CC BY
75
УДК 621.391
ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМЫ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ, ОСНОВАННОЙ НА МАНИПУЛЯЦИИ ПАРАМЕТРОМ ХЕРСТА (МЕТОДЫ ХИГУЧИ И ОБЪЕДИНЕННОЙ ДИСПЕРСИИ) СТОХАСТИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА
В.И. Парфенов, Е.В. Сергеева
Предложена и исследована перспективная система передачи информации в цифровых широкополосных каналах связи, основанная на манипуляции фрактальными характеристиками случайных процессов
Ключевые слова: манипуляция, генератор динамического хаоса, параметр Херста
В связи с широким распространением систем радиосвязи, в частности, широкополосных систем связи, актуальным является вопрос их разработки [1]. Широкополосные системы связи обладают высокой информативной емкостью, позволяют повысить помехоустойчивость и надежность передачи информации в каналах связи с помехами и искажениями. В отличие от узкополосного сигнала, характеризуемого величинами амплитуды, частоты и начальной фазы, широкополосный шумоподобный сигнал описывается существенно большим количеством параметров [2]. Однако большинство этих параметров описывают не мгновенные значения сигнала, а его интегральные (статистические, фрактальные, структурные) характеристики [3] - особенности поведения и структуры за какой-то определенный промежуток времени, связанный с базой сигнала. Соответственно и для модуляции такого сигнала существует большее количество возможностей (степеней свободы).
Одними из распространенных интегральных характеристик являются характеристики самоподобия, изменение которых может служить для передачи информации. Самый простой способ модуляции характеристик самоподобия - это манипулирование двумя сигналами с различными характеристиками самоподобия, значения которых можно отслеживать по различным численным параметрам. В силу того, что в литературе сформировалась терминология, по которой самоподобными случайными процессами называются процессы с фрактальными реализациями, будем придерживаться соответствующей терминологии.
В качестве численного параметра, характеризующего самоподобные свойства сигнала, можно использовать величину показателя Херста. Показатель Херста является параметром при определении самоподобных случайных процессов в узком и широком смыслах. Рассмотрим определение самоподобного процесса в широком смысле [4]. Пусть X = (Х1,...)- полубесконечный отрезок стационарного в широком смысле случайного процесса дис-
Парфенов Владимир Иванович - ВГУ, д-р физ.-мат. наук, профессор, тел. (4732) 208916
Сергеева Евгения Викторовна - ВГУ, аспирант, тел. (4732) 208916
кретного аргумента (времени) t е N = {1,2...}. Обозначим через ß=EXt < ж и а2 = DXt < ж среднее и дисперсию процесса X соответственно, а через
r(k) = E(Xt+k -и)(X, -и)
а2 (1)
b(k) = а2r(k),к е Z+ = {0,1,2...} коэффициент корреляции и корреляционную функцию процесса X. Среднее и , дисперсия а2 = b(0), коэффициент корреляции r (к) и корреляционная функция b(k) не зависят от времени t и r (к) = r (-к), b(k) = b(-k).
Дополнительно введем еще два процесса, связанных с X : X(m-1 = (Xj(m-1,...) - усредненный по
блокам длины m процесс X и Xv< = (X^ ,...)-нормированный процесс X. Компоненты X(m) и Xv определяются равенствами:
Xt(m) = -(Xmm-m+1 +... + Xm),m, t е N
m (2)
Xt = ~H (Xtm-m+1 + ... + Xtm X
m
где H = 1 -ß/2,0 <ß< 1.
Обозначим через rm (k), bm (k) и Vm (k) = bm (0) коэффициент корреляции, автокорреляцию и дисперсию X(m) соответственно.
