Модель одноразмерного руслового взвесенесущего потока Текст научной статьи по специальности «Физика»

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК: 626/627

Молдамуратов Ж. Н.

PhD докторант

Таразский государственный университет имени М.Х. Дулати

Сенников М. Н.

д.т.н., профессор

Таразский государственный университет имени М.Х. Дулати

г. Тараз, Казахстан

МОДЕЛЬ ОДНОРАЗМЕРНОГО РУСЛОВОГО ВЗВЕСЕНЕСУЩЕГО ПОТОКА

В практике прогнозирования русловых деформации особое внимание уделяется функциональным связям коэффициента полноты насыщения потока с размывающей и взвешивающей способностями, что показывает влияние эксплуатационных факторов на пропускную способность русла. Авторами рассмотрена модель одноразмерного руслового потока. Весь поток представляет собой два совмещенных («взаимно пронизывающих») потока жидкости и взвеси с переменным по длине и времени живым сечением CO.

Ключевые слова: модель, взвесенесущий поток, русловые деформаций.

Согласно В. С. Алтунину [1] земляные каналы по условиям работы разделяют на устойчивые, сохраняющие наименьшие формы поперечного сечения, продольный уклон и плановое положение, и неустойчивые в которых происходят деформации (размыва) ложа и заиление.

При отношении средней скорости течения к допускаемой от / us < 1, любые деформации отсутствуют и каналы называют статически устойчивыми. При °т / °s = 11 ^ 1.3 каналы называют динамически устойчивыми с движением некоторого

количества донных наносов.

Образование крупных русловых деформаций наблюдается в неустойчивых каналах, при от / us > 1,3, где наблюдается частичное изменение первоначального очертания поперечного сечения.

Авторами (В. С. Алтунин, Н. Н. Павловский, И. И. Агроскин и др.) отличается, что деформации в виде обрушения откосов и заиления наблюдаются для мелких и средних каналов. Наибольшей наносотранспортирующей способностью обладает поток протекающий в параболическом русле, в котором меньше коэффициент шероховатости, следовательно больше коэффициент Шези, и соответственно пропускная способность русла [1].

Рассмотрим модель одноразмерного руслового потока. Весь поток представляет собой два совмещенных («взаимно пронизывающих») потока жидкости и взвеси с переменным по

длине и времени живым сечением CO. Средние скорости движения воды vm и наносов vs

считаем совпадающими по направлению с осью потока X и связанными с местными

осредненными скоростями от и и* соотношениями:

ию = — \vmdrn и и5 = — \-sdo. (1)

ю1

ю о

Рассматриваемый поток характеризуется средней по сечению концентрацией взвеси

- ^

S, связанной с местной осредненной концентрацией S, соотношением:

1 г"

5 = - \ Бём.

^ - (2)

Изменение массы воды и взвеси, вызванное присоединением (или отсоединением) последних при движении, характеризуется соответственно величинами тЛРю и тпр5, означающими массовые расходы притока (или оттока) воды и наносов, приходящиеся на единицу длины потока.

Уравнение неразрывности и движения руслового взвесенесущего потока составим, исходя из принятой выше одноразмерной модели потока, основываясь на законе баланса масс и законе изменения количества движения. В качестве элементарного объема взвесенесущего потока рассмотрим отсек 8 т = со8Х, ограниченный смоченной поверхностью русла, свободной поверхностью и двумя живыми сечениями потока, отстоящими друг от друга на расстоянии 8Х (рисунок 1). Изменение в единицу времени

массы взвеси, содержащейся в этом объеме — (р38а>8Х), должно быть компенсировано

—г

присоединившимся к 8т (или отсоединившимся от него) массовым расходом тПР58Х. Уравнение баланса массы наносов запишется следующим образом:

— {р^ЯС) = тпР58Х. (3')

—

Аналогично для воды:

— (р®(1 - 8®8Х) = тпРа8Х, (3'')

—

где р5 и рж — плотности соответственно наносов и воды. Выполняя дифференцирование в левой части уравнение (3'), получаем:

8Х — р^о® + = тПР38Х.

