Динамика управляемого движения трехмассового робота по плоской поверхности Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 62-503.5

ДИНАМИКА УПРАВЛЯЕМОГО ДВИЖЕНИЯ ТРЕХМАССОВОГО РОБОТА ПО ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ

© 2011 С.Ф. Яцун, В Н. Шевякин, Л.Ю. Волкова, В В. Серебровский

Юго-Западный государственный университет, г. Курск

Поступила в редакцию 10.11.2011

Представлена математическая модель мобильного робота, перемещающегося по криволинейной траектории по горизонтальной поверхности за счет движения двух внутренних масс и внешней силы вязкого сопротивления. Приведены результаты моделирования движения объекта.

Ключевые слова: мобильный трехмассовый робот, внутренняя масса, сила вязкого сопротивления, ориентация опорных элементов

Одним из перспективных направлений робототехники являются мобильные роботы, движущиеся за счет периодических колебаний внутренних масс. Работы [1-3] посвящены изучению прямолинейного движения двух- и трехмассовых систем в среде с сопротивлением. Вопросы моделирования криволинейного движения вибрационных роботов по горизонтальной поверхности изучены в [4, 5]. В статье представлены результаты исследования прямолинейного и криволинейного движений робота, перемещающегося за счет периодических колебаний двух внутренних масс. Особое

внимание уделено вопросу моделирования взаимодействия корпуса робота с опорной поверхностью.

Описание робота и его математическая модель. Конструкция рассматриваемого робота состоит из 3 основных частей: двух подвижных внутренних масс 1 и 2 и корпуса 3 (рис. 1). Внутренние массы перемещаются относительно корпуса по направляющим 4. Положим, что корпус контактирует с поверхностью 5 при помощи четырех опорных элементов 6 и движется по ней за счет сил трения.

а б

Рис. 1. а - общий вид робота, б - кинематическая схема устройства: 1, 2 - внутренние массы, 3 - корпус, 4 - направляющие, 5 -поверхность, 6 - опорные элементы, АВ -криволинейная траектория

Яцун Сергей Федорович, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой теоретической механики и мехатроники. E-mail: teormeh@inbox.ru Шевякин Виталий Николаевич, доктор технических наук, профессор кафедры теоретической механики и мехатроники Волкова Людмила Юрьевна, аспирантка

Серебровский Вадим Владимирович, доктор технических наук, профессор кафедры биомедицинской инженерии

Введем две системы координат: абсолютную неподвижную систему координат О1х\у1 и относительную систему координат Оху, которая жестко связана с корпусом робота так, что начало координат О совпадает с центром масс корпуса, ось Ох параллельна траекториям движения внутренних масс. Угол ф определяет поворот системы координат Оху относительно О\х-у\. Будем считать, что корпус робота является абсолютно твердым телом, центр инерции которого расположен в точке О (рис. 1). Внутренние массы 1 и 2 являются точечными и движутся по прямолинейным траекториям, лежащим в плоскости Оху, параллельны оси Ох и равноудалены относительно центра масс корпуса робота на расстояние Ь. Законы движения внутренних масс А//), 7=1,2 являются периодическими функциями вида

A} (t) = a} sin(^;t + a} )

(1)

ÔxO sr • (U) A

С, = -Mxoxc, при y=9Uu,

(2)

QCU =

u, x

(U)

u,

mJ xcu\ xcu} > u,

MT xCU}, x (U) < и

(U) "C,

при y=45u, (3)

Q

x U Ci

u, xc0) = u,

mT xCU), xCU) > u,

Mminx(U) X

M^X и c; - л■

c < u 0

Ci при Yi=135U, (4)

&(0) . „ где хс/ - проекция скорости /-ой опоры на ось

ГЛ 11ХГ ##т1П ##тах

Ох, //х0, //х0 , //х0 - средний, минимальный и максимальный коэффициенты вязкости вдоль оси Ох.

Угол наклона опор относительно оси Оу равен 900, поэтому вдоль нее возникает симметричная сила вязкого сопротивления

QC0 = -MvU y

y US Ci

(5)

где а - амплитуда, - круговая частота, а -начальная фаза перемещения внутренней массы.

Робот контактирует с поверхностью в точках С1, /=1, 2, 3, 4, в которых возникают силы сопротивления, при помощи 4 опорных элементов, каждый из которых является абсолютно твердым телом. Опоры могут располагаться под разными углами в вертикальной плоскости относительно оси Ох, что позволяет управлять величиной сил сопротивления. Высота опорного элемента мала, поэтому учитывать ее при определении координат контактных точек С не будем. Модели сил сопротивления вдоль осей системы координат, связанной с корпусом устройства, определяются углами наклона опор к осям Ох и Оу, а численные значения коэффициентов вязкости вдоль этих осей - углами наклона опор к осям Ох и Оу и свойствами смазывающего вещества. Относительно положительного направления оси Ох /-ый опорный элемент может быть ориентирован под тремя углами у, каждому из которых соответствует своя сила вязкости

где Цу 0 - коэффициент вязкости вдоль оси Оу,

у(0) • -

ус - проекция скорости -ой опоры на ось

Оу.

