CC BY
20
УПРАВЛЕНИЕ, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И ИНФОРМАТИКА
УДК 621.864.8
МОБИЛЬНЫИ ВИБРАЦИОННЫМ РОБОТ ДЛЯ ДВИЖЕНИЯ ПО СТЕНАМ © 2010 г. С.Ф. Яцун, А.А. Черепанов, И.В. Лупехина, В.С. Дышенко
Курский государственный технический университет
State Technical University, Kursk
Рассматриваются вопросы моделирования механической вибрационной системы с учетом силы сухого трения, обеспечивающего движение мобильного объекта по вертикальной поверхности.
Ключевые слова: виброробот; математическая модель; мобильный объект; периодическое движение.
The paper presents the results of modelling of mechanical mobile vibration driven system taking into account force of a dry friction. Mobile object providing movement on a vertical surface are considered by use of additional air pressure.
Keywords: vibrobot; mathematical model; mobile object; periodic motion.
Введение
Мобильные устройства, которые могут передвигаться без специальных движителей, взаимодействуя с внешней средой непосредственно своим корпусом, обладают рядом преимуществ по сравнению с колесными, гусеничными шагающими системами в первую очередь благодаря своей конструкции. Это преимущество позволяет создать на основе таких принципов движения миниатюрные микророботы, способные перемещаться в узких каналах, щелях и средах, недоступных для других мобильных объектов. Большой цикл работ [1-2] был посвящен устройствам, представляющим собой цепь жестких звеньев, соединенных между собой вращательными шарнирами, в которых расположены приводы. Эти приводы создают управляющие моменты, внутренние по отношению к многозвеннику. Управляя моментами в шарнирах и тем самым силой трения о поверхность, можно обеспечить его перемещение из произвольного начального состояния в заданное конечное положение. В работах [3-4] описаны математическая модель и исследования движения двухмассовой системы с учетом характеристик электропривода. В этой системе одна масса непосредственно контактирует с шероховатой поверхностью, в то время как вторая масса движется относительно этой массы без трения.Встречаются работы [5] по изучению возможностей по применению в конструкциях роботов острых игольчатых покрытий, создающих между корпусом робота и горизонтальной поверхностью ассиметричную силу трения. Слабостью таких роботов является их ограниченная мобильность. Такого рода системы двигаются только по горизонтальной поверхности. С целью повышения мобильности подобных систем в настоящей работе изучается возможность создания вибророботов, дви-
гающихся по вертикальным шероховатым поверхностям.
Описание робота. Математическая модель
Рассмотрим мобильный робот для перемещения по вертикальной поверхности, контактирующий с ней своим корпусом. Схема робота представлена ниже (рис. 1).
Рис. 1. Схема робота
В конструкцию робота входят: корпус 1, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда. Внутри корпуса закреплены две пары дебалансов 2 и 3, создающих соответственно горизонтальное и вертикальное гармонические усилия. Это достигается синфазным вращением дебалансов каждой пары в противоположных направлениях. Угловая скорость в каждой
4
5
паре - ш. Вентиляторы 4 создают постоянные усилия прижатия к поверхности 5 и подъема робота. Устройство робота таково, что результирующее воздействие пары дебалансов и соответствующего вентилятора направлено вдоль оси симметрии корпуса. На рис. 1 векторы Fx и Fy условно обозначают эти суммарные воздействия.
Очевидно, что указанные силы представимы в виде: Fx = Рх + Ах ¡¡ш(юО;
Fy = Ру + Ау + Ф),
где Рх, Ру - постоянные силы, создаваемые вентиляторами; Ах, Ау - амплитуды сил, генерируемых дебалан-сами, которые в общем случае не равны между собой; ф - разность фаз гармонических сил, создаваемых дебалансами.
При составлении математической модели пренебрежем колебаниями положения центра масс конструкции, считая его расположенным в центре симметрии корпуса. Тогда расчетную схему можно представить в виде, соответствующем рис. 2. На схеме Lх, Ly -геометрические размеры сечения корпуса.