тг —Х

Переход к частным производным с учетом того, что производная — представляет

—г

г „ „ —8Х собой в этом уравнении величину средней скорости и8, а-=-оХ, приводит последнее

— —Х

выражение после деления обеих частей его на 8Х ф 0 к такому виду:

° (рА (рА ) + рА ^т = тПР8 .

от оХ оХ

Объединяя в левой части полученного уравнения второй и третий члены и имея в виду, что произведение = Q5 представляет собой объемный расход наносов, получаем:

о о

— (°р58)+ — (рз& ) = тПР8 . (4')

ог оХ

Аналогичным образом преобразуя зависимости (3'') и понимая произведение (1 - 5 ®

ош = Qш как объемный расход воды, получим:

-\ора (1 - 5 )]+ — ог1 р00 v п дХ

-1®рЛ "^)]+^(РМ„) = тШоу (4'')

Рисунок 1 — Расчетный объем взвесенесущего потока 8т = ю8Х.

Полученные соотношения (4') и (4") представляют собой систему уравнений неразрывности соответственно для жидкой и твердой фаз руслового потока. Принимая обычно используемые при рассмотрении взвесенесущих потоков допущения об абсолютной несжимаемости воды и наносов рш = const и ps = const перепишем уравнения (4') и (4'') следующим образом:

TW 77DC

дГ 7 дХ

Ps

- S)] +

дО»

дХ

m

ПРю

P.

(5')

(5'')

Для потока однородной, не переносящей наносы жидкости (£ = 0) и (шПР8 = 0) первое уравнение системы (5'), также как и уравнение (4'), обращается в тождественный нуль, а второе уравнение (5'') — обычно используемое при расчетах неустановившегося движения воды с учетом боковой приточности:

д дХ ра ■

При построении динамического уравнения рассматриваемого потока воспользуемся теоремой об изменении количества движения, согласно которой производная по времени от количества движения системы равна равнодействующей действующих на нее сил. В число сил, действующих на компоненты взвесенесущего потока, входят, помимо силы веса и сил гидродинамического давления, сила взаимодействия фаз в их относительном движении, которая при принятой модели потока должна рассматриваться как внешняя сила к потоку каждой из компонент, и сила трения, действующая на смоченной поверхности потока. Тогда закон изменения количества движения в проекции на ось Х для потока наносов запишется следующим образом:

—(vspsS.8X) = -psSgodyL 8Х - So dt дХ дХ

дУс

дРю

8Х + Ro8X - fs%8Х

и для потока воды соответственно:

д[иара(1 - S)ю8Х] = -Рю(1 - S8Х - (1 - S)ю

дt

дус

дХ

дРю дХ

8Х - Rю8X - f х8Х,

(6')

(6'')

где£ — ускорение силы тяжести; рсо — среднее по живому сечению й) гидродинамическое давление; Я — сила взаимодействия фаз в их относительном движении, приходящаяся на единицу объема потока; fs и /т — сила трения, приложенные к потокам соответственно взвеси и воды со стороны русла, приходящиеся на единицу смоченной поверхности; % — смоченный периметр потока; ус — ордината центра тяжести живого

сечения ю, отсчитываемая вертикально вверх.

Ввиду симметричности уравнений (6') и (6") покажем их преобразования лишь для зависимости (6'), дифференцируя левую часть, получаем:

(3

— (о3р3 8®5Х ) = и5 — (р 8®5Х ) + р5 8ю8Х

д

ди

дг 8 8 у 8 дГ8 ' 8 дг Тогда, согласно уравнению баланса массы (3'), переходя к частным производным,

имеем:

д

д

— (и8р 8а8Х) = и3 — (р 8а8Х) + р 8а8Х

ди.

