Многопродуктовая задача о допустимости в транспортной сети с учетом неопределенности Текст научной статьи по специальности «Математика»

Д.Н. Ястребинская

МНОГОПРОДУКТОВАЯ ЗАДАЧА О ДОПУСТИМОСТИ В ТРАНСПОРТНОЙ СЕТИ С УЧЕТОМ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

.

территориально-распределенными. К таким системам относятся: разнообразные транспортные системы, телеграф, телефон, информационно-вычислительные и топливно-энергетические сети. Территориально-распределенные системы составляют хозяйственную и управленческую инфраструктуру страны, и от их состояния и качества функционирования зависит не только существующий уровень экономи-, .

С проблемой принятия решений в условиях неопределенности сталкиваются исследователи большинства сложных территориально-распределенных систем. Сетевые потоковые системы обладают неожиданными и порой неприятными свой:

появляется "каскадный эффект", когда сбой в одном каком-либо месте провоцирует перегрузки и выход из строя многих других элементов сети. Все это обусловливает важность исследования территориально-распределенных систем в условиях неопределенности формально математическими методами. Задачи, которые при этом возникают, связаны с проектированием новых систем, развитием старых, проблематикой принятия решений по использованию имеющихся сетевых систем (управлению потоками в сети, распределению её ресурсов между пользователями)^ так же с анализом возможностей улучшения работы сети за счет рационального перераспределения потоков с целью выбора оптимальной маршрутизации.

Рассматривая задачу о многопродуктовом потоке, которая имеет место только в случае существования в сети нескольких источников и нескольких стоков, а так же ограничений на то, что поток должен идти из некоторых выделенных источников в некоторые выделенные стоки [1], нужно выявить наличие как объективной, так и субъективной неопределенности [6-7]. Для рассматриваемых систем характерно наличие не только объективной, но и субъективной неопределенности, когда некоторые параметры системы известны отдельным пользователям, но не , , . -тельных сроков создания территориально-распределительной системы, условия её функционирования могут отличаться от расчетных при проектировании, поэтому естественна их корректировка в процессе построения сети и при распределении потоков в готовых сетях, т.е. многоэтапность процедуры принятия решений.

Многопродуктовая потоковая сеть. Принципиальная схема функционирования многопользовательской потоковой сетевой системы описывается известной

,

( - ) -

шин - узлов сети. Первый граф (физический) определяет физическую структуру сети, его ребра гк соответствуют физическим отрезкам линий связи (дорогам, ли, ), -гому (рис.1). Узлы сети соответствуют либо пунктам подключения (отключения) пользователей к сетевой системе, либо пунктам переключения с одной линии связи на другую: перекресткам дорог, узлам коммутации телефонных проводов и т.д. В этом случае вершины графа называются транзитными.

Нетранзитные узлы сети являются вершинами второго (логического) графа сети, определяющего структуру связей между пользователями - абонентами сети,

. . .

(графа тяготений) соединяют пары входов сети, между которыми нужна связь, так называемые абонентские или тяготеющие пары р{ (рис.2).

Т) = ,с1п ,с13,с14}- вектор требований

С = {с{, С2, С3, с4} вектор пропускной

способности рёб€

'Т) ^ г?

Рис.1. Физический граф

Р4, а4

Рис.2. Логический граф

Объединение указанных двух графов в одну МП-сеть обусловлено тем, что связь между узлами, соединенными ребрами логического графа, может осуществляться только по ребрам физического графа. Ребра графов сети могут быть как , -

.

Название многопродуктовая («многопродуктовик») для МП-сети объясняется невзаимозаменяемостью потоков различных тяготеющих пар, например, их телефонных разговоров. Считается, что эти потоки соответствуют как бы разным : , -, .

Допустимость МП-сети [4]. Если известна количественная мера требований -заявки на потоки - тяготеющих пар, то ребрам логического графа сети приписываются соответствующие числа условных единиц потока для данной абонентской пары р{. В тех же условных единицах измеряется и пропускная способность ребер

. Ск -

ток всех абонентских пар по данному ребру гк (см. рис.1,2). Задача распределения потоков в сети состоит в том, чтобы выбрать маршруты соединения абонентских пар в сети, т.е. проложить по ребрам физического графа пути для всех пар узлов, соединенных ребрами логического графа. При этом необходимо удовлетворить ограниче-( ) -( ) -лей. Если это возможно, то сеть называется допустимой [5].

- . -дель многопродуктовой задачи о допустимости является довольно грубой моделью функционирования сложной сетевой системы, она отражает лишь характерные сетевые свойства: наличие входов/выходов транспортных магистралей и возможностей переключения с одной магистрали на другую, а так же существование различных пользователей, ассоциируемых каждый с парой входов в системы. Кроме того, модель не учитывает явно и ряда физических характеристик, например, ограничения по пропускной способности транзитных вершин (иногда их удается задать и в рамках данной модели путем введения дополнительных «фиктивных» вершин и ребер с ограниченной пропускной способностью, но в общем случае добавляются новые линейные ограничения неравенства, связывающие суммарные потоки на смежных реб-)

2’^2

З'-!