Процесс X является точно самоподобным второго порядка с показателем Херста H, 1/2 < H < 1, если его коэффициент корреляции задается соотношением
rm (k) = i[(k + 1)2H -
m 2 (3)
- 2k2H + (k -1)2H ] = g(k), где k > 1. Процесс X является приблизительно самоподобным второго порядка, если
lim rm(k) = i[(k +1)2H - 2k2H + (k - 1)2H ]. (4)
m^» 2
Причина, по которой процесс X назван самоподобным, кроется в том, что процесс X с r (k) = g (k) удовлетворяет условию rm (k) = r (k),
которое означает, что этот процесс не меняет коэффициент корреляции после усреднения по блокам любой длины m . Для 0 <H < 1, H Ф1/2 коэффи-
циент корреляции полагается
г (к) = Н (2Н - 1)к2 Н-2, к ^ ю .
В обоих определениях фигурирует показатель Херста Н как параметр корреляционной функции.
Показатель Херста Н широко используется для определения фрактальных характеристик различных процессов [4], в частности процессов, порожденных генераторами динамического хаоса. Хаотические процессы могут характеризоваться показателями Херста, лежащим в пределах 0 < Н < 1.
Динамический (детерминированный) хаос -сложное непериодическое движение, порождаемое нелинейными динамическими системами [5]. Это движение может возникать при отсутствии внешних шумов и полностью определяется свойствами самой детерминированной динамической системы. Динамический хаос обладает многими свойствами случайных процессов: сплошным спектром мощности, экспоненциально спадающей корреляционной функцией, непредсказуемостью на больших интервалах времени. Устройства, генерирующие хаос, обладают чрезвычайно высокой пластичностью, позволяющей реализовывать в одном и том же приборе множество мод колебаний с широким спектром. Наличие этих свойств определяет перспективность его применения в коммуникационных технологиях, в частности при передаче информации с расширением спектра. Использование хаотических сигналов в качестве расширяющих может придать коммуникационным системам черты систем с расширением спектра, использующих псевдослучайные последовательности (ПСП) - устойчивость по отношению к селективному замиранию и узкополосным скачкам, низкую вероятность перехвата и т.д. -и устранить присущие им недостатки - ограниченную конфиденциальность и трудность синхронизации. Непериодичность и самосинхронизируемость систем, основанных на хаосе, дают им потенциальные преимущества в терминах конфиденциальности и синхронизации над традиционными системами, базирующимися на ПСП. Кроме того, они допускают возможность более простой аппаратурной реализации с большей энергетической эффективностью и более высокой скоростью операций. Потенциальные достоинства хаотических сигналов не ограничиваются возможностью их применения в системах с расширением спектра. Они могут также быть использованы для маскировки передаваемой информации без использования расширения спектра, т.е. при совпадении частот информационного и передаваемого сигналов. Еще одним перспективным направлением использования хаотических сигналов является высокоскоростная передача данных.
Использование в качестве сигналов процесса, порожденного динамическим хаосом и, например, гауссовского процесса, дает основание предполагать возможность передачи данных, основанной на манипуляции показателем Херста. Цифровую информацию можно будет представить в виде последовательности посылок с разными значениями показателя Херста, соответствующих битам “0” и “1”. Для
увеличения скрытности передачи можно предложить многоканальную передачу информации. Суммирование шумовых сигналов, передаваемых по параллельным частотным каналам, неизбежно приведет к нормализации суммарного сигнала.
Рассмотрим возможный алгоритм передачи двоичной информации, основанный на манипуляции фрактальными параметрами случайного сигнала.
Структурная схема передающего устройства представлена на рис. 1:
Г1
Г2
К
Рис. 1. Блок-схема устройства, реализующего манипуляцию фрактальными параметрами
В первом канале имеется источник широкополосного шума Г1, показатель Херста в этом канале Н1 . Второй канал содержит генератор динамического хаоса Г2. На выходе такого преобразователя процесс будет иметь показатель Херста Н2 . Далее сигналы подаются на коммутатор К, управляемый информационным бинарным цифровым сигналом. В результате на выходе коммутатора имеет место последовательность цифровых посылок с разными значениями показателя Херста, соответствующими «нулевым» и «единичным» битам. Выравнивания мощностей сигналов в обоих каналах можно добиться путем подбора спектральных характеристик источника Г1, что требуется для обеспечения скрытности передаваемой информации при несанкционированном съеме в частотном диапазоне.
