Дифференциальная модель макроэкономического роста с эндогенной цикличностью Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

........................................................................... ISSN 1993-047Х (Print) / ISSN 2410-0390 (Online) ...........................................................................

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ЭКОНОМИКИ / MATHEMATICAL AND INSTRUMENTAL METHODS IN ECONOMICS

УДК 330.101.541:330.4:51 DOI: http://dx.doi.org/10.21202/1993-047X.11.2017.3.43-55

М. И. ГЕРАСЬКИН1 П. В. ПОРУБОВА1

1 Самарский национальный исследовательский университет им. академика С. П. Королева, г. Самара, Россия

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКОГО РОСТА С ЭНДОГЕННОЙ ЦИКЛИЧНОСТЬЮ

Цель: разработка математической модели экономического роста, учитывающей цикличность макроэкономической динамики, формирование параметров модели на основе статистики экономики России.

Методы: экономико-математическое моделирование, системный анализ, регрессионный факторный анализ, эконо-метрический анализ временных рядов.

Результаты: в статье определено, что в условиях неустойчивого экономического роста России прогнозирование стратегических перспектив российской экономики является одним из актуальных направлений научных исследований. При этом уточняется, что построение прогнозных моделей должно базироваться на использовании множества факторов, основанных на таких базовых концепциях, как неокейнсианская модель Харрода - Домара, модель П. Рамсея - Д. Касса - Т. Купманса, концепция С. В. Дубовского, а также неоклассической модели роста Р. Солоу. На их основе разработана многофакторная дифференциальная модель экономического роста, представляющая собой модификацию неоклассической модели роста Р. Солоу, учитывающая трудосберегающую и капиталосберегающую формы научно-технического прогресса и кейнсиан-скую концепцию инвестиций. Параметры модели определены на основе динамики реального ВВП, занятости, основных фондов и инвестиций в основные фонды за 1965-2016 гг. в России, на базе официальных статистических данных. Обобщенная модель показала наличие длинноволновых колебаний, не выявляемых при моделировании отдельных периодов. Выявлена цикличность макроэкономической динамики с периодом 54 года, что соответствует параметрам длинных волн Н. Д. Кондратьева. На основе построенной модели был сформирован прогноз макроэкономического роста, который показывает, что после 2020 г. прирост научно-технического прогресса будет отрицательным.

Научная новизна: предложена модель индикатора научно-технического прогресса в виде темпа роста отношения капиталоотдачи к норме накопления; получена дифференциальная модель макроэкономического роста, эндогенно учитывающая цикличность.

Практическая значимость: дифференциальная модель роста может быть использована для прогнозирования макроэкономической динамики, в том числе экономических кризисов, в целях стратегического регулирования экономики и разработки государственных программ экономического развития.

Ключевые слова: математические и инструментальные методы экономики; экономический рост; цикличность; дифференциальная модель экономической динамики; макроэкономическая динамика России

I ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■

Как цитировать статью: Гераськин М. И., Порубова П. В. Дифференциальная модель макроэкономического роста с эндогенной цикличностью // Актуальные проблемы экономики и права. 2017. Т. 11, №2 3. С. 43-55. DOI: http://dx.doi. о^/10.21202/1993-047Х.11.2017.3.43-55

IIIШМШМШ N111ШМШМШ N111ШМШМШ N111 NN N111 N111ШМШМШ N111ШМШМШ N111ШМШМШ N111 NN N111 N111 NNNN11111 N111 NNNN11111 N111 NNNN11111 N111 NNNN11111 N111 N111 NNNN11111 N111 NNNN11111 ИМИ

........................................................................... ISSN 1993-047Х (Print) / ISSN 2410-0390 (Online) ...........................................................................

M. I. GERASKIN1 P. V. PORUBOVA1

1Samara national research University named after academician S. P. Korolev, Samara, Russia

DIFFERENTIAL MODEL OF MACROECONOMIC GROWTH WITH ENDOGENIC CYCLICITY

Objective: to elaborate a mathematical model of economic growth, taking into account the cyclical nature of macroeconomic dynamics, with the model parameters based on the Russian economy statistics.

Methods: economic and mathematical modeling, system analysis, regression factor analysis, econometric time series analysis. Results: the article states that, under unstable economic growth in Russia, forecasting of strategic prospects of the Russian economy is one of the topical directions of scientific studies. Furthermore, construction of predictive models should be based on multiple factors, taking into account such basic concepts as the neo-Keynesian Harrod-Domar model, Ramsey - Cass -Koopmans model, S. V. Dubovskiy's concept, as well as the neoclassical growth model by R. Solow. They served as the basis for developing a multi-factor differential economic growth model, which is a modification of the neoclassical growth model by R. Solow, taking into account the labor-saving and capital-saving forms of scientific-technical progress and the Keynesian concept of investment. The model parameters are determined based on the dynamics of actual GDP, employment, fixed assets and investments in fixed assets for 1965-2016 in Russia, on the basis of official statistics. The generalized model showed the presence of long-wave fluctuations that are not detected during the individual periods modeling. The cyclical nature of macroeconomic dynamics with a period of 54 years was found, which corresponds to the parameters of long waves by N. D. Kondratiev. Basing on the model, the macroeconomic growth forecast was generated, which shows that after 2020, the increase of scientific-technical progress will be negative.

Scientific novelty: a model is proposed of the scientific-technical progress indicator showing the growth rate of the capital productivity ratio to the saving rate; a differential model of macroeconomic growth is obtained, which endogenously takes cyclicity into account.

Practical significance: the differential growth model can be used to predict the macroeconomic dynamics, including economic crises, for the strategic regulation of the economy and elaboration of state programs of economic development.

