Многоцелевое управление подвижными объектами в режиме реального времени Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Смирнова М.А.

Санкт-Петербургский государственный университет, аспирант

smirnova-ma@bk.ru

Многоцелевое управление подвижными объектами в режиме реального времени

Введение

В данной работе рассматривается задача о построении системы автоматического управления движением морского судна, позволяющей удерживать его на заданном курсе. В настоящее время накоплен существенный практический опыт проведения исследовательских и проектных работ по развитию таких систем. На его основе можно сформировать широкий круг содержательных задач, как в традиционных, так и в новых вариантах постановки, состоящих в обоснованном выборе структуры и параметров законов управления для различных режимов функционирования.

Математическая формализация этих постановок приводит к соответствующим задачам синтеза, решение которых имеет конечной целью практическую реализацию законов управления на борту.

Следует отметить, что задачи управления движением МПО отличаются многофункциональностью, многорежимностью,

многокритериальностью и многомерностью. Синтез систем управления движением при этом осложняется нелинейностью привода и влиянием внешних факторов - морского волнения, ветра, импульсных воздействий.

В работах [1 - 5] представлена теория многоцелевого подхода к синтезу, учитывающая указанные особенности систем управления движением морских судов. Эта теория построена на единой методологии разработки алгоритмического обеспечения, основанной на применении современных оптимизационных методов теории управления и идеологии автоматизированного компьютерного проектирования. В отличие от известных методов синтеза законов управления, улучшающих отдельные динамические характеристики, многоцелевой подход поддерживает комплексное проектирование систем.

Подобные системы в линейном приближении должны быть обязательно устойчивыми, однако устойчивость является далеко не единственным требованием, предъявляемым к ним. В частности важно, чтобы система управления обладала свойством астатизма по регулируемой координате, т.е. способностью приводить ошибку регулирования к нулю при наличии постоянного внешнего воздействия.

Проектирование таких систем является нетривиальной задачей, постановка и решение которой с привлечением современных математических и компьютерных методов существенно зависит от типа

судна, его параметров и назначения. В связи с этим, цель данной работы состоит в нахождении закона автоматического управления движением морского судна, обеспечивающего астатизм замкнутой системы по курсу.

Постановка задачи

Рассмотрим LTI-систему с одним входом и одним выходом

x = Ax + bv,

C + л (1)

w = Cx + av,

где v и w - входной и выходной сигнал соответственно.

Определение. Линейная стационарная система (1) со входом v и выходом w называется астатической по выходной переменной, если для ступенчатого входного сигнала v(t) = vo ) при любом вещественном vo выполняется условие: wo =0, где wo - значение выхода, соответствующее положению равновесия системы с постоянным входным сигналом vo .

Существо задачи состоит в том, чтобы для МПО со входом f и выходом j построить закон автоматического управления, обеспечивающий астатизм замкнутой системы по курсу, т.е. найти такой закон управления u, который обеспечивал бы выполнение равенства = 0 для любого числа

f0 при условии, что входное воздействие формируется по закону f(t) = fo •1(t).

Синтез астатических законов управления

Традиционный подход к обеспечению астатизма по выходу, связанный с использованием структуры пропорционально-интегрально-дифференциального (ПИД) регулятора, описан в [6].

Другой подход к обеспечению астатизма состоит в использовании специализированного скоростного регулятора по состоянию [1,3], уравнение которого имеет следующую структуру:

u = |ix + vy . (2)

Скоростной регулятор однозначно строится в силу уравнений динамики объекта на базе исходного управления u =kx+kod. При этом коэффициенты исходного и скоростного управления определяются с обязательным учетом следующих требований:

• замкнутая линейная система должна быть устойчивой;

• перерегулирование P и длительность переходного процесса Tp не

должны превосходить заданных величин, т.е.

P < Po, Tp < Tpo;

• при переходе к скоростному закону коэффициенты регулятора

должны обеспечивать астатизм замкнутой системы по выходу:

lim y(t) = o.

Покажем, что регулятор (2) обеспечивает астатизм системы по выходу, считая, что его коэффициенты гарантируют устойчивость. С этой целью рассмотрим уравнения замкнутой системы управления движением МПО

X = Ах + В5 + ИТ,

5 = "' (3)

У = Сх,

и = цх + уу.

Из этих уравнений следует, что в статике, если возможности рулей ее допускают, имеем:

Ах + В5 + ИТ = 0,

0 (4)

у =

Таким образом, структура регулятора (2) гарантирует обеспечение астатизма по выходу при условии устойчивости замкнутой системы.

С учетом отмеченного обстоятельства, идея предлагаемого метода обеспечения астатизма по курсу состоит в последовательном поиске коэффициентов исходного (базового) закона управления, обеспечивающего выполнение первых двух требований с переходом к скоростному закону управления (2) в силу уравнений объекта.

Отметим, что функционалы р и тр определяют противоречивые требования к регулятору. Для достижения определенного компромисса между ними при поиске коэффициентов базового закона будем использовать интегральный квадратичный функционал

J =

j(xTQx + uTR и^ ,

заданный на движениях замкнутой системы

X = Ах + В5 + ИТ,

5 = и,

(*)

У = Сх,

и = кх + к05.