В работе проводилось моделирование на ЭВМ работы предложенной системы передачи информации. Целью настоящего исследования являлось экспериментальное подтверждение достаточно высокой скрытности предложенной системы связи при передаче информации.
Рассмотрим, каким образом должен осуществляться выбор параметров предложенной схемы. Параметры широкополосного нормального шума ^(/) в первом канале: математическое ожидание равно нулю, дисперсия (мощность процесса) равна а2, корреляционная функция К( (г) (спектральная
плотность мощности 5^(®)). Будем рассматривать два типа процессов: процесс с экспоненциальной корреляционной функцией К( (г) = а2Ехр(-а |г|) и
процесс со спектральной плотностью мощности, равномерной в ограниченной полосе частот, характеризующейся параметром а1 (параметром фильтра низких частот, используемого для формирования сигнала с указанными спектральными характеристиками). Из [4] известно, что показатель Херста
определяется формой спектральной плотности мощности в низкочастотной области, поэтому показатель Херста такого процесса примерно равен 1/2.
Второй канал содержит генератор динамического хаоса. Процесс, порожденный таким генераторам, обозначим у(ґ). Показатель Херста такого процесса может быть отличен от 1/2. Спектральная плотность мощности процессов, порожденных динамическим хаосом, обычно не имеет точного теоретического выражения. Для каждого эксперимента спектральная плотность мощности может быть определена с помощью численных методов. Для каждого генератора хаоса, рассматриваемого в работе, проводилось экспериментальное определение параметров а2 и а (или а1) процесса £(/) таким образом, чтобы спектральные плотности мощности процессов в обоих каналах были сосредоточены в одной полосе частот и удовлетворяли следующему условию:
2Х = £^2, (5)
І=1 І=1
где £1 - спектральная плотность мощности процесса %(ґ) в первом канале для і -го отсчета, £2І - спектральная плотность мощности процесса у(ґ ) во втором канале для і -го отсчета, N - номер отсчета, для которого значения £1І2, £2І2 составляют не более 10% от максимальных значений.
Выполнение данного условия означает равенство мощностей в полосе частот, в которой сосредоточена основная мощность сигналов, что требуется для повышения скрытности при передачи информации.
Для исследования были выбрана система Чуа, генерирующая хаотические колебания [6].
Система Чуа является одной из простейших схем, генерирующих хаотический процесс, которая содержит один элемент с кусочно-нелинейной характеристикой. На сегодняшний день является одной из наиболее хорошо исследованных моделей нелинейной динамики.
Система, описывающая работу системы Чуа:
х = в(у - х - /с (х)),
< у = х - у + z,
2 = -ву -Ї2,
где /с (х) описывает характеристику нелинейного элемента схемы:
/с (х) = -Ьх + 2(Ь - а)(|х +1 - |х -1),
а типовые значения параметров принимаются следующими: в = 10, в = 15, у = 0.0385,
а = -1.27, Ь =-0.68.
Реализация гауссовского коррелированного процесса, а также реализации процесса на выходе генератора Чуа, представлены на рис.2 и рис.3:
0 500 1000 1500 2000
Рис. 2. Пример реализации коррелированного гауссовского процесса (экспоненциальная корреляционная функция с параметром а = 3) при ОСШ=10 дБ
_ ^ _______I_______I________I_______|
0 500 1000 : 500 2000
Рис. 3. Пример реализации процесса на выходе генератора Чуа при ОСШ=10 дБ
При использовании хаотического генератора во втором канале экспериментально были выбраны следующие параметры гауссовского процесса в первом канале: а = 3,5,7 (экспоненциальная корреляционная функция), а1 = 0.015,0.02,0.025 (равномерная спектральная плотность мощности). При таком выборе параметров спектры сигналов принадлежат одной полосе частот и удовлетворяют критерию (5), приведенному выше.
Сигнал ¿;(ґ) от Г1 и сигнал у(Г) от Г2 попадают на коммутатор К, управляемый информационным бинарным цифровым сигналом (рис.1). В результате на выходе коммутатора имеет место последовательность цифровых посылок с разными значениями показателя Херста, соответствующими битам “0” и “1”. Физически каждому биту соответствует отрезок процесса с разными значениями показателя Херста.
