Многошаговые сетевые игры с полной информацией Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 021.8 + 025.1 ББК 78.34

МНОГОШАГОВЫЕ СЕТЕВЫЕ ИГРЫ С ПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ 1

Петросян Л. А. 2 , Седаков А. А. 3

(Факультет прикладной математики - процессов управления, Санкт-Петербургский государственный университет, Санкт-Петербург )

В статье рассматриваются многошаговые сетевые игры с полной информацией. В каждый момент игры задается текущая сетевая структура, связывающая игроков. Предполагается, что любое ребро сети имеет полезность (полезность одного игрока от связи со вторым), и игроки вправе изменять структуру сети на каждом шаге. Предлагается способ нахождения оптимального поведения игроков в играх такого типа.

Ключевые слова: сеть, сетевые игры, функция полезности, характеристическая функция, вектор Шепли, равновесие по Нэшу.

1. Построение многошаговой сетевой игры с полной информацией

Пусть N = {1,... ,п} - множество игроков. Построим дерево игры - конечный древовидный граф К = (X, ^) с начальной вершиной хо [2, 6]. Множество X есть множество вершин графа К, а ^ : X м X есть точечно-множественное отображение,

1 Текст приводится в соответствии с изданием «Математическая теория игр и ее приложения. - 2009. - Т. 1. №2».

2 Леон Аганесович Петросян, доктор физико-математических наук, профессор ([email protected]).

3 Артем Александрович Седаков, кандидат физико-математических наук ([email protected]).

которое каждому элементу х Є X ставит в соответствие множество ^Х вершин графа, следующих непосредственно за вершиной х. Вершины х древовидного графа К, для которых ^Х = 0 будем называть окончательными (терминальными). Множество X вершин древовидного графа К представим стандартным образом в виде объединения п + 1 непересекающихся множеств: X = Рі и ... и Рп и Рп+1, где множество Рі - множество личных позиций игрока і, і Є N, а множество Рп+і - множество окончательных позиций древовидного графа К. В дальнейшем через і(х) будем обозначать игрока, который делает ход в вершине х в игре на древовидном графе К.

Опишем пошаговое развитие игрового процесса.

1.1. ПОСТРОЕНИЕ ДРЕВОВИДНОГО ГРАФА

МНОГОШАГОВОЙ СЕТЕВОЙ ИГРЫ

Начальный шаг. В начальной вершине х0 древовидного графа К определена сеть СХ0 = ^,6(х0)). Через дХ0 обозначим множество ребер сети СХ0. Множество узлов N совпадает со множеством игроков (узел сети отождествляем с игроком), и

9(хо) : дХ0 м К - числовая функция, которую мы будем интерпретировать как функцию полезности.

Шаг 1. Игрок і(х0) имеет следующие п альтернатив в вершине хо:

• не предпринимать никаких действий, при этом игровой процесс переходит в вершину у11 Є ^Х0;

• разорвать связь с одним игроком ] Є N, ] = і(х0), если ребро (і(х0),і) Є дХ0; при этом игровой процесс переходит в вершину у у Є ^Хо;

• предложить игроку к, к = і(х0) установить связь (і(х0),к), если ребро (і(х0), к) Є дХ0; при этом игровой процесс переходит в вершину У1к Є ^Хо.

Таким образом, каждая из п вершин у11, {уу }у, {у1к }к принадлежит множеству ^Х0. В зависимости от выбора игроком і(хо) альтернативы, в вершинах множества ^Х0 начальная сеть изменя-122

ется, соответственно множество ребер новой сети имеет следующий вид:

gy11 = gxo, если игрок i(xo) не предпринимает

никаких действий;

gyij = gxo \ (i(x0), j), если игрок i(x0) разрывает связь

с игроком j ;

gyik = gxo у (i(x0), k), если игрок i(x0) устанавливает связь

с игроком k.

Следовательно, для вершины xi G Fæo = {yii, {yij}j, {yik}k} множество ребер gx1 однозначно определено. Если x1 G Pn+1, то мы переходим к рассмотрению шага 2 для каждой вершины xi G Fxo. Этот шаг полностью аналогичен шагу 1, поэтому, опуская изложение второго шага игры, рассмотрим некоторый шаг t.

