Модель банковской системы США: описание переходных процессов в течение 1970-2010-х годов Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

УДК 519.865.3

С. Б. Васильев1, Н.П. Пильник1'2

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики» 2Вычислительный центр им. А. А. Дородницына РАН

Модель банковской системы США: описание переходных процессов в течение 1970—2010-х годов

В статье представлена относительно простая модель банковской системы США, описывающая ее эволюцию с 1973 по 2013 годы. В модели макроэкономический агент -банк - управляет траекториями потребительских и ипотечных кредитов, внутренних и внешних депозитов, а также ценных бумаг на балансе с целью максимизации приведенной полезности выплаченных дивидендов. Найдена система уравнений, описывающая решение задачи банка при различных значениях параметров и начальных условиях. На официальных данных американской статистики проведена калибровка части переменных модели, формирующих агрегированный баланс банковской системы. Рассчитанная по модели динамика основных переменных позволяет с высокой степенью точности описать переходные процессы, имевшие место в процессе развития банковской системы США.

Ключевые слова: банковская система США, Федеральная резервная система, кредиты, депозиты, экономический кризис.

1. Введение

В современной экономике США банковская система играет ключевую роль, но при этом в экономической теории ей уделяется удивительно мало внимания. Зачастую в моделях банковская система отсутствует в принципе или добавлена как вторичный, лишенный своей основной роли — посредника между домохозяйствами и фирмами — агент.

Объектом нашего исследования является именно банковская система, являющаяся важной, но всего лишь частью финансовой системы США.

Целью данной работы является описание на модельном уровне причин и механизмов переходных процессов, имевших место в функционировании банковской системы США, за счет построения модели, которая могла бы адекватно воспроизвести эти изменения. Мы начнём с обзора литературы, после будет предложена модель оптимального поведения и её аналитическое решение. На последнем этапе будет произведена калибровка модели на статистических данных.

1.1. Обзор литературы

Для начала рассмотрим подход к описанию банковской системы как части модели общего равновесия. Одним из классов таких моделей являются DSGE (Dynamic Stochastic General Equilibrium)-модели. В ранних работах не только банковская система, но и другие финансовые посредники в принципе отсутствовали (см., например, [6]). Более того, такой подход часто используется и сегодня: банковская система отсутствует и в некоторых современных DSGE-моделях. Так, в [5] набор агентов ограничен производителями промежуточных и конечных товаров, домохозяйствами и государством, а в [2] отсутствует и подразделение производителей.

Другой подход используется в [4]. В данной работе банки занимаются максимизацией своего ожидаемого благосостояния при ограничении равенства стоимости активов объёму капитала и заёмных средств. Тем не менее в связи со сложностью, связанной с использованием стохастических переменных, число переменных банковской системы сильно ограничено. Как правило, это объём депозитов населения, объём кредитов некоммерческим

фирмам и запас благосостояния, что слабо похоже на реальное функционирование современной банковской системы.

Следующим классом моделей являются CGE (Computable General Equilibrium)-модели, которые известны в русской литературе как модели общего вычислимого равновесия. Рассмотрим [3] как пример такой модели. Несмотря на то, что данная работа в основном посвящена сравнению монетарной и налоговой политики (а точнее их издержек) и определению эффектов, связанных с политикой проциклической процентной ставки, банковский сектор в данной модели представлен в своей истинной роли — посредника между домохозяйствами, фирмами и государством. И хотя в работе учтены различия между ставками по кредитам и депозитам, сами кредиты и депозиты никак не подразделяются. Более того, данная работа решает статическую задачу и не учитывает временного аспекта (это типичная проблема CGE-моделей).

В [7] рассматривается банковская система Ямайки и её нестабильность. В этой модели описаны следующие агенты: три банка, четыре агента частного сектора и центробанк, причём отдельно моделируется рынок межбанковского взаимодействия. В плюсы также стоит записать учёт различий между банками и процентными ставками по кредитам, депозитам и МБК. Также поведение агентов описано в динамике, что позволяет перейти от максимизации текущей прибыли к максимизации ожидаемого дохода. Таким образом, в данной модели решена проблема статичности в CGE-моделях (это важное преимущество по сравнению с [3]), что хорошо подходит для эконометрической проверки гипотез. В результате автор обнаруживает необходимость регулирования, обеспечивающего возможность существования стохастического равновесия с нулевой вероятностью дефолта. Наконец, данная модель может быть использована для прогнозирования, но такая возможность существует только для Ямайки, так как модель построена именно для неё.