Минимизация этого функционала позволяет найти коэффициенты k,ко базового стабилизирующего регулятора.

Схема поиска коэффициентов базового закона выглядит следующим образом:

1. Выделяем каким-либо способом вектор уе ер параметров, от выбора которых однозначно зависят знакоположительная матрица Q = ^у) и положительно-определенная матрица R = Щу) и задаем начальные приближения для его компонентов.

2. Решаем задачу LQR-оптимального синтеза для системы (*) с интегральным квадратичным функционалом

J = J (у) = ^{xTQ(у) х + uTR(у) и ^,

0

определяя при этом коэффициенты к = к (у), ко = ко(У) базового стабилизирующего регулятора.

3. Пересчитываем базовый регулятор в силу линейных уравнений объекта к скоростной форме (2), полагая при этом внешнее воздействие нулевым и определяя ее коэффициенты ц^КуХу = у(у).

4. На движениях получившейся замкнутой системы (3) определяем величины функционалов р = р(у) и тр = тр (у) , а также вычисляем значение вспомогательного функционала

I = I (у) = Р(у) - р0 + | Р(у) - р01 + Тр (у) - Тр0 + |Тр (у) - Тро\.

5. Если для данного вектора у имеем 1 = 1(у) >0, с помощью любого численного метода спуска задаем новое приближение вектора у и повторяем вычисления по пунктам 2 - 5, минимизируя функционал 1 =1 (у) до достижения им нулевого глобального экстремума, соответствующего выполнению желаемых ограничений.

Пример синтеза для транспортного судна

В качестве объекта управления для построения закона управления был выбран транспортный корабль с водоизмещением 6000 т.

Примем в качестве математической модели объекта управления следующие линейные стационарные (СП) дифференциальные уравнения, приближенно описывающие его движение по курсу

Р = апр + а12ю + й15 + f (X),

СО = а21Р+ а22ю + Ь25 + У 0% (5)

ср = ю,

5 = и.

На отклонения рулей и на скорость их поворота (т.е. на управление) накладываются следующие технические ограничения: |5| < 30°,\и\ < 3 °/с.

Реализуем предложенную схему для рассматриваемой конкретной ситуации с математической моделью МПО в виде (5).

Рис. 1. Основные параметры объекта управления Здесь используются следующие обозначения (рис. 1): ю - угловая скорость относительно вертикальной оси, р - курс (положительным считается поворот на левый борт), 5 - угол отклонения вертикальных рулей (положительным считаем отклонение на левый борт),

Р - угол дрейфа (угол между вектором скорости и продольной осью судна),

и - управляющее воздействие, F (X) = V (X) - боковая возмущающая сила, м (х) = (х) - возмущающий момент по курсу,

АО - ступенчатое внешнее воздействие, определяемое влиянием на судно порывов ветра.

В данном случае имеем x — (р, га, ф, 8)г - вектор состояния системы, у = x - ее выход. В соответствии с введенными обозначениями систему (5) можно переписать в форме

X — Ax + Bu + Н/, у = Сх,

(6)

а11 а12 0 ¿1 ^ Г 0 > Г1 0 0 0 > Г ^)

а21 а22 0 ¿2 , В — 0 , С — 0 1 0 0 , Н — ¿2

0 1 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0) V 1 ) V 0 0 0 1) V 0 )

А —

Тогда система (5), замкнутая управлением

и — Кх — кз к4 ^ х

примет вид:

X — Асх + Нс/(О, У — Сх,

Где Ас — А + ВКС — А + ВК, Нс — Н.

Введём квадратичный функционал

(7)

(8)

J — J (и) — | (г|2 га2 + | ф2 +Р32и 2)dt —

— Г( (р2 + 0.0001 у1)2 га2 + (р2 + 0.0001 у2)2 ф2 + р3и2)dt,

(9)

где Р12, р2,р2 - вещественные параметры. При этом будем считать, что величины Р12 и р2 - заданы, а У1, у2, р2 - параметры, которые являются компонентами варьируемого вектора у и подлежат поиску.

Конкретизация приведенной выше схемы синтеза приводит к следующему вычислительному алгоритму:

1. Задаем начальные значения параметров функционала.

2. Решаем задачу LQR-синтеза с критерием оптимальности (9) и находим вектор коэффициентов регулятора к.

3. Исключим из закона управления (7) переменные р и 8, разрешив относительно них первые два уравнения системы (5), и подставим их в закон управления, используя соответствующие величины первых производных. Это дает управление в виде

и — Ц1р + ц2со + Ц3ю + Уф ,

к1 ^ На —----—— + кА

(10)

где

(ап/ ¿1 - ац/ Ь2)Ь

~1

Н 2 —

Ь1 (а -к1

11/ Ь1 - а21/Ь2 ) )

(ап/ ¿1 - ац/ ¿2^2

■ + к

а

11

Н — - к1(а12/ Ь1 - а22 IЬ2 ) + к + к

М-3--- Л 7Г~ +К 2 + к4

(аи/Ь1 - а21 / Ь2 )

212 + а11 (а

4 \ь2, 12/ Ь1 - а22/

¿2)

Ь1 Мап/Ь1 - а21 /Ь2)

у — к

3.

