CC BY
72
УПРАВЛЕНИЕ, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И ИНФОРМАТИКА • МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ...
УДК 519.7
А. И. ЗАИКО
МНОГОМЕРНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА ЗАИКО С РАВНОМЕРНЫМ ЗАКОНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Приведены вероятностные характеристики оригинального случайного процесса с равномерным законом распределения. Показано, что многомерные характеристики этого процесса выражаются через моментные характеристики не выше второго порядка. Случайный процесс; равномерное распределение; вероятностные характеристики
Стационарный случайный процесс с равномерным законом распределения прост, обладает эргодическим свойством и характеризуется всего тремя параметрами: нижней Хн и верхней Хв границами изменения, а также нормированной ковариационной функцией Ру, где і, ] = = 1, 2,.... В статье приведены одномерные и многомерные безусловные вероятностные характеристики этого процесса и исследованы их свойства [1, 2].
1. ОДНОМЕРНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ [3, 4]
Одномерная плотность распределения вероятности такого процесса
'__1
^[ Х1] = \
Xв - Xн
, X н < Х1 < Xв;
0, в остальных случаях.
Начальный момент первого порядка (математическое ожидание) такого процесса
в
т1 = | X1w1[X1 ]flX =
X, + X,
в н
2
=т
и центральный момент второго порядка (дисперсия)
ц = _[ X - т )2^ X ^ =(Xв - н) = в.
12
2. ДВУМЕРНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ [3, 4]
Двумерная плотность распределения вероятности ^2X1, X2] также распределена равномерно. Она определяется как произведение одномерной плотности ^[Х] и двумерной условной плотности вероятности w2[X2|X1] изменения реализации процесса х(ґ2) между нижней Xн(X1)
и верхней ХДХ) границами динамического диапазона при условии, что х(^) = Хь равными:
Xн(X!) = Хн + (X! -Xн)р12;
Xв(XI) = Xв - (Xв -Х)Р12.
Тогда
^К; X2] = =
1
Xн <Xl <Xв,
(Xв -Xн)[Xв(Xl)-Xн(Xl)] Xн(Xl)<X2 <Xв(XI); 0, в остальных случаях.
Моменты случайной величины х(^) находятся по выражениям п. 1 и использование для этого двумерных распределений нецелесообразно. Начальный момент первого порядка случайной величины х(^2) (ее математическое ожидание) равен
X в X „ (X)
т2 = I IX 2 ^2
[X1; X 2 ^ 1dX 2 = т,
Xн X н (X)
а второй смешанный начальный момент (ковариационная функция) имеет вид
X.. X в (X)
тЛ.
12 = | |X2^2 [X1, X2 =
Xн Xн (Xl)
= т2 + Р12 О.
Центральный момент второго порядка случайной величины х(^2) (ее дисперсия) равен
М2 = О2 =
X в X в (X)
= I I (X2 - т2 )2 ^ [X;X2 ]dXldX2 =
X н X н (X)
= Р12 +(1 Р12 ) Ц
Второй смешанный центральный момент случайных величин х(^) и х(^2) (корреляционная функция) имеет вид
Контактная информация: (347) 272-11-62
Xв Xв (X! )
М12 = *12 = | |(Х — т1 )(Х — т2 )х
X н X „ (X)
X ^2 [Х;X2 ^Х^Х = р12ц.
3. ТРЕХМЕРНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ [2, 4]
Трехмерную плотность распределения вероятности w3[X1; X2; X3] можно определить как произведение двумерной плотности вероятности w2[X1; X2] и трехмерной условной плотности вероятности w3[X3Xь X2]. Последняя также распределена равномерно между нижней Xн(X1; X2) и верхней Xв(X1; X2) границами динамического диапазона изменения х(ґ3) при условии, что х(^) = X1 и х(ґ2) = X2, равными:
X н (X1; X 2) = X н + (X1 - X н)Рі3-р 223Р12 +
1 - Р122
+ ^2 - Xн)р23 - Р123Р12;
1 - р122
Xв(X1;X2) = Xв-(Xв -X)Рі3-р223Р12 -
1 - Р?2
-(X в - X 2 ) Р 23 -Р123Р12.
1 - Р?2
Тогда
wз[x 1; X 2; X3 ]=W2 [Х; X 2 ]wз[x3 Xl; X2 ] =
= ]w 2 [X 2| Xl ]Wз[x3| X; X2 ] =
\1 {(Xв -XнIXв(X)-Xн(Х)]х / х[Х 1X1;X2)-X,(Xl;X2)]} ,
Xн < Xl < Xв;
= < Xн(X) <X2 <Xв(Xl);
Xн (X; X2) < X3 < х (х; X2);
0, в остальных случаях.