Keywords: Mathematical and instrumental methods in Economics; Economic growth; Cyclicality; Differential model of economic dynamics; Macroeconomic dynamics in Russia

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIM

For citation: Geraskin M. I., Porubova P. V. Differential model of macroeconomic growth with endogenic cyclicity, Actual Problems of Economics and Law, 2017, vol. 11, No. 3, pp. 43-55 (in Russ.). DOI: http://dx.doi. org/10.21202/1993-047X.11.2017.3.43-55

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIM

Введение В научной литературе проблемы моделирования

Неустойчивость экономического роста России и экономического роста и цикличности глубоко иссле-

необходимость научного предвидения стратегиче- дованы. Тренд-циклическая динамика макроэкономи-

ских перспектив развития страны актуализируют ческих показателей ведущих стран мира, выявленная

исследования в области построения экономико- Н. Д. Кондратьевым [1] и подтвержденная в последу-

математических моделей, адекватно отражающих ющих исследованиях [2-5], предопределила появление

объективные тренды макроэкономической дина- обширного корпуса прогнозных моделей, основанных

мики. Многие процессы в рыночной экономике, на эконометрическом анализе временных рядов [6-8].

как показал мировой и отечественный опыт, имеют Однако однофакторные временные модели и модели

закономерный циклический характер. Поэтому авторегрессии в явном виде не отражают взаимовлия-

имеется возможность прогнозирования кризисов, ния макроэкономических показателей, что снижает их

и на основе этих прогнозов могут формироваться аналитическую ценность и приводит к необходимости

программы антикризисной и антициклической по- разработки многофакторных эконометрических моде-

литики государства. лей трендов и циклических колебаний, основанных на

ISSN 1993-047Х (Print) / ISSN 2410-0390 (Online) ...........................................................................

следующих базовых концепциях. Кейнсианские модели экономического роста Р. Харрода [9], Е. Домара [10] имеют вид однофакторной производственной функции валового внутреннего продукта (ВВП) от капитала при эндогенных (индуцированных ростом ВВП) инвестициях и сводятся к обыкновенному дифференциальному уравнению первого порядка, решение которого - трен-довая траектория экспоненциального роста. Неоклассическая модель экономического роста Р. Солоу [11] предложена в виде двухфакторной производственной функции ВВП от капитала и труда в предположении их взаимозаменяемости. Модель развита П. Ромером [12], Р. Лукасом [13] на основе предположения о возрастающей предельной производительности труда за счет эндогенного научно-технического прогресса (НТП).

В современных теориях роста преобладает модель Солоу [14] и различные ее вариации [15-20]. Традиционной является модель с трудосберегающим НТП, приводящая к дифференциальному уравнению первого порядка относительно капиталовооруженности труда, решением которого также является экспоненциальный тренд. Циклические макроэкономические процессы описаны в кейнсианской модели мультипликатора-акселератора П. Самуэльсоном [21] и Р. Гудвином [22] на основе экзогенных однопери-одных временных лагов ВВП и инвестиций. Модель сводится к дифференциальному уравнению второго порядка, решением которого при некоторых соотношениях параметров является гармоническая функция динамики ВВП. Модификация модели Солоу путем введения П. Ромером [23] эндогенного НТП, задаваемого темпом улучшения технологии как мультипликатором производственной функции, сводится к дифференциальному уравнению первого порядка с переменными коэффициентами относительно капиталовооруженности, которое определяет экспоненциальный тренд и гармонические колебания ВВП.

Поскольку сущностная взаимосвязь процессов экономического роста и цикличности несомненна, актуальной остается проблема создания моделей роста с эндогенной цикличностью, исследованная С. В. Ду-бовским [24] в следующей постановке. Модель Р. Со-лоу с эндогенным трудосберегающим НТП дополнена гипотезой пропорциональности инвестиций и ВВП (эндогенные инвестиции Харрода - Домара), а также гипотезами пропорциональности темпов прироста капитала, занятости, выбытия капитала и НТП коэф-

фициенту обновления капитала (отношению инвестиций к капиталу). Модель С. В. Дубовского сводится к системе двух нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка относительно капиталоотдачи и темпа прироста НТП, общее и частное решения которой определяют тренд и цикличность ВВП. Модифицированная таким образом модель Р. Солоу конструктивна, поскольку приводит к цикличности НТП эндогенно, однако не лишена некоторых несовершенств. В частности, вызывает сомнение обоснованность гипотезы пропорциональности темпа роста НТП и оборачиваемости капитала, а также не формализована связь темпа НТП с параметрами динамики моделируемой экономической системы, вследствие чего невозможно верифицировать этот показатель на эмпирических данных. В связи с этим в исследовании ставилась задача разработки модификации модели Р. Солоу, эндогенно учитывающей цикличность НТП при функциональной связи с показателями макроэкономической динамики.

Результаты исследования

Математическая модель макроэкономической динамики

Рассмотрим производственную функцию Р. Солоу с постоянной отдачей от масштаба (линейно-однородную) при эндогенном трудосберегающем НТП У = АК (Ш)1_а, записанную в темповой (дифференциальной) форме:

У

K

— = а--+(1 -а)

Y K

(

\

L U — + —

vL U J

(1)

где У - ВВП экономики, К - валовой производственный капитал (основные фонды) экономики; L - численность занятых в экономике; и - средний технологический уровень экономики; а, (1 — а) - коэф-фициенты факторной эластичности выпуска. Введем следующие предположения.

Предположим, во-первых, что инвестиции пропорциональны ВВП, базируясь на неокейнсианской концепции эндогенных (индуцированных) инвестиций, принятой в модели Харрода - Домара:

I = п¥, (2)

где I - инвестиции в основной капитал; п - норма накопления. Поскольку рассматривается двухфактор-ная производственная функция, то часть ВВП, расходуемая на воспроизводство капитала, равна норме

ISSN 1993-047Х (Print) / ISSN 2410-0390 (Online) ...........................................................................

накопления, поэтому положим а = п, и уравнение (1) можно записать в виде:

Y=nK+(1 - n)(l+u)'

(3)

y

= (1 - n )y

f

i K l + u--

K

Л

(4)

J

(5)

где ц - коэффициент выбытия (амортизации) капитала. Предположение (5) следует из баланса капитала, использованного в модели Харрода - Домара: прирост капитала К равен инвестициям за вычетом выбывшего капитала М, т. е. К = I - М, что в относительной форме дает (5).