В работах, посвящённых именно банковской системе как макроагенту, описание происходит на уровне системы мультипликаторов, которая подробно описана в [8]. Мультипликатор показывает, насколько банковская система способна увеличивать или уменьшать денежную массу в зависимости от нормы резервирования.

В работе [1] было предложено правдоподобное описание функционирования российской банковской системы. Установлено, что данная модель не может быть заменена системой мультипликаторов, а также показывает, что банковская система функционирует как единый агент, несмотря на наличие таких крупных банков, как ВТБ и Сбербанк. Кроме того, в данной работе обоснована возможность подробной детализации агентов: помимо банков, частного сектора и ЦБ присутствуют государственные и некоммерческие организации и иностранный сектор, а частный сектор подразделяется на фирмы и домохозяйства.

2. Модель банковской системы 2.1. Постановка задачи

Рассмотрим упрощённую модель банковской системы, действующей как единый макроагент, где выделены только наиболее крупные активы и пассивы.

В процессе своей основной деятельности в каждый момент времени банк обладает запасом выданных неипотечных кредитов Ь(Ь) и ипотечных кредитов М(¿), по которым получает проценты по ставкам и гм(^ соответственно. Отметим, что мы рассматриваем изменения в кредитах (^Ь(Ь) и ^М(¿)) как разность между вновь выданными (К^(Ь) и Км(¿)) и выбывшими (/31^)Ь(Ь) и ¡Зм&)М(¿), где (Зь{Ъ), (^ — обратная дюрация, то есть коэффициент частоты возвратов). Такое описание вызвано стремлением к большему реализму, поскольку банк не может в любой момент избавиться от этих инструментов мгновенно. Данное описание приводит к следующим ограничениям:

с! с!

-Щ = КЬ(1) - 13ь№(1), -М(I) = Км(I) - (Зм(1)М(I). (1)

-ОД = Кв(I) - /30(1)0(1),-Ир(I) = КВр(I) - 13Пр(1)0р(I). (2)

Также у банка есть запас привлечённых внутренних и иностранных депозитов и Ир (¿), по которым он выплачивает проценты по ставкам (^ и г1^ (£). Их динамика ^О(Ь) и ^Бр(^ описывается таким же образом, как и в случае кредитов. Соответствующие ограничения:

С С

^т = ки а) -¡зп та),-.

Кроме этого, у банка есть запас ценных бумаг 5 (Ь) с ценой в в (Ь), по которым он получает выплаты с доходностью -в(Ь). Наконец, мы обозначим прочие активы как О(Ь). Тогда, подставив вместо изменений депозитов и кредитов выражения (1) - (2), прочие активы

изменяются со временем в соответствии с уравнением финансового баланса: —

-О(1) = Кв(I) - (1)Б(1) - гв(1)Б(1) + т(1)(К0р(I) -

с

- ЗвР(1)Бр(I)) - (1М1)0р(I) - в8(I)—Б(I) + сС8(1)Б(I) -

- (кь(1) - ¡ь№(1)) + гь(1)Щ) - вм(Км(V -

с

- ¡Зм(Ъ)М(I)) + м(I)-вм(Ь) + гм(1)вм(1)М(г) - ту(г).

В данном уравнении особый интерес представляет ипотека, а точнее выражение М(I)швм(£), аналогов которому у других составляющих нет. Дело в том, что в случае невыплат по ипотеке, банк изымает недвижимость и записывает её себе на баланс, учитывая её стоимость, и данное выражение как раз и отражает этот процесс.

Банк так же, как и фирма, стремится максимизировать приведённую полезность выплаченных дивидендов, измеренных в базовых ценах, что можно описать функционалом следующего вида:

¡\ е- . тах. (4)

где и(-) — некая функция полезности, Огь(Ь) — дивиденды, выплачиваемые банком, '[() — уровень цен в экономике, а А — дисконт-фактор.

Банк может планировать на временном интервале [0, Т] в пределах баланса величины

о(ь) ^ о, Бр(г) ^ о, ь(ь) ^ о, м(г) ^ о, б(ь) ^ о, О(ь) ^ о, ть(г) (5)

при заданных начальных условиях

Б(о) ^ о, Бр (о) ^ о, Цо) ^ о, М (о) ^ о, Б (о) ^ о, О(о) ^ о, Ш ь(о) ^ о.

