656 644 4374 4527
23 66,7 9 780 766 4596 4750
23 64,2 9 717 704 4412 4566
Таблица 3
Скорость детонации смесевых составов, содержащих октоген, магний и политетрафлюороэтилен (ПТФЭ)
Состав, массовая доля в % Скорость детонации м/с
октоген Mg ПТФЭ Эксперимент [7] расчет по (9)
80 20 0 7540± 110 7610
70 30 0 7430± 120 7500
60 40 0 7270± 100 7340
50 50 0 7180± 110 7250
80 0 20 7380± 100 7450
70 0 30 6780 ± +90 6850
60 0 40 6050 ± 90 6110
50 0 50 5460 ± 90 5510
80 10 10 7320 ± 90 7393
70 15 15 7060± 100 7130
60 20 20 6650 ± 90 6710
50 15 25 6120 ± 90 6180
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Из данных рис. 4, 5 и табл. 1 - 3 следует, что расчеты параметров смесевых взрывчатых составов коррелируют с опытными данными. Относительная погрешность не превышает: для плотности - 2 % , для скорости детонации - 1 %, для калорийности - 4 %. То есть, данная модель может быть использована для расчета параметров смесевых взрывчатых составов.
Следует заметить, что энергетические (например, теплота взрыва) и кинематические (например, скорость детонации) параметры сильногетерогенных систем (а именно смесей органических ВВ с металлами и неорганическим окислителем) являются суммарными от нескольких последовательных и параллельных реакций. Химические реакции, происходящие при взаимодиффузии продуктов разложения отдельных компонентов, должны вносить свой вклад в значения параметров смеси. И хотя развитая нами модель (9) не отражает этих механизмов, тем не менее даёт удовлетворительные результаты.
Выполненный анализ, изложенный здесь вкратце, показывает возможность применения предлагаемой модели для расчета физико-химических характеристик смесевых взрывчатых составов по формулам (7)-(9). Различие в основном не превышает нескольких процентов. Это служит основанием для определения значений тех физико-химических характеристик, для которых другие способы являются недостаточно надежными.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Забабахин Е.И. Некоторые вопросы газодинамики взрыва. Снежинск : РФЯЦ - ВНИИТФ, 1997. 98 с.
2. Рыбаков Н.А. Обоснование применимости модели приближения эффективных характеристик // Вестник Ижевского государственного технического университета. 2008. № 2(38). С. 41-44.
3. Андреев К.К., Беляев А.Ф. Теория взрывчатых веществ. М. : Оборонгиз, 1960. 596 с.
4. Рыбаков А.П. и др. Боеприпасы основного назначения : учебник. Пермь : Изд-во ПВИ ВВ МВД РФ, 2001. 75 с.
5. Пепекин В.И., Смирнов А.С., Теплоты взрывчатого разложения смесей, содержащих алюминий и энергетические вещества // Химическая физика. 2001. Т. 20, № 11. С. 78-80.
6. Пепекин В.И., Махов М.Н., Лебедев Ю.А. Теплоты взрывчатого разложения ВВ // Доклады АН СССР. 1977. Т. 232, № 4. С. 852-855.
7. Взрывчатые вещества и средства инициирования промышленного назначения. Каталог / под ред. В.И. Холстова. М. : Изд-во ГОСНИП «Расчет», 2003. 269 с.
8. Cudzilo S., Trzcinski W.A., Studies of HMX-based explosives containing magnesium and polytetrafluoroethylene // Химическая физика. 2003. Т. 22, № 1. С. 82-89.
MODEL TO DETERMINATION OF PHYSICAL PARAMETERS OF EXPLOSIVES AND DETONATION
Leontyev P.A., *Rybakov N.A., Zarubsky V.G., *Rybakov A.P.
Perm Institute of the Federal Penal Service, Perm, Russia *Perm National Research Polytechnical University, Perm, Russia
SUMMARY. The model of the heterogeneous systems effective characteristics for description of parameters is given. The suitability of the given approach to a quantitative assessment of characteristics of explosives and detonation is show.
KEYWORDS: heterogeneous systems, explosives, effective characteristics approach.
Леонтьев Павел Александрович, аспирант, преподаватель кафедры организации охраны и конвоирования в уголовно-исполнительной системе Пермского института ФСИН России, тел.(342)2286504(169); e-mail: leontjevpavel@yandex.ru
Рыбаков Никита Анатольевич, кандидат технических наук, докторант, ассистент кафедры общей физики Пермского НИПУ, тел. (348)2198212, e-mail: anatryb@yandekx.ru
Зарубский Владимир Георгиевич, кандидат технических наук, доцент кафедры организации охраны и конвоирования в уголовно-исполнительной системе Пермского института ФСИН России, e-mail: volen3030@rambler.ru
Рыбаков Анатолий Петрович, доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры общей физики Пермского НИПУ
