Модель гребневого счета на основе топологии дактилоскопического изображения Текст научной статьи по специальности «Математика»

МОДЕЛЬ ГРЕБНЕВОГО СЧЕТА НА ОСНОВЕ ТОПОЛОГИИ ДАКТИЛОСКОПИЧЕСКОГО ИЗОБРАЖЕНИЯ

Предлагается новая модель дробного гребневого счета для изображений отпечатков пальцев на основе топологических векторов частных признаков. Векторы гребневого счета, вычисляемые при построении модели, сохраняют в шаблоне изображения вместе с частными признаками изображения. Шаблоны используют для идентификации изображений.

Ключевые слова: отпечаток пальца, топологические векторы, частные признаки, дробный гребневый счет.

Введение

В компьютеризированных системах (КС) верификация и идентификация дактилоскопических изображений (ДИ) обычно выполняется на основе шаблонов. Шаблон — это набор компактных формальных конструкций [8], например, для частных признаков: разветвлений и окончаний. Их обычно детектируют по скелету линий (рис. 1) как стилизованному представлению ДИ [2; 6; 7]. Процедура идентификации ДИ рассматривает шаблон в виде математической модели ДИ [4-5]. В настоящее время существуют различные модели, предназначенные для уменьшения количества ошибок идентификации личности человека, однако не известно ни одной лучшей, а тем более свободной от недостатков модели [1; 6; 8; 9].

Рис. 1. Скелет и частные признаки ДИ

1. Гребневый счет

В дактилоскопии при сравнении узоров обычно опираются на частные признаки и гребневый счет между ними [4]. Такой подход нашел отражение не только при реализации КС различного назначения, но и в стандартах, требующих его выполнения [6]. Однако гребневый счет, который в криминалистике предписывается измерять по прямой линии между двумя частными признаками, как дискретная случайная величина X с целочисленными значениями характеризуется неустойчивостью. Виной тому вероятностный характер биометрической характеристики [7], противоречащий существующей концепции измерения гребневого счета. Это очевидно, если не отрицать сильную зашумленность ДИ. Однако есть и другие факторы, проявляющиеся в различных операционных условиях и не объясняемые только шумом [6].

При следообразовании отпечатка пальца частные признаки могут мутировать. При мутации окончание залипает в разветвление, а разветвление разрывается в окончание. Это часто встречающая мутация первого рода [2]. Тип частного признака — окончание и разветвление — не всегда помогает ее учесть даже при тривиальных перестройках узора. Например, на рис. 2 значение 3 гребневого счета преобразуется в значение 2 при залипании окончания V в разветвление (суммируется число переходов с линии на линию). При подобной мутации окончания и гребневый счет становится существенно различным.

Рис. 2. Мутация первого рода и изменение гребневого счета между окончаниями

Кроме того, наблюдается зависимость значения гребневого счета от кривизны линий [2; 9]. Особенно сильно такая зависимость заметна, если гребневый счет определяется вдоль линий. Действительно, даже при небольшой деформации изображения кривизна линий меняется. На рис. 3 измеряемое по пунктирной линии значение х гребневого счета чувствительно к деформации, приводящей к выпрямлению линий узора.

Рис. 3. Неустойчивость гребневого счета в области значительной кривизны

линий

Также влияют другие эффекты следообразования, которые деформируют узор при сохранении хорошего качества изображения. Это и смещение частных признаков вдоль линий [8], и появление «мертвых зон» вблизи частных признаков [7], и неопределенность выбора компактного множества частных признаков при измерении гребневого счета [4], и зависимость гребневого счета от ориентации линий узора [9].

Таким образом, вероятностный характер биометрической характеристики необходимо учитывать в процедуре идентификации ДИ, например, за счет расширения допусков на отклонения дискретной случайной величины X. Платить за это приходится увеличением ошибок идентификации.

