МОДЕЛЬ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РОСТА С РАСПРЕДЕЛЕННЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ В ИНВЕСТИЦИОННОЙ СФЕРЕ Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

в

УДК 330.322:330:35

;№ 2(26), 2017

Экономика

225

Д. Б. Литвин, Т. А. Гулай, В. А. Жукова, И. И. Мамаев

Litvin D. B., Gulay T. A., Zhukovа V. A., Mamaev I. I.

МОДЕЛЬ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РОСТА С РАСПРЕДЕЛЕННЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ В ИНВЕСТИЦИОННОЙ СФЕРЕ

ECONOMIC GROWTH MODEL WITH DISTRIBUTED DELAY IN THE INVESTMENT FIELD

Рассматривается однопродуктовая динамическая модель экономического роста, которая отличается от известных моделей Харрода - Домара и Филлипса учетом инерционности процесса преобразования инвестиций в производственный капитал. Выполнено исследование влияния распределенной задержки в инвестиционной сфере на динамические свойства модели методами корневого годографа и имитационного моделирования в среде БтиПпк системы МАТ1_АВ.

Ключевые слова: модели экономического роста Харрода - Домара, Филлипса, мультипликатор, акселератор, дифференциальные уравнения, инерционность производственной сферы, среда моделирования БтиПпк системы МАТ1_АВ.

We considered a one-product dynamic model of economic growth, which differs from the known models of the Harrod - Domar and Phillips into account the inertia of the process of transformation of investment into productive capital. We researched the influence of distributed delays in investment on the dynamic properties of the model with the methods of root locus and simulation in the Simulink of MATLAB.

Key words: economic growth model of Harrod-Domar and Phillips, multiplier, accelerator, differential equations, production sector inertia, modeling environment of Simulink of MATLAB.

Литвин Дмитрий Борисович -

кандидат технических наук,

заведующий кафедрой математики

ФГБОУ ВО «Ставропольский государственный

аграрный университет»

г. Ставрополь

Тел.: 8-918-793-14-86

E-mail: litvin-372@yandex.ru

Гулай Татьяна Александровна -

кандидат технических наук, доцент кафедры математики

ФГБОУ ВО «Ставропольский государственный

аграрный университет»

г. Ставрополь

Тел.: 8-928-819-47-10

E-mail: laima5566@mail.ru

Жукова Виктория Артемовна -

кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики

ФГБОУ ВО «Ставропольский государственный

аграрный университет»

г. Ставрополь

Тел.: 8-918-862-19-47

E-mail: bekastavropol@mail.ru

Мамаев Иван Иванович -

доцент кафедры математики

ФГБОУ ВО «Ставропольский государственный

аграрный университет»

г. Ставрополь

Тел.: 8-988-704-45-82

E-mail: litvin-372@yandex.ru

Litvin Dmitry Borisovich -

Ph.D in Technical Sciences,

Head of the Department of Mathematics

FSBEI HE «Stavropol State Agrarian University»

Stavropol

Tel.: 8-918-793-14-86 E-mail: litvin-372@yandex.ru

Gulay Tatiana Alexandrovna -

Ph.D in Technical Sciences,

Associate professor of the Department of Mathematics FSBEI HE «Stavropol State Agrarian University» Stavropol

Tel.: 8-928-819-47-10 E-mail: laima5566@mail.ru

Zhukova Victoria Artemovna -

Ph.D in Pedagogical Sciences,

Associate professor of the Department of Mathematics FSBEI HE «Stavropol State Agrarian University» Stavropol

Tel.: 8-918-862-19-47 E-mail: bekastavropol@mail.ru

Mamaev Ivan Ivanovich -

Associate professor of the Department of Mathematics FSBEI HE «Stavropol State Agrarian University» Stavropol

Tel.: 8-988-704-45-82 E-mail: litvin-372@yandex.ru

Известно [1, с. 78], что модель экономического роста Филлипса представляет собой усовершенствованную модель Харрода - Домара, в которой помимо мультипликатора и акселератора учитывается инерционность производственной сферы. Схема исследования модели Фил-

липса в среде Б^Шшк системы МДТЬДВ представлена на рисунке 1 [2, с. 8].

Инерционность производственной сферы здесь моделируется внутренним контуром с интегратором, охваченным единичной отрицательной обратной связью. Мультипликатор представляет собой жесткую положитель-

226

Ежеквартальный

научно-практический

журнал

В

ную обратную связь с весовым коэффициентом с = 0,25 - предельной склонностью к потреблению. Внешняя скоростная положительная обратная связь с передаточной функцией

, где в - комплексная переменная Лапласа,

5 +1

моделирует эффект акселерации инвестиций.

