CC BY
19
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2009. Вып. 2. С. 105-117
Механика
УДК 539.3
Модель нелинейного изгиба полосы для различных мер напряжений
Е.Д. Комолова
Аннотация. Рассматривается изгиб полосы в рамках нелинейной теории упругости, который исследуется при заданной аппроксимации угла поворота сечения. Для различных мер напряжений определяются критическая сила, необходимая для начала изгиба полосы, и влияние нелинейных слагаемых на величину этой силы.
Ключевые снова: изгиб, вариационный принцип Лагранжа, сила Эйлера.
Рассмотрим полосу в форме прямоугольного параллелепипеда в начальном состоянии. При этом будем предполагать, что решаем задачу об упругой полосе в рамках нелинейной теории упругости.
Процесс деформирования считаем квазистатическим, поэтому массовыми силами будем пренебрегать. На одну из боковых поверхностей действует внешняя нагрузка интенсивностью Р. Сила может действовать различным образом. Для нелинейной постановки существенным будет являться задание закона внешнего нагружения («следящее» или «мертвое»). В данном случае выбираем «мертвое» нагружение — сила действует фиксировано, приложена под постоянным углом 90° к верхней грани полосы. Рассматриваем случай, когда сила направлена в отрицательном направлении оси Ох\.
Для остальной поверхности полосы заданы перемещения ее точек II.
Область, занимаемая полосой (рис. 1), задастся следующими выражениями:
Будем считать, что исследуемые характеристики не зависят от координаты Хз-
Кроме того, рассматриваем плоско-напряженное состояние стержня.
Полоса в виде параллелепипеда имеет ось симметрии Ох\х%, поэтому будем записывать уравнения только для срединной плоскости, так как зная деформации, перемещения и напряжения в срединной плоскости, можем найти эти характеристики для любого сечения [1].
Рис. 1. Область, занимаемая полосой
В начальном состоянии радиус-вектор материальной точки срединной линии имеет вид:
Го = ®1б1.
Радиус-вектор этой точки в деформированном сечении можно представить через перемещения точек срединной ЛИНИИ и(х\)
Но = го + и{х 1).
Для получения закона движения точек срединной плоскости используем гипотезу Кирхгофа-Лява (перпендикулярные волокна материального базиса остаются перпендикулярными в процессе деформации [1]) и получаем выражение для радиус-вектора срединной плоскости
Я = Яо + Т2Х2-
(1)
Далее, используя это уравнение, будут получены все кинематические характеристики.
Используя выражение для Яо, определим касательный вектор т\
П =
сШо
= 1
йЩ \ _ сіи% _
Єї Н----------Є2-
йхл
(2)
При этом — квадрат относительного удлинения полосы. Будем считать, что полосы в процессе нагружения не удлиняются, ее длина остается ПОСТОЯННОЙ. Поэтому С?5і = 1.
Нормальные и касательные вектора также можно представить через угол поворота сечения ф
Т\ = С08(</>)еі + 8Іп(</>)е2,
Г2 = — 8Іп(</>)еі + СОз(ф)б2- ^
(4)
Сравнивая выражения (1) и (2), можно получить связь перемещений и угла поворота сечения
- - ^dUl - Л dUA -
П-С1=со»(ф) = 1+—, Tl=^+_jei + _e2,
- - . dU2 , dU2, , dUi)
r2 ■ e2 = *т(ф) = —, T2 = -^C1 + ^1 + j C2.
Из выражения (3) находим перемещения
pxi рхг
Ui= (cos(ф) - 1) dx 1 + Cl, U2= sin^dx! + C2. (5)
J 0 Jo
Таким образом, выражение (1) перепишется в виде
dU2 ( dUA
R = Го + U — Х2 -----ei + Ж2 ( 1 + --- ) (¡2
dx\ \ ах\ J
или (по компонентам в декартовом базисе)
Л ( гг dU2\ _ ( ТТ dUA _
R = \Xi + Ui — Х2—------ ei + Ж 2 + U2 + Х2—------ (¡2-
\ ах 1/ \ ах 1/
Полученное выражение задаст закон движения точек срединной плоскости.
Из представленных формул следует, что для определения перемещений необходимо найти угол поворота сечения.
Найдем формулы для материального базиса [2]
dR ^ (r0 + tf(®l) + 7^Ж2) ^ dU{xi) dT2
Э\ — —-- — ----------------------- — е\ н-----------b 3---Ж21
ах 1 0Ж1 0Ж1 их 2
dR
Э2 = 3--- = Т2.