Наконец, мы требуем, чтобы фазовые переменные в момент Т удовлетворяли линейному терминальному ограничению, подробнее о которых сказано в [9]:

О(Т) + аБ(Т) + ЪБр(Т) + сБ(Т) + СЬ(Т) + еМ(Т) ^

^ 7 (О (о) + аоБ(о) + ЬоБр(о) + с0Б(о) + в0Ь(о) + е0М(о)). ( )

Задача банка — это задача оптимального управления (4) при ограничениях (1) - (3), (5), (6). Ее решение должно определить:

1) объем вновь привлечённых внутренних депозитов Кр (¿), иностранных депозитов К Ир (¿), неипотечных кредитов Кр(Ь), ипотечных кредитов Км (£);

2) спрос банка на внутренние депозиты Б(Ь), иностранные депозиты Бр(¿);

3) предложение банком неипотечных кредитов Ь(Ь), ипотечных кредитов М(¿);

4) объем ценных бумаг, которые держит банк Б(¿), прочих активов банка О(Ь)

в каждый момент времени £ £ [о,Т] в зависимости от стоимости ценных бумаг в в (Ь), цены недвижимости вм (^ и процентных ставок г о (¿), гвР (¿), гр(Ъ), гм (£), доходности вз (£), а также обратных дюраций Зб(£), ЗиР(£), Зь(Ъ), Зм(^ на весь период [о,Т].

2.2. Аналитическое решение

Запишем Лагранжиан (£(•) = С( Б г ),Кв (1), Б(1), Крр (1),Бр (1),Б(1), К 1,(1,), Ь(Ъ), Км(1), М(1), 0(1)) для нашей задачи:

£{■) = £ [и ^ + ^)(Кв(1) - Рв(1)П(1) -

- гв(1)Б(1) + ы(1)(КВр(1) - Р0р(1)Бр(1)) - грв(1)гю(1)Ор(1) -

С

- в8(1) ^Б(1) + (1)Б(1) - (Кь(1) - /Зь(1)Ь(1)) + гь(1)Ь(1) -

- вм(Км(1) - Рм(1)М(1)) + М(1)-вм® + гм(1)вм(1)М(1) -

- Бгу(1) - ±0№

гт

сМ +

(0

Г Ь ^ (

<рв^П(1) -КВ(1) +

-Кь(1) + Рь(1)Ь(1)) + Рм (1)( СМ (1) - Км (1) +

(в \ (в (7)

+ Рвр(1)[ (1) - КПр(1) + рВр(1)Бр(1)\ + Рь(1){ ^ъ -

С С'

+ /Зм(1)М(Щ с!1 + [Т(фв(1)КВ(1) + фВр(1)Бр(1) + ф8(1)Б(1) + 0

+ фь(1)Ь(1) + фм (1)КМ (1) + Фо (1)0(1))сС1 + Ф(0(Т) + аБ(Т) + + ЪБр (Т) + сБ(Т) + сЩТ) + еМ(Т) - -у(0(0) + аоБ(0) + + ЪоБр (0) + со Б (0) + СоЬ(0) + еоМ (0))) ^ тах.

Регулярным решением задачи банка называется набор прямых Бгь(1), Кв(1), Б(1), КВр(¿), Бр(¿), Б(¿), Кр(1), Ь(1), Км(1), М(¿), 0(1) и двойственных переменных ¿¡(¿), (¿), Рвр(г), <рь(£), Рм(1), Фо(1), ФвР(1), Фя(1), фь(^), Фм(1), Фо(1), ф такой, что:

1) функции кв (г), б({), кВр (г), (г), б (г), Кь(г), щ, км (г), м (г), 0(1)

доставляют максимум лагранжиану (7) по множеству всех измеримых функций Б(1), Бр(¿), Б(¿), Ь(£), М(¿), 0(1) и множеству абсолютно-непрерывных функций Кр>(¿), Кир(1), КЬ(1), Км(1), Бгь(1), удовлетворяющих заданным начальным условиям и условиям регулярности;

2) функция измерима, а функции (ри({), рвР(1), <Рь&), Рм(1), Фо(1), ФвР(1), Фя(1), Фь(1), Фм(1), Фо(1) — абсолютно-непрерывны;

3) почти всюду на [0, Т] выполнены условия дополняющей нежёсткости. Записываются они в виде

[х][у] =& х ^ 0,у ^ 0,ху = 0.