Моменты случайных величин х(^) и х(^2) находятся по выражениям пп. 1 и 2. Начальный момент первого порядка случайной величины х(^з) (ее математическое ожидание) равно:
X „ X „ (X1) X „ (X1; X 2)
тз = I I Кз X
X н X н (X1) X н (X1; X 2)
X ^3 [X1; X 2; X3 ]dX1dX2 dX3 = т,
а вторые смешанные начальные моменты имеют вид:
X„ Xв (X) X„ (X1;X 2)
т13 = I I I ^X 3 х
Xн X н (X1) X н (X1; X 2)
X ^3 [X1; X2; X3 ]dX1dX2dX3 = т2 + р13О;
т
23
X, X, (X) X, (XX 2)
= 1 1 XX х
Xн X, (X) xн (XX 2)
X w3 [X; X 2; X3 ]dX1dX2dX3 =
= т2 +
р12р13 +
2 3 1 2 3
Р23“Р/эР/2 (л ~ \2
1 - Р?2
-(1 - Р12 )2
в.
Третий смешанный начальный момент
X „ X в (X1) X „ (X1; X 2)
т123 = 1 1 1 X1 X2X3 Х
Xн X н (X1) X н (X1; X 2)
X w3 [X1; X 2; X3 ]dX1dX2dX3 =
= {т2 + ІР12 + Рі3 + Р12Р13 +
+
Р 23 р13р12
1 - Рі22
(1 - Р12 )2
в т.
Центральный момент второго порядка случайной величины х(^3) (ее дисперсия) равна
X„ Xв (X) Xв (X1;X2)
М3 = О3 = I I I (X3 - т3 )2 X
Xн Xн (X1) Xн (X1; X 2)
X ^3 [X; X 2; X3 ]dX1dX 2dX3 =
(
Р?3 +
V
+
Р 23 р13р12
1 - Рі22 у
V
(1 - р12 )2 +
р13 + р 23
1 + Рі
2
в.
Вторые смешанные центральные моменты случайных величин х(^), х(^2) и х(^3) (корреляционные функции) имеют вид:
X в X в X ) X в (XX 2 )
М13 = *13 = I I I ^1 - т1 )х
X н X „ (x1) X и (X; X 2)
х(X3 -т3)^3[X1;X2;X,,]dX1dX2dX3 =
= р13 О;
X в X в (X1) X в (X; X 2 )
М23 = *23 = I I I (X2 - т2 )х
X н X н X) X „ (X1;X 2)
х(X3 -т3)^3[X1;X2;X3]dX1dX2dX3 =
р12р13 +
Р 23 Рі3Рі2
1 - Рі22
(1 - Р12 )2
в.
Третий смешанный центральный момент
Xв Xв (X ) X в (X; X 2 )
М123 = I I I- т1 - т2 )х
X н X „ (Xl) X н (Xl; X 2 )
х(X3 -т3)^3[X1;X2;X3IX 1dX2dX3 = 0,
что подтверждает симметрию распределения случайных величин х(^), х(^2) и х(^3).
1
4. ЧЕТЫРЕХМЕРНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Условная четырехмерная плотность вероятности w4[X4|X1; X2; X3] распределена равномерно между нижней Xн(X1; X2; X3) и верхней Xв(X1; X2; X3) границами динамического диапазона изменения х(ґ4) при условии х(^) = X1, х(ґ2) = X2 и х(ґ3) = X3, которые равны:
X н (X і; X 2; X 3 ) = X н + ^ 1 - X н )а +
+ (X 2 - X н )Ь + (X 3 - X н )с;
Xв(X1;X2;X3) = Xв-(Xв -X1 )а-
-(Xв -X2)Ь-(Xв -X3)с,
где
' = [ р34 (р13 р23р12 ) р24 (р12 р13р23 ) +
+ р14
(1 - Рг,)]
1
222 1 + 2р12р23р13 - р12 - р23 - р1
Ь =[ р34 (р23 р13р12 ) + Р24 (і р13 )
- р14 (р12 - р13р23 )]х
1
X
2 2 2 1 + 2р12р23р13 - р12 - р23 - р13
С = [р34 (і р12 ) Р24 (р23 р13р12 )
- р14 (р13 - Р23р12 )]х
1
х
2 2 2
1 + 2р12р23р13 - р12 - р23 - р13
Тогда четырехмерная безусловная плотность распределения вероятностей
^ [X1; X2; Xз; X4 ]=
= ^[Х; X2; Xз К1X4] X,; X2; Xз ]=
= w1[X1 К [-X21 X1]и'з[xз| X1; X2 ]х
X ^4 [X4] X1; X2; Xз ]=
' /{(X - Xн )[Xв (X)-Xн (X1)]х
1 х[Xв (X1; X2)-Xн (X1; X2)]х / х[Xв(X1;X2;Xз)-Xн(Х^ХЖ Xн <X1 <Xв, Xн(X)<X2 <Xв(x1),
= ^(X;X2) <Xз <<Xв(X;X2),
Xн(X;X2;X)<X4 <Xв(X1;X2;X);
0, в остальных случаях.