ах 2
Далее преобразуем второе уравнение, используя (3)
d?2 , , dp _ . , . dp _ _ dp -— = - cos\<p)~z—ei - sm(<y5) ——e2 = -n-—. ax 1 ax 1 ax i dx \
Таким образом, исходная система примет вид:
Э1 = Т1 ^1 - ' Ъ. = Т2- (6)
В декартовом базисе компоненты аффинора можно вычислить по формуле
Ф = Ф^е^, Фij = Si ■ ■ Sj, (7)
Фц = Є1 • ё.¿Зі • ё\ = ё\ • [ ё\Т1 [ 1 - Ж2 ) + Є2?2 ) • ё\ =
= С08 (<у2 ) 1 - Ж 2
' СІХ
Фі2 = Єї • ёгЭг ■ &2 = Є\ ■ ^Єі?і ^1 - х2^~ ) + Є2Т2 ) • <32 =
= 8ІГі(<у5) ( 1 — Ж2
' (¿Ж
$21 = Є2 • • Є\ = Є2 ' |ет - Х2~^~^ ' Єї = — 8ІГі(<у5),
Ф22 = Є2 • ЄіЗі • Є2 = Є2 • ЄіП І 1 - Ж2-
\ - - А - / ч
) + Є2Т2 І • Є2 = С08(<у5).
V V ^х\
По компонентам материального базиса, представленные (6), определим компоненты тензора деформации Коши—Грина
2
1-**5Г І -1
еіеі. (8)
Исследуем меру деформации Коши—Г рина, собственные векторы которой являются главными осями.
Собственные числа в линейном случае Ах = Аг = 1. Собственные векторы а\ = (1, 0) и 02 = (0,1). Отсюда следует, что главные оси совпадают с декартовыми.
Мера деформации Коши—Г рина
£ = — (С — <%), С = 2е +
Из этого следует, что
{ с1ф \ ^
(3 = ( 1 — Ж2 — ) ё\ё\ + ¿262 + Сгззёзёз.
Левая мера деформаций
С = и2, и = у/в.
Таким образом, компоненты левой меры примут вид:
С/ = ^1 — Ж2 + ^262- (9)
Тензор Генки в главных осях через меру деформации определяется в виде:
Г = 1п (и).
Распишем компоненты тензора Генки
Г = 1п ( 1 + х1~^~ ) еіеі + Г33Є3Є3. (10)
Компоненту Г33 будем определять позднее, используя конкретные определяющие соотношения и исходя из условия плоско-напряженного состояния.
Таким образом, были определены основные кинематические характеристики. В формулах (1)—(10) представлены зависимости компонент тензоров от угла поворота сечения ф.
Для решения поставленной задачи выбираем вариационный принцип Лагранжа. С его помощью можно составить вариационное уравнение для поиска неизвестных величин, учесть граничные условия наиболее естественным образом, т.с. не вводя дополнительных уравнений.
В основу вариационного принципа положено равенство работ внешних и внутренних сил на возможных перемещениях [2]. Как было оговорено ранее, нагружение является «мертвым», фиксированным — сила направлена в отрицательном направлении оси Ох\. Это значит, что работа будет отнесена к начальной площади (при «следящей» нагрузке работу относят к текущей площади)
5Лг = <5Ле. (11)
Найдем выражение работы внутренних сил на возможных перемещениях. Для этого нужно сначала выбрать пару энергетически сопряженных тензоров для изотропного материала. Основным критерием выбора является получение уравнения, которое являлось бы разрешимым относительно искомых величин. Так, энергетически сопряженными являются энергетический тензор напряжений и тензор деформации Коши-Грина, Т и е, тензор обобщенных напряжений и тензор Генки, егд и Г.
Запишем работу внутренних сил для каждой из перечисленной пары сопряженных тензоров [2]. Для пары егд и Г
8А1 = — [ ак- аг<Л/0.
Так как рассматривается плоско-напряженное состояние и Г22 = 0, то
1 г1Л
<5Гц = -- -------тт- ■ х28-
Можно переписать работу внутренних сил в виде: 50 НО т
л 1-*2^ ¿*1
Представим выражение работы через обобщенный момент
8Аг = 8о [ Мвпутр 8 ^-<1x1, (12)
,1 о а%1
Л^ВНуТр
аз)
•/-¥ І-жо^г1
Т-
Для пары Гиг [2]
8А* = - [ Т •• <^У0.
Ль
Вариации тензора Коши с привлечением формулы (8) определяются в виде
х Л <1р\
оец = - 1 - Х2~,--- ж2 0-
\ ' (¿Жі У (¿Жі
Следовательно, работа внутренних сил для пары Т ш є
5 А = [ ° [ 2 / ° Тп • (1 - *2^-) • х25^(1х1(1х2(1х-а.