4

3

4,^4

потока в вершинах и на ребрах (считается, что эти характеристики отражены в про). -ваться с помощью нелинейных, зачастую комбинаторных, ограничений на распреде-

, ,

соединения тяготеющей пары (что соответствует ограниченному времени ожидания, специальным условиям поддержания качества связи и т.п.) или по числу реберно-непересекающихся маршрутов для некоторых тяготеющих пар (что соответствует

).

Ребра физического графа МП-сети также могут различаться и по иным характеристикам, кроме пропускной способности, например, по степени защищенности. В таком случае удобно представить, что имеется как бы несколько физических графов различных категорий, и рассматривать несколько однотипных МП-сетей, различающихся лишь физическими графами. Аналогично и для пользователей МП-сети могут существовать разные категории обслуживания, тогда можно - , , пользователей высшей категории, а потом на оставшейся пропускной способности ребер физического графа сети для пользователей остальных категорий. Таким образом, данная базовая модель допускает определенное расширение, хотя, конечно не описывает всего разнообразия задач, возникающих в сетевых системах. Тем не , , затемняя специфики проблем, связанных с неопределенностью.

Согласно базовой модели многопродуктовой задачи о допустимости, задача анализа МП-сети зависит от двух векторов Б и С переменных. Поэтому в ней возможна неопределенность двух типов. Первая связана с вектором требований и может трактоваться как субъективная: вектор требований пользователей, хотя и объ-, ,

- . неизвестных требований возникает задача многокритериальной максимизации вектора г результирующих потоков гг-для всех абонентских пар рг- МП-сети, называемого мультипотоком. Её решение - множество оптимальных по Парето и Эджворту мультипотоков, т.е. векторов потоков, не увеличиваемых ни по одной компоненте без уменьшения какой-либо из других [8]. Другой крайний случай точно (или почти точно) известных требований приводит к проблеме выбора конкретной парето-оптимальной точки, являющейся решением задачи согласования интересов пользователей. Промежуточные варианты разнообразны: от известных границ для вектора Б до известной (или не очень) функции распределения на заданном множестве его возможных значений.

Второй тип неопределенности связан с вектором С пропускной способности ребер физического графа МП-сети и трактуется как объективная неопределенность, не известная в момент исследования сети ни исследователю, ни пользовате-.

или выход из строя отдельных ребер физического графа МП-сети в результате либо случайных повреждений сети, либо целенаправленных её разрушений. В первом случае известна, возможно неточно, функция распределения вектора С на множестве значений от 0 до вектора С0, соответствующего заданной пропускной способности. Во втором случае ставится параметрическая задача поиска наихудшего разрушающего воздействия ограниченной мощности, равной текущему зна-.

различного рода субъективной неопределенностью в информированности о векто-.

Таким образом, постановка многопродуктовой задачи о допустимости в условиях неопределенности будет следующей[2].

Пусть имеются источники N ё и стоки , являющиеся р1 -ой тяготеющей

парой, и -й поток, который должен идти из источника N^ в сток (/ =1,2...д)

Пустьх^ - это ~ -й поток по дуге гк (к=1,2,...,1), причем каждое реброгк можно представить в виде гк = (V , V ), где пк < Шкм V , Ущ - две концевые вершины дуги гк (п=1,2,...,т,...,£), / (й[, ёг) - величина -го пото ка из N в

N ,-■ й1

Тогда многопродуктовая задача о допустимости в условиях неопределенности заключается в следующем. Заданы нечеткие пропускные способности ~к дуги

гк . Требуется выяснить - существуют ли допустимые ПОТОКИ х^1 , т.е. удовлетво-

ряющие ограничениям:

xdi VnkVmk k

- f (di , d'i X еСЛи Vrnt = di

0, еСЛи Vmt * di , di,

f (di, di), если vmt = di

q

^ | xdri | < dk (для вс ex k).

i=1

Заключение. Представление многопродукто вой задачи о допустимости в нечетком виде приводит к постановке новых, нестандартных задач в территориально-распределенных системах: минимаксных, стохастических, многокритериальных, лексикографических. Причем результатом данной постановки, осуществляющейся с учетом нечетких условий, является нахождение наиболее оптималь-.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Hu T.C. Multi-Commodity Network Flows,J.ORSA,11 (3), p.344-360 ( May-June 1963).

2. Ху Т. Целочисленное программирование и потоки в сетях. - М.: МИРД974.

3. Фрэнк Г.,Фриш И. Сети, связь и потоки. - М.: Связь,1978. - 456 с.

4. Филлипс Д.,Гарсиа-Диас А.Методы анализа сетей. - М.: Мир, 1984.

5. Малашенко Ю.Е.,Новикова Н.М. Модели неопределенности в многопользовательских сетях. - Изд-во «Едиториал УРСС», 1999. - 160 с.

6. Малашенко Ю.Е.,Новикова НМ. Анализ многопользовательских сетевых систем с учетом неопределенности // Известия РАН. Теория и системы управления, 1998, №2. - С. 134144.

7. Малашенко Ю.Е.,Новикова Н.М. Анализ многопользовательских сетевых систем с уче-

.

потоковой сети // Известия РАН. Теория и системы управления, 1999, №4. - С. 88-100.

8. Подиновский В.В.,Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. - М.: Наука, 1982