CC BY
24
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2011. Вып. 2. С. 152-160 Механика
УДК 539.3
Нелинейный изгиб полосы с учетом осевого сжатия *
Е. Д. Комолова
Аннотация. Рассматривается изгиб полосы в рамках нелинейной теории упругости, который исследуется при заданной аппроксимации угла поворота сечения. Для различных мер напряжений определяется критическая сила, необходимая для начала изгиба полосы. В закритической стадии получены зависимости характеристик напряженного состояния от величины сжимающей силы и угла поворота поперечного сечения. Определена предельная сила для начала пластических деформаций.
Ключевые слова: изгиб, вариационный принцип Лагранжа, пластические деформации.
Разрушение поверхностных слоев материала под влиянием внешнего воздействия электрических разрядов называется электрической эрозией. На этом явлении основан принцип электроэрозионной обработки. Этот метод является одним из самых перспективных для задач, связанных с обработкой микрообъектов, размеры которых составляют несколько десятков микрометров. Модель изгиба электрода-инструмента в процессе электроэрозионной обработки и разобрана в данной работе.
Рассмотрим полосу в форме прямоугольного параллелепипеда в начальном состоянии, моделирующую электрод-инструмент. Предполагаем, что решаем задачу об упругой полосе в рамках нелинейной теории упругости. Процесс деформирования считаем квазистатическим, поэтому массовыми силами пренебрегаем.
Полоса нагружена сжимающей боковой силой, действующей на боковую грань х\ = Ьо. Для остальной поверхности полосы заданы перемещения ее точек и.
Область, занимаемая полосой (рис. 1), задается следующими выражениями:
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 10-01-97501-р_центр_а).
Но
У
0 ^ Х\ ^ Ь0,
* х 1
г,
Рис. 1. Область, занимаемая полосой
Будем считать, что исследуемые характеристики не зависят от координаты Хз. Кроме того, рассматриваем плоско-напряженное состояние стержня.
Полоса в виде параллелепипеда имеет ось симметрии Ох\ Х2, поэтому будем записывать уравнения только для срединной плоскости, так как, зная деформации, перемещения и напряжения в срединной плоскости, можем найти эти характеристики для любого сечения [1].
Для получения закона движения точек срединной плоскости используем гипотезу Кирхгофа-Лява (перпендикулярные волокна материального базиса остаются перпендикулярными в процессе деформации [1]).
Ранее в работах [4], [5] была получена математическая постановка задачи о нелинейном изгибе полосы для упругих деформаций. Для решения поставленной задачи был выбран вариационный принцип Лагранжа. С его помощью можно составить вариационное уравнение для поиска неизвестных величин, учесть граничные условия наиболее естественным образом, то есть, не вводя дополнительных уравнений. В данном случае варьировался угол поворота сечения ^>о. Кроме того, была введена аппроксимация этого угла в виде
где !^0 — некоторый параметр.
В работе [5] на основе вариационного уравнения, записанного для данного способа аппроксимации угла поперечного сечения, была получена зависимость действующей силы от параметра ^>о.
Вариационное уравнение в данной постановке свелось к следующему выражению:
'0
(1)
2ЛЖ _ Рь Г ^0 соз(^о) - вш^о)
2мвнутр _ п0 • Ь0-----------------2---------
^о ^0
Отсюда легко выразить зависимость силы от параметра угла поворота сечения
Р _ _______2Мвнутр • ^2__________ (2)
Хо Но • Ьо (^о еов(^о) - й1п(^о)) ’
где Мвнутр — момент внутренних сил; Р — действующая сила; Хо — начальная площадь поперечного сечения.
Момент внутренних сил в данном случае был определен в [5] в виде
Мвнутр _ О ,
аХ\
где О — изгибная жесткость, которая определяется в зависимости от выбранной пары энергетически сопряженных тензоров: для пары а я и Г
_ 1 0 30 + V ьз
1 3 60 + ^ 07
где О и ц — константы Ламе, которые выражаются через модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона V по формулам
_ vE о _ Е
^ _ (1 + V)(1 - 2^ 7 0 _ 2(1 + V);
для пары Т и е
_ Е^0-1 12 0
Окончательно связь действующей силы и начального параметра ^о запишем следующим образом:
Р ____________40 • ^0_________ (з)
Хо Но • Ь2 (^о еов(^о) - я1п(^о)) ’
Очевидно, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю.
Следовательно, выполняется условие
^0 еов(^о) - вт(^о) _ 0,
^о _ 0.