,/о .1-^.1 о V «ж1/
Представим выражение работы через обобщенный момент
<5Л* = <5о [ Л^внутр 8 ~г~— ¿хі, (14)
,1 о а%1
ГДС
Л^внутр
J ^ Тц • ^1 - Х2^-^ • Х2(1Х2■ (15)
Таким образом, в зависимости от используемых мер напряжений работу внутренних сил можно вычислить по формулам (12) и (13), либо (14) и (15).
Теперь рассмотрим работу внешних сил из вариационного уравнения (11). Работа внешних поверхностных и массовых сил в данном случае примет вид
8Ае = [ Р- 8 МП о + [ р&8и<Щ).
J^Zo Jvo
Ранее было указано, что мы пренебрегаем массовыми силами. Тогда
8Ае = [ Р-8МПо,
*/ Хо
где Хо — начальная площадь сечения полосы; Р — действующая внешняя сила, отнесенная к площади поперечного сечения; 8Я — вариация радиус-вектора произвольной точки срединной плоскости, который определяется с помощью (1) в виде
8 Я = 8и (Ж1) + Х28т2-Рассмотрим отдельно 8т\. Из (3) следует, что
8т2 = — со$(ф)8(рЕ\ — 8т{ф)8ре2 = —<5<р(со8(0)е1 + 8т(</>)е2).
Сравнивая (3) и последнюю формулу для 8т±, получаем
8т2 = — Sip ■ т\.
Окончательно вариация радиус-вектора срединной плоскости равна
8R = 80 — Х2$фт\,
где 8U — вариация вектора перемещений, компоненты которой определяются при помощи (5) в виде
рх1 рх\
SUi = — / зіїі(ф)5фсІхі, 61І2 = / соз(ф)5фсІхі. (16)
J 0 J о
Таким образом, работа внутренних сил перепишется в виде г™ /■“
8Ае = / Р ■ (80 — х28фт\)(1х2(1х-з =
I so I м ІГ ІГ
hO hO
/ Р ■ 8U (x\)dx2 — / Р ■ Т\ ■ Х28фйХ2 J-hl «/-М
или
= 80^ -80 + Мвпеш • , (17)
где главный вектор внешней нагрузки, отнесенной к площади сечения,
/■“
М = І Рйх ь (18)
/ м
главный момент внешней нагрузки, распределенной по плоскости ж і—¿о,
/■¥
Мвнеш = / Р ■ П • х2(1х2- (19)
Выражения (16), (17), (18) и (19) определяют работу внешней нагрузки Р. Подставляем найденные выражения для возможной работы внешних и внутренних сил в вариационное уравнение (11)
МвпуТр б-^-ёх 1 = N ■ 80 + Мвпеш8ф. (20)
/
Jo
Формула (20) определяет вариационную постановку задачи о нелинейном изгибе, где обобщенный момент внутренних сил определяется (12) и (13), либо (14) и (15), главный вектор внешней нагрузки, отнесенной к площади сечения — (18), вариация вектора перемещений — (16), главный момент внешней нагрузки, распределенной по плоскости х\ = Ь$, — (20).
Для определения искомых напряжений, перемещений введем аппроксимацию функции угла поворота. Аппроксимацию будем выбирать так, чтобы
функция удовлетворяла граничным условиям, т.с. выбранному типу закрепления. Подберем функцию, удовлетворяющую граничным условиям
жі = 0: 95=^, XI = Ь0: = ф0, жі = 0: ір =-ф0.
Пусть, например, функция угла имеет вид
ф{х і) = -^жі-¥?о, (21)
где (fio — некоторый параметр.
Можно найти вариацию данной функции и подставить в вариационное уравнение (20) и тем самым определить зависимость интенсивности силы от параметра роВ данном случае сила приложена к грани х\ = Lq и действует в отрицательном направлении. Поэтому вектор приложенной нагрузки из (18) примет вид
„м „м
■' / 2 ■' / 2 ->
N = / Pdx2 = — / Pe\d,X2 = —Р ■ hoe\.
hü hü
Г •>--Y
Вариация вектора перемещений из (16) равна
яп Г • (2^ \ 2 Я J
ÓUi = -J sin I -j— xi — ipaJ — x1óipQdx1,
px\
JO
SU2 = I eos ( i - PoJ -^-x1Sipodx1.