Сами ограничения:

[Ко(1)][Фв(1)] = 0, [КВр(1)][ФВр(1)] = 0, [КЬ(1)][ФЬ(1)] = 0, (8)

[Км(ШФм(V] = 0, [Б(*)][Ф5(1)] = 0, [0(1)][Фо(1)] = 0. (9)

В соответствии с [9] мы применяем интегрирование по частям, так как нас интересуют только такие решения задачи, которым соответствуют достаточно регулярные двойственные переменные. В результате интегрирования по частям функционал Лагранжа принимает следующий вид:

£(■) = (-<Ро(о) - Ф7ао)Б(о) + (-¡р0р(о) - Ф7Ьо)0Р(о) + + (твз(о) - Ф^со)Б(о) + (-<рь(о) - Ф-уСо)Ь(о) + -м(о) -

- Ф7ео)М(о) + т - Фу)О(о) + £ -

гТ

- т+ ! Ш) - (г) + фп(г))Квда + гт с

Чо -(Ь)З°(Ь) - ^)Г°(*) - -1рв(*) + (Ь)З°(г))0(г)м +

+ [ - <^вР(ъ)+фВр(№вРда +

Jо

+ [ -&М1)з0р(^ - т^)(^ -

о

о

с

- -ЪРВр(*) + (г)З°р(*))°р(*)!* +

'' + — (А+С(АС (А + Ф,„(А)ЖАС+ + (10)

гТ

Г1 С С

+ /о ( в^(*)-+ -в8Ю+^Ю+Фз(г))Бт +

+ [ (Ч(V - ^ь(г) + ^ь(г))Кь(1)са + J о

гт с

+ ] Ш)Зь(1) + ^)гь(1) - ~^ь(1) + ^ь(1)Зь(1))ь(1)а +

+ [ (Ч(1)вм(V - РМ(V + фм(¿))КМда +

J о

гт С

+ ] Ш)вм^)Зм^) + £№м^)гм^) + т — вм(I) -

С гт с

- (ь) + т(*)ЗМ®)М(№ + / (СТ^(1) + ф°(*))О(№ +

+ (¡р0(Т) + Фа)Б(Т) + (^Вр(Т) + ФЬ)Ор(Т) + (Фс -

- С(Т)в8(Т))Б(Т) + (фЬ(Т) + ФсС)Ь(Т) + ((Т) + Фе) М(Т) + + (Ф - ((Т))О(Т).

Теперь проварьируем по Кв(*), Б^), КВр(*), БР(*), Б(£), Кь(Ь), Щ), Км(¿), М(¿), О(Ь) подынтегральные выражения лагранжиана (10), а также по Б(Т), Ор(Т), Б(Т), Ь(Т), М(Т), О(Т) и приравняем полученные производные к нулю. Получаем следующие выражения:

№ -ч>в (ъ) + фв (Ъ) = о, (11)

С

-^)Зв(I) - тГВ(I) - СУв(I) + РВОЗв(I) = о, (12)

) - (I) + фвР(V = о, (13)

ч(1М1)ЗвР (V - т^)(I) - ~^вР (I) + РВР (1)ЗвР (I) = о, (14)

С С

в* О С ^) + №) ¿¿в3 О + + ф3 (*) = о, (15)

ч№ -Рь(-Ъ)+Фь(-Ъ) = о, (16) С

№) Зь(1) + аг)ГЬ(1) - -<рь(Ъ + <рь(1)Зь(1) = о, (17)

-^)вм^) - Рм(г) + фм(^ = о, (18)

С С

&)вм(I) Рм(Ь) + ^)вм^)гм(1) + ^)-Ом(1) - (1) + РМ№м® = 0, (19)

С

- т+Фо (1) = 0, (20)

рр(Т) + Фа = 0, <рВр(Т) + ФЬ = 0, Фс - ((Т)вя(Т) = 0, (21)

Рь(Т) + ФсС = 0, рм(Т) + Фе = 0, Ф - £(Т) = 0. (22)

Введём переменную р — темп падения двойственной переменной финансового баланса:

р() = - Ш.

Эта переменная является аналогом доходности чистых активов агента (см. [9]), которую в данный момент времени предпочтительнее всего использовать. Кроме того, для простоты введём следующие обозначения:

Ф' «=т - «=- ш •

Выразим из (11), (13), (16), (18) и подставим в (12), (14), (17), (19) соответственно. Также воспользуемся только что введёнными заменами и получим следующие выражения для двойственных переменных к условиям дополняющей нежёсткости (8) - (9) (деление на Рз проблем не создает, так как нам всё равно не интересен случай = 0):

Ф т гр(0 - рр($ Ф ф - ррр ($ (23)

Фв ® = Щ+ш,Фвр ^ = гШ+Рп? а), (23)

7 ^ ГЬ(1) - рЬ(1) Ф ГМЮ + -рМ ® (24) ФМ = (.) + о т ,ФРм(Ц = --• (24)

■г^+Р^ гм (1) + +(3р (1)

