МОДЕЛЬ МНОЖЕСТВЕННОГО СОРЕВНОВАНИЯ СО СВОБОДНЫМ ВЫБОРОМ МАРШРУТОВ Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 519.2

МОДЕЛЬ МНОЖЕСТВЕННОГО СОРЕВНОВАНИЯ СО СВОБОДНЫМ ВЫБОРОМ МАРШРУТОВ

Е.В. Ларкин, А.Н. Привалов

Построена полумарковская модель классической задачи составления расписаний, в которой необходимо определить порядок прохождения контрольных пунктов с минимизацией штрафа, накладываемого на участника при выборе неверного пути. Показано, что эволюция полумарковского процесса проходит по гамильтонову пути. Отмечается, что вследствие наложения ограничений траектории эволюции случайный процесс не является строго полумарковским, и поэтому для оценки эффективности он должен быть преобразован. Получены зависимости для пересчета вероятностей первичной модели в вероятности строго полумарковского процесса. Проведен анализ множественного соревнования по выбранным гамильтоновым путям и получены зависимости для расчета суммы штрафа для исследуемого типа преобразования.

Ключевые слова: соревнование, свободный маршрут, гамильтонов путь, полумарковский процесс, штраф, стохастическое суммирование, функция ожидания.

Классическая задача составления расписаний [1 - 4], когда у каждого из субъектов, участвующих в производственном процессе, существует множество заданий, выбираемых для исполнения в произвольном порядке, может быть представлена как множественное соревнование, целью которого является организация такого порядка исполнения, при котором штраф, накладываемый со стороны других соревнующихся субъектов, является минимальным. Помимо производства, подобные схемы взаимодействия встречаются в многопроцессорных системах (рациональная загрузка вычислительных мощностей), бизнесе (решение задач логистики), спорте (соревнование «Охота на лис») и т.п. [5 - 7].

С точки зрения внешнего наблюдателя порядок исполнения заданий субъектами является стохастическим, а время выполнения заданий - случайным. В работе [8] было показано, что адекватным математическим аппаратом для описания эволюции соревновательной системы является классический полумарковский процесс [9 - 12]. Однако при свободном выборе маршрута каждое переключение полумарковского процесса накладывает дополнительное ограничение на траектории дальнейшего блуждания по нему, поскольку по условиям соревнования состояния, в которых процесс уже побывал, исключаются из дальнейшего анализа. Поэтому формирование модели соревнования исследуемого класса сводится к преобразованию первичного полумарковского процесса к уже известной схеме соревнований по безальтернативным маршрутам описанной в [13].

Ниже при формировании модели были сделаны следующие допущения:

1) в соревновании участвуют М субъектов, А[,..., Ат,..., Ам, каждый из которых должен пройти маршрут, включающий J контрольных пунктов;

2) маршрут субъекта Ат начинается в пункте а0(т) и заканчивается

в пункте aJ (т )+ь

3) маршруты субъектов должны проходить через все без исключения контрольные пункты маршрутов строго по одному разу, причем на последовательность прохождения контрольных пунктов субъектами не накладывается никаких ограничений;

4) временные интервалы прохождения участков маршрутов между каждой парой контрольных пунктов являются случайными, величины временных интервалов зависят от участка маршрута и определяются с точностью до плотности распределения;

5) субъекты соревнуются между собой, причем результат соревнования реализуется в виде штрафа, который проигравший субъект платит выигравшему субъекту;

6) сумма начисляемого штрафа определяется разностью номеров участков маршрута, временем, в течение которого эта разность сохраняется и дисциплиной распределенного штрафования.

Модель соревнования. Первичная модель соревнования представляет собой М-параллельный полумарковский процесс и отражает потенциальную возможность выбора маршрутов субъектами, участвующими в соревновании (рисунок):

т = {^1,.., т т,.., тм}. (1)

где тт,1 £ т £ М - ординарные полумарковские процессы.