У
Ff„
В
/ / /
Oi
|
/ / / / / / / / / / / /
/ *
£
N
mg
Fr
O
my = Ffi + Fy - mg,
(i)
где сила трения представлена кусочно-непрерывной аналитической моделью:
-kNsign( у),
Ffr =
У * 0;
У = 0,IFo|< kN; (2) y = 0,|Fo|> kN,
в которой F0 - проекция на ось ординат равнодействующей всех приложенных к конструкции робота сил, кроме силы сухого трения; k - коэффициент трения; у - скорость робота вдоль оси Оу.
Поскольку робот перемещается вдоль вертикальной поверхности, то сила прижатия Fx уравновешивается нормальной реакцией. Но при данном движении нормальная реакция должна быть только положительной. Это накладывает ограничения на величину усилий, создаваемых вентилятором и дебалансом, а именно, для постоянного выполнения неравенства Fx = Рх + Ах 8ш(ю0 > 0 требуется соблюдение условия для амплитуды и модуля постоянной силы:
P > Л„
(3)
Таким образом, неравенство (3) является условием безотрывного движения по вертикальной стене. Тем не менее его выполнение не гарантирует прижатия всей грани корпуса, и вот почему. Как сила трения, так и нормальная реакция поверхности являются силами, распределенными по площади соприкосновения. Интенсивность п(у) нормальной реакции может принимать только неотрицательные значения, поскольку отсутствует прилипание, и условно картина распределения имеет вид, аналогичный показанному на рис. 3.
Рис. 2. Расчетная схема сил, действующих на робота
Кроме сил Fx и Fy, на рассматриваемую систему действуют сила тяжести mg, со стороны поверхности -сила сухого кулонова трения Ffr и нормальная реакция N. Уравнение движения вдоль поверхности имеет вид
0
Рис. 3. Схема распределения нормальной реакции поверхности
Покажем, что равнодействующая подобной нагрузки не может иметь равнодействующую в крайних точках. Действительно, алгебраический момент нагрузки относительно точки О равен интегралу
2Ly
М0 (N) = - | п(у)ydy, причем, так как п(у), у > 0, то
0
момент равнодействующей отрицателен, а следовательно, точка ее приложения находится выше нуля. Если точка приложения является крайней верхней точкой нагрузки, то разность между моментом пред-
L
L
x
x
X
полагаемой равнодействующей и моментом нагрузки равна:
2Ь„
2 Ь„
- N 2Ly + | п( у) ydy = | п( у)^ - у)сУ > 0 ,
0 0
т.е. модуль момента нагрузки меньше модуля момента предполагаемой равнодействующей, точка приложения которой должна находиться ниже крайней верхней. В итоге получаем, что равнодействующая распределенной нормальной силы находится строго между крайними точками.
Если же равнодействующая все же приложена, например, в точке О, то получаем, что выполняется
2 Ly
равенство | п(у)ydy = 0 , что возможно лишь в слу-
0
чае, когда интенсивность п(у) = 0 для всех точек, кроме у = 0 . Аналогично, приравнивая нулю разность момента равнодействующей, приложенной в верхней точке, и момента нагрузки, получаем, что интенсивность должна быть равна нулю во всех точках, кроме верхней. Но в таком случае, очевидно, что корпус робота отрывается от стены и начинает вращение вокруг одной из крайних точек, а это означает, что нарушается поступательный характер движения, и может произойти полный отрыв робота от поверхности.
Найдем области параметров системы, при которых ситуация отрыва не произойдет ни при движении, ни в состоянии покоя. Для этого составим уравнение моментов относительно центра тяжести корпуса -точки О1 (рис. 2). Плечо Ау нормальной реакции N должно находиться в интервале (-Ly, Ly), где Ly -
половина длины корпуса.
Уравнение моментов и в случае покоя, и в случае скольжения имеет вид:
N Ду - FfrLx = 0.
Если робот движется, то, принимая во внимание модель трения (2), плечо реакции будет определяться шириной корпуса и коэффициентом трения:
ДУ = -^п(у) ^,
причем точка приложения N смещена от центра в сторону движения. Очевидно, что геометрические параметры корпуса для исключения поворота должны удовлетворять неравенству:
Ь. > *.
Ь
(4)
В граничном случае, когда — = k, корпус при
^х
движении начнет «спотыкаться», поворачиваясь вокруг передней опорной точки. Но для этого ширина должна быть больше опорной длины в 10 раз (если коэффициент трения k = 0,1)! На практике длина и ширина контактной площади подобной конструкции
для обеспечения устойчивости поступательного движения по поверхности любого наклона превосходят высоту.
