CC BY
52
УДК 621.875.56
Р.А. Кобзев
МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЕ ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ МЕХАНИЗМОВ ПОДЪЕМА С ПРИМЕНЕНИЕМ ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Предлагается метод многокритериального оптимального проектирования механизмов подъема, основанный на применении принципа Парето, позволяющий получить конструкции механизма, обладающие минимальными капитальными и эксплуатационными затратами при выполнении всех требований технического задания.
Многокритериальное оптимальное проектирование, принцип Парето, метод динамического программирования
R.A. Kobzev
MULTICRITERIA OPTIMUM DESIGN OF LOAD-LIFTING WINCHES USING DYNAMIC PROGRAMMING
The proposed method of multicriteria optimum design of load-lifting winches is based on the Pareto principle which allows for the design possessing minimum capital and operational expenditures through implementing the necessary requirements.
Multicriteria optimum design, Pareto principle, method of dynamic programming
Определение оптимальной конструкции механизма подъема груза является ключевой задачей конструктора при проектировании грузоподъемных машин, поскольку выбранная схема механизма в дальнейшем определяет конструкцию грузовой тележки, величину и характер приложения нагрузок, действующих на металлическую конструкцию крана [1].
Решение задачи оптимального проектирования механизма подъема заключается в выборе оптимальной структурной схемы механизма, а также подборе оптимальных параметров отдельных составляющих рассматриваемой схемы. Учитывая, что к механизмам подъема предъявляется достаточно широкий спектр зачастую противоречивых требований, перспективным представляется использование при их проектировании методов многокритериальной оптимизации, позволяющей оценивать различные решения по нескольким параметрам, в частности метода многокритериальной оптимизации, основанной на применении принципа Парето [2]. Для сравнения отдельных решений задачи оптимального проектирования механизма подъема используется векторный критерий оценки качества решения, включающий параметры, оказывающие непосредственное влияние на технико-экономические свойства машины. В состав векторного критерия для механизма подъема должны быть включены следующие величины: себестоимость механизма подъема C как параметр, определяющий капитальные затраты на изготовление крана; масса механизма М как параметр, определяющий эксплуатационные затраты и стоимость монтажа; КПД механизма п, также оказывающий влияние на эксплуатационные затраты; габаритные размеры механизма А и Б, увеличение которых несет за собой увеличение массы грузовой тележки и, как следствие, также повышение эксплуатационных затрат. Требования, предъявляемые к конструкции механизма подъема, имеющие обязательный характер, задаются в виде ограничений, например условие обеспечения необходимой прочности механизма.
Суть принципа Парето заключается в том, что среди всех возможных решений механизма X существует некоторое множество решений PfX), между которыми лицом, принимающим решения, (ЛПР) не может быть выражено четкое предпочтение. Данное множество называется множеством парето-оптимальных решений или множеством Парето. Любое парето-оптимальное решение превосходит другое парето-оптимальное решение по одним критериям, но уступает ему хотя бы одному другому. В то же время каждое парето-оптимальное решение превосходит любое прочее решение, не вошедшее во множество Парето, по всем критериям. Формирование множества Парето является первой задачей, которую необходимо решить при оптимальном проектировании механизма подъема.
Механизм подъема груза может быть выполнен по различным структурным схемам: с одной или двумя параллельно работающими лебедками, расположенными на одной или разных грузовых тележках. Кроме того, сами лебедки могут иметь различные кинематические схемы, в частности с применением мотора-редуктора или с двигателем и редуктором в виде отдельных узлов, с открытой зубчатой передачей или без нее, также могут быть применены различные варианты кратности полиспаста и параметры барабана. В связи с большим разнообразием возможных вариантов структурной схемы механизма предлагается производить поиск оптимального решения в следующей последовательности: сначала ЛПР должно выявить все перспективные структурные схемы; затем для каждой из структурных схем должно быть построено свое частное множество Парето; далее, сравнивая решения, полученные для отдельных схем с помощью векторного критерия качества, формируется общее множество Парето для всех структурных схем.