2. Модель нового гребневого счета

Гребневый счет опирается на частные признаки, множество которых находится в виде

Ьт = {Мг = {{Хг,Уг),а,г,и} \г € 1..п} , (1)

где Мг — индексированный номером г частный признак; (хг, уг), аг, £г — координаты, направление и тип частного признака; п = \Ьт\ — мощность. Частные признаки детектируются в информативной области изображения, которая на рис. 1 затемнена.

Координаты (хг,уг) определяют как координаты вершины скелета [1]. Направление а как угол определяют на основе простой цепи вершин скелета для окончания и трех простых цепей для разветвления. Оно указывает на область увеличения числа линий (рис. 2). Тип £ € {0,1} частного признака вычисляют по валентности вершины скелета как вершины графа [3].

2.1. Топологические векторы

Модель топологических векторов частных признаков Ь,€ находится на основе множества Ьт (1) в виде

^ = {V = {(в;, п)} \г € 1 ..п, ] € / = 1..т} , (2)

где V — топологический вектор частного признака; п — мощность множества, п = \Ьу\ = \Ьт\; г — индекс как номер топологического вектора; ] — номер связи; ej — событие, сформированное частным признаком с номером п;; т — число связей при глубине сечения, равной д линиям, и

Г 4д + 1, если £г € {1} — окончание, (3)

[ 4д + 3, если £г € {0} — разветвление.

Опишем процедуру построения топологических векторов.

В информативной области ДИ выделяют линии, строят скелет и детектируют два типа частных признаков: окончания и разветвления (рис. 1). Направление частного признака М указывает на область увеличения числа линий и параллельно касательной к изображению папиллярной линии. Каждый частный признак нумеруют. Затем от каждого частного признака фиксируют две проекции:

вправо и влево от перпендикуляра к его направлению на смежные скелетные линии. На рис. 4 проекции показаны пунктиром, а две соответствующие вершины

скелета на линиях 1 и 2 отмечены.

1 —

-----—«ц

2-------*-

Рис. 4. Проекции для окончания и разветвления

Выберем вершину р скелета, соответствующую частному признаку Ы^, и проведем через ее координаты (Хг,Уг) вправо и влево сечение на глубину нескольких линий д перпендикулярно касательным к пересекаемым линиям. Пронумеруем по спирали, разворачивающейся по часовой стрелке, рассеченные линии, которые назовем связями. Сечение проходит, изгибаясь и отслеживая направление кривизны линий [5]. Глубина сечения д варьируется от одной до восьми линий вправо и так же влево. Одна линия в сечении образует две связи, общее число которых рассчитывается по (3).

Топологический вектор V определяют по сечению методом слежения за ходом каждой связи от сечения до встречи с другим частным признаком, расположенным на связи, или с проекцией от него на связи. При этом на связях детектируются события, показанные на рис. 5 и означенные числом в двоичном коде.

: 101 0010

С событием как числом (их всего 14), детектированным на связи, ассоциируют номер частного признака, инициирующего это событие. Событие привязано к номеру связи. Для событий 0000 и 1100 номера частных признаков отсутствуют: линия либо обрывается в неинформативной области, либо замыкается и на линии нет ни частного признака, ни проекции. Событие и номер частного признака образуют упорядоченную пару (ej ,nj), соответствующую ]-й связи.

Определение 1. Топологическим вектором V называют нумерованный набор связей с упорядоченными парами (ej ,nj).

Рис. 5. События

Местоположение бита в событии определяет тип частного признака, его направление и местоположение по отношению к направлению хода связи и др. (рис. 5). Топологический вектор строят для каждого частного признака.

На этом построение топологических векторов завершается. Способ кодирования отпечатка папиллярного узора защищен патентом [5].

На рис. 6 в сечении глубиной в четыре линии для окончания 19 пронумерованы связи 0-16, а соответствующий топологический вектор представлен в табл. 1. Подобное сечение для разветвления 19 показано на рис. 7, а топологический вектор, образованный связями 0-16, представлен в табл. 2. Сечения показаны пунктиром. Они разрезают линии на связи, пронумерованные по спирали, разворачивающейся по часовой стрелке. Рисунки представляют обычную мутацию окончания 19 в разветвление 19.

