CC BY
15
УДК 519.863
В. П. Вржещ1, И. Г. Поспелов1'2, И. В. Санникова2
1 Вычислительный центр им. А. А. Дородницына РАН 2 Московский физико-технический институт (государственный университет)
Моделирование баланса доходов и расходов российского населения
В работе представлена межвременная модель макроэкономического агента Домохозяйство, который решает задачу максимизации дисконтированной полезности по управляющим переменным остатков наличных денег и валюты, банковских депозитов и кредитов, покупок импортных и внутренних товаров как длительного пользования, так и текущего потребления. Основным достоинством модели является возможность моделировать одновременно кредиты и депозиты, что достигается за счет предположения о покупках товаров длительного пользования за счет нетто-кредитов. Такой подход основывается на особенностях статистики баланса доходов и расходов российских домохозяйств, которые позволяют выдвигать очень сильные предположения о поведении домохозяйств как отдельного рационального макроэкономического агента.
1. Введение
Математическое моделирование экономических систем в последние десятилетия представляет собой динамично развивающуюся область исследований. Её особенностью является совмещение достаточно абстрактной теории с широко используемыми приложениями на практике. Теоретическими основами построения макромоделей являются предположения об агрегируемости поведения экономических агентов. Широко известен класс так называемых вычислимых моделей общего равновесия (Computable General Equilibrium, CGE), которые использовались, например, в начале 1990-х годов во время дебатов вокруг разработки и принятия соглашения о свободной торговле между странами Северной Америки (NAFTA) [1]. Российские разработки в области макроэкономического моделирования достаточно многочисленны, в том числе применяются динамические стохастические модели общего экономического равновесия (DSGE) [6], а также CGE-модели, построенные на принципе рациональных ожиданий [2, V. 2, Chap. 20]. К ним относятся, например, DSGE-модели российской экономики, построенные С.М. Иващенко [3] и А.В. Полбиным [4].
В 1975 г. в Вычислительном центре АН СССР (потом РАН) возникло новое направление исследований: системный анализ развивающейся экономики (САРЭ) [5], в котором методология математического моделирования сложных систем, развитая в естественных науках, была синтезирована с достижениями современной экономической теории. Данная работа относится к направлению САРЭ и выполнялась в рамках исследований по модернизации модели, созданной в ВЦ РАН под руководством член-корреспондента РАН И.Г. Поспелова в 2010-2012 гг. [6]. Такая модель, как и модель, представленная в [5], относится к классу моделей межвременного равновесия (IGE). Эти модели, в отличие от CGE и подобно DSGE, основываются на принципе рациональных ожиданий, но, в отличие от DSGE, модели IGE — детерминированные.
2. Моделирование поведения домохозяйств при наличии возможности сберегать и брать кредиты
Основная цель данной работы состоит в построении модели макроэкономического агента домохозяйства, в которой население в целом одновременно как занимает финансовые средства в виде банковских кредитов, так и размещает часть средств на депозитах. На первый взгляд, этому препятствует то, что ввиду линейности финансовых ограничений занимать и сберегать деньги при условии превышения ссудного процента над депозитным
вроде бы явно нерационально. Однако в данной работе предполагается, что кредиты и наличные платежи используются для разных целей.
В модели потребительские блага подразделяются на четыре категории: внутренние и импортные; товары краткосрочного и долгосрочного (более одного года) использования. В работе предполагается, что цены внутренних товаров рх(Ь) длительного и короткого пользования совпадают так же, как и цены импортных товаров р^) длительного и короткого пользования. Различие в сроках пользования в данной работе проявляется в том, что для «коротких» товаров в потребительскую полезность входит поток покупок, а для «длительных» товаров — поток амортизации (выбытия, расходования) запаса. Индексы цен внутреннего продукта рх(Ъ) и импортного продукта р¿(¿) задаются на основе принятого в официальной статистике соотношения стоимости потоков внутреннего (импортного) продукта в текущих ценах рХ (¿) (р1 (¿)) и стоимости этих же потоков в ценах базового года
За базовый период в данной работе принят 2008 год. Основным источником статистических данных, использованных в работе, являются официальные публикации Федеральной службы государственной статистики [7]. Для записи модели, анализа и расчетов использовалась система поддержки моделирования ЭКОМОД, разработанная в ВЦ РАН под руководством чл.-корр. РАН И.Г. Поспелова в среде компьютерной алгебры Maple [5]. Система позволяет формулировать модель в стандартной математической нотации, автоматизированно получать условия оптимальности, контролировать корректность балансов и размерностей и проводить расчеты. Многие формулы, приводимые ниже, взяты непосредственно из записи модели в системе ЭКОМОД, чем объясняется местами несколько непривычная форма выражений. Например, используются многобуквенные обозначения величин.