Модель описывается системой уравнений [1, 2]

7 (? ) = су (?) +I (?) + А (?); ёу (?)

Tp

dt

T^ + y (t ) = B

+ У (t) = z (i); dl (t)

(1)

где

где

+ k (t ) = z ^)'

k(t) - производственный капитал; z(t) - инвестиции;

(2)

Тк - среднее время распределенной задержки формирования к({). В результате предлагаемая модель экономического роста примет вид

7 (? ) = су (?)+1 (?) + А(Г);

^ + к (? ) = 7 (?),

T

dt

dy (t)

dt

Т^ + y (t ) = 5

+ y (i) = k (i), dI (t)

(3)

& Ж

г(?), су(?), I(?), А{г) - соответственно суммарные, мультиплицирующие, индуцированные и автономные инвестиции;

Тр и Т - среднее время распределенных задержек в производственной сфере и акселератора.

В работе [2] было выполнено как аналитическое, так и компьютерное исследования системы, результаты которых в целом соответствуют возможным сценариям протекания реальных процессов экономического роста. Однако указанное соответствие носит несколько упрощенный характер, что объясняется, в том числе, и ограниченным порядком системы используемых дифференциальных уравнений.

Дальнейшим развитием модели Филлипса представляется модель, в которой должна учитываться инерционность накопления производственного капитала Щ) при имеющихся инвестициях г(?).

Учитывая распределенный во времени характер таких запаздываний, в целом по экономике его можно представить в виде линейного дифференциального уравнения апериодического звена [3]

ёк )

dt dt а соответствующая простейшая схема ее исследования в системе MATLAB - вид, представленный на рисунке 2.

В прямой цепи схемы представлены последовательно соединенные инерционные звенья, моделирующие распределенные запаздывания в инвестиционной Tk и производственной Tp сферах соответственно. Внутренняя и внешняя положительные обратные связи по-прежнему моделируют эффекты мультипликатора и акселератора соответственно. Слева и справа структурную схему модели дополняют источники ступенчатого сигнала Step и регистрирующее устройство Scope.

Здесь по-прежнему полагаем, что амортизация производственного капитала полностью возмещается, а рост стоимости капитала осуществляется за счет чистых инвестиций [1, 4].

Эквивалентная передаточная функция системы примет вид [5, 6]

W

Ф = -

W = -

1 - W-W

os

1 1

Ws = c + -

Tks +1 Tps +1

Bs

c (Tts +1) + Bs

Ф =

Ts +1 Ts + 1 Ts + 1

(4)

(Tks +1 )(Tps +1) {Ts +1)-c {Ts +1)-Bs

Рисунок 1 - Схема исследования модели экономического роста Филлипса в среде 81ти!1пк

системы МДТЬДВ

в

естник АПК

Экономика

-№ 2(26), 2017

227

Step1

Step2

cY

Gain

1 K 1

Tk.s+1 W Tp.s+1

B.s Ti.s+1

Y

№

■ Scope

Рисунок 2 - Схема исследования модели экономического роста с распределенным запаздыванием в инвестиционной сфере

Система имеет третий порядок, коэффициент ее передачи определяется выражением

ф _ 1 _ 1, где в - предельная склонность к

1 - С 5

сбережению, а коэффициенты характеристического полинома имеют вид

0,5

a = TJT; a = TkTp + TT + трт ;

a=T + tp + Ts - B; a = s.

(5)

Выполним исследование влияния распределенного запаздывания в инвестиционной сфере Тк методом корневого годографа с использованием МАТ_АВ [3, 7].

Будем изменять значение Тк от 10-0 5 до 10 при фиксированных остальных параметрах модели

Тк = 1одэрасе(-0,5, 0,5, 5);

Тр = 0,2; Т = 1; В = 0,70; с = 0,75.

Для каждого из пяти значений Тк по формулам вычислим значения коэффициентов характеристического полинома предлагаемой системы, а по ним и его корни - р. Результаты вычислений корней представлены в таблице и на рисунке 3.