Ординарный полумарковский процесс тт, входящий в (1), определяется следующим образом:

тт ={хт, ^т ()}, (2)

где Хт ={Х0(т), Х1(т), Х}(т), ..., ХJ(т), ХJ(т)+1} - множество состояний; Хо(т) - состояние, моделирующее пункт старта т-го участника соревнования; X J (т )+1 - состояние, моделирующее пункт финиша т-го участника; X}(т) - состояние, моделирующее контрольные пункты на маршруте; в общем случае J (т)ф J (I), если т ФI; Нт ^ )=[Н^т )} (т)(?)] - полумарковская матрица размером [I (т) + 2]x[J (т) + 2]; Н^т)} (т)^) = 0, только если ¡(т) = }(т), или если ¡(т ) = J (т) +1, или если ¡(т ) = 0(т) и }(т ) = J (т)+1 (рис. 1, а); для всех остальных Н^т),} ) выполняется равенство

^ (т)+1

I I Н1(т\}{т)(* № =1. (3)

0 } (т)=0

Полумарковский процесс (2) эволюционирует следующим образом. Из стартового состояния Xо(т) он переключается в одно из состояний

подмножества {х1(т),-., Х(т),. ., XJ(т)}, причем в соответствии с допущением 3) в это состояние при дальнейшей эволюции процесс больше не воз-

239

вращается. Эволюция завершается, когда полумарковский процесс, побывав во всех без исключения состояниях ^1(т),..., Х(т), . ., XJ(т), достигает

поглощающего состояния XJ(т )+1. Таким образом, маршрут из Хо(т) в

X J (т )+1 представляют собой гамильтонов путь [14 - 16], который может

быть представлены в виде вектора

н п(Н ,т) ,n(m)], Х1[Н ,п(т)],..., ,п(т)],..., ХJ[Н,п(т^ ХJ[Н,п(т)]+1]; (4)

где п(т) - номер гамильтонова пути;

Х¡[Н,п(т)] е |^1(т), ..., Х ¡(т), ..., X J(т)} 1[Н,п(т)]£ ¡[Н,п(т)]£ [Н,п(т)]; X 0[Н ,п(т)] = X 0(т); X J [Н ,п(т )]+1 = X J (т )+1.

Структура полумарковского процесса (а) и расчетная схема для оценки вероятностей (Ь)

п(Н, т) -

Множество векторов (4)

Н = {Н1(н,т),..., Нп(Н,т),..., НN(Н,т)} (5)

формируется путем перестановок элементов {^(х),.., Х/(5),.., X J (х)}

(рис. 1, Ь). Общее количество перестановок равно

N (Н, т ) = J (т)!. (6)

Для определения плотностей распределения времени блуждания по

му маршруту следует найти плотность распределения времени переключения из состояния ^[н п(т)] в состояние X¡[н п(т)]+1. Пусть

Х/[Н,п(т)] = Х/(т) (не обязательно ¡[н, п(т)] = ¡(т)), а Х/[н,п(т)]+1 = X}(т). Тогда чистая плотность распределения времени переключения из ^[н п(т)] в X¡[н п(т)]+1, исчисленные по первичной модели (2), определяется как [17, 18, 19]

/¡[Н,п(т)](0 = ^^^, (7)

^(т), }(т)

где

¥

Р^т),}(т) = IН/(т),}(т)(М . (8)

0

Плотность распределения времени достижения поглощающего состояния из стартового зависит от номера гамильтонова пути и равна

" J [Н ,п(т)] г

П ^[/[Н ,п(т )]г )

¡[Н ,п(т)]=1[Н ,п(т)]

где £[...] и £_1[...] - прямое и обратное преобразование Лапласа, соответственно.

При оценке вероятностей эволюции полумарковского процесса по гамильтоновым путям следует принять во внимание тот факт, что в данном виде соревнований после того, как т-й участник на г-м переключении побывал в контрольном пункте Xi(m), он в него больше не возвращается.