дг 8 8 у 8 дг 8 у 8 дг

Подставляя полученное выражение в исходную зависимость (6'), группируя в ней слагаемые и деля обе ее части на 5Х ф 0, получаем для потока взвеси:

1 ди„

д

% дг дХ

и8

— + У с 2% Ус

+ ■

Р

Р8% дХ

+ и8тПР*= /зХ •

(7')

Аналогичным образом преобразуя зависимость (6''), получим для потока воды:

Р.8 (1 - 8

1 диа | д % дг дХ

( 2 и 2 %

+ Ус

+ -

Р

Рш8 дХ

+ и*тПР* = - 1аХ

(7'')

Суммируя полученные уравнения (7 ' ) и (7 ' ' ), приходим после деления на произведение Рш%(1 - 8ф 0 к следующему выражению динамического уравнения руслового

взвесенесущего потока с переменной массой компонент:

1 ди д

% дг

1 ди

дХ

Ч2

—+ус 2% с

Л

+ ■

Р8

Р,

,(1 - 8)

+

иsmпps

+

д

Ги1

г дг дХ I 2 %

Л

■ + Ус

+

дХ

1 дРа , _ ___

Рш8 дХ - 8)/ - 8)•

Р,а,%а(1 - 8)] _ (/,+Л )Х

(8)

Величина, стоящая в правой части уравнения (8), представляет собой потерю энергии на трение, отнесенную к весу жидкости, содержащейся в единице объема всего потока, и приходящуюся на единицу длины потока. В гидравлике обычно под этой величиной понимают уклон трения ^.

Принятая здесь модель одноразмерного руслового взвесенесущего потока предлагает постоянно по живому сечению скоростей ит и и и концентрации взвеси 8. Это допущение

приводит к некоторому искажению действительных характеристик реального потока. Для устранения этого искажения в гидравлике обычно вводят коррективы. Однако некоторая неопределенность в назначении величин этих коррективов, обусловленная недостаточными

сведениями о распределении ит, и и 8 по живому сечению руслового потока, не дает нам в настоящее время возможности рекомендовать те или иные численные их значения. Поэтому считаем их в первом приближении равными единице [2].

Ограничивая далее область применения составленных уравнений русловыми потоками, характеризуемыми, как правило, относительно малыми концентрациями взвесей, считаем возможным в уравнении (8) пренебречь членами, содержащими 8 в качестве множителя, а также считать 1 - 8 = 1. Кроме того, принятое выше допущение о

несжимаемости воды {рт = const) и ограничение рассмотрения потоками малой мутности позволяет считать давление распределенным по гидростатическому закону:

Ра=РаёК, (9)

где hc — заглубление центра тяжести живого сечения под свободную поверхность потока.

Тогда с учетом принятых допущений и имея в виду, что

Ус + h = Уд + h (10)

где y — отметка дна русла; h — глубина потока, получаем следующее упрощенное выражение зависимости (8):

1 до

д (о2

g dt дХ I 2 g

Л

+ yc + h

J

= —lf •

(11)

Полученные уравнения (8) и (11) являются распространением уравнения Д. Бернулли

°тт............... учитывают изменение

W 1ПРш

и

на рассматриваемый тип потока. Слагаемые

Рш8а

энергии потока за счет изменения массы компонентов потока (реактивные силы И.В. Мещерского). Заметим, что уравнение, аналогичное (8), было получено несколько иным путем для стационарных потоков с переменной массой компонентов Т. Г. Войнич-Сяноженцким, В. Г. Ломтатидзе и Н. Е. Таварткиладзе [3], а для стационарных взвесенесущих потоков с постоянной массой компонентов — М. А. Дементьевым [4].

Таким образом, система уравнений, выражающая взаимосвязь параметров руслового взвесенесущего потока с переменной массой обеих фаз, предлагаемых несжимаемыми, в условиях малой концентрации взвеси имеет с точностью до отброшенных членов уравнения (8) следующий вид:

1 до

д

V

g дt дХ

\

2 g

+ у д + h

, оитПРи , °smms _ ■

П---1--= —l ,

Pvg® Pag®

д

-Qs

mr

дГ ' дХ

-И—S)]+:

дЛ V П дХ

Ps

дQИ

Ри

(12)

Если поступления наносов в поток через его свободную поверхность нет, то все изменения нанососодержания в потоке происходит лишь в результате размыва русла или

отложения в нем наносов. В этом смысле величина mT

является характеристикой

интенсивности процесса переформирования русла и связана с последним соотношением:

да

mrns р гр

дt

дуи_

(13)

где уп - отметка свободной поверхности; ргр - плотность грунта, слагающего русло.