Далее будем предполагать малость переменных Ф^. Естественно, что такое предположение фактически означает, что мы найдем не полное решение системы, а лишь некоторое его приближение. Ответить на вопрос, насколько корректно данное приближение можно только на этапе калибровки переменных модели. Такая логика используется весьма часто при калибровке моделей общего равновесия. Наиболее популярный пример - так называемое, квазистационарное решение, предполагающее малость производных двойственных переменных. Дифференцируя (11), (13), (16), (18), мы можем получить зависимости между

ру и р:

рр(I) = р(1),ррр(1) = р(1) - , (25)

рь(1) = р(1),рм(V = р(г) - Щ^))• (26)

Подставив (25) и (26) в (23) и (24), мы получаем окончательные выражения для двойственных переменных (для Фв(Ь) и Фо (Ь) получаем арифметическими преобразованиями из (15) и (20)):

7 (Л гр (I) -р(1) 7 (Л грв -р{ъ) +

Фв ® = гр^+м) ,Ф^ ® = -щт/мт, (27)

Ф т (г) + ® от Ф т Гь(1) - о(ь) (28)

Ф* ® = ^вж + ш- °®,Фь(г) = ш+ш, (28)

- гм ^) + 2 4^гт -р($

фМ а) = () ^^ р) ,ф0 а) = - р®. (29)

гм (г) + +Зм (V

Наконец, значения а, , , С и линейного терминального ограничения можно получить из уравнений (21) - (22):

а = (Т)/С(Т), Ъ = ^Пр(Т)/С(Т), с = в8(Т),

сС = <РЬ(Т)/£,(Т), е = <рм(Т)/£(Т).

2.3. Калибровка модели

В данном разделе применим нашу модель к реальным данным. Мы будем калибровать депозиты О и Ор, кредиты Ь и ипотеку М, а также ценные бумаги Б. Прочие активы О не представляют особого интереса, и, более того, их игнорирование никоим образом не мешает калибровке остальных фазовых переменных.

Будем использовать линейное смягчение условий дополняющей нежёсткости. Пусть есть условие дополняющей нежёсткости на кусочно-непрерывную функцию х(Ь) с двойственной переменной А(Ь), то есть [х(£)][А(£)] = о. В соответствии с таким условием в непрерывном времени £ £ [о,Т] эволюция х(Ь) будет представлять что-то похожее на рис. 1, то есть либо х( ) держится на определённом уровне, большем нуля (тогда А( ) = о), либо х(г) = о (тогда А(г) ^ о).

0,6 | I I 1,4

123456789 10 1112 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2! 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

Рис. 1. В непрерывном времени Рис. 2. В дискретном времени

Тем не менее на практике мы наблюдаем х( ) в дискретном времени, а двойственная переменная А( ) определяется в результате решения оптимизационной задачи. То есть на рис. 2 наблюдаемые значения находятся только по оси абсцисс, а конечное распределение наблюдений на пространстве ( х( ), А( )) зависит от решения оптимизационной задачи, которое связано с формой смягчения условия дополняющей нежёсткости. Выбор линейной формы связан с удачными результатами её применения (что будет видно далее в процессе калибровки).

Под линейным смягчением условия дополняющей нежёсткости понимается следующее (диакритический знак циркумфлекс означает, что показатель расчётный, а не исторический): Х(1) = а + ЗА(£).

В итоге теоретическое ограничение в виде угла (такая форма следует из самого ограничения: либо х(Ь) ^ о, А(Ь) ^ о) заменяется более мягким ограничением в виде прямой.

Для калибровки мы в дополнение к линейному смягчению (8) - (9), подставив выражения для двойственных переменных из (27) - (29), также будем нормировать

Ко (^ =

а + ? гр - р($

ав + 6г>-/-л I а

Гр (V + Зо

0(1 - 1),

KDf (t) =

<ödf + öd,

rD (t) -P(t) + ' rD (t) + Pdf

Dp(t - 1),

KL(t) =

&l + öl

Km (t) =

&m + öm

TL(t) - p(t) TL(t) + ßL _

2 №

L(t - 1),

tm (t)+2 i^f - pit)

гм (t) + Шт + ßM (t).

M(t - 1).

Тем не менее нас интересуют сами депозиты и кредиты, а не только их новые поступления. Зная Ки перейдя к дискретному времени в уравнениях (1) - (2), мы можем получить выражения уже для интересующих нас показателей (уравнение для ценных бумаг Б^) также вынесено сюда для удобства):

Щ = Ьц -1) + КвЦ) - ¡звЬц -1), ЬрЦ) = Ьр^ -1) + КВрЦ) - ¡зВрЬР$ -1),

Щ = -1) + КьСО - ¡зьь(г - 1),м(г) = м(г -1) + Км- рпм(г -1),

s(t) =

as + ös

Tt0s (t)

(k v0

+Ш -pa)

0s (t) Os (t)

S(t - 1).