Следовательно, указанное состояние, которое является абстрактным аналогом контрольного пункта, должно быть исключено из траекторий дальнейшего блуждания по полумарковскому процессу, т.е. вероятность попадания в него должна быть обнулена. Если верно предположение, что статистика переключений в оставшиеся доступными для пребывания контрольные пункты после попадания участника в пункт Xi(m) сохраняется, то

вероятности должны быть пересчитаны по зависимости [ , * }[Н,п(т)]-1

}[Н,п(т)] Р , ч , ч= ___ Ух(т),у(т)

Рх(

Мт)( ) = 1 1

(9)

Рх(т)у(т) 1-}[н,п(т)]-1р ' , . '

А VI I 7 I 111 I

где •/[Н ,п(т)] 1 рх(т), у (т) - вероятность переключения из состояния с номером х состояние с номером у после у'[Н,п(т)]-1 переключений; л Н п(т )1

рх(т), у(т) - вероятность переключения из состояния с номером

х(т) состояние с номером у(т) после у[Н,п(т)] переключений.

С использованием зависимости (10) может быть получена рекурсивная процедура расчета вероятностей формирования гамильтонова пути Н

п(т), , которая заключается в следующем.

Пусть в гамильтоновом пути (4) хо[Н,п(т)] - Х0(т), Х1[Н , п(т)] Ы(т), ..., X}[Н,п(т)]-Хj(m), X}[Н,п(т)]+1 - Х/(т), ..., ХJ[Н,п(т)] - X,х(т), XJ[н п(т)]+1 -XJ(т)+1. Тогда на первом шаге рекурсии вероятность переключения в состояние ^/(т) определяется как

р0(т ),/(т ) - Р1[Н , п(т)] р0(т ),/(т), (11)

После первого переключения состояние ^1[Н п(т )]=X¡(m) уже не

может быть включено в гамильтонов путь, поэтому вероятности дальнейших возможных переключений должны быть пересчитаны по формуле

рх(т),у(т) - 0 .

(12)

1- Рх( т),/(т)

Пусть на ^Н, п(т)]-м шаге рекурсии процесс переключения из X j (т) -го состояния в X/(т)-е. Вероятность такого переключения определяется как

Р}\Н,п(т)]-j[H,п(т)]Рj(т),/(т). (13)

При j[н,п(т)]-го переключении состояние X/(т) исключается из

дальнейших формируемых гамильтоновых путей, и поэтому вероятности пересчитываются по зависимости (9), в которой у(т) - /(т).

И наконец, при ^+1)-м переключении вероятность перехода в состояние XJ(т)+1 равна единице, поскольку Xх(т), XJ(т)+1 XJ(х) и XJ(х)+1 являются предпоследним и последним состояниями п(т) -й реализации га-мильтонова пути.

В итоге вероятность выбора гамильтонова пути (8), плотность распределения времени движения по которому рассчитывается по зависимости (10), равна

J [Н ,п(т)]

рп(т)() - П р/[Н,п(т)]. (14)

¡[Н ,п(т)]-1[Н ,п(т)]

Общая плотность распределения времени достижения Xj+1 из Xj

по одному из возможных гамильтоновых путей определяется стохастическим суммированием плотностей (9):

242

(15)

N (т)

1т ()- X рп(т) 1п(т ). п(т)-1

Следует отметить, что в (15) формируется чистая плотность распределения, поскольку достижение X J (т )+1 из Xо(m) по одному из возможных гамильтоновых путей составляет полную группу несовместных событий.

Эффективность соревнования. Для оценки эффективности соревнования следует определить, для какого из участников оценивается эффективность. Без нарушения общности изложения в качестве субъекта, эффективность действий которого оценивается, может быть выбран первый участник. Он реализует стратегию, при которой контрольные пункты маршрута проходятся в естественном порядке, считающемся жестким, т.е.