Для определения критической силы, необходимой для начала изгиба полосы, вычислим значение силы Р при ^>о ^ 0
Ркрит ,. Р
—-— = І1Ш —
^0^0 Хд
Иш
2Б ■ $
4Б
Хо Фо'-^о Хо ^о^о Но • Ь0 (<^о еов(^о) - й1п(^о)) Но • Ь0 ’
Критическое значение силы, при котором полоса теряет устойчивость, наступает, когда достигается следующее значение действующей силы
Р
крит
Хо
4Б Ид ■ Ь '
Также в [5] было получено выражение для тензора повернутых напряжений ая при помощи тензора Генки
ашар _ ^гшар
аД = 20 ■ Гд,
где Г — тензор Генки
г = 1п|1 -12 Л)- (¡0+,.
ІП ( 1 - Х2 ) Є-2Є-2-
Окончательно повернутый тензор напряжений запишем в виде
30 +, Ґ \ 1 / 6,0
ад =4060+, Ч - Х2)еіеі + Н60Г,
ІП ( 1 - Х2 I е2е2 •
(4)
В данной работе рассмотрим влияние напряжений, вызванное действием осевой сжимающей силы на значение критической силы (рис. 2). Кроме того, далее определим предельную силу, при достижении которой в полосе начнутся пластические деформации.
Рис. 2. Общая картина нагружения полосы
Добавим к компонентам тензора повернутых напряжений дополнительные напряжения, вызванные сжимающей силой. Так как сила действует вдоль оси 0x1 в отрицательном направлении, то для получения зависимости ая(Р) прибавим к первой компоненте тензора силу, отнесенную к начальной площади поперечного сечения
аЯ = 4060+— 1М 1 — Х2 I + Х” • (5)
60 + , у dХl у Хо
Таким образом, полностью повернутый тензор напряжений перепишется в виде (рис. 3)
ая
30 + , / dф \ Р
40 6П , М 1 - Х2^~ + Х
60 +, \ dx1) Х0
еіеі +
2,0 , / dф
60+,‘Ч1 -Х2ЙХ7 ,е2е2
(6)
Рис. 3. Распределение напряжений по ширине полосы с учетом действия напряжений, вызванных сжимающей силой
Момент внутренних сил в [5] определялся с помощью повернутого тензора напряжений следующим образом:
НО
2
М =
ая
Х2
1 - Х2 7x1
(IХ2•
Соответственно, на основании формулы (4) запишем зависимость момента внутренних сил от сжимающей силы
Мр _ (о-^Н1\ —^ + В-Н2 (—^ °
Мвнутр _ Г Хо 12 ^ —Х1 + 0 Но\ —Х1
Последнее слагаемое можно не учитывать, так как углы поворота в
данной постановке малы, и
( Тр.
I 7х±
0. Окончательно, момент внутренних
сил с учетом напряжения, перепишется в виде
вызванным действием сжимающей силы,
М
р
внутр
= Б - —
р ид\ d<£
Х0 12 / dx1
Таким образом, зависимость силы от начального параметра ^о, на основе формулы (2) и для аппроксимации угла поворота (1) перепишется в виде
2
РР _ _____________________240^0_____________ (7)
Хо 6Но • ^2 (^о еов(^о) - я1п(^о)) + Н0^0 '
Критическое значение силы, при котором полоса теряет устойчивость, наступает, как и в случае (3), при ^>0 > 0
Ркрит ,. Рр 240^0
—-— _ иш ----------------- _ пт ----^----- —-—0—-——---------3—3 _
Хо ^о^о Хо ^о^о бНо • Ь0 (<^о оов(^о) - вш(^о)) + Н'0^0
_ 240
-6Но • ¿2 + Н0
Критическое значение силы с учетом действия напряжений от сжимающей силы, при котором полоса теряет устойчивость, наступает, когда достигается следующее значение действующей силы:
Ркрит _ 240
Хо -6Но • £2 + Н0
После потери устойчивости в полосе начнется изгиб, который приведет к возникновению деформаций. С увеличением изгиба произойдет и увеличение деформаций до выхода в пластическую зону. Наша задача - определить значение предельной сжимающей силы, при достижении которой в полосе начнутся пластические деформации. Критерий пластичности примем в виде
а я • •а я _ т2 (8)
где т3 — предел текучести.