В покое сила трения, как следует опять же из (2) и (1), равна
Ffr = mg - Fy = mg - Py - Ay sin(rat + ф).
Но N = Fx = Px + Ax sinrat. Тогда для предупреждения отрыва приходим к двойному неравенству
-L (Px + Ax sin ra t) < Lx (mg - P - Ay sin(ra t + ф)) <
< Ly P + Ax sin rat).
(5)
С другой стороны, ограничение для модуля силы трения в положении равновесия выражается другим двойным неравенством:
-к (Px + Ax sin at) < mg - Py - Ay sin(rot + ф) <
< к (Px + Ax sin at), (6)
которое определяет область параметров, являющуюся подмножеством области, представленной неравенством (5). В этом легко убедиться, разделив (5) на положительную величину Lx и приняв во внимание условие (4). Тогда, поскольку из выполнения в состоянии покоя (6) следует выполнение (5), заключаем, что при отсутствии скольжения робот не может начать поворот вокруг своей крайней точки.
Алгоритм интегрирования дифференциальных уравнений. Результаты численного моделирования
Для интегрирования системы дифференциальных уравнений был предложен алгоритм интегрирования на основе метода Эйлера (рис. 4).
Перед началом работы алгоритма пользователь вводит значения параметров системы, определяющих ее поведение и режимы работы, а также параметры интегрирования: дискретность, время интегрирования и т.д. После этого программа попадает в цикл с предусловием типа «while», в условии которого сравнивается текущее значение переменной времени с временем интегрирования. Если текущее значение переменной времени превышает время интегрирования, то происходит выход из цикла, если нет, то дифференциальные уравнения интегрируются на следующим шаге времени. В приведенном алгоритме симулируется движение с применением модели сухого трения, учитывающей трение покоя. Для этого проверяется условие равенства силы трения сумме остальных внешних сил. Если сила трения больше или равна сумме остальных внешних сил, то переменной координате присваивается значение, вычисленное на предыдущем шаге интегрирования, переменные ускорения и скорости для следующего шага обнуляются. В случае если сила трения меньше суммы остальных внешних сил, происходит решение вертикальной проекции движения системы с применением метода Эйлера.
Рис. 4. Схема алгоритма численного интегрирования дифференциальных уравнений на основе метода Эйлера
После вычисления ускорения, скорости и координаты для следующего шага интегрирования происходит увеличение значения переменной времени и проверка условия переполнения значения времени интегрирования.
Исследуем зависимость влияния постоянной составляющей Ру на характер движения виброробота по вертикальной поверхности (рис. 5). При постоянных значения остальных параметров: к = 0,6; ю = 5 Гц; т = 0,3 кг; Рх = 2, Н; Ах = 1 Н; Аг = 1 Н; ф = 0 рад.
Анализ полученных графиков движения мобильного объекта показывает, что высота подъема имеет существенную зависимость от постоянной составляющей вертикальной силы поднятия корпуса робота. При превышении постоянной составляющей значения 3,8 ньютона робот начинает двигаться без соскальзывания с наклонной поверхности. При уменьшении значения до 3,1 ньютона объект перестает устойчиво двигаться по вертикальной стене и происходит периодическое его падение. При этом средняя скорость падения остается постоянной.
Далее исследуется зависимость влияния разности фаз ф гармонических сил на характер движения виброробота по вертикальной поверхности (рис. 6): к = 0,6; ю = 5 Гц; т = 0,3 кг; Ах = 1 Н; Аг = 1 Н; Рг= 3,4 Н; Рх=2 Н.
Исследования поведения системы при различных значениях разности фаз между двумя гармоническими усилиями, генерируемыми двумя парами дебалансов, показывают, что даже при значениях поджимающего усилия, при которых не обеспечиваются режимы движения без соскальзывания с вертикальной поверхности, можно обеспечить такой режим. На представленных графиках отчетливо видно, что максимальная скорость движения без соскальзывания достигается при разности фаз, лежащей в окрестности п (180 °).