Согласно подходу Федеральной службы государственной статистики, доходы домохозяйства складываются из доходов от предпринимательской деятельности (порядка 8-11%), оплаты труда (включая скрытую заработную плату, порядка 65-70%), социальных выплат (порядка 12-25%), доходов от собственности (порядка 5-8%), других доходов (порядка 2%). В данной работе суммарный доход домохозяйства (за вычетом доходов от продажи валюты и процентных платежей по депозитам) обозначается величиной Incx(t) и является экзогенной величиной.
Покупки товаров и услуг разбиты на следующие категории:
• pXs(t), Xs(t) - стоимость покупок внутренних товаров краткосрочного использования в текущих ценах и в ценах базового года соответственно;
• pXl(t), Xl(t) - стоимость покупок внутренних товаров долгосрочного использования в текущих ценах и в ценах базового года соответственно;
• pls(t), Is(t) - стоимость покупок импортных товаров краткосрочного использования в текущих ценах и в ценах базового года соответственно;
• pll(t), Il(t) - стоимость покупок импортных товаров долгосрочного использования в текущих ценах и в ценах базового года соответственно.
При этом заведомо обязаны выполняться модельные соотношения на индексы цен:
X(t) (7(f)):
(1)
pXs(t) = рх(t) • Xs(t),pXl(t) = px(t) • Xl(t), Xs(t) ^ 0, Xl(t) ^ 0,
pls(t) = pi(t) • Is(t),pll(t) = pi(t) • Il(t),Is(t) ^ 0,ll(t) ^ 0,
где px(t) и Pi(t) - индексы цен из (1).
Приобретенные товары длительного пользования как внутренние, так и импортные формируют запасы Рх(Ь) и Рг (Ь) соответственно, которые выбывают с постоянными темпами Цх и Цг:
-
-Рх (1)=Х1 (I) -ЦхРх(1), -
-Р 1(1) =11(1) -ЦгР1 (I).
Домохозяйства могут осуществлять денежные вклады в банках под процентную ставку
г3(Ь). Баланс изменения сбережений 5(Ь) описывается соотношениями
-
-Б(1) = б-б(*), Б-Б (г) = у (г) - р8 (г) Б (г), ш-Б (г) = -б-б (г) + га (г) Б (г),
о < V (г),
где V(Ь) - поток новых вкладов, [33(Ь)-Б(Ь) - поток погашений, [З3(Ь) - средневзвешенная дю-рация, г3(Ь) ■ Б(Ь) - проценты, начисляемые на сберегательные вклады, Ш-Б (Ь) - денежный итог операций с депозитами, Б-Б(Ь) - изменение остатков депозитов.
У домохозяйств также есть возможность занимать денежные средства в кредит под процент Г[(Ь). Баланс изменения остатка ссуд Ь(Ь), взятых домохозяйствами у банков, имеет вид
= ыь(г), ь-ь (г) = к (г) - & (г) ь (г), ш-ь (г) = ь-ь (г) - п (г) ь (г),
где К(Ь) - поток вновь выданных кредитов, ^¡(Ь) ■ ь(ь) - поток возвратов, ^¡(Ь) - средневзвешенная дюрация кредитов, Г[(Ь) ■ ь(Ъ) - процентные платежи по кредиту, Ш-ь (Ь) -денежный итог операций с кредитами, ь - ь( ) - изменение кредитного портфеля.