В-третьих, используем введенные С. В. Дубовским гипотезы [25] о пропорциональности динамики ц, I отклонению коэффициента обновления капитала от равновесного (трендового) значения:

I

м = мЛ к'

(6)

В-четвертых, предположим пропорциональность темпа прироста НТП темпу прироста отношения ка-

У г2

питалоотдачи к норме накопления ъ = — = — :

п К1

где l - темп прироста занятости, и - темп прироста

НТП. Заменим переменные Y и K в виде капитало-

Y . YK - KY

отдачи y = —, производная которой y =--—

K K позволяет преобразовать (3) к виду:

5

u = —. 5

(8)

Во-вторых, предположим пропорциональность темпа прироста капитала и коэффициента обновления I

капитала —: К

КС I

— =--Ц,

КК

где ц0 - стационарное значение коэффициента выбытия капитала; к0 - стационарное значение скорости обновления производственных фондов (отношения инвестиций к стоимости производственных фондов).

С целью объяснения феномена цикличности занятости была исследована взаимосвязь между темпом прироста занятости и нормой накопления основного капитала, отражающая концепцию трудосберегающего научно-технического прогресса Р. Солоу:

I = 10 + 1\П, (7)

где I - темп прироста занятости; п = ^ выражено из уравнения (2); 10 , 11 - константы, 10 соответствует темпу прироста занятости при отсутствии инвестиционного процесса (автономному приросту занятости), I! < 0 отражает темп падения I вследствие инвестиционного процесса в экономике.

Гипотеза (8) выдвинута на основе таких концепций факторов НТП, как модель растущего разнообразия товаров [26], модель замещения ассортимента [27], модель импорта технологий [28], объясняющих НТП как процесс сокращения затрат ресурсов на производство новых продуктов. Модели приводят к двум факторам роста НТП: 1) эффекту увеличения ВВП при данном уровне капитала, формализуемому как рост капиталоотдачи; 2) эффекту сокращения затрат капитала при данном уровне ВВП в виде снижения нормы накопления. Динамика и, определенного по (8), имеет колебательный характер, поскольку рост 5 вследствие относительного увеличения ВВП к капиталу и инвестициям приводит в тенденции к недокапитализации экономики, что впоследствии предопределяет спад ВВП по (1), а значит, и снижение 5. В связи с этим введем следующую гармоническую модель НТП:

и = и0 + и2), (9)

где и0, и1, и2 - константы, интерпретируемые как амплитуда, частота и фаза колебаний темпа прироста НТП.

В-пятых, учитывая устойчивую связь нормы накопления и капиталоотдачи, отмеченную [29] во всех фазах последнего большого цикла в экономике стран ОЭСР, введем предположение о линейной зависимости нормы накопления от капиталоотдачи:

п = п1 у + п0, \пх\< 1, (10)

где п0 - трендовое значение нормы накопления; п! -коэффициент опережения или замедления динамики нормы накопления по сравнению с трендом. В отличие от степенной функции п(у), принятой С. В. Дубовским, гипотеза (10) позволяет упростить модель без существенной потери адекватности; линейная функция п(у) вытекает из анализа модели П. Рам-сея - Д. Касса - Т. Купманса [30-32] для экономики в равновесии.

После преобразований (4) с учетом (2), (5) - (7), (9), (10), приведенных в приложении, получим обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка:

у = с (ф + С2 ()у2 + С3 уУ + с4у4, (11)

ISSN 1993-047Х (Print) / ISSN 2410-0390 (Online) ...........................................................................

(12)

коэффициенты которого рассчитываются по формулам: С1(' )=(! - п0 )(Ь + п010 )> с2 (/) = п0а(1 - п0) + п1 ((1 - 2п0) 11 - Ь), с3 = п1 [а(1 - 2п0) - п111 ], с4 = -ш;2,

где Ь = ¡0 + и0 8т(и^ + и2), а = Ц0кз -1.

Уравнение (11) позволяет описать динамику капи-талоотдачи, зависящую от относительно устойчивых параметров, характеризующих тенденции инвестиционных процессов и занятости, а также гармонической функции НТП. Правая часть уравнения представляет собой непрерывную функцию, дифференцируемую по у, следовательно, существует решение, которое далее найдено в численном виде.

Результаты численного моделирования

Параметры модели определены на основе динамики реального ВВП, занятости, основных фондов и инвестиций в основные фонды за 1965-2016 гг. в России на базе официальных статистических данных1. При помощи эконометрического анализа с применением метода наименьших квадратов была проведена параметризация уравнений (2), (6), (7), (9) на основе статистики до 2014 г. [33]. С учетом данных до 2016 г. были получены значения параметров, представленные в табл. 1.

Анализ моделей (табл. 1) показал обратную взаимосвязь нормы накопления основного капитала (п) и капиталоотдачи (у) для советского периода и прямую линейную зависимость для современной рыночной экономики. Наблюдалось изменение зависимости темпа прироста занятости (¡) от нормы накопления капитала (п): сдвиг тренда в сторону снижения автономного темпа прироста занятости (¡0). При анализе было выявлено, что в трансформационный период (1989-1999 гг.) зависимости п (у), I (п) не имели явного тренда, ввиду чего данный период был исключен. Полученные функциональные зависимости за 1965-1988 гг. и 2000-2016 гг. обладают достаточной степенью достоверности, о чем свидетельствуют значения коэффициента детерминации, приведенные в табл. 1.

Численное решение уравнения прироста капиталоотдачи (11) с использованием рассчитанных параметров (табл. 1), которое было найдено при помощи математического моделирования в программной среде Ма^аЬ, представлено на рис. 1. На графике отражена фактическая динамика капиталоотдачи, а также расчетные значения за период с 1965 до 2016 гг.