Выражение Б(1) несколько выделяется из остальных уравнений. Здесь также происходит линейное смягчение ограничения дополняющей нежёсткости, но выражение в квадратных скобках можно трактовать просто как темп роста.

Для оптимизации мы будем использовать функционал, который представляет собой суммы квадратов взвешенных разностей между оценками модели и историческими данными, просуммированные по пяти фазовым переменным. Мы нормируем по последнему наблюдению, это делается, чтобы уровнять размер наблюдений фазовых переменных. Сам функционал выглядит так:

( D(t) - D(t) У D(T) )

+ (M(t) -м(t)\2 / ^ м (T) ) + {

(D p (t) -Dp (t)^ 2 + ^ L(t) -L(t) у

V Dp (T)

+

S(t) - s(t) s(t )

^ mm

a,S,p(t)

Калибровка будет осуществляться в период с III квартала 1973 года по II квартал 2013 года. Исторические данные для активов и пассивов взяты из банковской статистики напрямую, а для ставок и цен используется следующее.

1) В роли стоимости ценных бумаг Os(t) используется фондовый индекс S&P 500, который отражает в целом котировки на американском фондовом рынке, а доходность ценных бумаг, нормированная на их стоимость ds(t)/0s(t), берётся константой для простоты (равной 0.1).

2) Ставка по потребительским кредитам используется в роли процентной ставки по неипотечным кредитам L( ).

3) Мы используем ставку по ипотечному кредитованию на 30 лет как гм(t) и медианную стоимость новой недвижимости в роли цены недвижимости Ом (t).

4) В роли процентной ставки для внутренних депозитов rD мы используем ставки по годовым депозитным сертификатам (Certificate of Deposit).

2

5) В качестве валютного курса гш{£) выбран курс йены к доллару (мы используем ряд с1\л{1) , сглаженный методом скользящей средней по четырём кварталам), а процентной ставки г^ (£) — ставка по первичному кредитованию Банка Японии. Такой выбор связан с упоминавшейся ранее сильной связи экономик США и Японии.

Стоит оговориться, что мы используем коэффициенты выбытия $(£) как константы для простоты. Такое упрощение понижает качество модели, но это вынужденная жертва, так как моделирование этих коэффициентов тяжёлый, трудоёмкий и длительный процесс. Мы используем следующие значения: ¡3^ = = (3^ = 0.25 и /Зм = 0.1, так как сроки ипотеки на порядок длиннее.

Далее мы рассмотрим результаты для пяти фазовых переменных, полученные в результате решения задачи оптимизации. Оценки приведены в таблице 1.

Таблица1

Оценки коэффициентов

Б вР Ь М 5

а 0.2640 0.2897 0.2564 0.1512 0.9893

5 0.0068 0.0148 0.0051 0.0108 0.0656

На рис. 3 можно видеть, что в целом модель описывает поведение депозитов неплохо, особенно если если учесть длину моделируемого периода и наличие описанных ранее упрощений (вроде константы /Зр). Основные проблемы сосредоточены в начале 1980-х, а затем в начале 1990-х годов. Наша гипотеза заключается в том, что в банковской системе сменился режим функционирования, и при найденных а^ и 5в этот режим просто не может быть учтён, так как в данном случае будет работать другое условие дополняющей нежёсткости. Первая смена может быть обоснована снижением ставки Федеральной резервной службы. Вторая же связана с внешней экономической политикой, данная смена режима будет сильнее видна в случае иностранных депозитов.

Рис. 3. Внутренние депозиты (млрд долларов) Рис. 4. Иностранные депозиты (млрд долларов)

Как и в случае внутренних депозитов, результат модели для иностранных депозитов более чем достоин, что отображено на рис. 4. Здесь также присутствует смена режима функционирования. Более того, здесь это переключение видно ещё сильнее с конца 1993 года по конец 2000 года, что, скорее всего, связано с появлением новых рынков и изменением внешних экономических отношений США, как упоминалось ранее. Начиная же с 2001 года банковская система возвращается к предыдущему режиму функционирования.

В целом данное открытие о сменах режима функционирования является крайне важным, несмотря на то, что данная модель не может их учитывать (так как на каждую фазовую переменную наложено только одно условие дополняющей нежёсткости, которое смягчается линейно).