Н1 - ^(Н,1> Xl(н,l),..., ^(н,1> ..., XJ(Н,l), XJ(Н,1)+1]-

- x1(1),..., ..., x J (1), x J (1)+1]. (16)

С точки зрения первого участника, его партнеры с номерами 2 £ т £ М прогладывают гамильтоновы пути случайным образом, в порядке, определенном гамильтоновым путем (4), с вероятностью, определяемой зависимостью (14). Эффективность стратегии первого участника складывается из штрафов, которые он получает от каждого из участников, поэтому для расчета общей суммы следует рассмотреть М - 1 парное соревнование. В парных соревнованиях эстафета [20, 21] по гамильтонову пути

Н1

сопоставляется с эстафетами (4) по гамильтоновым путям Нп (н т) 2 £ т £ М . Матрица штрафования имеет вид

с0(1),0[Н,п(т)](0 ... с0(1),/[Н,п(т)](0 ... с0(1)^[н,п(т)](0

с1,п(т)(' )-

с/(1),0[Н,п(т}](^) ... ci{l),i[H,n{m}]{t) ... с/(1)д[н,п(т)](0

, (17)

cJ( ),0[н,п{т)]() ... cJ(1),/[н,п(т)](') ... cJ(1),J[н,п(т)](' где с¡(1)¡[н п(т)](^) - функция распределенного штрафа, который первый

соревнующийся субъект получает от т-го участника соревнования, если первый субъект пребывает в ¡(1) состоянии (проходит / (1) -й этап эстафеты), а т-й участник пребывает в /[Н,п(т)]-м состоянии (проходит ¡[Н,п(т)] этап п(т)-го гамильтонова пути).

Парное соревнование представляет собой 2-параллельный полумарковский процесс [21], анализ которого, как и расчет суммы штрафа, может быть проведен с помощью следующей рекуррентной процедуры. При старте с состояния

^г (к) - (£ 0(н ,1) Д 0[н, п(т)]), г (к)- 0(Н,1) + 0[Н, п(т)], (18)

243

на нулевом этапе эволюции, участн проходят нулевые этапы своих дистанций. Количество переключений с этапа на этап равно г (к ) = 0, а в соревновании участвуют исходные плотности распределения. Для запуска рекуррентной процедуры необходимо сделать следующие подстановки:

0 8 оф) := /о(И ,1)(* У,

0 80(т)(*) := /о[И, п(т)](*^

(19)

где ..8 (*) - вспомогательная функция, имеющая физический смысл плотности распределения, правый нижний индекс который означает номер проходимого этапа, а левый верхний индекс - количество предыдущих переключений; := - знак постановки.

Результат соревнования выражается следующим образом: 0

Ф(* )=р0(к )Ф0(к )(* ) + р0(к )Ф0(к)(*); р0(к )Ф0(к )(* )=080(1)(* )1-0^0(т )(*)] р0(к )Ф0(к)(* )=080(т)(* )1-0^0(1)(*)

¥ Г

Р0(к)= I 080(1)(*)1-0^0(т)(*№ 0

¥ Г

Р0(к)= I 080(т)(*)1-0^0(1)(*)к

(20) (21)

(22)

где Р0(к) - вероятность того, что эволюция 2-параллельного полумарковского процесс после первого переключения пойдет по к-му сценарию; ^0(к) - вероятность того, что эволюция 2-параллельного полумарковского

процесс после первого переключения пойдет по сценарию, отличному от к-го; Ф0(к)(*) - чистая плотность распределения времени до первого переключения, если процесс развивается по к-му сценарию; ф0(к )(*) - чистая плотность распределения времени до первого переключения, если процесс

развивается по сценарию, отличному от к-го; "О (*) = |8...(х)^х .

0

Сумма штрафа, который будет начислен первому участнику от т-го, до первого переключения, если процесс пойдет по к-му сценарию, равна

¥

с0(к) = IС0(1),0[И,п(т)](*)Ф0(к)(*. (23)

0

Если эволюция рассматриваемого полумарковского процесса пойдет по к-му сценарию, то на следующем этапе рекурсии необходимо сделать следующие подстановки:

Vi(i)(t) := Л(и ,i)(t);

V°(m )(t) :=

h(t)i g°(i)(t> g°(m)(t + t)dt

(24)

J °G°(i)(t)d0Go(m)(t)

где 1gi(i)(t) - плотность распределения времени прохождения этапа Xi(i) первым участником после переключения процесса (i6) в указанное состояние; ig°(m )(t) - плотность распределения времени, оставшегося у m-го участника до завершения прохождения этапа Х°[и n(m)] [2°]; h(t) - единичная функция Хевисайда; t - вспомогательный аргумент.