Для построения множества Парето для отдельной структурной схемы представим механизм подъема как сложную техническую систему, состоящую из отдельных подсистем или модулей. В наиболее сложном варианте в состав механизма подъема входят следующие модули: 1 - электродвигатель и система управления, 2 - полиспаст и грузозахватное устройство, 3 - установка барабана, 4 - модуль трансмиссии, включающий в себя редуктор и соединительные муфты, 5 - модуль открытой зубчатой передачи, 6 - мо-
дуль тормоза (или тормозов). В других вариантах структурных схем состав модулей может отличаться, в частности может отсутствовать пятый модуль, а первый и четвертый модули при применении моторов-редукторов могут быть объединены. Задача формирования множества Парето в рамках отдельной схемы заключается в подборе оптимальных покупных изделий, а также определении оптимальных параметров оригинальных узлов, т.е. в выборе оптимальных частных решений для отдельных модулей. Особенностью предложенного векторного критерия является то, что он может быть применен как для оценки общего решения для всей системы механизма подъема, так и для оценки частных решений для отдельных модулей, поскольку для каждого из них относительно легко могут быть определены себестоимость, масса, КПД и габаритные размеры. Кроме того, на каждый из модулей накладывается своя система ограничений, в частности ограничения по прочности, надежности, технологичности, условиям сборки и др. На всю систему механизма подъема целиком также накладывается ряд ограничений, прежде всего ограничение по заданной техническим заданием скорости подъема груза. На скорость подъема груза оказывают влияние: частота вращения вала выбранного электродвигателя, кратность применяемого полиспаста, диаметр барабана, передаточное отношение редуктора и открытой зубчатой передачи. При этом изменение одного из перечисленных параметров неизбежно должно сопровождаться изменением какого-либо другого с тем, чтобы в итоге была обеспечена необходимая скорость. Таким образом, в процессе поиска оптимального решения, помимо прочего, необходимо определить оптимальные значения вышеперечисленных взаимозависимых параметров. Поставленная задача по своей структуре близка к известной в литературе задаче об оптимальной загрузке судна [3], для решения которой может быть использован метод динамического программирования.
Для того, чтобы можно было легко менять распределение указанных выше параметров, определяющих скорость подъема груза и имеющих различную размерность, необходим ввести новый безразмерный параметр и, называемый степенью редукции.
Требуемая степень редукции для всего механизма определится из условия обеспечения заданной техническим заданием скорости подъема груза v:
n • К - Д
U__двтах 0тах
u • u • u • v
п min р min оп min
где Пдвтах - максимальные обороты электродвигателя для всех имеющихся в базе данных, Обтах - максимальный диаметр барабана для всех имеющихся в базе данных барабанов (задается предварительно ЛПР индивидуально для каждого крана), ыПтт, Щтт, иоптт - минимальные имеющиеся в базе данных значения кратности полиспаста (ыПтт = 1), передаточного отношения редуктора, открытой зубчатой передачи (иоптт = 1).
Для отдельных решений каждого из модулей степень редукции определится следующим образом:
п
для 1 модуля: и = дв тах ;
17 п ,
дв 7
и ,
для 2 модуля: и = ———;
2 f
для 3 модуля: U 3 f
u
п min
D6
О max
u f
для 4 модуля: U = —f
4 f
u
р min
u f
для 5 модуля: U = —onf-
'5 f
u
оп min
где «дв/, Unf, De/, Upf, Ыоп - соответственно обороты двигателя, кратность полиспаста, диаметр барабана, передаточные числа редуктора и открытой передачи для некоторого f-го решения, /- номер решения в базе данных для соответствующего модуля.
Фактическая степень редукции для всей системы определится:
U = Ulf • U2f • U3f • U4f • U5f.
Предварительно для каждого из модулей должны быть сформированы частные множества парето-оптимальных решений отдельно для каждой степени редукции, в дальнейшем на основе метода динамического программирования, рассматривая сочетания различных частных парето-оптимальных решений для
первого и второго модуля, будет составлено общее множество парето-оптимальных решений для двух первых модулей. Далее, рассматривая сочетания полученных общих парето-оптимальных решений для двух первых модулей с частными парето-оптимальными решениями для третьего модуля, формируется множество общих парето-оптимальных решений для первых трех модулей. Повторив аналогичную процедуру для оставшихся модулей, на последнем шаге будет получено множество парето-оптимальных решений для всей системы механизма в рамках рассматриваемой структурной схемы.