Рис. 5. Кредиты, за исключением ипотеки (млрд долларов)

Рис. 6. Ипотека (млрд долларов)

К сожалению, с кредитами (рис. 5) у нашей модели проблем больше, что может быть вызвано как вынужденными упрощениями, так и сменами режима функционирования. Например, в начале 1980-х, когда Федеральная Резервная Служба начала снижать ставку по первичному кредитованию. Наконец, проблема может быть связана с оптимизацией, так как довольно много фазовых переменных.

Как можно видеть на рис. 6, в случае ипотеки, модель описывает прилично до финансового кризиса 2007-2008 годов, когда произошло изменение в функционировании банковской системы, связанное с крахом рынка недвижимости и ипотечного кредитования.

2000

1973 1976 1979 1982 1985 1988 1991 1994 1997 2000 2003 2006 2009 2012

Рис. 7. Ценные бумаги (млрд долларов)

С ценными бумагами (рис. 7) наша модель справилась лучше всего. Можно предположить, что изменений в функционировании не происходило, а колебания связаны с изменением стоимости ценных бумаг (которые, как можно видеть, неплохо описываются индексом 8&Р 500).

2.4. Калибровка модели с переключением режимов

Рассмотрим более подробно ту смену режимов, о которых мы упоминали выше, например, в случае внутренних и иностранных депозитов (в случае иностранных она видна особенно сильно, как можно наблюдать на рис. 4). Опишем наше предположение о происходящем на абстрактном примере.

Пусть есть кусочно-непрерывная функция х(Ь), на которую наложено условие дополняющей нежёсткости с соответствующей двойственной переменной Такое ограничение мы рассматривали в нашей модели, смягчая его линейно. Наша гипотеза заключается в том, что к условию х(Ь) ^ 0 добавляется ещё одно ограничение: х(Ь) ^ /(£), где $(£) —

некоторая функция. Более формально:

И*)][А(0] = 0, [/(*) - х(0][А(*)] = 0.

Тогда вместо ограничения в форме угла, которое можно видеть на рис. 2, появляется ограничение в форме «двойного угла» (речь идёт уже о дискретном времени). Оно изображено на рис. 8.

Рис. 8. Ограничение вида «двойной угол» в дискретном времени

Тем не менее, чтобы убедиться в нашей гипотезе, проведём калибровку сокращённой модели (внутренние и иностранные депозиты, кредиты за исключением ипотечных), переключая режимы вручную, для внутренних и внешних депозитов. Причём использовать будем линейное смягчение, выбирая между двумя прямыми с разным наклоном.

Мы выделяем два режима: с первого квартала 1994 года по третий квартал 2000 года, так как именно в этом периоде было бросающееся в глаза изменение в динамике иностранных депозитов, которое можно видеть на рис. 4. И в случае внутренних депозитов в это же время происходило не такое заметное изменение. Второй режим — всё время за исключением первого. Оценки приведены в таблице 2.

Таблица2

Оценки коэффициентов в модели с переключением режимов

И (первый режим) И (второй режим) Ир (первый режим) Ир (второй режим) Ь

а 0.2612 0.2613 0.2827 0.2587 0.2704

5 -0.0499 -0.0311 0.0879 -0.0321 -0.0426

На рис. 9 можно видеть, что с учётом смены режима функционирования качество модели сильно возросло по сравнению с прошлой моделью (рис. 3). Полученный результат несколько отличается от ожидаемого, так как для обоих режимов линейные смягчения одинакового по знаку наклона, то есть упомянутого выше «стакана», здесь не наблюдается. Это может быть вызвано тем, что изменение в режиме функционирования для внутренних депозитов было не слишком серьёзным. Тем не менее учёт такого изменения улучшил результат модели для внутренних депозитов на порядок.

В случае иностранных депозитов (рис. 10) результаты также значительно улучшились по сравнению с первой моделью, не учитывающей смену режима функционирования (рис. 4). Более того, мы получили ограничение в форме «стакана», как и ожидали. Прямые для двух режимов функционирования имеют противоположные по знаку коэффициенты наклона. На графике видно, что данная модель учитывает смену режима функционирования, произошедшего в начале 1990-х в отличие от предыдущей модели.

т^ г, -п / \ Рис. 10. Иностранные депозиты (млрд долла-

Рис. 9. Внутренние депозиты (млрд долларов) ров)

1973 1976 1979 1982 1985 1988 1991 1994 1997 2000 2003 2006 2009 2012

Рис. 11. Кредиты, за исключением ипотеки (млрд долларов)

Для кредитов использовалось стандартное условие дополняющей нежёсткости. Оценки модели и исторические данные для кредитов за исключением ипотеки изображены на рис. 11. Результат ожидаемо хуже, чем для внутренних и внешних депозитов, но лучше чем у предыдущей модели (рис. 5). Это улучшение, скорее всего, связано с уменьшением числа переменных (что облегчило задачу оптимизации), так как все равно, начиная с середины 2000-х, видны расхождения, связанные с неучтенным изменением в режиме функционирования.