ду

Отметим, что условие —П = 0 обусловлено здесь необходимостью выделения лишь

дt

той части изменения площади живого сечения, которая вызвана переформированием русла (заштрихованная часть на рисунке 2).

Выражая площадь живого сечения произведением

а = рБк,

где Б - ширина потока поверху; р — коэффициент формы сечения; к = уп — уД,

>

0

имеем:

да ~дг

(идБ дуд

= р к--В——

7-=о ^ дг дг у

\ Вк др. дг

Отсюда следует, что

mПРS = РгрР

к—-В ду—-

дг дг

Л

+ РгРВк

дг

(14)

В том случае, когда изменение нанососодержания в потоке происходит не только за счет русловых деформаций, но и в результате поступления наносов в поток через свободную поверхность под воздействием ветра или стекающих с берегов поверхностью вод, вместо зависимости (13) будет иметь:

mПРS = РгрР

к—-В дуд-

дг дг

л

+ РгРВк + ,

дг

(15)

где дш — объемный расход притока наносов через свободную поверхность потока, приходящийся на единицу длины потока.

Рисунок 2 — Изменение площади живого сечения русла

Приток воды может складываться из поверхностного (берегового или ливневого) стока, а также грунтового (фильтрационного) стока, то есть:

тПРа=Ра{Чпа + ЯгрЛ (16)

где дЯ(а и дг/>й) — соответственно приток воды через свободную поверхность потока и

приток грунтовых вод, приходящиеся на единицу длины потока. Полученная система уравнений (12), дополненная совместно с выражениями (15) и (16) тривиальными соотношениями:

=ш5и8 Qa=o(l - Б)

(17)

а = аВк,

остается незамкнутой. Для замыкания ее требуется ввести ряд гипотетических предложений. Так, может быть принято, что коэффициент р формы сечения в процессе трансформации русла меняется очень мало, то есть

др _ Л

— = 0, (18) дг ( )

и что ширина В русла меняется в соответствии с изменением глубины ^ средней скорости ит и других гидравлических параметров потока, следуя известным морфометрическим зависимостям (С. Т. Алтунин, М. А. Великанов, С. И. Рыбкин и др.):

>

В = В

' ду ^

ГД

к дХ

к, и

(19)

Для выражения уклона трения через другие параметры потока можно, следуя И.И.

Леви [2], распространить допущение о приемлемости формулы Шези и на случай руслового взвесенесущего потока, то есть считать

2

, (20)

7 С а/Х

где С — коэффициент Шези; с / % — гидравлический радиус потока. В соответствии с экспериментальными данными Н. А. Михайловой [6], Э. Т. Джрбашяна [5] и М. В. Печенкина [4] относительная скорость перемещения наносов и жидкости во взвесенесущем потоке увеличивается с увеличением размеров зерен наносов, оставаясь при этом относительно малой по сравнению со скоростью жидкой составляющей потока. Поэтому в качестве первого приближения можно принять:

и* = ис (21)

В дальнейшем с накоплением экспериментального материала приближенное равенство (21) должно быть заменено более точным, учитывающим размер зерен наносов и другие определяющие соотношение скоростей факторы.