Y - 3.5x10
- 8x10
0 \ 0 .5
4 J
P =3 1 y 3,1 t
Y 2.75x10
T ■4-► /
0.5 t
Y 3.5x10
0.5
t
, T ,
0.5 t
Рис. 5. График зависимости вертикального перемещения робота от времени (при различных значениях параметра Ру)
-4
2.8x10
- 4
1x10
-4
Y
1.4x10
0 Py=3,3
7x10
5.5x10
0
0
0
0
Py=3,9
Py=3,6
В ходе исследования установлено, что эти два параметра оказывают наиболее существенное влияние на характер движения системы, и в частности на среднюю скорость её движения (рис. 7). Дальнейшие исследования поведения проводились с помощью
линейной аппроксимации решения дифференциальных уравнений и построения трехмерных графиков. Моделирование осуществлялось при следующих условиях: k = 0,6 ; ю = 5, Гц; т = 0,3, кг; Рх = 2, Н
РУ е [2,0;4,0], Н, ф е [0;2я], рад.
Г-
T /
/
Ф= 2л 0,9
о
0.5
t
Рис. 7. Графики зависимостей средней скорости вертикального подъема от угла фазы и поджимающей силы
Вывод
Создание вибрационных роботов для движения по вертикальным поверхностям является одним из возможных путей совершенствования вибрационных принципов движения, повышения мобильности вибрационных роботов. Характер и среднюю скорость движения определяют множество параметров. Наиболее эффективным и не энергозатратным способом управления является регулирование разности фаз вращения дебалансов. При одинаковом значении постоянной составляющей вертикального усилия и различных значениях разности фаз максимальное значение скорости наблюдается при ф = л. Данный максимум при ф = л наблюдается на всех трехмерных графиках. И выражается в виде характерного «горба», проходящего через всю поверхность.
Работа выполнена в рамках госконтракта П2228 от 11.11.2009 г.
Поступила в редакцию
Литература
1. Динамика управляемых движений вибрационных систем / Н.Н. Болотник [и др.] // Изв. РАН. ТиСУ. 2006. № 5. С. 1 - 11.
2. Яцун С.Ф., Безмен П.А., Лосев Ю.Ю. Математическое моделирование движения вибрационного мобильного робота с внутренней подвижной массой // Вибрационные машины и технологии: сб. науч. тр. Курск, 2008, С. 241 - 247.
3. Automatically controlled vibration-driven robots, Proceedings / N.N. Bolotnik [et al] // International Conference on Mecha-tronics ICM, Budapest, 2006. P. 438 - 441.
4. Vibration - Driven Robots / F. Chernousko[et al.]. // The Workshop on Adaptive and Intelligent Robots: Present and Future. Proceedings. The Institute for problem in mechanics RAS. Moscow. 2005. Vol. 1. Р. 26 - 31.
5. Чащухин В.Г. Моделирование динамики и определение управляющих параметров внутритрубного миниробота // Изв. РАН. ТИСУ. 2008. № 5. С. 142 - 147.
10 декабря 2009 г.
Яцун Сергей Федорович - д-р техн. наук, профессор, зав. кафедрой теоретической механики и мехатроники, Курский государственный технический университет. Тел. (4712) 52-38-07. E-mail: teormeh@inbox.ru
Черепанов Андрей Андреевич - аспирант, кафедра теоретической механики и мехатроники, Курский государственный технический университет.
Лупехина Ирина Владимировна - ассистент, кафедра теоретической механики и мехатроники, Курский государственный технический университет.
Дышенко Вячеслав Сергеевич - канд. техн. наук, кафедра теоретической механики и мехатроники, Курский государственный технический университет.
Yatsun Sergey Fedorovich - Doctor of Technical Sciences, professor, head of department «Theoretical Mechanics and Mechatronics», State Technical University, Kursk. Ph. (4712) 52-38-07. E-mail: teormeh@inbox.ru
Cherepanov Andrey Andreevich - post-graduate student, department «Theoretical Mechanics and Mechatronics», State Technical University, Kursk.
Lupechina Irina Vladimirovna - assistant, department «Theoretical Mechanics and Mechatronics», State Technical University, Kursk.
Dichenko Vjacheslav Sergeevich - Candidate of Technical Sciences, department «Theoretical Mechanics and Mechatronics», State Technical University, Kursk.