Таблица 1

Статистические оценки значения параметров моделей и их достоверности* Table 1. Statistical evaluation of the values of model parameters and their reliability*

Модель / Model Параметр / Parameter Значение параметра для ретроспективного периода / Significance of the parameter for retrospective period Коэффициент детерминации для ретроспективного периода R2 / Determination coefficient for R2 retrospective period

1965-1988 гг. 2000-2016 гг. 1965-1988 гг. 2000-2016 гг.

n = ni y + n0 n0 0,422 0,024 0,9 0,5

ni -0,123 0,443

Ц = ЦсЛ) -1 K 0,779 0,9

l = l0 + l1n lo 0,0635 0,051 0,9 0,6

ll -0,174 -0,174

u = u0 sin(M1i + u2 ) u0 0,053 0,6

u1 0,148

u2 0,997

* Источник: составлено авторами.

* Source: compiled by the authors.

1 Федеральная служба государственной статистики РФ. URL: http://www.gks.ru/ (дата обращения: 16.03.2017); Народное хозяйство РСФСР. Проект «Исторические материалы». URL: http://istmat.info/node/21356 (дата обращения: 16.03.2017).

ISSN 1993-047Х (Print) / ISSN 2410-0390 (Online) ...........................................................................

I

ю

Рч

2,2 2 1,8 1,6 1,4 1,2 1

0,8 0,6 0,4 0,2

\

To ♦

■ . V 3 \

it

4

Л О

X;

W ° о 0 Л ° a

»1 ' о о о о "

1965

1975

2005

2015

1985 1995

Год / Year

ooo Фактические значения / Factual values —Расчетные значения / Calculated values

Рис. 1. Динамика фактических и расчетных значений капиталоотдачи в 1965-2016 гг.*

*Источник: рассчитано авторами на основе [33, 34].

Fig. 1. The dynamics of the actual and calculated values of capital productivity in 1965-2016*

* Source: calculated by the authors on the basis of [33, 34].

Обобщенная модель (рис. 2) получена путем подбора аппроксимирующей функции, адекватной для двух временных интервалов (1965-1988 гг. и 2000-2016 гг.):

у = 9,732 ■ 1025 ■ е-0-030257' 0,232sin (0,117 ■ г + 3,414) (13) с коэффициентом детерминации, равным Я2 = 0,98.

Обобщенная модель показала наличие длинноволновых колебаний, не выявляемых при моделировании отдельных периодов (плановой и рыночной экономики) ввиду недостаточного объема выборки (24 и 17 лет в соответствующих периодах). Период гармонических колебаний для функции (14) равен:

2п

T = -

0,117

<54.

(14)

авторами в виде колебаний таких показателей, как ВВП (ВНП), национальный доход, динамика производства конкретных видов продукции, индексов цен и др. [34-41], периоды цикличности которых приведены в табл. 2. Полученная модель капиталоотдачи (13) соответствует циклу Кондратьева как по длительности периода, так и по фундаментальной зависимости от динамики НТП.

Проведем проверку адекватности модели (13) принятым при моделировании предпосылкам (8) - (10). Найдем отношение капиталоотдачи к норме накопления по модели капиталоотдачи (13) и модели нормы накопления (10):

g = y = 9,732 -10

25 -0,030257t

0,232sin(0,117 -1 + 3,414)

Таким образом, решение уравнения (11) представляет собой тренд и гармоническую функцию с периодом цикла, составляющим 54 года. Длинные волны были выявлены на основе различных ретроспективных данных как российскими, так и зарубежными

п п1 у + п0

Дифференцируя это выражение, получим с учетом (8) формулу темпа прироста НТП:

и =- = 0,07 зт(0,12? + 4,87). (15)

8

........................................................................... ISSN 1993-047Х (Print) / ISSN 2410-0390 (Online) ...........................................................................

2,5

2,0

% U Pi

ю

Ph 1,0

0,5

0,0

WN -

...... .......... -гОО . — • • » «

--

1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010 2015 2020 2025 2030

Год / Year

О Фактические данные / Factual data .........Тренд / Trend

- ♦ Кусочная модель / Piecewise model

—С— Прогноз по кусочной модели / Forecast by piecewise model

-Обобщенная модель / Generalized model

• Прогноз по обобщающей модели / Forecast by generalized model

Рис. 2. Дробно-кусочная и обобщенная модели цикла капиталоотдачи в экономике России в 1965-2016 гг.

и прогнозы на 2017-2030 гг.*

* Источник: составлено авторами.

Fig. 2. Fractional piecewise and generalizing models of the capital productivity cycle in the Russian economy

in 1965-2016 and forecasts for 2017-2030*

* Source: compiled by the authors.

Таблица 2

Оценка продолжительности длинноволновых колебаний экономической конъюнктуры разными авторами* Table 2. Estimation of duration of long-wave fluctuations of economic conjuncture by different authors*

Исследователи / Researchers Период цикла, лет / Cycle period, years

Н. Д. Кондратьев (1925) / N. D. Kondratiev (1925) 41-60

Й. А. Шумпетер (1939) / J. A. Schumpeter (1939) 55

Л. Дюприе (1947) / L. Dupre (1947) 47-58

Г. Менш (1971) / G. Mensch (1971) 50-60

Е. Мандель (1980) / E. Mandel (1980) 40-54

М. Хироока (2006) / M. Hirooka (2006) 51-57

В. И. Пантин и В. В. Лапкин (2006) / V. I. Pantin & V. V. Lapkin (2006) 46-58

С. Ю. Глазьев (2010) / S.Yu. Glazyev (2010) 44-57

Л. Е. Гринин и А. В. Коротаев (2012) / L. E. Grmm & A. V. Korotayev (2012) 44-49

* Источник: составлено авторами на основе [1, 36-43].

* Source: compiled by the authors based on [1, 36-43].

ISSN 1993-047Х (Print) / ISSN 2410-0390 (Online) ...........................................................................

Период цикла НТП (15) равен 54 годам, что согласуется с прогнозом по модели (13).

На основе моделей (13) и (15) построен фазовый портрет колебаний прироста капиталоотдачи ёу и прироста параметра НТП ёи (рис. 3) при следующей модели НТП в дифференциальной форме:

U = U0U\ COS(Mjt + и2).