Моменты случайных величин х(^), х(^2) и х(^з) находятся по выражениям пп. 1, 2 и 3. Математическое ожидание случайной величины х(^4) (ее начальный момент первого порядка) равно:
т.
X в Xв (xl ) Xв (xl; X 2 ) Xв (xl; X 2; X3 )
1X 4 х
X,, X,, (X) Xн (x1; X! ) Xн (x1; X 2; Xз )
х w4 [X1; X 2; X3; X4 ]dX1dX2dX3dX4 =
= 1 1 1
т,
4 1 2 3 4 1 2 3 4
а ковариационные функции (вторые смешанные начальные моменты):
Xв Xв (xl )Xв (X1;X2 )Xв (X1;X2;X3 )
т14 = II I I ^ X4 х
Xн Xн (X) Xн (x1; -X2) Xн (x1;X2 ;X3)
X ^4 [X1; X 2; X з; X4 ]dX1dX2dX3dX4 =
=т2 + р,4 О;
Xв X в (X1) Xв (X; X 2) Xв (X; X2; Xз)
т24 = 11 1
1X 2 X 4 х
X., Xн (X) X,, (x1; X 2) X,, (x1; X 2; Xз)
х w4 [xl; X 2; X3; X4 ]dX1dX 2dX3dX4 =
= т2 +
р12р14 +
р 24 р14р12
1 - Р?2
(1 - Р12 )2
в;
Xв Xв (X ) Xв (X; X 2) X в (X; X2; -Xз )
т
= 1 1 1
1X з X 4 х
X, X,, (X) X,, (X; X 2) X,, (X X 2; Xз)
х w4 [X; X 2; X 3; X4 ]dX1dX2dX3dX4 =
= т2 + ]р13р14 + р23 Р/зРі2 р24 р14р12 х
1 р12 1 р12
х(1 - Р12 )2 + С
1 - р13 + Р 23 1 + р12
\в.
Третьи смешанные начальные моменты равны
X. X в (X) X. (X; X 2) X. (X; X 2; X з)
т,„ =
= 1 1 1
1X X 2 X з х
х w4 [X1; X 2; X,,; X4 =
= {т +[р12 + р13 + р12р13 +
+
р 23 р 13р 12
(1 - Р12 )2
12
в>т;
і- р
Xв Xв (X) Xв (Xl; X2) Xв (Xl; X 2; Xз)
т124 = 11 1 1 X1 X2X4 х
X н X, (Xl) X, (Xl;X 2 ) X , (Xl; X2; X3)
х w4 [X1; X 2; X3; X4 =
= {т2 +[Р12 + Р14 + Рі2Рі4 +
+
Р 24 р14р12
1 - Р122
(1 - Р12 )2
в\т;
X в X в (X ) X в (х; X 2 ) Xв (X; X 2; X з)
т134 = 1 1 1 1X-XзX4 х
X н X , (X) X , (х;X 2) X , (Xі;X 2;X з)
х w4 [X1; X 2; X3; X4 =
3
2
= 1т2 +
р13 + р14 + р13р14 +
р23 р13р12
1 - р?2
X
X р24 р14р12 (1 - р,^ )2 + с
1 - р12
1-
р13 + р 23 1 + р12
2
О [т;
Xв Xв (X) Xв (X ;X2) Xв (X1;X 2 ;Х)
т
и = II I IX 2 Xз X 4 X
X, X, (X) X, (X; X2) X, (XX 2; ^)
X w4 [xl■; X 2; Xз; X4 ]йX1йX2йX3йX4 =
: {т +[р12р13 + р12р14 + р13р14 +
р23 р13р12
1 - р?2
(1 - р,2 )2
1 +
р 23 р13р12
л
X р24 р14р12 (1 - р,2 )2 + с
1 - р12
1 - р?2
1-
р13 + р 23 1 + р12
2
X
о т.