Шаг t (1 < t ^ l). Предположим, мы построили древовидный граф до вершин, которые можно достичь из начальной вершины х0 не более чем за t — 1 шагов. Пусть {x0,xi,... ,xt-i}

- некоторая траектория из х0 построенного древовидного графа в вершину xt-i, в которую можно попасть из Х0 за t — 1 шаг. По построению во всех позициях Х0, xi,..., xt-i соответствующие множества ребер gxo, gx1,..., gxt-1 однозначно определены. Определим множество gxt.

В вершине xt-i у игрока i(xt-i) имеются следующие n альтернатив:

• не предпринимать никаких действий, при этом игровой процесс переходит в вершину yti G Fxt-1 ;

• разорвать связь с одним игроком j G N, j = i(xt-i), если ребро (i(xt-i), j) G gxt-1 ; при этом игровой процесс переходит в вершину ytj G Fxt-1 ;

• предложить игроку k, k = i(xt-i) установить связь (i(xt-i),k), если ребро (i(xt-i),k) G gxt-1 ; при этом игровой процесс переходит в вершину ytk G Fxt-1.

Таким образом, каждая из п вершин у41, {у^-}^-, {у*&}& принадлежит множеству ^Х4_ 1. В зависимости от выбора игроком г(ж*-1) альтернативы, в вершинах множества ^Х4_ 1 текущая сеть изменяется, соответственно множество ребер новой сети имеет следующий вид:

дш = дж‘-1, если игрок г(ж*-1) не предприни-

мает никаких действий; дУ1] = дх4-1 \ (¿(х4-1), ]), если игрок г(ж*-1) разрывает связь

с игроком ];

дугк = дх(-1 у (¿(ж4-1), й), если игрок г(ж*-1) устанавливает

связь с игроком й.

Следовательно, для вершины ж* е ^с4_1 = {у*1, {у*,-},•, {у**;}&} множество ребер дх однозначно определено. Если ж* е Рг+1, то мы переходим к рассмотрению очередного шага построения древовидного графа для каждой вершины ж* е ^С(_1. Если в вершине ж* игровой процесс не заканчивается, т. е., если ж* е Рг+1, то мы переходим к рассмотрению следующего шага игры, и построение игры на древовидном графе продолжается аналогичным образом. При £ = I построение древовидного графа К закончено.

1.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ВЫПЛАТ ИГРОКАМ

Определение 1. Пусть Б С N. Вещественную функцию

V : X х 2м м К, заданную на декартовом произведении множества X и множества всех подмножеств множества N и определенную по правилу

(1) '(у,Б) = ^ % (у^

(»¿)ейу: ¿¿ез

где у е X, будем называть характеристической функцией. Здесь % (у) - значение функции полезности 0(у), определенной сетевой

124

игрой Су = (^ 0(у)), которое представляет собой полезность игрока г от связи с игроком ] в вершине у.

Задав конечное множество игроков N и функцию '(у, ), определенную по правилу (1), можно построить игру в форме характеристической функции, в которой для каждого игрока определены лишь полезности связей с другими игроками. Определим выплаты игрокам в сети. С этой целью выбираем некоторый принцип оптимальности теории кооперативных игр. Для простоты в качестве такого принципа оптимальности выберем вектор Шепли [9], и с его помощью определим дележ 7(у) = (71 (у), . . . , 7га(у)), компоненты которого вычисляются по формуле:

(2) 7к(у) = Е (п - ^ - 1)! ['(у. 3) - '(у, 3 \ к)].

{3: ЗСМ, кеЗ}

Здесь в - число элементов множества Б, '(у, Б) - характеристическая функция, определенная по правилу (1).

Распишем более подробно выражение, стоящее в квадратных скобках в правой части равенства (2). Подставив значения характеристической функции '(у, ) из (1) для любого у е X и к е N, имеем:

'(у, Б) - '(у, Б \ к) =

= Е ^ (у) - Е ^ (у) =

(»¿)ейу: ¿¿ез (¿¿)ейу: ¿¿е^к:

= Е ^ (у)+ Е ^ (у).

(¿,к)еау: ¿е3\к (^,^')еау: ¿е3\к

С учетом полученного компоненты вектора Шепли записы-

125

ваются в виде:

(У) = ^

{5: ЙСМ, кей}

(3)

(П — 8)1(8 — 1)!

П!

^ ^ (У) +

(г,к)ЄдУ: гЄ5\к

+ ^ ^ (У)

(^,І)Єйу: іЄ5\к

где у е X, к е N.

