CC BY
63_TECHNICAL SCIENCE / <<ШУк©ЗДиМ"^©иГМ&1>>#Щ19)),2(0]9
УДК 532.5.031
Королева Ю. О., Королев А.В.
Российский государственный университет нефти и газа (НИУ) имени И.М. Губкина
DOI: 10.24411/2520-6990-2019-10460 МОДЕЛЬ ХЕРШЕЛА-БАКЛИ ТЕЧЕНИЯ КРОВИ ПО СОСУДАМ С ШЕРОХОВАТЫМИ
СТЕНКАМИ
Koroleva Yu. O., Korolev A. V.
Russian Gubkin State University of Oil and Gas (National Research University)
HERSCHEL-BULKLEY MODEL OF BLOOD FLOW THROUGH VESSELS WITH ROUGH WALLS Аннотация
Рассматривается модель Хершела-Бакли, описывающая течение крови по капиллярам со сложной геометрической структурой, а именно в присутствии шероховатостей. Для стационарного течения получены точные формулы и априорные оценки на соотношение скорости, вязкости и напряжения. Сравнивается поведение потока при различных предельных соотношениях между диаметром капилляров и периодом шероховатости. Abstract
We consider Herschel-Bulkley model describing the bloodflow through vessels with a rough microstructure. Precise analytical formulas and some apriori estimates on relation between velocity, viscosity and stress offlow were derived for stationary case. We compare different flow regimes depending on relation between vessels' diameters and roughness period.
Ключевые слова: гемодинамика, модель Хершела-Бакли, малый параметр, переменная вязкость, неньютоновская жидкость
Key words: hemodynamics, Herschel-Bulkley model, small parameter, variable viscosity, non-newtonian
fluid
1. Введение оценки, позволяющие понять взаимное влияние ха-Данная статья изучает математическую поста- рактеристик потока друг на друга и влияние шеро-новку задачи о течении крови по сосудам с особен- ховатости. Анализируются 3 типа возможных ше-ной микрогеометрией. Анализ схожих задач можно роховатостей стенок капилляров, и в каждом из найти, например, в [1-3, 6]. Было установлено, что случаев делается вывод о поведении потока. Одной течение крови в тонких капиллярах нельзя описать из особенностей данной задачи является наличие лишь моделью для Ньютоновской жидкости. В при- вязкости, меняющейся в зависимости от радиуса. стеночных областях течение крови обладает иными Общие методы априорных оценок для задач гидрореологическими свойствами. Это связано с тем, что динамики с переменной вязкостью были разрабо-концентрация твердых тел (эритроцитов), раство- таны авторами в [4,5]. Для анализа влияния шеро-ренных в плазме, значительно снижается вблизи ховатости получена асимптотическая формула, ко-стенки капилляра. Для математического анализа та- торая подтверждается численными расчетами. кого течения будет использована модель Хершела- Выявлено, что при частой осцилляции границы Бакли. скорость также значимо осциллирует. С увеличе-Новшество данной задачи заключается в ана- нием порога критического напряжения, а также при лизе поведения потока в зависимости от микрогео- увеличении вязкости скорость течения крови сни-метрии капилляров. В работе получены аналитиче- жается. ские формулы для скорости, а также выведены
Уменьшение пристеночной области влечет уменьшение скорости потока.
Г L
"V R?£r<R(z) ^ Rp
• 0 <r<R,
\ J
/
Рис. 1
<<ШУ1©ЗДиМ"^©иГМ&1>>#Щ19)),2(0]9 / TECHNICAL SCIENCE_
2. Постановка задачи
Рассмотрим двухфазную модель течения крови переменной вязкости в тонких капиллярах цилиндрической формы ^ = {(z, г), 0 < z < l, 0 < г < r(z)}, где r(z) = k& {z) - граница шероховатой поверхности капилляров, Рис. 1. Для упрощения будем рассматривать стационарное симметричное продольное течение вдоль стенок, вызванное постоянным градиентом давления, считая, что лишь одна компонента
скорости отлична от нуля: иг = U^ = 0, Uz = Uz (г). Будем обозначать ненулевую компоненту скорости и (г). Данная двухфазная модель математически описывается системой уравнений Хершела-Бакли
ди Л
т = ту + {ju{r)}n I-— , если т > Ту Rp(ху) < r < R(z) (1)
дг
ди
= 0, если т < т ,
дг у
0 < r < Rp (ту)
(2)
ния:
и общим уравнением состояния жидкости, из которого для стационарного случая получаем уравне-
др др 2 8 , ч -£— = 0, +--(гт ) = 0
8г 8х г 8г
Здесь и - скорость потока, р давление, Т - напряжение, Т - критическое напряжение, задающее предел текучести, при переходе через который поток становится неньютоновским, р,(г) - неньютоновская вязкость, п > 1- индекс потока. При п = 1 и Т = 0 поток становится ньютоновским. Граница раздела
двух фаз Кр (Ту) зависит от предельного значения напряжения условия выбраны следующим образом:
(I) Т конечно при г = 0
(II) и = 0 при Г = Я(2)
(III) р (°) = Рo, р (Ь) = рь.