Рис. 6. Сечение для окончания Рис. 7. Сечение для разветвления

Сопоставительный анализ способа построения топологических векторов с методом Sparrow [9] позволяет выявить ряд преимуществ. Во-первых, сечение строится по кривой, отслеживающей направление кривизны линий, а не по прямой линии. Во-вторых, при вычислении события учитывается проекция от частного признака, что в случае его мутации предотвращает потерю информации в виде пропуска события при прослеживании связи. В-третьих, нумерация связей разворачивается по спирали без пропуска связей, что позволяет наращивать сечение с сохранением содержимого общей части укороченного и удлиненного векторов. В-четвертых, число независимых событий увеличено. Это повышает устойчивость и информативность топологических векторов.

Табл. 1. Топологический вектор окончания

Номер связи Событие Индекс

0 1110 22

1 0001 21

2 1110 23

3 1001 24

4 1111 22

5 0011 21

6 1111 23

7 1010 24

8 0010 25

9 0010 21

10 1010 20

11 1010 26

12 0011 25

13 - -

14 1001 20

15 1111 27

16 0001 25

Табл. 2. Топологический вектор разветвления

Номер связи Событие Индекс

0 1001 24

1 1111 22

2 1110 22

3 0001 21

4 1110 23

5 1010 24

6 0010 25

7 0011 21

8 1111 23

9 1010 26

10 0011 25

11 0010 21

12 1010 20

13 1111 27

14 0001 25

15 - -

16 1001 20

2.2. Векторы гребневого счета

Недостатки классического гребневого счета преодолеваются в модели гребневого счета на основе топологических векторов. Модель гребневого счета Ьг основана на модели К по (2) в виде

Ьг = {Еі = {{ти, ии)} | і Є 1..п, к Є 1..і} , (4)

где Еі — вектор гребневого счета частного признака как упорядоченное по индексу к множество упорядоченных пар {ти ,пи); п — мощность множества, п = | Ьг | = | К |; і — индекс как номер вектора гребневого счета; к — номер связи; і — число связей, равное числу частных признаков в векторе Еі; ти — величина гребневого счета, а пи — номер частного признака по (1) на к-й связи. Опишем процедуру построения векторов гребневого счета.

На основе К по (2) рассчитываются вспомогательные топологические векторы в виде множества

К = {К = {{е],Щ,т])} 1 г Є 1..п,3 Є J =1..т} , (5)

где Т] — значение гребневого счета на і-й связи и

тз = сз + / {і,ез); (6)

С] — число переходов с линии на линию до і-й связи в сечении для топологического вектора V по (2); функция / определяет величину коррекции т^ в зависимости от номера связи і и события е].

Пусть очередной по порядку к-й частный признак в векторе Уі; встречается N раз и номер его к = п]. Тогда можно рассчитать среднюю величину гребневого

счета в виде

т*=N £т• (7)

=Н

соответствующую частному признаку Мп. в векторе Уі;. Число і таких средних величин равно числу частных признаков в векторе У(. Вектор гребневого счета определяют в виде

Еі = {{ти, пи) | і Є 1..п, к Є 1..і} ,

где каждой к-й связи соответствует упорядоченная пара {ти, пи), где пи — номер частного признака, для которого вычислено ти, и пи = п. Число связей і по (4) не превышает число связей т по (3).

Определение 2. Вектором гребневого счета Еі называют нумерованный набор связей с упорядоченными парами {ти, пи).

Связи могут быть упорядочены по углу в полярной системе координат, ориентированной по направлению частного признака Мі, для которого определяется вспомогательный вектор У(. В этом случае порядок перечисления частных признаков подобен [4], но число их существенно меньше и полностью определяется структурой фрагмента изображения, а не геометрическим допуском на расстояние.

2.3. Расчет функции коррекции

Применение вспомогательного топологического вектора по (5) позволяет уточнить значение т^ гребневого счета. Определим множества «левых» и «правых» проекций в виде перечисления событий:

К = {1110,1010,0110, 0010},

Е = {1101,1001,0101,0001} .