A

z

Y

Tk 0,3162 0,5623 1,0000 1,7783 3,1623

Pi -9,0949 -7,4454 -6,4485 -5,8481 -5,4907

P2 -0,0337 + 0,6584/ -0,1665 + 0,5204/ -0,2757 + 0,3432/ -0,4427 -0,7264

Рз -0,0337 - 0,6584/ -0,1665 - 0,5204/ -0,2757 - 0,3432/ -0,2715 -0,0991

1

_1 1_I_I_I_I_

-10 -8 -6 -4 -2 0

Рисунок 3 - Корневой годограф системы при вариации Тк

Ежеквартальный

научно-практический

журнал

10

8----

6

4

2

0-1-1-1-1-'-1-

0 5 10 15 20 25 30 35

Рисунок 4 - Переходная характеристика системы при вариации Tk

Графики переходных характеристик системы в отношении национального дохода у^), соответствующие указанным изменениям распределенного запаздывания в инвестиционной сфере Тк, приведены на рисунке 4.

При этом меньшему значению Тк соответствует переходная характеристика с большей вариабельностью. По мере увеличения Тк вариабельность уменьшается, а затем и вовсе процесс становится монотонным.

Совместное влияние мультипликатора и акселератора, а также инерционные свойства инвестиционной и производственных сфер, вносящие фазовые сдвиги, объясняют появление колебаний национального дохода у^) [7].

Таким образом, предлагаемая в работе модель макроэкономики с распределенными запаздываниями как в инвестиционной, так и производственной сферах в большей степени соответствует реальной экономике, поскольку позволяет учесть объективно существующие инерционные свойства инновационного и производственного процессов.

Использование предлагаемого структурно-визуального подхода в среде 81ти!1пк системы МАТ|_АВ позволяет методом имитационного моделирования в наглядной форме исследовать модели экономических процессов, в том числе и нелинейных.

Литература

1. Батищева С. Э., Каданэр Э. Д., Симонов П. М. Экономико-математическое моделирование : учеб. пособие. Ч. 2 : Моделирование макроэкономических процессов / Пермский гос. ун-т. Пермь, 2010. 241 с.

2. Исследование моделей экономического роста Харрода - Домара и Филлипса в системе MATLAB. Экономические исследования: анализ состояния и перспективы развития : моногр. / под общ. ред. проф. М. Н. Максимовой. Кн. 43. Воронеж : ВГПУ ; М. : Наука-информ, 2016. 159 с.

3. Лазарев Ю. Моделирование процессов и систем в MATLAB : учебный курс. СПб. : Питер ; Киев : Издательская группа BHV, 2005. 512 с.

4. Аллен Р. Математическая экономия : пер. с англ. М. : Иностр. лит., 1963.

5. Литвин Д. Б., Дроздова Е. А. Математическое моделирование в среде визуального программирования // Современные наукоемкие технологии. 2013. № 6. С. 77-78.

6. Колемаев В. А. Математическая экономика : учебник для вузов. 2-е изд., перераб. и доп. М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2002. 399 с.

7. Гулай Т. А., Долгополова А. Ф., Литвин Д. Б. Визуализация решений дифференциальных уравнений в среде Simulink системы Mat-lab // Моделирование производственных процессов и развитие информационных систем. Ставрополь, 2012. С. 129-131.

References

1. Batishcheva E. S., Kadaner E. D., Simo-nov P. M. Economic-mathematical modeling: proc. allowance. Part 2 : Modeling of macro-economic processes ; Perm State University. Perm, 2010. 241 p.

2. The study of economic growth models of Har-rod-Domar and Phillips in MATLAB. Economic studies: analysis of the status and prospects of development : monograph / under the general editorship of professor M. N. Maxi-mova. book 43. Voronezh : VSPU ; M. : Science-inform, 2016. 159 p.

3. Lazarev Yu. Modeling processes and systems in MATLAB : training course. SPb. : Peter ; Kiev : Publishing group BHV, 2005. 512 p.

4. Allen R. Mathematical economy : transl. from English. Moscow : Foreign. lit., 1963.

5. Litvin D. B., Drozdova E. A. Mathematical modeling in the environment of visual programming // Modern high technologies. 2013. № 6. P. 77-78.

6. Kolemaev V. A. Mathematical Economics: textbook for universities. 2nd ed., rev. and extra. M. : YUNITI-DANA, 2002. 399 p.

7. Gulay T. A., Dolgopolova, A. F., Litvin D. B. Visualization of solutions of differential equations in Simulink environment of MATLAB // Modelling of production processes and the development of information systems. Stavropol, 2012. P. 129-131.