Вводится дополнительное принципиальное для данной модели ограничение, позволяющее покупать долгосрочные товары за накопленные средства, а не только в кредит.
к(г) < рХ1 (1)+рП(г). (3)
Население может покупать и продавать валюту. Изменение остатка валюты на руках ((Ь) описывается следующим образом:
(г) = (г) (Щ (г),
где -и:((1) - рублевый поток от валютных операций, (Ь) - изменение запасов валюты, (Ь) - курс валюты по отношению к рублю.
Величина денег на руках у населения А(Ь) формируется как разность между доходами и расходами домашних хозяйств. Итоговый баланс изменения наличных денег на руках у
населения представляется следующим образом: -
—А (^ = Ш-Б (€) + Ш-ь (г) + 1псх И) - и) - рХв Н) - рХ1 Н) - р и) - рII и). (4) -
Для величины А ( ) вводится ограничение ликвидности:
А(1) ^ тьь (I) + т1пс1псх (V + тяБ (I) + тк(рХ1 (I) + р11(1) - К(I)). (5)
3. Функционал задачи и терминальные ограничения
Целью домохозяйства является максимизация приведенной дисконтированной полезности Utility(t), основанной на моментальной полезности U(•, •, •, •):
d d
— Utility (t) < —U ЫxFx (t), ^Fi (t), Xs (t), Is (t)) e-AК (6)
dt dt
Неравенство в (6) необходимо писать вместо равенства, чтобы обеспечить вогнутость задачи. Функция U(•, •, •, •) несет размерность полезности. В качестве функции полезности необходимо рассматривать линейно однородную функцию, для которой выполнено условие к • U (a,b,c,d) = U (к • а, к • Ь,к • с, к • d) Ук > 0 .В данной работе выбрана так называемая CES-функция (линейно однородная функция с постоянной эластичностью замещения):
и (рх ■ ¥х (г) ,ц.г ■ Рг (г), Х8 (г), и (г)) _ (7)
_ (( + ( уц-РИд V + (^^\V + /_18_у \ 1
_ СРХ ) + ^ ХР1 ) + \CXSJ + \CISJ ) ,
где константы СРХ, ХР1, СХБ, С1Б, V вместе с уже введенными темпами выбытия ^г и коэффициентами ограничения ликвидности (5) ть, Т1пс, тs, тк образуют набор настроечных параметров модели.
С целью недопущения финансовой пирамиды и уничтожения запасов к конечному моменту времени, вводится линейное граничное условие на рост линейной формы фазовых переменных:
(аА (М) А (М) + аП (М) Рг (М) + аРх (М) Рх (М) + аЬ (М) Ь (М) + аЯ (М) Я (Щ е7 <Т-'0) < (8) < аА (Т) А (Т) + аРг (Т) Рг (Т) + аРх (Т) Рх (Т) + аЬ (Т) Ь (Т) + ав (Т) Б (Т).
При условии (8) капитал агента на оптимальной траектории оказывается неотрицательным, что заменяет условие отсутствия пирамиды.