Четвертый смешанный начальный момент
Xв Xв (X1) Xв (X1 ;X 2) Xв (X1 ;X 2 ;X 3)
т1234 = II I IX1X2X3X4 х
Xн X. (X) X„ (X1 X 2) X,. (X1;X2 ;Х)
х W4 [X1; X 2; X3; X4 ]dX1dX2dX3dX4 =
= (1 + 4р12р13р14 )т" +{р12 + р13 + р 14 +
+ р12р13 + р12р14 + р 1 зр 14 + 24р12р13р14 +
р 23 р 13р 12
1 - р22
. р 24 р14р12
' 1 - р?2
1 +
р 23 р 13р 12
Л
1 - р22
(1 - р 12 )2 + С
1-
р13 + р 23 1 + р
2
[т О +
12
р14
р 23 р 13р 12
1 - р?2
р13 + р12
р 23 р 13р 12
Л
1 р12 ) 1 р12
р 24 р14р12
х(1 р12 ) + р12С
1-
р13 + р 23 1 + р1
2
X
[О2.
2 У
Дисперсия случайной величины х(^4) (ее центральный момент второго порядка) равна
Xв Xв (X) Xв (X; -X2 ) Xв (X; X 2; Xз)
О4 =! I I .
Xн X н (X ) X н (XX 2) Xн (x1; X 2; X з )
X w4 [X!; X 2; X3; X4 ]dX1dX2 dX3dX4 =
2
I (X4 - т4 )2 X
(
р 24 р14р12
1 - р?2
2
(1 - р12 )2 +
+ с
1 -
+
1 -
V2
р13 + р 23 1 + р12 у
--с{\
1 + рц
1 + рц
О.
Корреляционные функции (вторые смешанные центральные моменты) имеют вид:
М,4 =
X в X в (X) Xв (X; X 2) Xв (X; X!; Xз)
= II I IС^- т1 XX4 - т4 )х
Xн X,, (X1) Xн (X; X 2) X,, (X; X 2; X з)
X w4 [X1; X 2; X з; X4 ]dX1dX2dX3dX4 =
= р14О = *14 ;
М24 =
Xв Xв (X1) Xв (X1; .X2) Xв (X1; X2; Xз )
= II I I^2 - т2 )(X4 - т4 )х
Xн xн (X1) X,, (X1; X 2) X,, (X1; X 2; X 3)
X W4 X; X 2; X з; X4 ]dX1dX2 dX3dX4 =
р12р14 +
4 1 2 3 4 1 2
р24 - р14р12 Л - \2
1 - р?2
-(1 - р,2 )2
О=*24;
М34 =
X в X в (X) X в (X X 2) X в (X; X 2 X з)
= II I I ^з- т3 XX4 - т4 )х
Xн Xн (X1) X,, (X1; X 2) X,, (X1; X2; Xз)
х W4 [X!; X 2; X3; X4 ]dX1dX 2dX3dX4 =
„ „ , р23 р13р12 р24 р14р12
р13р14 + - - х
1 р12 1 р12
х(1 - р12 )2 + с
1-
р13 + р 23 1 + р12
2
О = *34.
Третьи смешанные центральные моменты, как и полагается для симметричных распределений,
М124 = М134 = М234 = 0 .
Четвертый центральный момент
М1234 =
Xв Xв (Х )Xв X2 )Xв (X1;X2;X3 )
= I I I
I ^ 1 - т1 )х
X, Xн (X1) Xн (X1;X2) X,, (x1;X2;X3 )
X ^2 - т2 )(X3 - тз XX4 - т4 )х х w4 [X1; X 2; X3; X4 ]dX1dX2dX3dX =
р23 - р13р12
р14 '
1 - р?2
+
(
+
р13 + р12
р 23 р13р 12
1 - р?2
Л
р 24 р14р12
1 - р?2
X
2
+
+
+
+
+
X
+
+
х(1 - Р12)2 + Р12С
1 -
р13 + р23 1 + р12
2
в2.
5. МАРКОВСКОЕ СВОЙСТВО [2]
Это свойство ограниченного последействия описывается уравнениями:
Wз [X з| X; X 2 ]= W2 [X з| X 21
w4 [X 4| X; X 2; X 3 ]= W2 [X 4| X 3 ]
Тогда:
Wз [X1; X2; Xз ]=W2 [X1; X2 ]w2 [х| X2 ] =
= w1[X1 ]w 2 [X21 Xl^W2 [х| X2 ]=
{(Xв -Xн)[Xв(X)-Xн(X1)]х х[Xв (X2)-Xн (X)]},
X, < x1 < Xв; Xн (X1) < X2 < Xв (X1);
Xн(X2) <X <Xв(X2);
0, в остальных случаях;
[X1; X2; X; X4 ] =
= Wз[X1; X2; X К [X,! X ] =
= W1[X ]w 2 [X21 Xl^w2 [х| X2 ]w 2 [X,! Xз ]=
{(X - Xн )[Xв (X1)-Xн (X1)]х
х[Х (X2)-Xн (х^в (Xз)-Xн (X)]},
X, < X1 < Xв, Xн (X) < X2 < X (X), xн (X2) < X < Xв (X2),
X, (X) < X4 < Xв (X);
0, в остальных случаях,
W,
где X н (X 2 )= X н +(X 2 - X н )Р23;
X в (X 2 ) = X в -(X в - X 2 )р 23;
X н (Xз ) = X н +(Xз - X н )рз4,
Xв(Xз) = Xв-(Xв -Xз)рз4.