(16)

Фазовый портрет демонстрирует циклы с постоянной амплитудой и периодов колебаний, имеющие фазовый сдвиг (запаздывание), которое приводит к смещению среднего показателя прироста капи-талоотдачи - «точки стационарности». На графике видно, что на новом витке цикла средний показатель прироста капиталоотдачи перейдет в новое стационарное положение, соответствующее более высокому значению средних темпов прироста капиталоотдачи при убывающем тренде ее динамики. Эллипсовидный характер траектории колебаний относительно координатных осей показывает существенный сдвиг по фазе колебаний динамики капиталоотдачи и НТП.

На рис. 4 представлена динамика нормированных колебаний индикатора НТП и капиталоотдачи.

Рисунок 4 иллюстрирует сдвиг фаз гармоник НТП и капиталоотдачи, обусловленный временным лагом научно-технического и инвестиционного процессов. Падение капиталоотдачи, приводящее к снижению ВВП, создает мотивацию создания научно-технических разработок, направленных на повышение капиталоот-дачи, но их создание и внедрение в практику требует определенного времени. С другой стороны, между началом инвестирования в обновление капитала на новой технической основе и моментом наибольших темпов отдачи от капитала также наблюдается временной лаг. В частности, фаза положительной динамики ВВП в России в 2000-е гг. сопровождалась повышением темпа прироста капиталоотдачи, а темпы прироста НТП с 2005 г. начали снижаться. Прогноз по модели показывает, что после 2020 г. прирост НТП будет отрицательным. Прогноз динамики капиталоотдачи следующий: максимальный прирост будет отмечен в 2018-2020 гг., после чего темпы прироста капиталоотдачи будут снижаться, и с 2030 г. прирост капиталоотдачи будет отрицательным. Падение капиталоотдачи приведет к снижению ВВП, что впоследствии создаст стимулы для перехода к повышательной фазе НТП.

dy

0,03 -|

-+-

-0,01

-0,0075

-0,005

-0,0025

V

0,00 0,01 ■0,02 -

-+-

0,0025

0,005

\ du

0,01

-----/

_п ал - л^

К

-0,04 -0,05 -

-0,07 -

— 1967-2016 гг. —•—Прогноз / Forecast

С Точка стационарности 0 / Stationarity point 0 А Точка стационарности 1 / Stationarity point 1

Рис. 3. Фазовый портрет цикла НТП и капиталоотдачи в экономике России*

* Источник: составлено авторами.

Fig. 3. Phase portrait of the scientific and technological progress and capital productivity cycle in the Russian economy*

* Source: compiled by the authors.

ISSN 1993-047Х (Print) / ISSN 2410-0390 (Online) ...........................................................................

■e =

И

£

1

0,8 0,6 0,4 0,2 0

V

-0,4 -0,6 -0,8 -1

\ У Л

2015 ♦ 2025 \

Год / Year

V

-u норм. / u norm. u-прогноз / u-forecast

-y норм. / y norm. -y-прогноз / y-forecast

Рис. 4. Динамика нормированных колебаний показателей НТП и капиталоотдачи*

* Источник: составлено авторами.

Fig. 4. Dynamics of normalized fluctuations of scientific and technological progress and capital productivity indicators*

* Source: compiled by the authors.

Выводы

Разработана дифференциальная модель макроэкономической цикличности, описывающая динамику капиталоотдачи как функцию параметра НТП. Предпосылками модели являлись неоклассическая производственная функция Р. Солоу с постоянной отдачей от масштаба, неокейнсианская концепция индуцированных инвестиций, а также подтвержденные статистически гипотезы о функциональной природе процесса выбытия капитала и процесса изменения динамики занятости.

Разработанная модель апробирована на статистических данных по макроэкономическим показателям РФ за 1965-2016 гг., что показало достоверность данной модели и подтвердило возможность ее при-

менения для описания долгосрочной динамики ка-питалоотдачи, являющейся важнейшим показателем эффективности экономики. Период циклических колебаний капиталоотдачи составляет порядка 54 лет, что соответствует длинным волнам Н. Д. Кондратьева, предопределенным динамикой НТП.

Прогноз по модели демонстрирует, что при сохранении сложившихся в 1965-2016 гг. тенденций инвестиционной и инновационной активности индикатор НТП и капиталоотдача будут иметь понижательную тенденцию в 2017-2030 гг. Следовательно, для обеспечения роста экономики РФ необходимы специальные масштабные меры по повышению нормы накопления, более интенсивной замене капитала и росту эффективности вновь вводимого основного капитала.

Математические и инструментальные методы экономики IIТТ1ГТ Актуальные проблемы экономики и права. 2017. Т. 11, № 3 Mathematical and instrumental methods in economics ¡¿¡щ^^ Actual Problems of Economics and Law, 2017, vol. 11, No. 3

........................................................................... ISSN 1993-047Х (Print) / ISSN 2410-0390 (Online) ...........................................................................

ПРИЛОЖЕНИЕ

Обоснование формулы (11)

Подставив (5) - (7), (9), в (4), получим:

y = (l - l0 + ll« + u0 sin(«1? + u2 ) - K +10k0 K

откуда с учетом (2) следует:

y = (l — n)y[/0 + lin + U0 sinUit + U2 ) + ny(|i0^0 — l)]. После подстановки (10) получим:

y = (l — n0 — n1 У)y{(n0 + n1 y)[l1 + y(l0k0 —1)] +10 + u0 sin(uit + u2 )},

(П1) y = (l — n0 — n1 У)У[(п0 + n1 У)(«У +11 ) + b],

где a = |0^0 — 1, b = I0 + U0 sin(uit + U2 ).

