CC BY
17
Б01: 10.24412/2413-2527-2021-428-28-33
Модель формирования вероятного кода числа на основе стохастических вычислений
О. А. Турдиев
Петербургский государственный университет путей сообщения Императора Александра I
Санкт-Петербург, Россия о&У ап.шМ1еу@таЛ. ги
Аннотация. Для формирования модели контрольных сумм вероятного кода числа использовался стохастический метод, включающий в себя генератор псевдослучайных чисел, в том числе параллельный генератор псевдослучайных чисел, и кодов вероятности. Основная цель модели — уменьшение сложности вычислений при формировании контрольных сумм. Для получения достоверных данных о показателях модели PNC создано программное приложение на языке высокого уровня.
символов, выходы которых вырабатывают очередное двоичное число в каждом такте работы схемы (рис. 1).
Ключевые слова: псевдослучайных чисел,
параллельный генератор вычислительная сложность, порождающий полином, циклический избыточный код, вероятный код числа, пакетные ошибки, целостность данных.
Введение
В настоящее время существует тенденция развития энергосберегающих технологий. Известно, что большой объем вычислений приводит к существенным затратам энергии. В результате актуальными являются исследования по снижению вычислительной сложности моделирования обработки данных.
Создание высококачественных, быстродействующих и достаточно простых алгоритмов формирования контрольных сумм с помощью параллельного генератора случайных чисел (ПГСЧ) является одной из основных проблем передачи данных с помощью низкочастотных энергосберегающих систем. От решения этой проблемы в конечном счете зависит успех построения модели вероятного кода числа PNC (Probable number code), так как характеристики ПГСЧ во многом определяют параметры PNC [1].
В сетях передачи данных важным показателем является достоверность и корректность входящих и исходящих потоков. Существует множество моделей и методик для контроля и формирования передаваемых данных с помощью добавления контрольных сумм к пакетам данных. Эти модели позволяют обнаружить ошибки, а также обработать полученные и отправленные данные в целях обеспечения достоверности. В статье предлагается модель формирования контрольных сумм PNC для проверки целостности данных на основе стохастических вычислений [2, 3]. Это обеспечивает существенное снижение сложности.
Краткое описание параллельного генератора
псевдослучайных чисел
Для достижения максимального быстродействия генератор случайных чисел (ГСЧ) обычно использует параллельный принцип формирования случайных последовательностей. Для этого в схему ПГСЧ включается необходимое число автономных генераторов случайных двоичных
Рис. 1. Схема ПГПСЧ
По такому же принципу может быть построен и параллельный генератор псевдослучайных чисел (ПГПСЧ). В этом случае для генерирования /-разрядных двоичных чисел требуется /-генератор псевдослучайных последовательностей максимальной длины [4].
Существует еще один способ построения ПГПСЧ. В основе его лежит идея использования в качестве независимых последовательностей, формируемых в разрядах ГПСЧ, различных участков одной и той же псевдослучайной последовательности максимальной длины. Преимущество этого способа заключается в том, что одновременное генерирование различных участков этой последовательности можно осуществить с помощью несложных схем — дополнительного набора сумматоров по модулю 2. На выходах этих сумматоров генерируются идентичные, но сдвинутые относительно друг друга псевдослучайные двоичные последовательности, образуя псевдослучайные двоичные числа V = х>1, р2,..., .
Основой построения такого ГПСЧ является свойство «сдвига и сложения». Согласно этому свойству, при поразрядном сложении по модулю 2 символов последовательности максимальной длины с символами этой же последовательности, сдвинутой относительно исходной на г символов, получается та же самая последовательность, но сдвинутая относительно исходной последовательности на 5 Ф г символов. При этом сложение последовательностей с различным сдвигом Г1 и Г2 дает результирующие последовательности также с различным сдвигом и я2.
Суммируя по модулю 2 символы в отдельных разрядах регистра, можно получить последовательности, сдвинутые относительно исходной на я > т символов. При этом полное число различных задержек я, которые можно получить от т-разрядного регистра сдвига, равно
1
Clm = M = 2m - 1,
где Ст — число сочетаний из т элементов по /.