Эти посылки также имеют нулевые математические ожидания, приближенно одинаковые дисперсии (мощность), а также сосредоточенные в одной полосе частот спектральные плотности мощности. Для переноса спектра сигнала из низкочастотной области в высокочастотную, как обычно, можно использовать модуляцию несущего колебания (например, обычного гармонического) с помощью сформированного описанного выше способом сигнала.
После прохождения канала связи, в котором к информационному сигналу примешивается шум (аддитивный широкополосный гауссовский процесс п(/), имеющий равномерную спектральную плотность мощности в рабочей полосе системы), модулированный сигнал поступает на вход приемного устройства. Вначале в приемном устройстве осуществляется “снятие” несущего колебания. Далее, для демодуляции сигнала в режиме реального времени необходимо с помощью быстродействующего АЦП оцифровать сигнал и на длине реализации, соответствующей длительности одного бита, произвести подсчет величины параметра Херста.
Достаточно подробный обзор различных методов оценки параметра Херста Н приведен в [6]. Фрактальную размерность можно определить по экспериментальным данным, если невозможно теоретическое определение. Одними из методов оценки показателя Херста для ограниченной выборки являются метод Хигучи и метод объединенной дисперсии.
Метод Хигучи включает в себя вычисление длины траектории и нахождение ее фрактальной размерности Б и заключается в получении частич-
N
ных сумм У(п) = £Х1 исходного ряда X = (Х1,...)
I=1
и затем нахождении нормализованной длины кривой:
1 » N -1 '^]
Ь(т) = — 'Z-N—i-£ У ( + кт) -
т 7=1 [N—лт *=! (6)
[-
т
-]т
- У (І + (к - 1)т)|, где N - длина ряда, т - фактический размер блока и [•] означает целую часть. Затем вычисляем ЕЬ(т) ж Сн • т~Б , где Б = 2 - Н . Таким образом, график зависимости Ь(т) от т в двойном логарифмическим масштабе будет выглядеть как прямая с наклоном Б = 2 - Н . В результате моделирования работы системы на ЭВМ были выявлены некоторые особенности ее работы.
Метод объединенной дисперсии состоит в следующем: исходный ряд X = (Х1,...) делится на блоки размера т и далее проводится усреднение по каждому блоку так, что 1 кт.
X (т\к) = — У X, к = 1,2... (7)
т І=(к-1)т+1
для каждого значения т . Индекс к является номером блока. Затем берется выборочная вариация X (т)(к), к = 1,2... по каждому блоку. Эта выборочная вариация является оценкой ¥а^(т). Далее для каждого т данные X1..XN делятся на N/т блоков размера т и вычисляются X(т)(к) и выборочная вариация
1 N / т
йгrX(т) =-------------У (X(т) (к))2
N / т
1 N / т
- (-^ У (X(т) (к )))2.
N / т к=і
(8)
Эта процедура повторяется для различных значений т и после этого строится график логарифма выборочной вариации от логарифма т. Значения т выбирается эквидистантными в логарифмической шкале. Так, для йзгХ(т), которая является оценкой УагХ(т) б результирующие точки будут лежать на прямой с наклоном 2Н -1. В приведенных рассуждениях было сделано предположение, что т и N - большие и т □ N .
Для численного моделирования с помощью программы производилась генерация процесса с заданным числом отсчетов на бит. Для второго канала проводилась генерация хаотического сигнала. Для первого канала производилась генерация псевдослучайных последовательностей с нормальным распределением вероятностей и выбранными спектральными характеристиками. Формирование гауссовского процесса с выбранной спектральной плотностью мощности в некоторой полосе осуществлялось с помощью низкочастотной фильтрации исходного спектра с равномерной спектральной плотностью мощности.