Раскрывая скобки в (П1), получим:

2 3 4

y = ci y + С2 y + С3 y + С4 y ,

где коэффициенты ci (t) = (l — «0 )(b + «0^ ) = (l — «0 )[l0 («0 +1) + Щ) sin(uit + u2 )], C2 (t) = «0a(l — «0 ) + ni ((l — 2«0 )li — b) = «0 (l — «0 )(|0k0 — l) + «l [(l — 2«0 l —10 + u0 sin(uit + u2 )], c3 = «l[a(l — 2«0 ) — «lll ] = «l[(l0 k0 — l)(l — 2«0 ) — «lll ] C4 = —a«2 = (l — 10k0 )«2 определяются по (12).

II NN INN NN INN INN NN INN NN INN NN INN INN NN INN NN INN INN NN INN NN INN NN INN INN NN INN NIM

Список литературы

1. Кондратьев Н. Д. Большие циклы экономической конъюнктуры // Большие циклы конъюнктуры и теория предвидения. Избранные труды. М.: Экономика, 2002. 767 с.

2. Коротаев А. В., Гринин Л. Е. Кондратьевские волны в мир-системной перспективе // Кондратьевские волны. Аспекты и перспективы / А. А. Акаев, Р. С. Гринберг, Л. Е. Гринин, А. В. Коротаев, С. Ю. Малков. Волгоград: Учитель, 2012. С. 58-109.

3. Klinov V. G. The Evolution of Long Waves in the World Economy // Studies on Russian Economic Development. 2015. Vol. 26. № 3. Pp. 285-294.

4. Klinov V. G. World economy long cycle in XXI century // World Economy and International Relations. 2016. № 60 (12). Pp. 5-16.

5. Bernard L., Gevorkyan A. V., Palley T. I., Semmler W. Time scales and mechanisms of economic cycles: A review of theories of long waves // Review of Keynesian Economics. 2014. № 2 (1). Pp. 87-107.

6. Granger C. W. J., Watson M. W. Time series and spectral methods in econometrics // Handbook of Econometrics. Amsterdam: Elsevier. 1986. № 2. Pp. 979-1022.

7. Apostoaie C.-M., Percic S., Cocri§ V., Chirles^n D. Research on the credit cycle and business cycle with a focus on ten states from central, eastern, and southeastern Europe // Emerging Markets Finance and Trade. 2014. № 50. Pp. 63-77.

8. Kufenko V., Geiger N. Business cycles in the economy and in economics: An econometric analysis // Scientometrics. 2016. № 107 (1). Pp. 43-69.

9. Harrod R. Scope and Method of Economics // Economic Journal. 1938. № 48 (Sept.). Pp. 383-412.

10. Domar E. D. Essays in the theory of economic growth. N.Y.: Oxford University Press, 1957. 272 p.

11. Solow R. M. A contribution to the theory of economic growth // Quarterly Journal of Economics. 1956. № 70. Pp. 65-94.

12. Romer P. Increasing returns and long run growth // Journal of political economy. 1986. № 94. Pp. 1002-1037.

13. Lucas R. On the mechanics of economic development // Journal of monetary economics. 1988. № 22. Pp. 3-42.

14. Solow R.M. Growth theory: an exposition. Oxford: Oxford University Press. 1970. 109 р.

........................................................................... ISSN 1993-047Х (Print) / ISSN 2410-0390 (Online) ...........................................................................

15. Devesh Raval. Beyond Cobb-Douglas: Estimation of a CES Production Function with Factor Augmenting Technology // Working Paper 11-05 (U.S. Census Bureau, Center for Economic Studies). February 2011. URL: http://ideas.repec.org/p/cen/ wpaper/11-05.html (дата обращения: 23.01.2017).

16. Bianca C., Guerrini L. Existence of limit cycles in the solow model with delayed-logistic population growth // The Scientific World Journal, 2014. URL: https://www.hindawi.com/journals/tswj/2014/207806/ (дата обращения: 23.01.2017).

17. Dalgaard C.-J., Strulik H. The history augmented solow model // European Economic Review. 2013. № 63. Pp. 134-149.

18. Ferrara M., Guerrini L., Mavilia R. Modified neoclassical growth models with delay: A critical survey and perspectives // Applied Mathematical Sciences. 2013. № 7 (85-88). Pp. 4249-4257.

19. Yamarik S. State-level capital and investment: Updates and implications // Contemporary Economic Policy. 2013. № 31 (1). Pp. 62-72. 20. Li D.-H., Xia, E.-J. Research on influence of human capital on the economy growth based on the extended solow model / Paper presented at the International Conference on Management Science and Engineering // Annual Conference Proceedings, 2013, pp. 1460-1465.

21. Samuelson P. Interaction between the Multiplier Analysis and the principle of Acceleration // The Review of Economic Statistics. 1939. № 21. Pp. 75-78.

22. Goodwin R. The nonlinear accelerator and the persistence of business cycles // Econometrica. 1951. Vol. 19. № 1 (Jan.). Pp. 1-17.

23. Romer P. M. Endogenous technological change// Journal of Political Economy. 1990. Vol. 98. № 5. Part 2. Pp. 337-367.

24. Дубовский С. В. Объект моделирования - цикл Кондратьева // Математическое моделирование. 1995. Т. 7. № 6. С. 65-74.

25. Дубовский С. В. Новые модели инвестиционных и технологических циклов в экономике // Экономический рост и циклы. М.: ВНИИСИ. 1991. Вып. 12. С. 4-13.

26. Romer P. M. Increasing Returns and Long-Run Growth // Journal of Political Economy. 1986. Vol. 94, October. Pp. 1002-1037.

27. Aghion P., Howitt P. Model of Growth Through Creative Destruction // Econometrica. 1992. № 60 (March). Pp. 323-351.

28. Easterly W., King R., Levine R., Rebelo S. Policy, technology adoption and growth in R. Solow and L. Pasinetti (eds.) "Economic Growth and the Structure of Long Term Development" // International Economic Association (IEA) Conference 112. 1994. Pp. 75-89.

29. Клинов В. Г. Научно-технический прогресс и большие циклы конъюнктуры мирового хозяйства // Проблемы прогнозирования. 2003. № 1. С. 118-135.