В области П^ = {(г,г), 0 < 7 < Ь, 0 < г < Яр(ту)}
ту : т(Rp (ту Xz) = ту • Граничные
где концентрация эритроцитов велика, те-
чение является ньютоновским, при этом скорость не зависит от радиуса. 3. Априорные оценки и аналитические формулы
Для скорости потока справедливо неравенство Фридрихса, доказанное в [6]:
R( z)
R( z),
ди Л
J и 2dr < max{2Rp (R(z) - Rp ),(R(z) - Rp )2} Jl-
0 R v дГ У
dr
(3)
0 Кр
Непосредственно из неравенства Фридрихса получается следующая оценка на скорость в зависимости от вязкости и напряжения:
*(Г )||
IL2(0,R( z ))
< C
(^т -fr J
^(r)
C = max{2Rp(R(z)-Rv),(R(z)-Rv)2}. (4)
Кр ,К (г))
Неравенство (4) говорит о том, что скорость потока уменьшается с увеличением вязкости, а также при приближении напряжения к критическому значению Ту. Однако, при увеличении толщины
пристеночного слоя [Кр, К(г)] скорость может расти. Таким образом, параметр Ту, от которого
зависит размер пристеночной зоны, также влияет на решение: чем меньше Ту, тем скорость больше.
1
2
_TECHNICAL SCIENCE / <<ШУк©ЗДиМ"^©иГМ&1>>#Щ19)),2(0]9
Выведем аналитическую формулу скорости течения. Используя граничное условие u(R(z), z) = 0
и формулу Ньютона-Лейбница, для Rp < r < R(z) справедливо представление
R (z)
du
u(r, z) = —u(R( z), z) + u(r, z) = J--dr.
J г\г*
dr
В силу (1) получаем, что
du 1 / \n ^ ^ ч
—¥=iöö(т—для Rpä r<R(z)-
Комбинируя (5) и (6), выводим формулу для скорости
R (z) ^
u(r, z) = Г -—- (т — тЛ" dr для Rp< r < R(z). J ^(r) v y 7
(5)
(6)
(7)
dp
Обозначив через р = — известный градиент давления, интегрируя уравнение состояния, полу* дх
чаем
Г ( d Л r2 p
0 =1 rps +--(гт) dr = — ps + rx(r,z) ^ r(r,z) =---r.
J l dr 9 ^
(8)
о V д У
Подставляя формулу напряжения в (7), выводим формулу для скорости в зависимости от известного градиента давления:
я(?) 1 ее г, л Л"
(z) y
u(r, z) = Г —
r ^(r)
dr при R < r < R(z).
(9)
Из условия (2) следует, что и не зависит от Г в 0 ^ Г ^ Яр. Кроме того, в силу гладкости решения,
должно выполняться условие согласования скоростей на границе раздела Г = Яр. Применяя (8) находим, 2т
что R = ■
Р-
-. Отсюда следует, что в области Q
R(z) j
u = Г -
— Р-
ff
—r
Ps
w
— т.
dr
(10)
Важными характеристиками течения также является количество потока, проходящего через сечение:
R(z) rp R(z) ^
Q = 2n J rudr = 2п J* r J -
0 0 R, H(r)
fR„
R( z)
' rP° ТЛ
—rT—т y
R(z) R(z)
drdr + r -
RJ J ^(r)
—rT—т y
drdr
и сопротивление крови в ячейке периодичности:
л _р0 — рь
I: Л = ———.
Из двух последних формул видно, в частности, что количество потока уменьшается с увеличением вязкости, тогда как сопротивление увеличивается. 4. Анализ влияния шероховатости
Пусть малый параметр 0 < 8 □ 1 отвечает за радиус капилляра, у(е) - длина периода осцилляций, которая также мала и стремится к нулю при е ^ 0.