Величина £ 6^ (у) + X) 0*у (у) пред-

(¿,к)еау: ¿е3\к (^,^')еау: ¿е3\к

ставляет собой вклад игрока к, если тот, присоединившись к коалиции Б \ к, приведет к образованию коалиции Б. Здесь первое слагаемое ^ ^ (у) представляет собой дополнитель-

(¿,к)еа«: ¿е3\к

ную полезность игроков коалиции Б \ к, внесенную игроком к. Второе слагаемое ^ ^ (у) представляет собой допол-

(Мейу: ¿е3\к

нительную полезность игрока к, получаемую при присоединении к игрокам коалиции Б \ к.

Пусть в игре реализовался путь {жо,ж1,... ,жг}. Тогда выигрыш игрока г е N вдоль этого пути определяется следующим образом:

^ 7¿(ж), г е N

же{жо,...,жг}

где 7^(ж) представляет собой г-ю компоненту вектора Шепли, вычисленного по правилу (3) в сетевой игре = (^ 0(ж)).

1.3. ФОРМАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ МНОГОШАГОВОЙ

СЕТЕВОЙ ИГРЫ С ПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ

Определение 2. Многошаговой сетевой игрой п лиц с полной информацией называется древовидный граф К, на котором:

• задано разбиение множества вершин X на п + 1 множество Ру

Р2,..., Рп,Рп+1, где P¿, г е N есть множество личных позиций игрока г, множество Рп+1 = {ж : РХ = 0} есть множество окончательных вершин;

• в каждой вершине ж е X однозначным образом задана сеть

= (^ в(ж)): множество узлов сети N (множество игроков) и функция полезности в : ^ К.

Определение 3. Стратегией щ(-) игрока г е N назовем отображение, которое каждой вершине ж е P¿ ставит в соответствие вершину уе^с либо вероятностное распределение на множестве

= {Рс(у)}, у е *с, рс(у) ^ 0, Е рх(у) = 1.

уе^х

Для каждого набора стратегий (ситуации) и() =

(и1( ),..., ип( )) в игре на древовидном графе К определим функции выигрыша игроков следующим образом. Пусть в ситуации и(-) = (и1(-),..., ига(-)) реализовался некоторый путь {ж0,ж1,..., ж^} из начальной вершины ж0 в окончательную ж^. Тогда функция выигрыша игрока г:

7¿(ж), г е N.

же{жо,...,жг}

Здесь 7¿(ж) есть выплата игроку г, которая получена как г-ая компонента вектора Шепли, рассчитанного по характеристической

127

функции '(ж, ■) для сетевой игры = (^ в(ж)), заданной в вершине ж (см. (3)).

Определение 4. Набор стратегий и*( ) =

(«!(•),..., м*(-),..., иП(-)) называется равновесием по Нэшу в многошаговой сетевой игре на древовидном графе К с начальной вершиной ж0, если

^(и*(-)|М-)) < ^¿(«*(-)) для любых г е N и любых допустимых щ.

2. Построение ситуации равновесия по Нэшу в многошаговой сетевой игре

Предположим, что длина игры равна I + 1. Для определения оптимального поведения игроков будем использовать концепцию абсолютного равновесия в конечношаговой игре с полной информацией.

Введем функцию Беллмана [1, 5] ^ как выигрыш игрока г в ситуации равновесия по Нэшу в игре за I — Ь шагов (положим ^¿+1 = 0). Значения функции Беллмана ^ во всех вершинах древовидного графа К определяются стандартным образом методом обратной индукции (решая уравнение Беллмана от окончательных вершин графа К к начальной при граничном условии).

В данном случае для любой окончательной вершины жг е Рп+1 граничное условие выглядит следующим образом:

^¿(жг)= 7¿(жг), г е N.

В промежуточной вершине ж* древовидного графа К функция Беллмана удовлетворяет следующему рекуррентному соотно-

128

шению:

^(сО(ж*) = тах ^¿(ж4)(ж*) + =

(4) = Тг(ж4)(ж*) + тах =

= ^¿( х г )(ж*)+ ^*+1)(у).

Для игрока ] = г(ж*) значения функции Беллмана определяются по правилу:

(5) ^(ж*) = Ц(ж*) + ^+1 (у).

Решая уравнение Беллмана, находим значения , Ь = 0,..., I, г е N. При Ь = 0 уравнение решено. Вектор (^>5(ж0),..., ^>П(ж0)) назовем значением многошаговой сетевой игры с полной информацией.