Последнее уравнение необходимое для замыкания рассматриваемой системы, должно связывать расход наносов Qs с гидромеханическими характеристиками потока и физико-механическими свойствами грунта. Все известные в настоящее время методы расчета русловых переформирований (И. И. Леви, В. Н. Гончаров, И. И. Россинский, и И. А. Кузьмин, А. В. Караушев и др.) отождествляют транспортируемый расход наносов Qs с транспортирующей способностью потока Иными словами, предполагается, что поток находится все время в состоянии предельного насыщения. Однако в условиях размыва русла до достижения состояния предельного насыщения поток должен преодолеть некоторое обусловленное размывающей способностью расстояние прежде, чем расход наносов придет в соответствие с транспортирующей способностью потока [7]. Таким образом, можно считать, что

= £РС (22)

где £ — коэффициент полноты насыщения потока наносами. Нетрудно видеть, что

1 р - о8

£ = 1--зависит от дефицита расхода наносов Qs по сравнению с транспортирующей

способностью потока Ps. Коэффициент £ в рассматриваемой здесь системе уравнений руслового взвесенесущего потока выполняет ту же роль, что и разность (Р8 - ) в

уравнениях М.Э. Факторовича и записанная в его обозначениях в виде (р - ЦНТ1). В

дальнейшем предстоит выяснить структуру зависимости £ от характеристик потока, его размывающей и взвешивающей способностей. При намыве выделение наносов из толщи потока и отложение их в русле будут происходить до тех пор, пока транспортируемый потоком расход наносов не придет в соответствие с транспортирующей способностью. Величина коэффициента £ в условиях размыва изменяется в диапазоне 0 <£< 1. В условиях отложения наносов £ > 1. Однако при плавно изменяющемся течении можно в первом приближении предположить, что избыточная над транспортирующей способностью потока масса наносов успевает выпадать в осадок по мере движения потока, так что £ = 1.

Для определения транспортирующей способности Ps известны многочисленные предложения различных авторов. Формулы эти мало согласуются друг с другом и натурными данными. Наиболее надежен расчет, базирующийся на материалах

гидрометрических натурных изменений, предложенный К.И. Россинским и И.А. Кузьминым [7]. Если таких материалов оказывается недостаточно, то при экстраполяции можно руководствоваться той из известных формул для определения РБ, которая дает наилучшие

приближения к верхней огибающей поля точек гидрометрических данных.

Таким образом, дополненная уравнениями (15)-(22) система (12) может считаться замкнутой. Решение этой системы при заданном комплексе граничных и начальных условий может быть получено методом численного интегрирования на ЭВМ.

Переходя к дальнейшему анализу полученных зависимостей, запишем систему уравнений для частного случая прямоугольного русла {( = 1) с неразмываемыми берегами

\— = о | и отсутствия поверхностной и боковой приточности {дш = дПс = дГР8 = 0):

I дг )

1до^ д g дг дХ

— + Уя + Н 2 g Д

Л

о.

Ы нб+1ыО

дг В дХ

Ргр ду,

Ргр ос дуд =_

Рш gh ы С 2т! х

Р дг

д

1 д^

- к{1 - Б) + дг у В дХ

= 0.

{а ) {б) {в )

(23)

Сопоставим эту систему с системой уравнений, составленной И. И. Леви [2] для расчета неустановившегося движения в размываемом русле, которая в наших обозначениях имеет следующий вид:

I и

g дг

1 Ы&

В дХ

а

дХ

Л

— + у Д + Н

2 g

о,

С 2с/х'

Ргр ду

Д

Р, дг

1ЫОс

дг В дХ

= 0.

{а ) {б ) {в )

(24)

Нетрудно видеть, что в системе (24) уравнением движения (а) не учитываются затраты энергии потока на обмен наносами между потоком и руслом и на транспортирование

наносов. В нашем уравнении движения (23 а) членом о = Ргр °сЫуд- выражена приходящаяся

Рш ёН дг

на единицу длины потока удельная энергия, затрачиваемая на указанный обмен при

деформации дна русла. При размыве

^ ду

<0 и Б>0

дг

\

происходят определенные затраты

энергии; наоборот, при отложений наносов

ду

д

дг

> I

0 и Э < 0 I происходит освобождение

энергии. Член, учитывающий затраты энергии на перенос наносов,

1 до.

■ + ■

д

g дг дХ

о

2g

■ +

у Д

+

ЕсЫН.

Р, дХ

РБ

Рс

.{1 - 8)

нами был опущен по малости по сравнению с остальными слагаемыми, но при необходимости может быть введен в левую часть уравнения.