Определение 3. Основной линией называют линию, на которой располагается частный признак, образующий вектор гребневого счета Еі.

Зададим множество О* связей основной линии для окончания Оі = {0} и разветвления О0 = {0,1, 2}, где і Є {0,1} — тип частного признака по (1).

Построим четыре множества связей Ql, Q2, Q3 и Q4 по четырем квадрантам в системе координат, ориентированной по направлению частного признака Мі. Это криволинейная система координат, ось ординат которой изгибается по сечению топологического вектора, а ось абсцисс — по основной линии. Для окончания на рис. 6 и разветвления на рис. 7 эти множества связей представлены в табл. 3.

Табл. 3. Множества связей в квадрантах

Окончание

Разветвление

а = Н 8,12,16} 01 = {6,10,14}

02 = {3,7,11,15} 02 = {5.9.13}

а = Р, 6,1 ОД 4} д3 = {4,8,12,16}

Оа = {1,5,9,13} Ол - 13,7.11,15!

Опираясь на множества Ь, Л, ф*, ф2, ф3 и ф4, функцию коррекции

значения гребневого счета можно записать в виде

/С?,е,) = 0, 5 ),

(8)

где

81§пС7, е,) = <

+ 1, если е, е ь л ? е ,

-1, если е, £ Л л е Фъ

-1, если е, е ь л е ф2,

+ 1, если е, е л л е ф2,

+ 1, если е, е ь л е ф3,

-1, если е, е л л е ф3.

-1, если е, е ь л е ф4,

+ 1, если е, е л л ? е ф4,

+ 1, если

(9)

Функция коррекции по (8) для каждой проекции на связи добавляет или вычитает половину перехода с линии на линию в сечении для вспомогательного топологического вектора по (5). Знак коррекции по (9) определяется направлением проекции. Если событие е, соответствует проекции, приближающей частный признак Мп. к основной линии со связями из О*, то знак коррекции отрицательный, иначе — положительный. Интуитивно это кажется понятным. Но результат расчета по (7) приводит к дробным значениям. Действительно, функция коррекции и расчет средних величин помогают перевести значения гребневого счета в дробные числа. При мутациях изменение гребневого счета остается либо таким же, как и при классическом подходе, либо уменьшается. Этот положительный эффект иллюстрирован в табл. 4 и 5, в которых приведены результаты расчета вектора гребневого счета для окончания 19 на рис. 6 и разветвления 19 на рис. 7. Частные признаки в таблицах упорядочены по углу в полярной системе координат, что соответствует подходу Шмакова [4]. Из таблиц видно, что для одноименных частных признаков изменение гребневого счета Дг при мутации первого рода не превышает единицы. Расчет величин Дг сведен в табл. 6.

Если мутациям подвержены частные признаки, находящиеся на связях, то изменение гребневого счета, меньшее единицы, встречается чаще. Например, если разветвление 21 на рис. 6 разорвется в окончание между 5-й и 9-й связями, а на рис. 7 сохранится, то Дг = 0,5 < 1; для классического гребневого счета Дг = 1.

Табл. 4. Вектор гребневого счета Табл. 5. Вектор гребневого счета

окончания разветвления

Номер связи Гребневый счет Индекс

0 0,(3) 22

1 2 25

2 3 27

3 1,5 26

4 0,5 24

5 і—‘ ил 23

6 3,5 20

7 2 21

Номер связи Гребневый счет Индекс

0 0,75 22

1 3 25

2 4 27

3 2,5 26

4 1,5 24

5 1,75 23

6 3,5 20

7 2 21

Табл. 6. Изменение гребневого счета в векторе при мутации окончания в разветвление