Подстановки (24) позволяют продолжить анализ эволюции 2-параллельного полумарковского процесса после первого переключения.

На r-м этапе эволюции состояние 2-параллельного полумарковского процесса определяется как

SГ(k) = fei(H,i)Д/[И,n(m)]), r(k) = д)+ i[H,n(m)], (25)

а в соревновании участвуют плотности распределения r gi(i) (t), r gi(m )(t),

полученные ранее в результате подстановок, подобных (i8), (24).

В том случае, если после r переключений в соревновании побеждает m-й субъект, результат соревнования выражается следующим образом:

r j(t )=pr (k )jr (k )(t )+pr (k )jr (k )(t); (26)

pr(k)jr(k)(t)=rgi(i)(t)i -r Gi(m)(t) pr (k )jr (k )(t )= rgi(m)(t )[i-rGi(i)(t)

(27)

(k)= J rgi(i)(t)i-rGi(m)(t)

p0(k)= J rgi(m)(t)i-rGi{i)(t)

dt;

dt,

(28)

где р г (к) - вероятность того, что эволюция 2-параллельного полумарковского процесс после г переключений пойдет по к-му сценарию; рг(к) - вероятность того, что эволюция 2-параллельного полумарковского процесс после г переключений пойдет по сценарию, отличному от к-го; фг(к)(?) -

чистая плотность распределения времени до (г+1)-го переключения, если процесс развивается по к-му сценарию; фг(к)(?) - чистая плотность распределения времени до (г+1)-го переключения, если процесс развивается по сценарию, отличному от к-го.

оо

o

o

0

Сумма штрафа, который будет начислен первому участнику от т-го до первого переключения, если процесс пойдет по к-му сценарию:

Сг(к) = I,п(т)](*фг(к)('• (29)

0

На следующем этапе эволюции, развивающейся по к-му сценарию, необходимо сделать следующие подстановки:

)I + ъУ&(т)(1)&

г+Ч)(') ¥-

I Г§1{т)('У&{1)(*)

(30)

)+1(') := /[и

Пусть на (3 (И ,1)-1 + 3 [И, п(т )])-м этапе к-го варианта эволюции 2-параллельный полумарковский процесс находится в состоянии

^г(к) = (Х3(И,1)-Ъ Х3[И,п(т)]), Г(к) = 3(ИД) + 3[И,п(т)]-1, (31) причем в соревновании участвуют плотности распределения

3(ИД)+3[И,"(т)]-1 Ю[И,1)-1С), и 3(И,!)+3[И,п(тМ ^,„(тц(,), полученные ранее в результате подстановок, подобных (18), (24), (30).

В том случае, если после г переключений в соревновании побеждает т-й субъект, результат соревнования выражается как (26), где г = 3 (И ,1) + 3 [И

, п(т)] -1;

рг (к )Фг (к)(' (И ,1)-1(')1 -г ^ [И, „(т)](')]; рг (к )Фг (к )(' )=г^3 [И ,п(т)](/ (И ,1)-1(^ )];

(32)

¥ Г 1

рг(к) = I ^3(И,1)-1(')1 -Г ^3[И,п(т)](/;

0

¥

= I Ъ[И,п(т)](/Д1-^3(И,1)-1('•

(33)

рг (к)

Сумма штрафа, который будет начислен первому участнику от т-го до первого переключения, если процесс пойдет по к-му сценарию:

¥

(к) = С3(И,1)+3[И,п(т)]-1 = IС3(И,1)-1,3[И,п(т)](')Фг(к)('№ • (34)

0

Поскольку по итогам (г = 3 (И ,1) + 3 [И, п(т)]- 1)-го этапа при к-м варианте эволюции участник т первым достигает состояния X3[и п(т)]+1,