Таким образом, для последовательности максимальной длины {ак } справедливо следующее утверждение: для любого целого 5 (0 < 5 < М - 1) существует т коэффициентов 5-1,52,..., 8т (5; = 0 или 1) таких, что для каждого к
lk—s
UL
= 1 St ak-i, к = 0,1,2,..., М- 1.
(1)
Выражение (1) означает, что в генераторе с регистром сдвига с помощью дополнительно включенных сумматоров по модулю 2, соединения которых с разрядами регистра определяются наборами коэффициентов 8±, 52,..., 5т, можно получать псевдослучайные последовательности, сдвинутые относительно исходной на любое число символов от 1 до М.
Обозначим через б2, ..., число позиций, на которые оказываются сдвинутыми процессы на выходах I сумматоров параллельного ГПСЧ (рис. 1). Тогда формирование искомой последовательности двоичных чисел У0, ... Ук будет определяться выражением
^к = (ак^1 , ак^2, --^к^^ ■
Период этой последовательности не зависит от величин 5Х, б2,., и равен периоду последовательности максимальной длины {ак}:
М = 2Ъ
1 .
При синтезе ГПСЧ возникает задача определения величины сдвига s по известному набору коэффициентов S2,..., Sm, определяющих топологию соединений выходных сумматоров по модулю 2. Эта задача может быть решена аналитически путем деления многочлена S1x + 82х2 + —+ Smxm на многочлен ^(х) = 1 + а1х + + a2x2 + —+ am-1xm-1 + хт, сопряженный с характеристическим многочленом схемы регистра сдвига
„.т—1
ф(х) = хт + а1хт-1 + а2хт-2 + —+ ат-1х + 1. Деление продолжают до тех пор, пока не получится остаток в виде одночлена х**. Показатель степени этого одночлена будет равен искомому сдвигу 5.
В ходе испытаний выявлено, что последовательности псевдослучайных символов, генерируемые в разрядах ГПСЧ, ведут себя как статистически независимые реализации случайной последовательности равновероятных символов [5].
Подводя итог, можно утверждать, что как параллельный, так и последовательный ГПСЧ характеризуются высоким качеством генерируемых последовательностей, причем ПГПСЧ, в отличие от последовательного генератора, позволяет получать псевдослучайные числа в каждом такте работы схемы [6].
Модель формирования контрольных сумм PNC Актуальность вопроса синтеза вероятного кода числа PNC тесно связана с актуальностью задачи реализации принципов вероятностных методов моделирования и вычислений контрольных сумм данных, передаваемых по каналам связи [7-10]. На рисунке 2 представлена модель структуры формирования PNC.
Рис. 2. Пример структуры формирования PNC
Вычисление контрольной суммы для двоичной последовательности А = (а1, а2, а3,..., ап), аьЕ {0; 1} осуществляется при помощи нескольких ПГПСЧ. С помощью /-го (i Е {1,..., М}) ПГПСЧ генерируется случайная последовательность
Xi = {*i,1, *i,2, *i,3,..., xi,n), xij Е {0; 1}, j Е {1,..., n} ,
при этом xi:j = 1. Элементы последовательностей Xi с элементами последовательности A подвергаются логической операции «и» по модулю 2 (обозначается символом &). В результате получаются следующие двоичные последовательности:
где
Kt = A&Xi = (к1Л, ki}2, к^з.....kUn) ,
kij = (a.j &xtj) mod 2 .
Элемент контрольной суммы получается с помощью Kt: Si = (l/j=1 kij) mod 2 .
Таким образом, контрольная сумма представляет собой двоичную последовательность S = (s1, s^ s^..., sM), где М —число используемых ПГПСЧ.
Все эти действия можно представить в матричной форме следующим образом. Элементы Ху формируют матрицу
X =
1,1 1,2 Х2,1 Х2,2
Лт,2
Л1,п х2,п
где X — матрица ПГПСЧ, Ху — случайное равномерно распределенное целое число, принимающее значения из множества {0; 1}, однако первая строка этой матрицы состоит только из единиц.
Элементы аформируют вектор
А =
Intellectual Technologies on Transport. 2021. No 4
На линии передатчика вычисляется следующая сумма: хт,п~ матрица умножается на вектор ап (исходный код), в результате получается сумма по каждой строке sm и S является контрольной суммой (PNC).