30. Ramsey P. Mathematical Theory of Saving // Economic Journal. 1928. Vol. 38. No. 152 (Dec.). Pp. 543-559.

31. Cass D. Optimum Growth in an Aggregative Model of Capital Accumulation // Review of Economic Studies. 1965. Vol. 32. No. 3 (Jul.). Pp. 233-240.

32. Koopmans T. On the Concept of Optimal Economic Growth // The Economic Approach to Development Planning. Amsterdam: Elsevier. 1965. Pp. 225-287.

33. Гераськин М. И., Порубова П. В. Трендовый анализ динамики макроэкономических показателей Российской Федерации в 1956-2014 гг // Вестник Самарского государственного экономического университета. 2017. № 4. С. 5-18.

34. Schumpeter J. A. Business Cycles. A Theoretical, Historical and Statistical Analysis of the Capitalist Process. N. Y.: McGraw-Hill Book Company, 1939. 461 р.

35. Dupriez L. H. Des Mauvements Economiques Generaux. Vol. 2. Pt. 3. Louvain: Institut de Recherches de Louvain Economiques et Sociales de L'universite, 1947.

36. Менш Г. О динамике технического прогресса // Журнал экономики предприятия. 1971. № 41. С. 295-314.

37. Mandel E. Long Waves of Capitalist Development: The Marxist Interpretation. New York: Cambridge University Press, 1980. 184 р.

38. Hirooka M. Innovation Dynamism and Economic Growth. A Nonlinear Perspective. Cheltenham, Northampton: Edward Elgar, 2006. 448 р.

39. Пантин В. И., Лапкин В. В. Философия исторического прогнозирования: Ритмы истории и перспективы мирового развития. Дубна: Феникс+, 2006. 448 с.

40. Глазьев С. Ю. Стратегия опережающего развития России в условиях глобального кризиса. М.: Экономика, 2010. 255 с.

41. Гринин Л. Е., Коротаев А. В. Циклы, кризисы, ловушки современной Мир-системы. М.: Либроком, 2012. 480 с.

Ill ММ Mill ММ Mill ММ Mill ММ Mill ММ Mill ММ Mill Mill ММ Mill ММ 1ММ^

References

1. Kondratiev N. D. Large cycles of economic conjuncture, Large cycles of conjuncture and the theory of anticipation. Selected works, Moscow: Ekonomika, 2002. 767 p. (in Russ.).

2. Akaev A. A., Grinberg R. S., Grinin L. E., Korotaev A. V., Malkov S. Yu. Kondratiev waves in the world-systems prospect. Kondratiev waves. Aspects andprospects,Volgograd: Uchitel', 2012, pp. 58-109 (in Russ.).

........................................................................... ISSN 1993-047Х (Print) / ISSN 2410-0390 (Online) ...........................................................................

3. Klinov V. G. The Evolution of Long Waves in the World Economy, Studies on Russian Economic Development, 2015, vol. 26, No. 3, pp. 285-294.

4. Klinov V. G. World economy long cycle in XXI century, World Economy and International Relations, 2016, No. 60 (12), pp. 5-16.

5. Bernard L., Gevorkyan A. V., Palley T. I., Semmler W. Time scales and mechanisms of economic cycles: A review of theories of long waves, Review of Keynesian Economics, 2014, No. 2 (1), pp. 87-107.

6. Granger C. W. J., Watson M. W. Time series and spectral methods in econometrics, Handbook of Econometrics, 1986, No. 2, pp. 979-1022.

7. Apostoaie C.-M., Percic S., Cocri§ V., Chirles^n D. Research on the credit cycle and business cycle with a focus on ten states from central, eastern, and southeastern Europe, Emerging Markets Finance and Trade, 2014, No. 50, pp. 63-77.

8. Kufenko V., Geiger N. Business cycles in the economy and in economics: An econometric analysis, Scientometrics, 2016, No. 107 (1), pp. 43-69.

9. Harrod R. Scope and Method of Economics, Economic Journal, 1938, No. 48 (Sept.), pp. 383-412.

10. Domar E. D. Essays in the theory of economic growth, N.Y. : Oxford University Press, 1957, 272 p.

11. Solow R. M. A contribution to the theory of economic growth, Quarterly Journal of Economics, 1956, No. 70, pp. 65-94.

12. Romer P. Increasing returns and long run growth, Journal of political economy, 1986, No. 94, pp. 1002-1037.

13. Lucas R. On the mechanics of economic development, Journal of monetary economics, 1988, No. 22, pp. 3-42.

14. Solow R. M. Growth theory: an exposition. Oxford: Oxford University Press, 1970, 109 p.

15. Devesh Raval. Beyond Cobb-Douglas: Estimation of a CES Production Function with Factor Augmenting Technology, Working Paper 11-05 (U.S. Census Bureau, Center for Economic Studies), February 2011, available at: http://ideas.repec.org/p/ cen/wpaper/11-05.html (access date: 23.01.2017).

16. Bianca C., Guerrini L. Existence of limit cycles in the solow model with delayed-logistic population growth, The Scientific World Journal, 2014, available at: https://www.hindawi.com/journals/tswj/2014/207806/ (access date: 23.01.2017).

17. Dalgaard C.-J., Strulik H. The history augmented solow model, European Economic Review, 2013, No. 63, pp. 134-149.

18. Ferrara M., Guerrini L., Mavilia R. Modified neoclassical growth models with delay: A critical survey and perspectives, Applied Mathematical Sciences, 2013, No. 7 (85-88), pp. 4249-4257.

19. Yamarik S. State-level capital and investment: Updates and implications, Contemporary Economic Policy, 2013, No. 31 (1), pp. 62-72.

20. Li D.-H., Xia, E.-J. Research on influence of human capital on the economy growth based on the extended solow model / Paper presented at the International Conference on Management Science and Engineering, Annual Conference Proceedings, 2013, pp. 1460-1465.

21. Samuelson P. Interaction between the Multiplier Analysis and the principle of Acceleration, The Review of Economic Statistics, 1939, No. 21, pp. 75-78.