3. Заключение

Подводя итог, мы хотели бы перечислить, что было сделано в данной работе.

Во-первых, построена модель оптимального поведения банковской системы США: функционал и набор ограничений, который во многом был продиктован исследованием функционирования банковской системы. Кроме того, приведено аналитическое решение данной задачи.

В-вторых, произведена калибровка модели на реальных данных, в ходе которой была обнаружена смена режимов, связанная с условиями дополняющей нежёсткости, учесть которую наша модель не может. Тем не менее она всё равно достаточно адекватно отражает действительность, даже на таком большом интервале времени — 40 лет.

В-третьих, произведена калибровка сокращённой (без ипотеки и ценных бумаг) модели, в которой смена режимов была сделана вручную. Результаты калибровки показали, что учёт этой смены существенно повышает качество модели.

Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект 14-11-00432).

Литература

1. Андреев М.Ю., Пильник Н.П., Поспелов И.Г. Моделирование деятельности современной российской банковской системы // Экономический журнал ВШЭ. — 2009. — Т. 13. — № 2. — С. 143-171.

2. Bachmann R., Caballero R.J., Engel E.M. Aggregate implications of lumpy investment: new evidence and a DSGE model // American Economic Journal: Macroeconomics. — 2013. — V. 5. — N 4. — P. 29-67.

3. Diaz-Gimenez J. [et al.]. Banking in computable general equilibrium economies // J. of Economic Dynamics and Control. — 1992. — V. 16. — N 3. — P. 533-559.

4. Gertler M., Karadi P. A model of unconventional monetary policy // J. of monetary Economics. — 2011. — V. 58. — N 1. — P. 17-34.

5. Justiniano A, Primiceri G.E. The Time-Varying Volatility of Macroeconomic Fluctuations // American Economic Review. — 2008. — V. 98. — N 3. — P. 604-641.

6. Kydland F.E., Prescott E.C. Time to build and aggregate fluctuations //Econometrica: J. of the Econometric Society. — 1982. — P. 1345-1370.

7. Lewis J. A computable general equilibrium (CGE) model of banking system stability: Case of jamaica // J. of Business, Finance and Economics in Emerging Economies. — 2010. — N 5.

8. Mankiw N.G. Principles Of Macroeconomics. — Thompson, 2009. — 583 p.

9. Пильник Н.П., Поспелов И.Г. О естественных терминальных условиях в моделях межвременного равновесия // Экономический журнал ВШЭ. — 2007. — Т. 11. — № 1. — С. 3-34.

Bibliography

1. Andreev M.Y., Pilnik N.P., Pospelov I.G. Modelling of the modern Russian banking system // HSE Economic Journal. — 2009. — V. 13. — N 2. — P. 143-171.

2. Bachmann R., Caballero R. J., Engel E. M. Aggregate implications of lumpy investment: new evidence and a DSGE model // American Economic Journal: Macroeconomics. — 2013. — V. 5. — N 4. — P. 29-67.

3. Diaz-Gimenez J. [et al.}. Banking in computable general equilibrium economies // Journal of Economic Dynamics and Control. — 1992. — V. 16. — N 3. — P. 533-559.

4. Gertler M., Karadi P. A model of unconventional monetary policy // Journal of monetary Economics. — 2011. — V. 58. — N 1. — P. 17-34.

5. Justiniano A., Primiceri G.E. The Time-Varying Volatility of Macroeconomic Fluctuations // American Economic Review. — 2008. — V. 98. — N 3. — P. 604-641.

6. Kydland F.E., Prescott E.C. Time to build and aggregate fluctuations //Econometrica: Journal of the Econometric Society. — 1982. — P. 1345-1370.

7. Lewis J. A computable general equilibrium (CGE) model of banking system stability: Case of jamaica // Journal of Business, Finance and Economics in Emerging Economies. — 2010. — N 5.

8. Mankiw N.G. Principles Of Macroeconomics. — Thompson, 2009. — 583 p.

9. Pilnik N.P., Posvelov I.G. On natural terminal conditions in models of intertemporal equilibrium // HSE Economic Journal. — 2007. — V. 11. — N 1. — P. 3-34. — (in Russian).

Поступила в редакцию 15.12.2014.