Зависимость коэффициентов вязкости от свойств смазывающего вещества проявляется в изменении численных значений параметров

хг тт ,.тах и

х0 , х0 , х0 , у0 при использовании различных веществ по следующей формуле:

MxUi =My U (1 + pi X)

(6)

где 0<х<1 - коэффициент, зависящий от свойств смазывающего вещества, а

Pi

Г 1 ^

— y- 2 sgn( xC0)) 45 y

(7)

параметр, являющийся функцией угла наклона опоры к положительному направлению оси Ох (рис. 2).

Рис. 2. График зависимостир/(у ): 1 - хС') > 0,

с /

2 - xC°^ < о C i

Структурная схема системы управления роботом изображена на рис. 3.

Рис. 3. Структурная схема системы управления роботом

В качестве управляющих воздействий выступают: у; - угол наклона /-ого опорного элемента в вертикальной плоскости относительно продольной оси корпуса, а-, ю-, а, - амплитуда, круговая частота и начальная фаза движения ,-ой внутренней массы. Управляемыми параметрами являются координаты х и у центра масс корпуса устройства и угол ф поворота корпуса робота относительно его центра масс. Дифференциальные уравнения движения объекта имеют вид:

mx + X mj [x - 2pAj sin p - p( Aj sin p + Bj cos p) -

j=i

- (p2 (Aj cos p - Bj sin p) + Aj cos p] = Qx1,

2

my + X Mj [y + 2ipAj cos p - p(-Aj cos p + Bj sin p) -

j=i

- p2 (Aj sin p + Bj cos p) + Aj sin p] = Qyl,

2

J p + X Mj [- sin p(xAj + yBj) - cos p(xBj - yAj) +

j=i

+ 2pAjAj + p(A2 + Bj2) - AjBj] = Mo.

(8)

где B = (- l)1 b - координата j-ой массы в проекции на ось Оу,

4

Qxl = X (-Vx0 . cos p(x cos p + y sin p - pd.) -

i=1

- /uy0 sin p(x sin p - y cos p - pki)),

(9)

4

Qyi = X (-Vxo.sin p(x cos p + у sin p - ) +

i=1

+ /иу0 cos p(x sin p - y cos p - pk.)).

у (10)

- проекции главного вектора сил сопротивления на оси О1х1 и О1у1,

- главный момент сил сопротивления,

- момент инерции корпуса J.

MO = X [- Vxo. d< (x cos p + У sln p - pPdi ) 0ki (x sin p - y cos p - ppki )]

Исследование характера движения робота. Результаты численного моделирования позволяют выявить характер перемещения объекта в зависимости от параметров модели силы вязкого сопротивления, обусловленной положением опорных элементов, а также параметров закона движения внутренних масс. Установлено, что при синфазном движении внутренних масс и одинаковой ориентации опор у=у1 относительно вертикали объект совершает колебательные движения вдоль оси, совпадающей с продольной осью корпуса, при симметричной модели силы вязкого трения, или перемещается вдоль той же оси в сторону меньшего коэффициента вязкости при асимметричной силе сопротивления (рис. 4).

При том же законе колебаний внутренних масс и разных углах наклона опорных элементов корпус робота поворачивается относительно его центра масс, который совершает колебания вдоль двух осей абсолютной системы координат (рис. 5).

0.002

0.001

X М

о

Н1001

нЗ.002

0

(11)

I п

2

3

0.1

0.2

i С

Рис. 4. Графики движения робота при синфазном перемещении внутренних масс: 1 - у=45°, 2 - 7=90°, 3 - 7=135°, I - переходный режим, II - установившийся режим

i=1

V рад

г, м

0.(10?

-5'10

-1 10

О 0.02 0.04 0.06 0.08 Г, с

а б

Рис. 5. Графики: а - ф(£), б - у(х) при синфазном перемещении внутренних масс:

1 - у1,з=1350, 72,4=45°, 2 - уи=45°, У2,4=135°

При движении внутренних масс в проти-вофазе и симметричной силе трения происходит перемещение устройства по одной обобщенной координате - углу поворота (рис. 6). Введение асимметричной силы сопротивления при у=уг- приводит к возбуждению движения по трем обобщенным координатам (рис. 6, 7).

При разной ориентации опор и противофазных колебаниях внутренних масс робот совершает вращательное движение относительно неподвижного центра масс корпуса (рис. 8).