Изменение Индекс

гребневого счета

0,41(6) 22

1 25

1 27

1 26

1 24

0 23

0 20

0 21

Укажем преимущества дробного гребневого счета, вычисляемого на основе топологических векторов. Во-первых, при мутациях частных признаков как на основной линии, так и на связях, дробный гребневый счет позволяет уменьшить изменения его значений. Во-вторых, значения гребневого счета не зависят от кривизны линий, так как исключен механизм его измерения вдоль прямой. В-третьих, значения гребневого счета вдоль линий и перпендикулярно им измеряются одинаково устойчиво. В-четвертых, множество частных признаков в векторе гребневого счета однозначно определяется топологической структурой узора, а не условными радиус-векторами и т.п. механизмами. В-пятых, вектор гребневого счета устойчив к деформации изображения, искажающей кривизну линий, так как наследует положительные свойства топологического вектора. В-шестых, как и классический гребневый счет, вектор гребневого счета инвариантен к масштабу и повороту изображения.

Указанные преимущества повышают устойчивость и информативность векторов дробного гребневого счета.

3. Заключение

В работе предложены две математические модели ДИ на основе топологических векторов и векторов дробного гребневого счета. Несмотря на различное целевое назначение каждой из двух моделей указывается их общее свойство: модели используют топологическое описание ДИ. Как следствие, такие модели более полно описывают изображение по сравнению с моделями, предлагавшими-

ся ранее [4; 8; 9]. Впервые под значением гребневого счета понимается дробное число.

Платой за указанные преимущества является повышенная сложность расчета моделей. Однако модели содержат механизмы, компенсирующие влияние мутаций частных признаков, деформации изображения и кривизны линий. Это повышает устойчивость шаблона ДИ.

Дальнейшее направление развития видится в синтезе математических моделей, ориентированных на представление ДИ в виде векторов гребневого счета линий, а не частных признаков, с дробным гребневым счетом. Такие исследования помогут реализовать механизмы индексирования ДИ, многократно ускоряющие процедуры идентификации изображений отпечатков пальцев.

Список литературы

1. Гонсалес, Р. Цифровая обработка изображений / Р. Гонсалес, Р. Вудс; пер. с англ. под ред. П. А. Чочиа. — М. : Техносфера, 2006. — 1072 с.

2. Гудков, В. Ю. Методы первой и второй обработки дактилоскопических изображений : монография / В. Ю. Гудков. — Миасс : Геотур, 2009. — 237 с.

3. Новиков, Ф. А. Дискретная математика для программистов / Ф. А. Новиков. — 3-е изд., перераб. и доп. — СПб. : Питер, 2006. — 384 с.

4. Пат. 2054197 Российская Федерация, МПК G 06 K 9/46. Способ кодирования отпечатка папиллярного узора / В. Л. Шмаков. — № 5061547/09; заявл. 03.09.1992; опубл. 10.02.1996; Бюл. № 4. — 21 с.

5. Пат. 2321057 Российская Федерация, МПК G 06 K 9/52, A 61 B 5/117. Способ кодирования отпечатка папиллярного узора / В. Ю. Гудков. — № 2006142831/09; заявл. 04.12.2006; опубл. 27.03.2008; Бюл. № 9. — 13 с.

6. Ушмаев, О. С. Методы и инструментальные средства разработки мультибиомет-

рических систем двойного применения : автореферат дис. . . . д-ра техн. наук /

О. С. Ушмаев. — М. : Цифровичок, 2009. — 42 с.

7. Gudkov, V. U. Mathematical models of fingerprint image on the basis of lines description / V. U. Gudkov // GraphiCon’2009 : Conf. proc. — 2009. — P. 223-227.

8. Maltoni, D. Handbook of fingerprint recognition / D. Maltoni [et al.]. — N.-Y. : Springer-Verlag, 2003. — 348 p.

9. Pat. 5631971 USA, Int.Cl. G 06 K 9/00. Vector based topological fingerprint matching / M. K. Sparrow (Winchester). — Field: Jul. 15, 1994; Date of patent: May. 20, 1997; U.S.Cl. 382/125. — 17 p.

10. Sparrow, M. K. A topological approach to the matching of single fingerprints: development of algorithms for use on latent finger marks / M. K. Sparrow, P. J. Sparrow // US dep. comer. nat. bur. stand. spec. pub. — 1985. — № 500-126. — 61 p.