Поставим задачу о нахождении оптимального распределения наличных денег А(Ь) на потребление товаров рХ1({), рХв^), рП({), р1з^), остатки депозитов Б^) и кредитов К({). Задача состоит в нахождении траектории прямых переменных:
А(г) _ А(1),п(г) _ Щ), Рх(г) _ Рх(^,11^) _ п(г), 1з(г) _ ¡а®, (9)
Х1(^ _ Х1(г), Хз(г) _ Хз(г),к (г) _ к _ (г) _ § (г), V (г) _ V (г),
обеспечивающих среди всех траекторий, удовлетворяющих ограничениям (2)—(5), (8), наибольшее значение функционала:
Г т л
-и (^хРх (^ (^ ,Х8 (^ ,18 (^) е-А(10) Jt0 ^
Заведомо достаточным для оптимальности траектории (9) будет существование неотрицательных двойственных переменных:
<р! (г), <¿2 (г), <рз (г), <¿4 (г), <р8 (г), (г), <р!2 (г), ф5 (г), фб (г), ф7 (г), ф9 (г), ф!3 (г), (11)
которые вместе с (9) образуют седловую точку функционала Лагранжа:
/ю [жиишу (г) + <р1 (г) Хв (г) + <р2 (г) Х1 (г) + уз (г) и (г) + у4 (г) и (г) + (12) +ф5 (I ) (Х I (I) -Цх ■Рх (I) - ±Рх (I)) + ф6 (I) (II (I) -Цг ■Рг (Ь) - (I)) + +ф7 (I) (V (I) - ¡3 (I) Б (1) - §Б (1)) + <р8 (I) V (1) + ф9 (I) (К (I) - р1 (1) ь (I) - §ь (I)) +
+<р10 (¿) (К (I) - Рх (¿) Х1 (I) - Рг (I) II (I)) + +ФИ (г) ■ {-Рх (г) хв (I) - Рх (I) Х1 (I) - рг (г) 1а (г) -
-Рг (г) II (г) -V (г) + ¡з3 (г) Б (г) + га (г) Б (г) + к (г) - ¡зг (г) ь (г) - п (г) ь (г) + 1псх (г) -
-шш (^ (ь) - |А (1)}+ +<р12 (г) (А (ь) - тьь (г) - т1пс1псх (г) - тяБ (г) - тк (рг (Ь) II (г) + рх (г) XI (г) - к (г))) +
+Ф13 (г) (ро1роъ (г) - £ииигу (г)) + +у14 (Ь) (и (Цх ■ Рх (г) ,Цг ■Рг (Ь), Ха (г), Ре (г)) е-А * - Ро1рсЛ (Ь))]^+ +Ф1 ■ (аА (Т) А (Т) + аРг (Т) Рг (Т) + аРх (Т) Рх (Т) + аь (Т) ь (Т) + аБ (Т) Б (Т) -- (аА (г0) А (Ю) + аРг (Щ Рг (№) + аРх (Ю) Рх Щ + аь Щ ь (Щ + аБ (Щ Б (Щ ет(т-ю)).
В седловой точке должен достигаться минимум лагранжиана (12) по неотрицательным двойственным переменным (11) и максимум по прямым переменным (9). Экзогенными (заданными извне) величинами в модели являются суммарные доходы населения п х( ), индексы относительных цен рг(Ь), рх(Ь), проценты по депозитам и кредитам г3(Ь), Г[(Ь), дюрация по депозитам и кредитам ¡а(£),@1 (¿), курс валюты и изменение запасов валюты
^ (Ъ),й( (г).
В результате варьирования функционала Лагранжа (12) по прямым (9) и двойственным (11) переменным получаем систему достаточных условий оптимальности, которая содержит:
• девять условий дополняющей нежесткости (УДН), отвечающих терминальному ограничению (8) и неравенствам на текущие значения планируемых переменных:
[Ф1] ■ [аА (Т) А (Т) + аРг (Т) Рг (Т) + аРх (Т) Рх (Т) + аь (Т) ь (Т) + аБ (Т) Б (Т) - (13) - (аА (г0) А (Ю) + аРг (Ю) Рг (Ю) + аРх (Ю) Рх (М) + аь (М) ь (М) + аБ (М) Б (Щ) в7 (т-0)],
[у14(Щи (рхРх (г) ,щРг (г) ,Хв (г), 1e-л 1 - Ро1рог (¿)], [у12 (*)][А - тьь (г) - т1пс1псх ^) - т3Б (г) - ТК & (г) и (г) + Рх (г) XI (г) - к (*))], [ у10(ЩРх (г) XI (г) + & (г) и (г) -к (*)],
№(*)]№)], утш т, Ьр2шх1 т, ы(тх в т,
• шесть динамических уравнений на запасы исходной системы:
-
-Рх (ъ) = Х1 (I) -ЦхРх (г), -
-
-Рг (I) = II (I) - ЦгРг (I), -
-
-Б V = V (^ - ¡З3 (I) Б (Ъ), |ь (1) = к (I)-¡1 ®ь (I),
| А (t) = -рх (t) Xs (t) - рх (t) XI (t) (i) Is (i) - (t) Il (t) - V (t)+ ps (t) S (t) +ra (t) S (t) + К (t) - pt (t) L (t) - n (t) L (t) +
+ Incx (t) - Ww (t) ft Qx (t), d
—Utility (t) = Polpot (t) ;
тринадцать условий оптимальности, полученных вариацией текущих значений планируемых переменных:
0 = ^(t)^ dUtility,
0 = (ф13 (t) - <¿14 (t)) dPolpot, 0 = {-Px (t) ф11 (t) + <¿14 (t) D3 (U) (px Fx (t), щ Fi (t), Xs (t), Is (t)) e-At + ¿>1 (t)) dXs, 0 = (-<¿12 (t) TKpx (t) - ф11 (t) px (t) + <¿10 (t) px (t) + фЪ (t) + <¿2 (t)) dXl, 0 = (-ф11 (t) + <¿8 (t) + ф7 (t)) dV,
0 = ( & (t) ф11 (t) - p8 (t) ф7 (t) + jtф7 (t) - <p12 (t) ts + Ф11 (t) rs (t)^ dS,
0 = (-Ф11 (t) n (t) - <p12 (t) tl - ф9 (t) рг (t) - ф11 (t) Pi (t) + (t)^ dL,
0 = (<¿12 (t) TK + ф9 (t) - <¿10 (t) + ф11 (t)) dK, 0 = (-ф11 (t) pi (t) + <¿>14 (t) da (U) (jix Fx (t), Fi (t), Xs (t), Is (t)) e-At + <¿3 (t)) dis, 0 = (-p12 (t) TKPi (t) - Pi (t) ф11 (t) + pi (t) <¿10 (t) + ф6 (t) + <¿4 (t)) dll,
0 = (^14 (t) Dx (U ) (fix Fx (t), /j.i Fi (t), Xs (t), Is (t)) /j.x e-A t - фЪ (t) /j.x + ^фЪ (t)j dFx,
А \
-ф6 ^) щ + ^) + <¿14 (^ В2 (и) (щх Рх ^), щгFi ^), Х8 (г), 18 (г)) щ е-А М АП
0=(<12^) + Аф11(^ А А;
шесть условий оптимальности, полученных вариацией терминальных значений фазовых переменных:
0 = (-ф11(Т) + Ф1аА (Т)) АА(Т), 0 = (-ф6 (Т) + Ф1 аFi (Т)) АР г (Т), 0 = (-ф5 (Т) + Ф1 аРх (Т)) АРх(Т), 0 = (-ф9 (Т) + Ф1 аЬ (Т)) АЬ(Т), 0 = (-ф7 (Т) + Ф1 аБ (Т)) АБ(Т),
0 = (-ф13 (Т) + 1) АиШИу(Т). (14)
4. Решение квазистационарного приближения
Система достаточных условий оптимальности (13) - (14) формирует краевую задачу, у которой в общем случае не гарантировано наличие решения. Тем не менее в рамках работ над проектом Российского научного фонда №14-11-00432 разрабатывается технология идентификации и расчета динамических моделей общего и частичного экономического равновесия, и в данной работе были использованы разработки проекта РНФ для нахождения решения и идентификации задачи (13) - (14) в квазистационарном приближении. В целом модель идентифицирует прямые переменные (9) достаточно точно (на основе данных Федеральной службы государственной статистики [7]). Часть из них показана на рис. 1. Идентифицированные значения параметров: CFX = 891.033, CIS = 9645.823, CXS = 411.867, XFI = 477.3792, щ = 1.874, ц.х = 2348.716, и = 0.748, rL = 1.5266, rs
600 500 400 300 200 100
Рис. 1. Решение модели. Сплошная линия - статистика, пунктирная линия - расчет. Левый верхний график - покупки долгосрочного внутреннего продукта XI(£) (млрд руб. 2008 г.), правый верхний график - суммарные потребительские расходы рС(Ъ) (млрд руб.), левый нижний график - покупки долгосрочного импортного продукта 11(р) (млрд руб. 2008 г.), правый нижний график - остатки депозитов Б(¿) (млрд руб.)