Далее проводилась имитация передачи через реальный канал связи путем добавления аддитивного шума, вычислялись показатели Херста с использованием метода Хигучи (построение прямой по набору точек осуществлялось с помощью метода наименьших квадратов) и определялись его среднее, минимальное и максимальное значения для каждого бита. Затем описанная процедура повторялась для реализаций с большим количеством отсчетов, чтобы выяснить оптимальный размер выборки, необходимый для уверенного различения нормального и хаотического сигналов. Было выяснено, что при количестве отсчетов порядка 4000 происходит различение нормального и хаотического сигналов (при ОСШ, равном 0 дБ). Порог различения выбирался исходя из критерия минимума средней вероятности ошибки различения сигналов при ОСШ, равном 0 дБ.
Были получены зависимости вероятности ошибки различения при использовании генератора Чуа от ОСШ (рис.4) для выбранных типов гауссовского процесса и при использовании метода Хигучи. Вероятность ошибки различения определяется сле-
я П 1 11 тх + т2
дующим образом: Р = 1 —I —1---------------2
21 М
где т1 - ко-
личество решений о принятии нормального сигнала, т2 - количество решений о принятии хаотического сигнала, М - количество информационных бит. Исследования показали, что вероятность ошибки различения нулевого бита равна нулю при любых ОСШ, поэтому в качестве вероятностной характеристики системы можно использовать вероятность различения единичного бита.
Были получены зависимости вероятности ошибки различения при использовании генератора Чуа от ОСШ (рис.5) для выбранных типов гауссовского процесса и при использовании метода объединенной дисперсии. Исследования показали, что вероятность ошибки различения нулевого бита равна нулю при любых ОСШ, поэтому в качестве вероятностной характеристики системы можно использовать вероятность различения единичного бита.
Рис.4. Вероятность ошибки различения единичного бита при использовании генератора Чуа в зависимости от ОСШ (500000 реализаций) при различных характеристиках гауссовского процесса в первом канале и при использовании метода Хигучи. Обозначения: ■ -а1 = 0.025, X -а = 7, ▲ -а1 = 0.02 , + -а = 5 ,♦- а1 = 0.015 , О - а = 3 .
Из зависимостей, показанных на рис.4, видно, что при а1 = 0.025 (равномерная спектральная
плотность мощности) вероятность ошибки различения, равная 10-3, достигается при ОСШ, равном -7дБ, а при а = 7 (экспоненциальная корреляционная функция) вероятность ошибки различения, равная 10-3, достигается при ОСШ, равном -4 дБ. При этом уменьшение параметров а1 (равномерная
спектральная плотность мощности) и а (экспоненциальная корреляционная функция) ухудшают вероятностные характеристики системы. При увеличении параметров а1 и а критерий (5) не выполняется, поэтому при параметрах а= 7 и а1 = 0.025 вероятностные характеристики системы передачи информации - лучшие (для каждого из вариантов формирования гауссовского сигнала). Как показали дополнительные исследования вероятностных характеристик системы, при использовании корреляционной функции гауссовского вида с соответственно подобранными параметрами характеристики практически совпадают с характеристиками при использовании экспоненциальной корреляционной функции, что связано с достаточно похожей формой спектров в низкочастотной области.
Рис.5. Вероятность ошибки различения единичного бита при использовании генератора Чуа в зависимости от ОСШ (500000 реализаций) при различных характеристиках гауссовского процесса в первом канале и при использовании метода объединенной дисперсии. Обозначения: ■ -а1 = 0.025 , X -а = 7, ▲ -а1 = 0.02 , + -а = 5 ,♦- а1 = 0.015 , О -а = 3.
Из зависимостей, показанных на рис.5, видно, что при а1 = 0.025 (равномерная спектральная
плотность мощности) вероятность ошибки различения, равная 10-3 , достигается при ОСШ, равном -10дБ, а при а = 7 (экспоненциальная корреляционная функция) вероятность ошибки различения, равная 10-3, достигается при ОСШ, равном -8 дБ. При этом уменьшение параметров а1 (равномерная
спектральная плотность мощности) и а (экспоненциальная корреляционная функция) ухудшают вероятностные характеристики системы. При увеличении параметров а1 и а критерий (5) не выполняется, поэтому при параметрах а= 7 и а1 = 0.025 вероятностные характеристики системы передачи информации - лучшие (для каждого из вариантов формирования гауссовского сигнала). Как показали дополнительные исследования вероятностных характеристик системы, при использовании корреляционной функции гауссовского вида с соответственно подобранными параметрами характеристики практически совпадают с характеристиками при использовании экспоненциальной корреляционной
функции, что связано с достаточно похожей формой спектров в низкочастотной области.