Вместе с нахождением значения многошаговой сетевой игры определяются и оптимальные стратегии игроков, которые по построению образуют ситуацию абсолютного равновесия в игре: в каждой вершине ж е X древовидного графа К игрок г(ж) выбирает вершину у е Рх согласно правилу (4). В ситуации абсолютного равновесия реализуется некоторый путь в графе из начальной вершины в окончательную. Такой путь будем называть оптимальным путем в многошаговой сетевой игре.

На основании приведенного алгоритма имеет место следующее утверждение.

Теорема 1. Построенная ситуация и*(-) =

(«!(•),...,«£(')), в которой для каждой вершины ж е Рп+ъ стратегия и* (ж) игрока г определяется по правилу

(ж) = y,

где у находится из соотношения (4), образует ситуацию абсолютного равновесия по Нэшу в многошаговой сетевой игре, заданной на древовидном графе К.

Однако, не всегда гарантируется единственность абсолютного равновесия по Нэшу в многошаговой сетевой игре.

Замечание 1. Пусть наряду с вершиной y G , доставляющей максимальное значение функции ^*(Х1}(у) в (4), вершина y G также является точкой максимума этой функции. Тогда с очевидностью выполняется следующее равенство:

^Й)(у) = ^Й)(у)>

которое, в свою очередь, приводит к одному и тому же значению ^t(>t)(xt). Следовательно, игроку, принимающему решение в вершине ж* (игроку i(xt)), можно выбрать любую вершину y G , доставляющую максимум функции (у) в (4).

В тех же вершинах у и у для отличных от i(xt) игроков j G N, j = i(xt) в общем случае справедливо следующее соотношение:

^+1(у) = ^j+1(y).

Данное обстоятельство означает, что выбор игроком i(xt) вершины из множества

(6) I (xt) = arg max (У)

влияет на решения последующих игроков (в силу различия значений функции Беллмана этих игроков в точках множества I(ж*)). Таким образом, в общем случае в многошаговой сетевой игре имеет место неединственность оптимального пути с различными значениями функции выигрыша.

Случай неединственности оптимального пути легко обходится введением понятия индифферентного равновесия по Нэшу в многошаговой игре с полной информацией [8]. Поскольку в общем случае |I(ж*)| ^ 1, предполагается, что игроку i(xt) безразличен выбор вершины из множества I(ж*). Предпишем i(xt) выбирать эти вершины с одинаковыми вероятностями, т. е. РХ1 (у) = 1/|I(ж*)|, для любого y G I(ж*). Тогда в промежуточной 130

вершине ж* древовидного графа К функция р- удовлетворяет аналогичному (4) рекуррентному соотношению:

(7) Р-(*) (ж*)= 7г(х0(ж*) + ^ ^*+0(У).

11 (Х* )І уЄ/(*)

Для игрока і = і (ж*) значения функции р определяются по правилу:

(8) РІ(ж*)= 7?(ж*) + ^ РІ+1(У).

1 1 ! 1 уЄ/(*)

Решая уравнение Беллмана, находим значения р-, £ = 0,..., I, і Є N. При £ = 0 уравнение решено. Вектор (р1 (жо),..., рП(ж0)) также назовем значением многошаговой сетевой игры с полной информацией.

По аналогии с теоремой 1 справедлива следующая теорема. Теорема 2. Построенная ситуация и/Е(■) =

(и{Е('),..., иПЕ('))< в которой для каждой вершины ж Є Рг+ъ стратегия и/Е (ж) игрока і определяется по правилу

(ж) = {РХ(у)},у е 1 (ж),РХ(у) = ^,

где вершины у находятся с использованием соотношений (6)-(7), образует ситуацию индифферентного равновесия по Нэшу в многошаговой сетевой игре, заданной на древовидном графе К.

3. Численный пример многошаговой сетевой игры с полной информацией

Для иллюстрации алгоритма построения решения сетевой игры приведем контрольный пример.

Рассмотрим трехшаговую сетевую игру. Пусть N = {1, 2, 3} есть множество игроков. Построим древовидный граф К с начальной вершиной в ж0.

Пусть в ж0 задана сеть, представленная на рис. 1.

Рис. 1. Сеть Сх°

Множество ребер ^х° = {(1, 2), (2, 3), (3, 2)}. Зададим функцию полезности в(ж0) в виде матрицы 0(ж0):

020 0(ж0) = ( 0 0 1 I .