Так как N содержит только одну компоненту Л^ц, отличную от нуля, то выбираем только первое уравнение для <Шх. Кроме того, вариация перемещений должна быть записана для грани х\ = Ьо, поэтому вариация перемещений после интегрирования и подстановки х\ = ¿о примет вид
= -Ь08т(<у50)(5<у50.
Подставляем (21) в выражение момента внешней нагрузки
»м
/
Мвнеш = / , -Pl COS ( ’~J^X 1 - ‘РО ) X2dX2 =
= -Pl eos ( —X1 - ifo, 2
hO
2
= 0.
hO
2
Момент внутренних сил нужно рассматривать отдельно для каждой выбранной меры напряжения, используя полученные ранее формулы (13), или (15).
Для (13) при помощи компонент тензора Генки определим компоненты тензора напряжений. Шаровая составляющая тензора напряжений — это свертка шаровой составляющей тензора Генки и единичного тензора Е [2]
стшар = ^ршар .. ^
где /і — константа Ламе; Гшар — шаровая составляющая тензора Генки,
Гшар = 1 (Ги + р22 + рзз) = І 1п (і - Х2^) + ^Гзз.
Константы Ламе будем определять через модуль Юнга и коэффициент Пуассона по формулам [2]
уЕ ^ Е
№ — /її \/1 о \ ’ ^мат —
(1 + и)(1 — 2и) ’ мат 2(1 +и)'
Отсюда компоненты шаровой составляющей тензора напряжений примут следующий вид:
Компоненты дсвиаторной составляющей тензора напряжений определяются через компоненты дсвиатора тензора Генки и константу Ламе:
= 2СматГ.
Компоненты дсвиатора тензора на основе (10) определим в следующем виде [2]:
''я
= 2(7мат1п ( 1 - Х2) Є1Є1 + 2СМатГззе3ез.
Тензор напряжений представляет собой сумму шаровой и дсвиаторной составляющих
ац = <тшар + и% = 2СматГ + /лГшар ■ Е.
Компоненты тензора напряжений запишем в следующем виде:
а в. = (1п ( 1 - х2 -
' йхл
+ ^ ^1п ^1 - + Г33^ е2е2.
Так как решается задача о плоско-напряженном состоянии, то третья компонента тензора напряжений должна равняться нулю. Из этого условия находим Г33:
Ги(20и„+1)+1,»л_=Ги
V 3/ 3 \ йх\) ООмат + М
Таким образом, выражение для егд перепишется в виде
3(7мат + fj, f-,, d(j) ^ _
<TR = 4GMSiT—--------;--- In 1 + Х\------ е\в\ +
О G мат "Н Д \ ОХ 2 )
6 fiG Mai i-i fii v~ Y i-*-*
1 ln 1 + Xi ---- 6262-
3 бСмат “I" Д / \ (^х2
Окончательно, момент внутренних сил из (13) представим следующим образом:
hO . .
л/г — ЛҐЧ ЗС?маТ + f 2 I 1 ( _ d(f) ^ Х2
ік/ВНуТр — 4GrMaT І ІП I 1 -j- Х\ І • її СІХ2*
' ■/-¥ V ■*«/ і-^жг
■ —-------- Ш і т Жі—— • -------тт~
6Смат + М 7-М V (¿Ж2 / 1 - Х2-Й:
После интегрирования получаем
Мвнутр = + ^0 Атя^О (¿) ’ (22)
где = - С мат 1/^МаТ ^ — изгибная жесткость ДЛЯ пары <7я и Г.
3 о О мат + А*
Подставляем вместо угла поворота сечения в (22) аппроксимацию (21)
Л^внутр = Ахд <^0 + ^ £>„д ^ Фо- (23)
Полученное уравнение позволяет определить зависимость момента внутренних сил, найденного для егд, от неизвестного параметра 920.
Для (15) принимаем закон упругости в виде [1]
Тц = Е ■ єц,
где Е — модуль упругости.
Используя (8), выводим формулу для энергетического тензора напряжений
г”=! (Н^У
Таким образом, момент внутренних сил (15) представим как Е /■“ (( (1<р 4 2
/
М.„„р - 1 ) ■[1 - *2^ I »***.
ÜÎBHyTp
/_1 (2l^ + æi(ë) J“1'4
После интегрирования приходим к следующему выражению:
^ dp 3 „ , 2 / dip 4 А Мвпутр = °т-7— + -T^D'rhQ
dx 1 40 \йх\
Е
где П( = — к$ — изгибная жесткость для пары Т и 8е.