22. Goodwin R. The nonlinear accelerator and the persistence of business cycles, Econometrica, 1951, vol. 19, No. 1 (Jan.), pp. 1-17.

23. Romer P. M. Endogenous technological change, Journal of Political Economy, 1990, vol. 98, No. 5, part 2, pp. 337-367.

24. Dubovskii S. V. Kondratiev cycle as an object of modeling,Matematicheskoe modelirovanie, 1995, vol. 7, No. 6, pp. 65-74 (in Russ.).

25. Dubovskii S. V. New models of investment and technology cycles in economy, Ekonomicheskii rost i tsikly, 1991, is. 12, pp. 4-13 (in Russ.).

26. Romer P. M. Increasing Returns and Long-Run Growth, Journal of Political Economy, 1986, is. 94, October, pp. 1002-1037.

27. Aghion P., Howitt P. Model of Growth Through Creative Destruction, Econometrica, 1992, No. 60 (March), pp. 323-351.

28. Easterly W., King R., Levine R., Rebelo S. Policy, technology adoption and growth. In R. Solow and L. Pasinetti (eds.) Economic Growth and the Structure of Long Term Development, International Economic Association (IEA) Conference 112, 1994, pp. 75-89.

29. Klinov V. G. Scientific-technical progress and large cycles of conjuncture of the global economy, Problemy prognozirovaniya, 2003, No. 1, pp. 118-135 (in Russ.).

30. Ramsey P. Mathematical Theory of Saving, Economic Journal, 1928, vol. 38, No. 152 (Dec.), pp. 543-559.

31. Cass D. Optimum Growth in an Aggregative Model of Capital Accumulation, Review of Economic Studies, 1965, vol. 32, No. 3 (Jul.), pp. 233-240.

32. Koopmans T. On the Concept of Optimal Economic Growth, The Economic Approach to Development Planning, Amsterdam: Elsevier, 1965, pp. 225-287.

33. Geras'kin M. I., Porubova P. V. Trend analysis of the dynamics of macroeconomic indicators of the Russian Federation in 1959-2014, Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo ekonomicheskogo universiteta, 2017, No. 4, pp. 5-18 (in Russ.).

34. Schumpeter J. A. Business Cycles. A Theoretical, Historical and Statistical Analysis of the Capitalist Process, New York: McGraw-Hill Book Company, 1939, 461 p.

ISSN 1993-047Х (Print) / ISSN 2410-0390 (Online)

35. Dupriez L. H. Des Mauvements Economiques Generaux, vol. 2, part 3, Louvain: Institut de Recherches de Louvain Economiques et Sociales de L'universite, 1947.

36. Mensh G. On the dynamics of technical progress, Zhurnal ekonomikipredpriyatiya, 1971, No. 41, pp. 295-314 (in Russ.).

37. Mandel E. Long Waves of Capitalist Development: The Marxist Interpretation, New York: Cambridge University Press, 1980, 184 p.

38. Hirooka M. Innovation Dynamism and Economic Growth. A Nonlinear Perspective, Cheltenham, Northampton: Edward Elgar, 2006, 448 p.

39. Pantin V. I., Lapkin V. V. Philosophy of historical forecasting. Rhythms of history and prospects of global development, Dubna: Feniks+, 2006, 448 p. (in Russ.).

40. Glaz'ev S. Yu. Strategy of priority development of Russia under the global crisis, Moscow: Ekonomika, 2010, 255 p. (in Russ.).

41. Grinin L. E., Korotaev A. V. Cycles, crises, traps of the modern World-systems, Moscow: Librokom, 2012, 480 p. (in Russ.).

Ml MM Mill Mill Mill MM Mill Mill MM Mill Mill MM Mill Mill MM Mill Mill Mill MM Mill M^

Гераськин Михаил Иванович, доктор экономических наук, профессор, заведующий кафедрой математических методов

в экономике, Самарский национальный исследовательский университет имени академика С. П. Королева

Адрес: 443086, г. Самара, ул. Лукачева, 45, тел.: +7 (846) 267-44-96

E-mail: innovation@ssau.ru

ORCID: http://orcid.org/0000-0003-0381-5830

Researcher ID: http://www.researcherid.com/rid/F-9518-2016

Контактное лицо:

Порубова Полина Владимировна, аспирант кафедры математических методов в экономике, Самарский национальный

исследовательский университет имени академика С. П. Королева

Адрес: 443086, г. Самара, ул. Лукачева, 45, тел.: +7 (846) 267-44-96

E-mail: por-polina@yandex.ru

ORCID: http://orcid.org/0000-0002-0621-1111

Researcher ID: http://www.researcherid.com/rid/H-8970-2017

III llll lllll lllll Mill MM Mill Mill llll Mill lllll llll lllll lllll llll lllll lllll Mill MM Mill Mill llll Mill lllll llll lllll lllll Mill MM lllll Mill llll Mill lllll llll Mill lllll IIIH

Mikhail I. Geraskin, Doctor of Economics, Professor, Head of the Department of Mathematical Methods in Economics, Samara

National Research University named after academician S.P. Korolev

Address: 45 Lukacheva str., 443086 Samara, Russia, tel.: +7 (846) 267-44-96

E-mail: innovation@ssau.ru

ORCID: http://orcid.org/0000-0003-0381-5830

Researcher ID: http://www.researcherid.com/rid/F-9518-2016

Сontact:

Polina V. Porubova, post-graduate student of the Department of Mathematical Methods in Economics, Samara National Research University named after academician S.P. Korolev

Address: 45, Lukacheva str., 443086 Samara, Russia, tel.: +7 (846) 267-44-96

E-mail: por-polina@yandex.ru

ORCID: http://orcid.org/0000-0002-0621-1111

Researcher ID: http://www.researcherid.com/rid/H-8970-2017

Дата поступления /Received 19.05.2017 Дата принятия в печать /Accepted 27.06.2017 Дата онлайн-размещения /Available online 25.09.2017

© Гераськин М. И., Порубова П. В., 2017 © Geraskin М. I., Porubova P. V., 2017

Информация об авторах

Information about authors