5 =
т,1
Л1,2 Х2,2
-т,2
л1,п х2,п
Если передаваемые А и S получили помехи и сбои, то в приемнике получим А и S: S = А х X .
Чтобы обнаружить помехи и сбои, нужно сравнивать проверочный код S с S: если S ^ S — есть ошибка, если S = S — ошибки нет.
Ниже приведен пример вычисления остатка PNC. Здесь A = 11010, PNC = 5. 1101010000 = A + S.
Также это действие можно представить следующей формулой:
S[n х 1] = А[т х п]х Х[п х 1].
Пример вычисления PNC с вероятными ошибками (помехами):
01010 10100 01010 00111
Программное приложение по вычислению PNC
Используемые в приложении технологии:
- язык программирования Java;
- среда разработки IDE NetBeans 8.1;
- сервер приложения Glassfish Application Server 4.1.1 [11].
Приложение является веб-приложением. При этом используются технологии J2EE, JSP and Servlets. При разработке приложения применялся паттерн разработки MVC (Model-View-Controller).
Как видно из одностраничного приложения (рис. 3, 4), при нажатии кнопок страница не перезагружается (это сделано при помощи AJAX).
1 Вычисление PNC 1
Bytes PNC
s » ВЫЧИСЛИТЬ 1
A Xi Ki PNC
10001 10001 10001 10001 10001
Готовый пакет: 1000100101
11111 10111 11000 11001 11010
10001 10001 юооо 10001 10000
Рис. 3. Программный интерфейс вычисления PNC
Количество отправляемых пакетов данных Количество ошибок в пакете данных
Количество записей - 5. Количество True ■ О
№ Пакеты данных True or False
1 1100100001 false
2 1000000100 false
3 1000000111 false
4 0100100101 false
5 1001000101 false
Рис. 4. Программный интерфейс для проверки PNC
Инструкция пользователя для приложения [12]:
1. Пользователь вводит данные в поля «Bytes» — количество байт сообщения и «PNC» — длину PNC.
2. Далее пользователь нажимает кнопку «Вычислить».
3. На экране появляются сгенерированные данные в виде таблицы с полями A, Xi, Ki, PNC, а также, ниже таблицы, сформированный «Готовый пакет».
4. При этом появляются еще два поля ввода — «Количество отправляемых пакетов данных» и «Количество ошибок в пакете данных» и кнопка «Проверка». Пользователь вводит данные в поля и нажимает кнопку «Проверка».
5. После непродолжительной обработки возникает таблица с отправленными пакетами и результатами контроля правильности информации.
Поскольку приложение является веб-приложением, в программе присутствует серверная обработка. При нажатии пользователем кнопки «Вычислить» с программной формы методом POST по адресу «/pnc» отправляется re-quest-запрос на сервер. Программный код сервлета PNCServlet имеет вид:
List<TablePnc> pncs = getListPnc(bayt, vkch); String a0 = ""; String pncStr = ""; for (int i = 0; i < pncs.size(); i++) { TablePnc pnc = pncs.get(i); a0 = pnc.getA0(); pncStr = pncStr + pnc.getPnc();
}
}
Сервлет PNCServlet является частью массива controller и обрабатывает request-запрос, получает два параметра «bayt» и «vkch» и передает эти два параметра методу getListPnc().
private List<TablePnc> getListPnc(String bayt, String vkch) { List<TablePnc> pncs = new ArrayList<TablePnc>(); String a0 = getA0(Integer.parseInt(bayt)); int vkchInt = Integer.parselnt(vkch) - 1; xay = getA0(Integer.parseInt(bayt));
У метода getListPnc() есть два входных строковых параметра («bayt» и «vkch») и он возвращает ArrayList класса TablePnc. В методе getListPnc() происходит вызов еще одного метода getA0(), который получает входной числовой параметр «bayt» и возвращает строку. В методе getA0() происходит преобразование случайного двоичного числа в количество байтов, которое было задано во входном параметре. Тем самым в теле метода getListPnc() происходит добавление в ArrayList сгенерированных данных. Далее PNCServlet помещает ArrayList в response-ответ и посылает его на страницу ответа. Таким образом происходит обработка и генерация данных на серверной стороне.