Согласно пп.1-4, математическое ожидание
т1 = т2 = т3 = т4 = т и ковариационные функции:
т12 = т2 + Р12в; т1з = т2 + Р12Р 2зв;
т14 = тх2 + Р12Р2:Р:4в;
т23 = т + р23 [р12 + (/ - р12 ) ]в;
2
т24 = т +
р23р34 [р12 + (/ р12 ) ]в;
т2 +
+ р34 + Р23 (і - р12 ) + (/ - р23 ) ]в.
т
123
т
124
т
134
т
Третьи и четвертые смешанные начальные моменты:
= {т 2 +[р12 (1 + р 23 ) +
"Р 23 (р12 +(1 - р12 ) )]в]т;
= {т2 +[Р12 (1 + Р23Р34 ) +
■Р23Р34 (р22 +(1 - Р12 )2 )]в}т;
= {т +[р12р 23 (1 + р34 ) +р23р34 х
х(р12 + (1 - р12 ) )+ Р 34 (1 - Р 23 ) ]в]т;
= {т2 +[Р23(1 + Р34(1 + Р23 ))х
х(р12 + (і - р12 ) )+ р34 (і - Р 23 ) ]в]т;
: (і + 4р12р 23Р34 )т +
+ {р12 [1 + Р23 (1 + р34 ) + 24р32р2зр34 +
+ р23 [1 + Р34 (1 + Р23 )]Р22 +(1 - р12 )2 ] +
+ Р34 (1 - Р23 )2 ^в +
+ р12р34 [9р12р23 + 3р23 (1 - р12 ) +
+ (1 - Р23 )2 ]в".
Дисперсии:
в/ = в; в2 = р2 + (1 -Р12 )2 ]в;
234
т=
вз = в4 =
р12р23 + р23(і р12 ) + (і р23 ) ]в;
2 2 2 2 2 2 р12р23р34 + р23р34 (і - Р12 ) +
+ р34 (1 - р23 )2 +(1 - р34 )2 ]°.
Корреляционные функции:
М12 = р12О; М13 = р12р 23О;
М14 = р12р23р34О;
М23 = р23 [р12 +(1 - р12 ) ]О;
М24 = р23р34 [р12 +(1 - р12 ) ]О;
М34 = р34 [р12р23 + р23 (1 - р12 ) +(1 - р23 ) 0
Третьи смешанные центральные моменты
М123 = М124 = М134 = М234 = 0 .
Четвертый центральный момент
М1234 _ р12р34 [9р12р23 + 3р23 (і рі2 )
+ (1 - Р23 )2 ]в2.
+
2
Таким образом, в предлагаемом случайном процессе с равномерной плотностью распределения вероятности высшие моментные характеристики выражаются через моментные характеристики первого и второго порядков. Это существенно упрощает измерение его характеристик, идентификацию и делает удобным для описания большого количества реальных сигналов.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Заико А. И. Свид. 72200700005. Случайный процесс Заико А.И. с равномерным законом распределения. Математическая модель. Зарег. ФГУП «ВНТИЦ» 28.02.07 г. Описание. 10 с.
2. Заико А. И. Случайный процесс Заико с равномерным законом распределения // Вестник УГАТУ. 2008. № 1(28). С. 188-193.
3. Заико А. И. Случайный сигнал с равномерным законом распределения // Измерительная техника. 1999. № 1. С. 9-11.
4. Заико А. И. Случайные процессы. Модели и измерения: учеб. пособие. М.: МАИ, 2006. 207 с.
С Л
Г
й.Л
ОБ АВТОРЕ
Заико Александр Иванович,
проф. каф. теоретич. основ элек-тротехн. Дипл. инж. электрон. тех-ки (УАИ, 1970). Д-р техн. наук по информац.-измерит.
системам (ЛЭТИ, 1990). Заслуж. изобретатель РБ и РФ. Член-кор. Междунар. инж. акад. Иссл. в обл. метрологич. обесп., анализа и синтеза информац.-измерит.