Л. м

Рис. 6. Графики угла поворота корпуса робота при перемещении внутренних масс в противо-фазе: 1 - у=45°, 2 - у=90°, 3 - у=135°, I - переходный режим, II - установившийся режим

V, л*

5 '10

-5 -10

4 10

-7

2-10

-2'10

-■4-10

-7

1

2 /

■х 3

0 0.1 0.2 (,с 0 01 02 ^ С

а б

Рис. 7. Графики а - х(£), б - у(£) при перемещении внутренних масс в противофазе:

1 - 7=45°, 2 - 7=90°, 3 - у=135°

<Р рад 0.00?

-0.00?

Л Л

У47

0 0.1 0 .2 1, с

Рис. 8. Графики движения робота при перемещении внутренних масс в противофазе: 1 -

71,3=135°, 72,4=45°, 2 - ух,3=45°, У2,4=135°

Программно-управляемое движение робота. По результатам исследования характера движения робота можно сделать вывод о том, что прямолинейное движение устройства с ненулевой средней скоростью происходит при синфазном движении внутренних масс при одинаковой ориентации опорных элементов у=45°, 135°, поворот робота относительно неподвижного центра масс корпуса осуществляется при разных углах наклона опор у1,3=135°, у2,4=45° или У1,3=45°, у2,4=135°, если внутренние массы колеблются в противофазе. В соответствии с этим предложен алгоритм ступенчатого перемещения объекта, реализуемый путем

чередования участков прямолинейного и вращательного движений. Варьируя время прямолинейных участков и значения углов поворота

О 00 i

0|—

о 0.001 0.002 0.003 а

Рис. 9. Криволинейное движение виброробота:

Выводы: в работе исследована динамика управляемого движения трехмассового мобильного робота, перемещающегося по горизонтальной плоскости в среде с вязким сопротивлением при движении двух внутренних масс. Установлено влияние модели силы вязкого сопротивления, ориентации опорных элементов и параметров законов колебаний внутренних масс на характер движения робота. Реализовано программно-управляемое движение устройства по криволинейной траектории, заключающееся в чередовании прямолинейного и вращательного перемещений корпуса за счет управления сдвигом фаз колебаний двух внутренних масс и углами наклона опорных элементов.

корпуса, можно реализовать движение робота по различным криволинейным траекториям (рис. 9).

1 1 1 1 i

1 1 ¡1! 1 1 1 1 1

1 y —»—~г i i 1 !

0 0.01 0.02 0. 03 0.04 X,

б

а - ступенчатое, б - по s-образной траектории

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

1. Черноусько, Ф.Л. Оптимальные периодические движения двухмассовой системы в сопротивляющейся среде // ПММ. 2008. Т. 72, №. 2. С. 202-215.

2. Черноусько, Ф.Л. О движении тела, содержащего подвижную внутреннюю массу // Докл. РАН. 2005. Т. 405, №1. С. 1-5.

3. Болотник, Н.Н. Динамика управляемых движений вибрационных систем / Н.Н. Болотник, И.М. Зейдис, К. Циммерман, С.Ф. Яцун // Известия РАН. Теория и системы управления. 2006. №5. С. 157-167.

4. Abaza, K. Ein Beitrag zur Anwendung der Theorie Undulatorischer Lokomotion auf mobile Roboter: Evaluierung theoretischer Ergebnisse an Prototypen // Universitäts-Verlag. Ilmenau. 2007. р. 126.

5. Vartholomeos, P. Analysis, Design and Control of a Planar Micro-robot Driven by Two Centripetal-Force Actuators / P. Vartholomeos, E. Papadopoulos // Proc. IEEE International Conference on Robotics and Automation (ICRA '06). May 2006. Orlando. FL. USA. Р. 649-654.

y, M 0.04

0 0-2

y, M 0 002

DYNAMICS OF OPERATED MOVEMENT OF THREE-MASS ROBOT ON A FLAT SURFACE

© 2011 S.F. Yatsun, V.N. Shevyakin, L.Yu. Volkova, V.V. Serebrovskiy South-West State University, Kursk

The mathematical model of the mobile robot displaced on a curvilinear trajectory on a horizontal surface at the expense of movement of two internal masses and external force of a viscous friction is presented. Results of modeling the movement of an object are reduced.

Key words: mobile three-mass robot, internal mass, force of viscous friction, orientation of basic elements

Sergey Yatsun, Doctor of Technical Sciences, Professor, Head of the Theoretical Mechanics andMechatronics Department. E-mail: teormeh@inbox.ru Vitaliy Shevyakin, Doctor of Technical Sciences, Professor at the Theoretical Mechanics and Mechatronics Department Lyudmila Volkova, Post-graduate Student

Badim Serebrovskiy, Doctor of Technical Sciences, Professor at the Biomedical Engineering Department