010

Предположим, что в начальной вершине ходит игрок 1, у которого есть три альтернативы: (1) не предпринимать никаких действий (при этом игра переходит в вершину ж1 ), (2) разорвать связь с игроком 2 (при этом игра переходит в вершину ж2), (3) наладить связь с игроком 3 (при этом игра переходит в вершину жз). В зависимости от выбора альтернативы игроком 1 имеем:

дх1 = ^х°, если игрок 1 выбирает первую альтернативу

в вершине ж0;

дх2 = ^х° \ (1, 2), если игрок 1 выбирает вторую альтернативу в вершине ж0;

дхз = ^х° у (1, з), если игрок 1 выбирает третью альтернативу в вершине ж0.

Пусть функции полезностей 0(ж1), 0(ж2) и 0(ж3) заданы в виде следующих матриц:

©(жі) =

0 -3 -1 0 3 -2

2 0 2 І , ©(Ж2) = ©(жз) = 1 -1 0 1

5 1 0 3 1 0

Будем считать, что вершины Ж1 и жз являются окончательными, а вершина ж2 является личной позицией игрока 2. В ж2 второй игрок имеет три альтернативы: (1) не предпринимать никаких действий (при этом игра переходит в вершину ж4), (2) наладить связь с игроком 1 (при этом игра переходит в вершину ж5), (3) разорвать связь с игроком 3 (при этом игра переходит в вершину жб). В зависимости от выбора альтернативы игроком 2 имеем:

дХ^ = дХ2, если игрок 2 выбирает первую альтернативу

в вершине ж2;

дХ5 = дХ2 и (2,1), если игрок 2 выбирает вторую альтернативу в вершине ж2;

дХ6 = дХ2 \ (2, 3), если игрок 2 выбирает третью альтернативу в вершине ж2.

Пусть функции полезностей 0(ж4), 0(ж5) и 0(жб) заданы в виде следующих матриц:

0 -3 -1 0 -1 -1

2 0 2 І , ©(жб) = ©(же) = І -1 0 2

5 1 0 2 4 0

Будем считать, что вершины ж4 и жб являются окончательными, а вершина ж5 является личной позицией игрока 3. В ж5 третий игрок имеет три альтернативы: (1) не предпринимать никаких

133

действий (при этом игра переходит в вершину ж7), (2) наладить связь с игроком 1 (при этом игра переходит в вершину же), (3) разорвать связь с игроком 2 (при этом игра переходит в вершину жд). В зависимости от выбора альтернативы игроком 2 имеем:

дХ7 = дХ5, если игрок 3 выбирает первую альтернативу

в вершине ж5;

дх8 = дХ5 у (3,1), если игрок 3 выбирает вторую альтернативу в вершине ж5;

дХ9 = дХ5 \ (3, 2), если игрок 3 выбирает третью альтернативу в вершине ж5.

Пусть функции полезностей 0(ж7), 0(ж8) и 0(жд) заданы в виде следующих матриц:

/ 0 -3 -1

0(ж7) = 0(ж8) = 0(жд) = I 2 0 2

V 5 1 0

Будем считать, что вершины ж7, же, жд являются окончательными вершинами. Тогда множества личных позиций игроков Р1, Р2, Рз и множество окончательных вершин Р4 имеют вид:

Р = {жо},Р2 = {ж2},Рз = {ж5}, Р4 = {ж1,жз,ж4,жб,ж7,ж8,жд},

а древовидный граф К представлен на рис. 2.

Для начала вычислим индивидуальные выплаты игрокам в каждой вершине графа К. Рассмотрим вершину жо. Построим характеристическую функцию по правилу (1):

■и(жо, {1, 2, 3}) = 4, и(жо, {1, 2}) = 2,

■и(жо, {1, 3}) = 0, и(жо, {2, 3}) = 2,

■и(жо, {1}) = -и(жо, {2}) = -и(жо, {3}) = 0.

Х-*\ Д-8

Л'Л- _^’Л

у

Л.*

Рис. 2. Древовидный граф К

Индивидуальные выплаты игрокам в хо вычисляются в соответствии с вектором Шепли по правилу (3). Таким образом получаем вектор:

7(хо) = (1, 21).

Аналогичным образом вычисляются индивидуальные выплаты игрокам в остальных вершинах древовидного графа К. Приведем их окончательные значения:

7(хі) = (-1,5, 0,1,5), т(х2) = (0,1,1),

7(хэ) = (0,5, 2,5, 0), 7(х4) = (0,1,5,1,5), 7(хб) = (-0,5, 2,5, 3),

7(ха) = (0, 2, 2),

7(х7) = (1, 2,5,1,5), 7(хв) = (3,5, 2,5, 4),

7(х9) = (1, 2,1).