На рис.6 показаны лучшие вероятностные характеристики различения системы передачи информации при использовании гауссовского шума с равномерной спектральной плотностью мощности в первом канале, хаотического генератора Чуа во втором канале и при использовании двух различных методов вычисления показателя Херста:
Рош 1 0.1 0.01 0.001 0.0001
0.00001
I I 4-
-20
-1Б
-10
Рис. 6. Вероятность ошибки различения единичного бита при использовании генератора Чуа в зависимости от ОСШ (500000 реализаций) для различных методов вычисления показателя Херста. Обозначения: ■ -а1 = 0.025 (метод объединенной дисперсии), + - а1 = 0.025 (метод Хигучи).
Из зависимости, показанной на рис.6, следует, что при выбранных параметрах гауссовского процесса и при использовании генератора Чуа для генерации сигнала метод объединенной дисперсии дает лучшие вероятностные характеристики различения, чем при использовании метода Хигучи.
При попытке несанкционированного съема информации из принятого сигнала с использованием классического энергетического приемника, построенного по принципу квадратичного накопления, единственным признаком наличия изменения свойств в принятом сигнале является изменение
энергии принятой реализации на соседних временных интервалах. Как показывают исследования, рассматриваемая система передачи информации обладает высокой энергетической скрытностью, так как обнаружение наличия изменения свойств в принятом сигнале с помощью энергетического приемника практически невозможно.
В настоящее время развитие современных информационно-телекоммуникационных систем и информационных технологий связано в первую очередь с разработкой программных и алгоритмических средств защиты информации при ее передаче, обработке и хранении в компьютерных сетях, а также с бурным ростом систем персональной радиосвязи, резким увеличением числа пользователей, с возросшей подвижностью абонентов, с необходимостью передачи разнообразной информации. На примере моделирования широкополосного цифрового канала связи с расширением спектра экспериментально исследована модель цифрового канала связи с использованием манипуляции фрактальными характеристиками. В таком канале связи может быть сформирован сигнал с достаточно широкий спектром, достигнута энергетическая скрытность, которая и подтверждается результатами численного моделирования.
Литература
1. Боровков, К. В. Перспективные способы модуляции в широкополосных системах передачи данных. -Журнал Technology@Intel, 2006.
2. Варакин, Л. Е. Системы связи с шумоподобными сигналами. - М.: Радио и связь, 1985. - 384 с.
3. Радиотехника, энциклопедия. / под ред. Ю.Л. Мазора, Е.А. Мачусского, В.И. Правды - М.: Издательский дом “Додека-ХХ1”, 2002. - 944с.
4. Залогин Н.Н., Колесов В.В. Манипуляция характеристиками шумоподобного сигнала в широкополосных системах связи. - Радиотехника, 2005, №3. - с. 13-17
5. Кузнецов, С.П. Динамический хаос. - М.: Физ.-мат. лит., 2001. - 296 с.
6. Шахтарин Б.И. Генераторы хаотических колебаний. - М.: Гелиос АРВ, 2007. - 248 с.
Воронежский государственный университет
GAUSSIAN SIGNAL PARAMETERS INFLUENCE ON INFORMATION TRANSMISSION SYSTEM, BASED ON MANIPULATION OF HERST PARAMETER (HIGUCHI AND AGGREGATED VARIANCE METHODS) OF STOCHASTIC PROCESS V.I. Parfenov, E.V. Sergeeva
Wideband digital information transmission system based on manipulation of fractal characteristics of stochastic process is described.
Key words: manipulation, dynamic chaos generator, Hurst parameter