Подставив в критерий пластичности (8) последовательно выражения для тензора напряжений а я (4) или (6), можно вычислить предельный параметр ^>о для достижения в полосе пластических деформаций. При этом значения
будут определены с учетом и без учета напряжений от сжимающей силы,
соответственно. Раскрывая свертку тензоров, получаем
(ая1)2 + (а2я2)2 _ т2
Для случая без учета напряжений от Рвнеш значение предельного параметра получено следующим образом:
_____тв • (6& + ^)_ \
1 __ ел/(40(30 + ^))2 + (2^0)2 \ _ (д)
Подставляя полученное предельное значение ^>0 в формулу для действующей силы (3), получаем предельно допустимое значение внешней силы, при превышении которого в полосе начнутся пластические деформации
пред _ £о
^0 — о Х2
Р
пред
Хп
40
*0пред)3
кп ■ ь2 (*пред С08(*пред) - 8ш(*пред))
где *пред вычисляется по формуле (9)
Для случая, когда в тензоре напряжений учитывается влияние напряжений, вызванных сжимающей силой, тензор аи вычисляется при помощи формулы (6), и предельный параметр получается в виде
*пред = Ьо - е
Х2 \
-80(30+^)Р +л/4^С2Р 2+4((4С(ЗС+м))2+4м2С2)т| (^ +
(4С(ЗС+м))2 + (2мС)2 ( +ММ _ (Ю)
На основе (10) определяется предельная сила, при достижении которой в полосе начнутся пластические деформации с учетом напряжений от сжимающей силы
240 (*0пред) 3
6кП ■ ь2 (*пред С08(*пред) - + к3 (*пред)
Р Р
Рпред
Хп
где *пред вычисляется по формуле (10).
Таким образом, были получены интересующие нас значения предельно допустимой силы, при достижении которых деформации полосы выходят в пластическую зону (рис. 4).
Рис. 4. Зависимость действующей силы от параметра *о и предельно допустимая сила для аппроксимации (1). Р, Рпред — значения действующей силы от параметра *о и предельной силы, вычисленные без учета сжимающих напряжений; Рр, Рдред — значения действующей силы от параметра *о и предельной силы, вычисленные с учетом сжимающих
напряжений
Отметим, что распределение напряжений при данном способе аппроксимации угла поворота (1) не зависит от координаты х\. По длине полосы напряжений будут распределяться однородно вдоль всего сечения. Рассмотрим распределение а я ■ -а я по ширине полосы (рис. 5).
L Л mti—
\ \ &.! Р tf _ j=Ttt 5-1016-
\ ТД • '°Д *■ 2 TS
V ^ V >SL \ 41. л ттги 1п1б _
\\ V Л XTtl 1П1<5 fl
^ 1 !■> \\. \ \\ V п ■1U 1П1б А г /
а* ■1U 1П1б ~/7~ // у' ,, ~7^
у <■ -
ОООИ5 10 '-5 10_12J ш"4 0 2.5 10 *5 10 *7 5 ю""4 0.001
_К 72 К
: :
Рис. 5. Распределение компоненты or ■ -or по толщине. or — тензор напряжений, вычисленный без учета действия сжимающей силы; oR, oR — тензоры напряжений, вычисленные с учетом действия сжимающей силы, на гранях — и — -у" соответственно.
Из распределения на рис. 5 следует, что для данного способа аппроксимации угла поворота сечения, если в тензоре напряжений не учитывать напряжений, созданные сжимающей силой, то пластические деформации наступают симметрично — на ^ и — Ц0. В случае же, когда в процессе решения рассматривалось влияние напряжений от действия сжимающей силы, возникновение пластических деформаций на этих гранях произойдет не одновременно. При сжатии на грани — ^0 выход в пластическую зону произойдет раньше, чем на растягивающейся грани Щ0.
Список литературы
1. Маркин А.А., Христич Д.В. Нелинейная теория упругости: учеб. пособие. Тула: ТулГУ, 2007. 92 с.
2. Христич Д.В., Комолова Е.Д., Екатериничев А.Л. Определение напряженно-деформированного состояния в изгибаемых телах // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2007. Вып 1. С. 98-111.
3. Комолова Е.Д . Модель нелинейного изгиба полосы для различных мер напряжений // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2009. Вып 1. С. 105-117.
Комолова Елена Дмитриевна (ekomolova@mail.ru), аспирант, кафедра математического моделирования, Тульский государственный университет.
Nonlinear bend taking into account the axial compressive force
E. D. Komolova
Abstract. In this article we consider strip bending for the unlinear theory of elasticity, which was investigated under given approximation of the angle or the the section’s turn. The necessary force for bend’s beginning was determined for different stress measures. The limiting force for plastic deformation’s beginning was also determined.
Keywords: elastic bending, principle of variations, Eiler force, plastic deformations.
Komolova Elena (ekomolova@mail.ru), postgraduate student, department of mathematical modeling, Tula State University.
Поступила 29.05.2010