В проекте существуют классы TablePnc, CheckTable (модели), объекты которых содержат в себе информацию, представленную на рисунках 3 и 4.
Возможности оценки вычислительной сложности и обнаружения ошибки с помощью алгоритма PNC
Расчет числа вычислений, являющегося одной из важных составляющих алгоритма PNC, представлен на рисунке 3. Количество тактов вычислений в результате вычислительной операции PNC-остатка значительно уменьшается.
Расчет числа тактов определяется следующим образом: T = S = X. Здесь T — число тактов для вычисления остатка PNC, S — PNC-остаток, X — ПГПСЧ.
Таким образом, от количества использований ПГПСЧ и разрядности PNC зависит количество тактов.
PNC-коды обладают высокой достоверностью обнаружения искажений. Доля Po обнаруживаемых искажений не зависит от длины защищаемого массива данных, а определяется только разрядностью N контрольного кода [13-15]: Ро = 1 - 2-N.
Так, для 8-разрядного вероятного кода числа PNC8 Р0 = 1 — 2-8 = 0,9960. Исходя из того, что разрядность контрольной суммы PNC8 составляет 8 битов, то вероятность возникновения коллизий невысока, поскольку максимально допустимое число комбинаций контрольной суммы PNC8 = 28 = 256.
Для оценки вероятности необнаружения искаженных битов и выявления факта коллизий был смоделирован процесс передачи данных с ошибочными битами. Результаты имитационного моделирования приведены на рисунке 5.
Поскольку в эксперименте используются пакеты 48 битов (40 битов под исходный символ и 8 битов контрольной суммы PNC8), то вероятность искажения отдельного бита определяется по формуле
Р = Vn = 0,08 ,
где n — число битов, представляющих передаваемые символы [12, 13].
юоооо
<•> 'о 90000
О VO 80000
jij I 70000
¡5 о 60000
Н 'о 50000
VO х 40000 27587
Количество отправленных ошибочных бит-пакетов
Рис. 5. Результат определения ошибок алгоритмом PNC Заключение
В статье рассмотрен способ формирования контрольного суммирования вероятного кода числа PNC. Показано снижение вычислительной сложности алгоритма формирования контрольных сумм PNC, а также обнаружение ошибочных бит-пакетов. Этот факт подтверждается представленной статистикой (рис. 3, 4).
Алгоритм рекомендуется использовать для передачи данных с помощью низкочастотных энергосберегающих систем при малых исходных данных или для значительной экономии памяти.
Результаты исследования открывают путь для разработки новых методов по улучшению вероятного кода числа PNC.
Литература
1. Peterson, W. W. Cyclic Codes for Error Detection / W. W. Peterson, D. T. Brown // Proceedings of the IRE. 1961. Vol. 49, Is. 1. Pp. 228-235.
DOI: 10.1109/JRPROC.1961.287814.
2. Ritter, T. The Great CRC Mystery // Dr. Dobb's Journal of Software Tools for the Professional Programmer. 1986. Vol. 11, Is. 2, Pp. 26-34, 76-83.
3. Security Flaws in 802.11 Data Link Protocols / N. Cam-Winget, R. Housley, D. A. Wagner, J. Walker // Communications of the ACM. 2003. Vol. 46, No. 5. Pp. 35-39.
DOI: 10.1145/769800.769823.
4. Яковлев, В. В. Стохастические вычислительные машины / В. В. Яковлев, Р. Ф. Федоров. — Ленинград [Санкт-Петербург]: Машиностроение. Ленингр. отд-ние, 1974. — 343 с.
5. Яковлев, В. В. Оценка влияния помех на производительность протоколов канального уровня / В. В. Яковлев, Ф. И. Кушназаров // Известия Петербургского университета путей сообщения. 2015. Вып. 1 (42). С. 133-138.
6. Turdiev, O. A. Investigation of the Computational Complexity of the Formation of Checksums for the Cyclic Redundancy Code Algorithm Depending on the Width of the Generating Polynomial / O. A. Turdiev, V. A. Smagin, V. N. Kustov // Models and Methods for Researching Information Systems in Transport: Proceedings of the Workshop on the Basis of the Departments «Information and Computer Systems» and «Higher Mathematics» Emperor Alexander I St. Petersburg State Transport Universit^ (MMRIST 2020), (St. Petersburg, Russia, 11-12 December 2020). CEUR Workshop Proceeding. 2021. Vol. 2803. Pp. 129-135.