Помимо непосредственной идентификации модель позволяет также проводить аналитические эксперименты, то есть получать ответы на вопрос «А что было бы, если...», что, в частности, позволяет проводить проверку на магистральное свойство. В модели проводились вариации индекса импортных цен в 2010 году на -10%. Эксперимент показал, что ряды (9) не реагируют на вариации существенно ранее 2010 года. В частности модель прогнозирует рост долгосрочного импорта 11(1) на 15-20% в 2010 году с последующим уменьшением на 5-10% в первые кварталы 2011 года. Депозиты населения Б(1) падают на 1-5% в 2010 году с целью финансирования импорта и сохраняют постоянный разрыв в 2011-2012 годах, что свидетельствует о явном наличии магистрального эффекта. Нетто-кредиты к(Ъ) также демонстрируют возмущения начиная лишь с 2010 года — растут в 2010 году с целью финансирования импорта и падают в 2011 году, возвращаясь на исходный уровень финансирования долгосрочного потребления в долг, что свидетельствует о наличии сильного магистрального эффекта.
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект №14-1100432).
= 3.1962, т1пс = -1.8310, тк = 10.9844.
Литература
1. Макаров В.Л., Бахтизин А.Р. О CGE-моделях. — М. : ЦЭМИ РАН.
2. Handbook of Mathematical Economics. North-Holland. — 1991.
3. Иващенко С.М. Применение динамической стохастической модели общего экономического равновесия для анализа инфляционных процессов в России и США // «Научно-технические ведомости СПбГПУ. Экономические науки». — СПб. : Изд-во СПбГПУ. — 2010. — № 6. — C. 305-309.
4. Полбин А.В. Построение динамической стохастической модели общего равновесия для экономики с высокой зависимостью от экспорта нефти // Экономический журнал Высшей школы экономики. — 2013. — Т. 17. — № 2. — C. 323-359.
5. Андреев М.Ю., Поспелов И.Г., Поспелова И.И., Хохлов М.А. Технология моделирования экономики и модель современной экономики России. — М. : МИФИ. — 2007. — 262 с.
6. Андреев М.Ю., Вржещ В.П., Пильник Н.П., Поспелов И.Г., Хохлов М.А., Жукова А.А., Радионов С.А. Модель межвременного равновесия экономики России, основанная на дезагрегировании макроэкономического баланса // Труды семинара им. И.Г. Петровского. — Т. 29. — 2013. — C. 43-145.
7. Федеральная служба государственной статистики. http://www.gks.ru/ Bibliography
1. Makarov V.L., Bakhtizin A.R. On CGE models. — Moscow. : Central Economics and Mathematics Institute of Russian Academy of Sciences.
2. Handbook of Mathematical Economics. North-Holland. — 1991.
3. Ivashchenko S.M. Applying dynamic stochastic general equilibrium models for analysis of inflation processes in Russia and USA // «Nauchno-tekhnicheskie vedomosti SPbGU. Economics. — Saint-Petersburg. : SPbGU Publishing. — 2010. — N 6. — P. 305-309.
4. Polbin A.B. Developing a dynamic stochastic general equilibrium model of an economy highly dependent on oil exports // New Economic School Journal of Economics. — 2013. — V. 17. — N 2. — P. 323-359.
5. Andreev M.Yu., Pospelov I.G., Pospelova I.I., Khokhlov M.A. The New Modelling Technology and the Model of Modern Russian Economy. — Moscow : MEPhl. — 2007. — 262 p.
6. Andreev M.Yu, Vrzheshch V.P., Pilnik N.P., Pospelov I.G., Khokhlov M.A., Jukova A. A.., Radionov S.A. Intertemporal general equilibrium model of russian economy based on national accounts desagregation // Trudy seminara Petrovskogo. — V. 29. — 2013. — P. 43-145.
7. Federal State Statistics Service. — http://www.gks.ru/
Поступила в редакцию 15.12.2014.