После определения выплат игрокам в каждой вершине графа К построение ситуации абсолютного равновесия в многошаговой сетевой игре не представляет особых трудностей. Данная процедура полностью аналогична задаче отыскания ситуации абсолютного равновесия в многошаговой игре с полной информацией с той лишь разницей, что в классической постановке выигрыши игроков заданы в окончательных вершинах графа игры, а в промежуточных полагаются равными нулю. Искомая ситуация абсолютного равновесия в многошаговой сетевой игре находится с использованием соотношений (4)-(5).

Оптимальные стратегии игроков следующие:

«1(Ж0) = Ж2, и2(Ж2) = Жб, из(ж5) = Же.

В ситуации абсолютного равновесия (иЗ, иЗ, и3) реализуется оптимальный путь {жо, Ж2, Жб, ж8} из начальной вершины жо в окончательную же. Вдоль оптимального пути игра развивается следующим образом. В начальный момент задана сеть СХ0, указанная на рис. 1. Далее игрок 1 разрывает связь со вторым игроком, что приводит к сети СХ2, показанной на рис. 3. После этого делает

Рис. 3. Сеть СХ2

ход игрок 2, который за свой ход устанавливает связь с игроков 1, что приводит к сети СХб, показанной на рис. 4. И, наконец,

Рис. 4. Сеть СХб

своим ходом игрок 3 заканчивает игру, установив связь с игроком

1, что приводит к сети СХ8, показанной на рис. 5.

Значение многошаговой сетевой игры равно (4,8,9), а пошаговые индивидуальные выплаты следующие: 7(жо) =

136

Рис. 5. Сеть Gx8

(1, 2,1), y(x2) = (0,1,1), Y(Х5) = (-0,5, 2,5, 3), 7(xs) = (3,5, 2,5, 4).

Литература

1. БЕЛЛМАН Р. Динамическое программирование. - М, 1960.

2. ПЕТРОСЯН Л.А., КУЗЮТИН Д.В. Игры в развернутой форме: оптимальность и устойчивость. - СПб, 2000.

3. ПЕТРОСЯН Л.А., СЕДАКОВ А.А., СЮРИН А.Н. Многошаговые игры с коалиционной структурой // Вестник СПбГУ. - 2006. - Т. 10. - №3. - С. 97-110.

4. ADJEROH D., KANDASWAMY V. Game-Theoretic Analysis of Network Community Structure // International Journal of Computational Intelligence Res. - 2007. - V. 3.

- №4. - P. 313-325.

5. BELLMAN R.E. On the Theory of Dynamic Programming.

- Proceedings of the National Academy of Sciences, 1952.

6. KUHN H.W. Extensive Games and Problem Information // Ann. Math Studies. - 1953. - V. 28. - P. 193-216.

7. NASH J. Non-cooperative Games // Ann. of Math. - 1951. -V. 54. - P. 286-295.

8. PETROSJAN L.A., MAMKINA S.I. Value for the Games with Changing Coalitional Structure // Games Theory and Applications. - 2005. - V. 10. - P. 141-152.

9. SHAPLEY L.S. A Value for n-Person Games. Contributions to the Theory of Games II, Princeton: Princeton University Press. 1953. - P. 307-317.

10. VIVES X. Nash equilibrium with strategic complementarities // Journal of Mathematical Economics. - 1990. - V. 19. - №3. -P. 305-321.

11. VIVES X. Strategic Complementarities in Multi-Stage Games. CEPR Discussion Papers 5583. C.E.P.R. Discussion Papers, 2006.

MULTISTAGE NETWORKING GAMES WITH FULL INFORMATION

Leon Petrosjan, Faculty of Applied Mathematics and Control Processes, Saint-Peterburg State University, Doctor of Sc., professor ([email protected]).

Artem Sedakov, Faculty of Applied Mathematics and Control Processes, Saint-Peterburg State University, Cand.Sc. ([email protected]).

Abstract: Multistage networking games with full information are considered. The network structure which connects the players is defined at every time moment. We assume that each verge has a utility (the player’s profit from the connection with another player), and players have a right to change the network structure at every stage. The approach to define optimal players’ behavior is proposed.

Keywords: network, networking games, utility, Shapley value, Nash equilibrium.