4. На движениях замкнутой системы вычисляем функционалы

да

перерегулирования и быстродействия и определяем значение вспомогательного функционала I.

5. Минимизируем вспомогательный функционал за счет варьирования используемых параметров до достижения нулевого глобального экстремума.

Таким образом, сначала фиксируем параметры функционала, затем находим вектор коэффициентов регулятора к, который доставляет минимум функционалу (9), по нему вычисляем новые коэффициенты закона управления (10) и изучаем динамический процесс. Если качество процесса нас не устраивает, то возвращаемся к шагу 1 и изменяем начальные значения параметров функционала.

Коэффициенты рассматриваемого судна в линейной модели (5) при фиксированной скорости хода имеют следующие значения:

яп = -0,03408, а12 = 0,56, а21 = 0,015, а22 = -0,306 , Ь1 = -0,0099, Ь2 = -0,00417.

Для проведения контрольного моделирования зададим возмущения р и м так, чтобы положение равновесия в системе (5) определялось равенствами Р0 = 1,5°, 50 = 12°.

Из системы (5) получаем:

Н1 =-а11р0 - ^ (11) Н2 =-а21Р0 - Ь250.

Из (11) находим

Ну = 0,00296, Н2 = 0,000481.

Для компьютерного и имитационного моделирования процессов, происходящих в динамической системе, анализа ее свойств, проверки качества найденного закона управления, была использована подсистема Simulink среды МАТСАВ. Базовой частью прикладного программного обеспечения в данном случае служит Simulink-модель объекта управления, блок-схема которой изображена на рис. 2.

Input Signal | > Control Object

r-► Visualization

г*- Controller —w-

Рис. 2. Блок-схема компьютерной модели Представленная модель содержит в себе следующие блоки: блок Control Object - объект управления, блок Controller - центральное устройство управления, блок Input Signal - внешнее воздействие на систему, блок Visualization - визуализация динамических процессов. В результате реализации алгоритма построения скоростного регулятора получен закон управления с коэффициентами

ку = 0,955, k2 = 6,574, k3 = 0,941, k4 = -0,3504.

При этом параметры функционала (9) установились на следующих значениях:

|2 = 4,98631, | = 0,01502, р2 = 0,01694. Действительно, указанный закон управления обеспечивает астатизм замкнутой системы по курсу, что проиллюстрировано на рис. 3.

0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Рис. 3. Изменение курса при ступенчатом воздействии При использовании скоростного регулятора собственные числа матрицы замкнутой системы принимают следующие значения:

11 = -0,323 + 0,111/, 12 =-0,323 - 0,111/, 13 = -0,101, 14 = -0,0543.

Степень устойчивости линейной замкнутой системы оценивается константой 0,05.

Для проверки качества найденного управления оно было использовано для автоматического выполнения маневра, состоящего в повороте морского судна по курсу на 30°.

Графики изменения динамических переменных представлены на рис.

4 и 5.

25 20 15 10 5 0

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Рис. 4. Изменение курса при маневре Рис. 5. Отклонение рулей при маневре Как видно из рис. 4, при использовании скоростного регулятора по состоянию полностью отсутствует перерегулирование по курсу, а переходный процесс завершается за 47 секунд, что почти в 2 раза быстрее, чем при использовании классического ПИД-регулятора [6]. При этом рис. 5 демонстрирует плавную работу рулей, без перехода в крайние допустимые

/ /

/

положения.

Заключение

В данной работе предложен и реализован способ построения управления, обеспечивающего астатизм замкнутой системы по курсу. Указанный алгоритм реализован в интегрированной среде MATLAB. В пакете Simulink проведено компьютерное моделирование построенной системы управления движением транспортного судна.

Литература

1. Веремей Е.И., Корчанов В.М., Коровкин М.В., Погожев С.В. Компьютерное моделирование систем управления движением морских подвижных объектов. СПб.: СПбГУ, 2002. 370 с.

2. Лукомский Ю.А., Корчанов В.М. Управление морскими подвижными объектами. СПб.: Элмор, 1996. 320 с.

3. Веремей Е.И. Синтез законов многоцелевого управления движением морских объектов // Гироскопия и навигация, 2009. Вып. 4. С. 3-14.

4. Fossen T.I. Guidance and control of ocean vehicles. John Wiley and Sons. New York, 1999. - 494 p.

5. Вагущенко Л.Л., Цымбал Н.Н. Системы автоматического управления движением судна. Одесса: Латстар, 2002. 310 с.

6. Смирнов М.Н., Федорова М.А. Компьютерное моделирование системы астатической стабилизации курса морского судна // Процессы управления и устойчивость: Труды 41-й международной научной конференции аспирантов и студентов. СПб.: Издат. Дом С.-Петерб. ун-та , 2010. С. 495-500.