DOI: 10.24412/1613-0073-2803-129-135.
7. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2019616686 Российская Федерация. Программа определения целостности передаваемых данных с использованием различных контрольных сумм: № 2019615635: заявл. 13.05.2019: опубл. 28.05.2019 / С. В. Клименко, В. В. Яковлев, О. А. Турдиев; заявитель Петербургский государственный университет путей сообщения Императора Александра I. — 1 с.
8. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2019616896 Российская Федерация. Программа сравнения методов определения целостности передаваемых данных в сетях: № 2019615322: заявл. 13.05.2019: опубл. 30.05.2019 / О. А. Турдиев, В. В. Яковлев, С. В. Клименко; заявитель Петербургский государственный университет путей сообщения Императора Александра I. — 1 с.
9. Осмоловский, С. А. Стохастические методы защиты информации. — Москва: Радио и связь, 2003. — 319 с. — (Статистическая теория связи).
10. Ромащенко, А. Е. Заметки по теории кодирования / А. Е. Ромащенко, А. Ю. Румянцев, А. Шень. — 2-е изд., испр. и доп. — Москва: МЦНМО, 2017. — 88 с.
11. Исследование формирования блоковой контрольной суммы (BCC) передаваемых данных / О. А. Турдиев,
B. В. Яковлев, С. В. Клименко, А. Х. Болтаев // Известия СПбГЭТУ «ЛЭТИ». 2019. № 6. С. 67-71.
12. Турдиев, О. А. Оценки эффективности обнаружения ошибок контрольного суммирования (CRC) передаваемых данных / О. А. Турдиев, С. В. Клименко, А. Б. Тухтаход-жаев // Известия СПбГЭТУ «ЛЭТИ». 2019. № 8. С. 54-58.
13. Турдиев, О. А. Обзор кодов для помехоустойчивого кодирования / О. А. Турдиев, В. В. Яковлев, С. В. Клименко // Интеллектуальные технологии на транспорте. 2019. № 2 (18).
C. 21-24.
14. Lin, S. Error Control Coding: Fundamentals and Applications / S. Lin, D. J. Costello, Jr. — Englewood Cliffs (NJ): Prentice-Hall Inc., 1983. — 621 p. — (Prentice-Hall Computer Applications in Electrical Engineering Series).
15. Питерсон, У. У. Коды, исправляющие ошибки = Error-Correcting Codes. Second Edition / У. У. Питерсон, Э. Дж. Уэлдон мл.; пер. с англ. под ред. Р. Л. Добрушина и С. И. Самойленко. — Москва: Мир. Редакция литературы по новой технике, 1976. — 594 с.
DOI: 10.24412/2413-2527-2021-428-28-33
Model for the Formation of a Probable Code of a Number Based on Stochastic Calculations
O. A. Turdiev
Emperor Alexander I St. Petersburg State Transport University Saint Petersburg, Russia odilj an.turdiev@mail. ru
Abstract. To form a model of checksums of a probable number code, a stochastic method was used, including a pseudo-random number generator, including a parallel pseudo-random number generator, and probability codes. The main goal of the model is to reduce the complexity of calculations when generating checksums. To obtain reliable data on the parameters of the PNC model, a software application was created in a high-level language.
Keywords: parallel pseudo-random number generator, computational complexity, generating polynomial, cyclic redundancy code, probable number code, burst errors, data integrity.
References
1. Peterson W. W., Brown D. T. Cyclic Codes for Error Detection, Proceedings of the IRE, 1961, Vol. 49, Is. 1, Pp. 228-235. DOI: 10.1109/JRPROC.1961.287814.
2. Ritter T. The Great CRC Mystery, Dr. Dobb's Journal of Software Tools for the Professional Programmer, 1986, Vol. 11, Is. 2, Pp. 26-34, 76-83.
3. Cam-Winget N., Housley R., Wagner D. A., Walker J. Security Flaws in 802.11 Data Link Protocols, Communications of the ACM, 2003, Vol. 46, No. 5, Pp. 35-39.