Уравнения (б) системы (23) отличается от уравнения деформации русла, входящего в

д

систему (24), наличием члена — НБ, учитывающего нестационарность изменения

дг

нанососодержания в потоке. Первые данные отражающие этот фактор, имеются у

>

М. А. Великанова [8]; дальнейшее развитие этого вопроса и указание на необходимость учета изменения концентрации наносов в уравнениях русловых трансформаций даны в работах М. Э. Факторовича [9], где автор приводит отличный от нашего вывод уравнения, называемого им общим уравнением русловых трансформаций. Заметим, что рассматриваемый здесь процесс трансформаций русла по сути своей не может быть стационарным. Ввиду того что всякое изменение нанососодержания в потоке происходит за счет русловых переформирований, форма русла изменяется, что в свою очередь приводит к изменению гидравлики потока и, следовательно, нанососодержания. Таким образом, членом

— кБ, в уравнении баланса наносов учитывается нестационарность потока в процессе

дг

трансформаций ложа реки. Если пренебречь этим членом, то может существенно исказиться действительная картина явления, особенно в тех случаях, когда переформирование русла происходит достаточно интенсивно. Такую же роль играет этот член в последнем уравнении (в) рассматриваемых систем (23) и (24) — уравнении неразрывности воды.

Проведенное сопоставление систем уравнений (23) и (24) показывает, что предложенная система более полно отражает процессы, происходящие в русле при его переформировании. Уравнениями учтен массообмен между размываемым руслом и протекающим в нем потоком. Вопрос о реализации использования полученных уравнений в практике прогнозирования русловых трансформаций затрудняется в настоящее время необходимостью уточнения приближенной зависимости (21) и выяснения функциональной связи коэффициента полноты насыщения потока £ с размывающей и взвешивающей способностями, а также другими параметрами потока. [6, 10, 11].

Литература

1. Алтунин В. С. Мелиоративные каналы в земляных руслах. — М.: Колос, 1979. —

255 с.

2. Леви И. И. К расчету неустановившегося движения в размываемом русле // Труды ЛПИ. — №5. — Л., 1948. — С. 12-22.

3. Войнич-Сяноженский Т. Г., Ломтатидзе В. Г., Таварткиладзе Н. Е. О турбулентном течении двухфазного водовоздушного потока с переменным расходом вдоль пути // Известия ТНИСГЭИ имени А. В. Винтера. — Т. 12. — Тбилиси, 1960. — С. 38-45.

4. Дементьев М. А., Печенкин И. В. Поля концентрации взвеси и кинематика взвесенесущих потоков // Известия ВНИИГ. — Т. 84. — Л., 1967. — С. 36-45.

5. Джрбашян Э. Т. О вероятностном методе расчета донных наносов // Известия ВНИИГ. — Т. 78. — Л., 1965. — С. 44-49.

6. Молдамуратов Ж. Н. Моделирование распространения наносных отложений в оросительных каналах // Вестник Казахской головной архитектурно-строительной академии: научный журнал. — №1. — Алматы, 2015. — С. 181-187.

7. Россинский К. И. Моделирование деформаций речных русел // Проблемы регулирования и использование рек: труды Государственного гидрологического института.

— Вып. 143, Гидрометеоиздат. — Л., 1968. — С. 61-69.

8. Великанов М. А. Русловой процесс (основы теории). Физматгиз — М., 1958. —

240 с.

9. Факторович М. Э. Развитие аналитического описания процесса русловых трансформаций // Труды координационных совещаний по гидротехнике. — Вып. 36. — Л., 1967. — С. 55-59.

10. Векслер А. Б. Основные уравнения одноразмерного руслового взвесенесущего потока // Заиление водохранилищ и борьба с ним: научные труды, изд-во Колос, М., — 1970.

— С. 85-97.

Таврический научный обозреватель

www.tavr.science № 8(13) — август 2016

11. Вознесенский В. А., Ковальчук А. Ф. Принятие решений по статистическим моделям. — М.: Легкая индустрия, 1974. — 1 92 с.