Подставляем вместо угла поворота сечения в аппроксимацию (21)
2
А/внутр = Вт — ро + -Бту^-р о- (24)
Ь о о Ь о
Подставим все приведенные выше выражения для аппроксимации (21) в вариационное уравнение (20)
г-Ьо 2
МвпуТр — бройх! = -Р ■ ко ■ (-Ьо 8т(<у5о)(5<у5о) .
/
J о
Ьо
Формулы для момента внутренних сил (24) и (23) при заданной аппроксимации угла поворота (21) не зависят от координаты х\, поэтому
2Л:/Ш|уТр = Р ■ Но ' Ьо 8ш(<у9()).
Используя последнее уравнение, можно получить зависимость действующей силы, отнесенной к площади поперечного сечения, от параметра ро:
Р = , ТТ ч. (25)
ко • ¿08т(<у50)
Очевидно, что даже при самом простом способе задания момента внутренних сил (без учета нелинейных слагаемых в (23), или в (24)) связь (25) будет оставаться нелинейной за счет функции синуса. При этом должно выполняться условие
8т(<у50) ф 0.
Согласно этому условию изгиб полосы начнется не сразу, а только после достижения некоторой критической силы.
Сравним ниже выражения действующей силы, найденной для различных мер напряжения, и проанализируем влияние нелинейных слагаемых на величину критической силы. Процедуру линеаризации проводим на основе того, что по условию задачи угол поворота р является малым,а, значит, и параметр ро — величина малая.
Для пары егд и Г момент внутренних сил определен (23), следовательно,
2Ран2р0 6ДТнН1р1
ко ■ ¿0 8т(<у50) 5/10 • Ц 8т(<у50) ■
Отбросим второе нелинейное слагаемое
рлип _ АРсгцРО
ко-ьу т(ро)'
Для пары Т и е момент внутренних сил определен в (24), и
Рт - 4Е>т1Ра +
ко ■ ¿о вт(^о) 5/10 ' Ц вт(^о) ’ После линеаризации, получим
4БСТн(ро
рлин ______
/ гр —
/10 • Lgsin(<y5o)
Построим на графике (рис. 2) зависимость действующей силы от параметра ро для полосы и стали [3].
Рис. 2. Зависимость интенсивности действующей силы от параметра сро для
полосы из стали
Очевидно, что нелинейными слагаемыми в формулах (23) и (24) можно пренебречь — они практически не дают поправок к решению.
При помощи аппроксимации (21) можно определить перемещения, заданные формулой (5)
Ui =
Г1 ( (2^ \ Л г, и Г1 • (2^ \г,
I \cos\-j—xi-<po\-l\dxi, l¡2 = J sin I -J— Xi - ifioJ dxx.
После интегрирования получаем
(2фо\ ^ , . (2фо\ ( 2фо
I I 4- sini i/in 1 sin I - I = mя I епп — -
Ui = xi cos(<y5o) cos J Xl + Xl sínico) sin J = X1 cos (^0 ^
П ( \ • (2ФЛ ^ \ f2M • ( 2<M
U2 = Xl COS(ipo) Sin I -J— J + Xl Sin(íy5o) COS I -J— J = Xl sin I ¡po —-j— J ■
Полученные уравнения определяют зависимость компонент вектора перемещений от параметра р>о (рис. 3).
В работе была рассмотрена модель поведения изгиба упругой полосы, жестко закрепленной с обоих концов в рамках нелинейной теории упругости, определены основные кинематические характеристики.
Также установлено, что полоса теряет устойчивость только при достижении определенного критического значения силы. Было исследовано влияние
О 40 033
Рис. 3. График зависимости перемещений полосы от параметра ф0 для полосы из стали в сечении ho /2
нелинейных слагаемых при моделировании изгиба для различных мер напряжений и установлено, что эти слагаемые являются малыми по сравнению с линейными, ими можно пренебречь.
Список литературы
1. Маркин А.А., Христич Д. В. Нелинейная теория упругости: учеб. пособие. Тула: ТулГУ, 2007. 92 с.
2. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: МГУ, 1990. 310 с.
3. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1985. 587 с.
Поступило 02.06.2009
Комолова Елена Дмитриевна ([email protected]), аспирант, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.
Modeling of the non-linear strip bending for different stress measures
E.D. Komolova
Abstract. We consider strip bending for the unlincar theory of elasticity, which was investigated under given approximation of the angle or the the section’s turn. The necessary force for bend’s beginning was determined for different stress measures. The influence of unlincar items was also analysed.
Keywords: clastic bending, Lagrange principle of variations, Euler force.
Komolova Elena ([email protected]), postgraduate student, department of mathematical modeling, Tula State University.