он выходит из соревнования, и далее первый участник текущий и оставшийся непройденным этап проходит без конкуренции. При завершении прохождения (3(И,1)- 1)-го этапа, он его проходит с вероятностью Рг (к)=1за время

оо

оо

0

0

¥

/(я,1Мя,и(т)]Мядн(():= о

п(') 1 (Н ,1)-1+ tYgJ [н ,„(т)](' №

¥

I Г83[Н,п(т)]('(Н,1)-1(')

= Фг(к)('), '(к) = 3(н,1) + 3[н,п(т)]. (35)

Начисляемый штраф равен

¥

Сг(к) = С3(Н,1)+3[Н,п(т)] = Iс3(Н,1)-1,3[Н,п(т)]+1 (*фг(к)(. (36)

0

При прохождении 3 (Н ,1) -го этапа, первый участник его проходит с вероятностью рг (к)=1 за время

Фг (к ) = /3(Н ,1)('), ' (к ) = 3 (Н ,1) + 3 [Н, п(т)] +1, (37)

получая штраф

¥

Сг (к) = С3 (Н ,1)+ 3 [Н , п(т)]+1 = Iс3(Н,1),3[Н,п(т)]+1^)фг(к)(?. (38)

0

Общая сумма штрафа, который получает первый участник, придерживающийся жесткого расписания (16) определяется стохастическим суммированием по вариантам эволюции соревнования, вариантам выбора га-мильтонова пути участниками и прямым суммированием штрафов, получаемых от всех участников с номера 2 до номера М:

N (т) С 3 (Н ,1)+ 3 [Н ,п(т)] 3 (Н ,1)+3 [Н, п(т)]У

I Рп(т) Прг(к) I Сг(к) . (39)

т )=1(т) ^ г (к )=1 г (к)=1 )

В дальнейшем параметр (39) может быть использован в качестве критерия оптимизации [22] стратегии поведения первого участника. Сама процедура может быть проведена, например, за счет перебора гамильтоно-вых путей, по которым может проходить дистанцию первый участник соревнований.

Заключение. Построена модель соревнования, в котором контрольные пункты проходятся в произвольном порядке и величина штрафа определяется сочетанием пунктов, в которых в настоящее время находятся участники. Показано, что в этом случае задача оптимизации стратегии поведения одного из участника может быть решена за счет изменения порядка прохождения контрольных пунктов. Дальнейшие исследования в данной области могут быть направлены как на решение общей задачи поиска оптимальных стратегий прохождения пунктов, так и на решение прикладных задач маршрутизации.

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ по проекту 19-47-710004_р_а.

М

0£= I

т=2

Список литературы

1. Pinedo M.L. Scheduling. Theory: Algorithms and systems. Springer. Science+Business media. LCR, 2016. 670 p.

2. Khodr Y.M. Scheduling Problems and Solutions (Computer Science, Technology and Application). Nova Science Pub Inc., 2012. 330 p.

3. Drozdowski M. Scheduling for Parallel Processing (Computer Communications and Networks). Springer, 2009. 386 p.

4. Gawiejnowicz S. Time-Dependent Scheduling (Monographs in Theoretical Computer Science. An EATCS Series). Springer, 2008. 380 p.

5. Haefner J.W. Parallel computers and individual-based models: an overview // Individual-based models and approaches in ecology. Chapman and Hall/CRC, 2018. P. 126 - 164.

6. Wooldridge M. An Introduction to Multi-Agent Systems. 2nd Edition. Chichester, U.K: John Wiley & Sons, 2009. 484 p.

7. An effective grid-based and density-based spatial clustering algorithm to support parallel computing // Deng C. et all. Pattern Recognition Letters. 2018. Vol. 109. P. 81 - 88.

8. Akimenko T.A., Larkin E.V. The temporal characteristics of a wandering along parallel semi-Markov chains // Communications in Computer and Information Science. 4th International Conference on Data Mining and Big Data, DMBD 2019; Chiang Mai; Thailand. Vol. 1071, 2019. P. 80-89.

9. Ching W.K., Huang X., Ng M.K., Siu T.K. Markov Chains: Models, Algorithms and Applications / International Series in Operations Research & Management Science. V. 189. Springer Science + Business Media NY, 2013. 241 p.