DOI: 10.1145/769800.769823.
4. Yakovlev V. V., Fedorov R. F. Stochastic calculating machines [Stokhasticheskie vychislitel'nye mashiny]. Leningrad [Saint Petersburg], Mechanical Engineering Publishing House, 1974, 343 p.
5. Yakovlev V. V., Kushnazarov F. I. Evaluation of the Effect of Interferences on Link-Layer Protocol Performance [Otsenka vliyaniya pomekh na proizvoditel'nost' protokolov kanal'nogo urovnya], Proceedings of Petersburg Transport University [Izvestiya Peterburgskogo universiteta putey soob-shcheniya], 2015, Is. 1 (42), Pp. 133-138.
6. Turdiev O. A., Smagin V. A., Kustov V. N. Investigation of the Computational Complexity of the Formation of Checksums for the Cyclic Redundancy Code Algorithm Depending on the Width of the Generating Polynomial, Models and Methods for Researching Information Systems in Transport: Proceedings of the Workshop on the Basis of the Departments «Information and Computer Systems» and «Higher Mathematics» Emperor Alexander I St. Petersburg State Transport University (MMRIST 2020), St. Petersburg, Russia, December 11-12, 2020. CEUR Workshop Proceeding. 2021. Vol. 2803. Pp. 129-135.
DOI: 10.24412/1613-0073-2803-129-135.
7. Klimenko S. V., Yakovlev V. V., Turdiev O. A. Program for Determining the Integrity of Transmitted Data Using Different Control Sums [Programma opredeleniya tselostnosti pereda-vaemykh dannykh s ispol'zovaniem razlichnykh kontrol'nykh summ]. Certificate of State registration of a computer program RU No. 2019616686, published at May 28, 2019.
8. Turdiev O. A., Yakovlev V. V., Klimenko S. V. Program for Comparing Methods for Determining the Integrity of Transmitted Data in Networks [Programma sravneniya metodov opredeleniya tselostnosti peredavaemykh dannykh v setyakh]. Certificate of State registration of a computer program RU No. 2019616896, published at May 30, 2019.
9. Osmolovsky S. A. Stochastic methods of information protection [Stokhasticheskie metody zashchity informatsii]. Moscow, Radio and Communication Publishing House, 2003, 319 p.
10. Romashchenko A. Ye., Rumyantsev A. Yu., Shen A. Notes on coding theory [Zametki po teorii kodirovaniya]. Moscow, Moscow Center for Continuous Mathematical Education, 2017, 88 p.
11. Turdiev O. A., Yakovlev V. V., Klimenko S. V., Bolt-aev A. X. Study of the Formation of Block Checksum (BCC) of the Transmitted Data [Issledovanie formirovaniya blokovoy kontrol'noy summy (BCC) peredavaemykh dannykh], Proceedings of Saint Petersburg Electrotechnical University [Izvestiya SPbGETU «LETI»], 2019, No. 6, Pp. 67-71.
12. Turdiev O. A., Klimenko S. V., Tuxtaxodjaev A. B. The Study of the Implementations of the Algorithm Method Checks Summation (CRC) of the Transmitted Data [Otsenki effek-tivnosti obnaruzheniya oshibok kontrol'nogo summirovaniya (CRC) peredavaemykh dannykh], Proceedings of Saint Petersburg Electrotechnical University [Izvestiya SPbGETU «LETI»], 2019, No. 8, Pp. 54-58.
13. Turdiyev O. A., Yakovlev V. V., Klimenko S. V. Overview of Codes for Error-Correcting Coding [Obzor kodov dlya pomekhoustoychivogo kodirovaniya], Intellectual Technologies on Transport [Intellektual'nye tekhnologii na transporte], 2019, No. 2 (18), Pp. 21-24.
14. Lin S., Costello D. J., Jr. Error Control Coding: Fundamentals and Applications, Englewood Cliffs (NJ), Prentice-Hall Inc., 1983, 621 p.
15. Peterson W. W., Weldon E. J., Jr. Error-Correcting Codes [Kody, ispravlyayushchie oshibki]. Moscow, Mir Publishers, 1976, 594 p.