Введем еще один параметр: к = Нт-. В зависимости от значения к можно выделить различные
у(е)
типы шероховатостей:
0 < к <ж — «средние осцилляции» - малость периода шероховатостей сравнима с малым радиусом капилляра;
к = 0 — «малые осцилляции» - радиус капилляра много меньше периода шероховатости; к = ж — «высокочастотные осцилляции» - период шероховатости много меньше радиуса капилляра.
r
r
"
<<ШУ1©ЗДиМ"^©иГМ&1>>#Щ19)),2(0]9 / TECHNICAL SCIENCE_
Учитывая аналитическую формулу (10) для скорости течения, можно получить зависимость от типа шероховатости:
z
sho( z )+eh£
u
,(e)
f — (rp - T )" dr, 0 < Z < 1, p = - p.
i ^(r)(P y) , , P 2
Применяя формулу Лагранжа, оценим скорость в зависимости от параметров £ и v(e):
(
u <s
h0(z)+
hc
л
v
(£)
max-
(rp_-TyT ^(r)
Поскольку и (г) ограниченные функции, моделирующие границу К(г), то в пределе при
8 ^ 0 справедлива асимптотическая формула:
u « к max
(rP - Тy )
Опишем данные численного анализа скорости течения в пристеночной области. Для этого выберем частные случаи периодов, отвечающие всем типам шероховатостей: v(8) = 8, v(8) = л/8, V(8) — 8 . В
^ z .Г Z ^
= sin
качестве функции, описывающей неровность стенок капилляра, примем
У(8) ) У(8)
расчетов взята вязкость со степенной зависимостью от радиуса капилляра: Р-(г) = Г .
. Для
Анализируя эффект присутствия шероховатости, можно увидеть, что поведение скорости схоже с поведением осцилляций: при малых осцилляциях скорость растет медленно, при средних осцилля-циях изменение скорости происходит быстрее. Более значимо присутствие высокочастотных осцил-ляций: скорость также становится часто осциллирующей функцией. Численные расчеты показывают,
что с увеличением критического напряжения ту,
скорость потока существенно уменьшается, что согласуется с оценкой (4). Поскольку количество потока Q пропорционально скорости, то аналогичные выводы можно сделать о влиянии шероховатости на величину ^. Для сопротивления крови X
картина обратная: с увеличением осцилляций сопротивление также осциллирует, но в обратном направлении, малые и средние шероховатости приводят к доминирующему уменьшению сопротивления. Анализ зависимости скорости от радиуса в пристеночной области для различных типов шероховатостей показывает, что с увеличением радиуса (то есть при уменьшении пристеночной зоны) скорость уменьшается, причем размер шероховатости влияет на скорость убывания функции. Частые осцилляции приводят к быстрому снижению скорости. Таким образом, численный анализ полностью подтверждает асимптотическую формулу (11).
Работа выполнена при финансовой поддержке грантов РФФИ (проект 18-31-00311) и гранта Президента РФ для молодых ученых (проект MK-5870.2018.1).
Список литературы
1. Медведев А. Е. Уравнение состояния крови при течении в мелких сосудах, Известия Алтайского Государственного Университета, Математика и Механика. - 2012. - № 1-1 (73). - С. 92-94
2. Медведев А. Е. Двухфазная модель течения крови, Российский журнал биомеханики. -2013. - Т. 17, № 4. - C. 22-36
3. Sankar D. S., Hemalatha K. Pulsatile flow of Herschel-Bulkley fluid through stenosed arteries - A mathematical model, International Journal of Non-Linear Mechanics, 2006, №. 41., pp. 979-990.
4. Koroleva Yu. O. Qualitative properties of the Solution to Brinkman-Stokes system modelling a filtration process, Mathematics and Statistics, 2017, V. 5 (4), pp. 143-150.
5. Filippov A. N., Koroleva Yu. O. Viscous flow through a porous medium filled by liquid with varying viscosity, Buletinul Academiei de §tiin]e al Republicii Moldova, Matematica, 2017, vol.3, pp.74-87.
6. Koroleva Y. O. On some properties of solution to Herschel-Bulkley and Casson's models of blood flow, Вестник современных исследований, 2018, 23-8(1), С. 344-349.
s