10. Yang T., Zhang L., Yin X. Time-varying gain-scheduling-error mean square stabilization of semi-Markov jump linear systems // IET Control Theory & Applications, 2016. Vol. 10. Iss. 11. P. 1215 - 1223.

11. Jiang Q., Xi H.-S., Yin B.-Q. Event-driven semi-Markov switching state-space control processes // IET Control Theory & Applications, 2012. Vol. 6. Iss. 12. P. 1861 - 1869.

12. Janssen J., Manca R. Applied Semi-Markov processes. Springer US, 2005. 310 p.

13. Larkin E.V., Ivutin A.N., Troshina A. Model of interruptions in Swarm unit // Advances in swarm intelligence. Proceedings of 8-th International conference ICSI 2017. Fukuoka, Japan, 2017. Part 1. P. 50 - 59.

14. Deo N. Graph theory with applications to Engineering and computer science. N.Y.: Dover Publications. 2016. 496 p.

15. Oltean M. A light-based device for solving the Hamiltonian path problem // Unconventional Computing. Lecture Notes in Computer Science. Unconventional Computing. 2006. Vol. 4135 Springer LNCS. P. 217-227.

16. Bjorklund A. Determinant sums for undirected Hamiltonicity // Proc. 51-st IEEE Symposium on Foundations of Computer Science (FOCS '10). 2010. P. 173-182.

17. Kobayashi H., Marl B.L., Turin W. Probability, Random Processes and Statistical Analysis: Cambridge University Press. 2012. 812 p.

18. Grimmett G.R., Stirzaker D.R. Probability and Random Processes. -Oxford: Clarendon Press, 2001. 608 p.

19. Bielecki T.R., Jakubowski J., Niew^glowski M. Conditional Markov chains: Properties, construction and structured dependence // Stochastic Processes and their Applications. V. 127. N. 4. 2017. P. 1125-1170.

20. Ivutin A.N., Larkin E.V. Simulation of Concurrent Games // Bulletin of the South Ural State University. Series: Mathematical Modelling, Programming and Computer Software. Chelyabinsk. 2015. Vol. 8. № 2. P. 43 - 54.

21. Larkin E.V., Ivutin A.N., Kotov V.V., Privalov A.N. Simulation of Relay-races // Bulletin of the South Ural State University. Mathematical Modelling, Programming & Computer Software. 2016. Vol. 9. No 4. P. 117 - 128.

22. Gupta C.B. Optimization techniques in operation research, 2nd Kindle edition. I.K. International Publishing House, 2012. 386 p.

Ларкин Евгений Васильевич, д-р техн. наук, профессор, заведующий кафедрой, elarkinamail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Привалов Александр Николаевич, д-р техн. наук, профессор, privalov. 6lamail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный педагогический университет им. Л.Н. Толстого

MODEL OF PLURAL COMPETITION ALONG A DISENGAGED SELECTED ROUTES

E. V. Larkin, A.N. Privalov

Semi-Markov model of classic scheduling problem is worked out. Problem implies definition of checkpoints passing succession, which minimizes forfeit of one of participant which he receives from other competition subjects. It is shown, that semi-Markov process evolution develops along the Hamiltonian path. It is noted that due to restrictions, imposed onto routes, an evolution process is not strong semi-Markov one, so for estimation of competition effectiveness it should be transformed. Dependences of recalculation of primary model probabilities to strong semi-Markov process probabilities are obtained. The analysis of plural competition along Hamiltonian routes is executed and dependencies for calculation of forfeit calculation for competition under investigation are obtained.

Key words: competition, route, Hamiltonian path, semi-Markov process, forfeit, stochastic summation, waiting function.

Larkin Eugene Vasilyevich, doctor of technical sciences, professor, head of chair, elarkina mail. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Privalov Alexander Nikolaevich, doctor of technical sciences, professor, privalov. 6la mail.ru, Russia, Tula, Tula State Pedagogical University L.N. Tolstoy