Алгоритм формирования множества Парето для отдельной кинематической схемы приведен на рис. 1. Для обозначения отдельных решений вводятся следующие индексы: 7 - номер рассматриваемого модуля (шага), у - номер степени редукции для 7-го модуля, п - номер частного парето-оптимального решения в формируемом множестве парето-оптимальных решений, полученных для 7-го модуля и у-й степени редукции, 5 - номер рассматриваемой кинематической схемы, г - номер общего парето-оптимального решения Ху,, полученного на текущем 7-ом шаге при степени редукции у; к7-1 - номер степени редукции для общих парето-оптимальных решений, полученных на предыдущем шаге (при рассмотрении «7-1»-го модуля); т - номер общего парето-оптимального решения Хит, полученного на предыдущем шаге и степени редукции к; у7 - степень редукции, получаемая на текущем 7-ом шаге при сочетании п-го частного парето-оптимального решения Х7уп, полученного для 7-го модуля при степени редукции у с общим парето-оптимальным решением Х71кт, полученным на предыдущем 7-1-м шаге при степени редукции к и имеющим номер т.
Для первых 4 модулей общие парето-оптимальные решения образуются как сочетание частных парето-оптимальных решений для рассматриваемого модуля Хуп с общими парето-оптимальными решениями, полученными на предыдущем шаге (для всех уже рассмотренных ранее модулей) Х-1т. Степени редукции рассматриваемого общего решения и сравнивается с полученными ранее иу (блок 10). Если подобная степень редукции ранее встречалась, то по предложенному алгоритму рассматриваемое решение сравнивается с полученными ранее па-рето-оптимальными решениями Х7у2 с той же степенью редукции иу (блоки 15, 16). Если данная степень редукции получена впервые, решение запоминается как первое парето-оптимальное решение с этой степенью редукции (блок 13). В результате формируются множества парето-оптимальных решений на каждом шаге, вплоть до пятого. На пятом шаге для каждого из общих парето-оптимальных решений, полученных для 4 первых модулей, определяются оптимальные параметры открытой зубчатой передачи таким образом, чтобы обеспечить заданную скорость подъема груза (блок 35). Все полученные на 5 шаге решения будут иметь одинаковую степень редукции, поэтому могут быть обозначены просто Х5г Сравнивая все полученные решения с помощью аналогичного алгоритма (блоки 36, 37), формируем множество общих парето-оптимальных решений для 5 модулей. На последнем шаге для каждого решения рассматриваются различные варианты тормозов, при этом каждое полученное решение окончательно проверяется по всем ограничениям, накладываемым на всю систему (блок 51). В итоге формируется область общих парето-оптимальных решений для всей системы для рассматриваемого варианта кинематической схемы (блоки 53, 54).
На последующей стадии сравниваются общие парето-оптимальные решения, полученные для разных кинематических схем по схожему алгоритму. В итоге окончательно формируется множество парето-оптимальных решений для механизма подъема.
В случае если полученное множество парето-оптимальных решений для механизма подъема окажется слишком велико, чтобы ЛПР смог сделать осознанный выбор, рекомендовано воспользоваться методом последовательного сужения множества Парето. Рассматривая предложенный векторный критерий качества, можно сделать вывод, что критерий габаритных размеров является наименее значимым, поэтому, реализуя указанный метод, полученное множество Парето следует повторно исследовать с помощью упрощенного векторного критерия, содержащего только три первых компоненты, при этом может быть введено дополнительное условие, позволяющее исключить решения, имеющие заведомо большие габариты. В случае если и данная процедура не позволит получить достаточно узкое множество Парето, для его дальнейшего сужения рекомендуется модифицированный метод целевого программирования. Для каждого из решений, входящих во множество Парето, определяется значение метрики р(х;), обозначающей расстояние между рассматриваемым решением и идеальным вектором, составленным из наименьших значений массы и стоимости механизма и наибольшего значения КПД:
где 7 - номер компоненты векторного критерия качества, у - номер решения,^7) - значение 7-го критерия для у-го решения. На основании значения метрики множество Парето может быть сокращено до размера, позволяющего ЛПР произвести выбор окончательного решения механизма подъема.
Рис. 1. Блок-схема алгоритма формирования множества парето-оптимальных решений
ЛИТЕРАТУРА
1. Барт Р. Лингвистика текста // Новое в зарубежной лингвистике / Р. Барт. М.: Прогресс, 1978. Вып. VIII: Лингвистика текста. С. 442-449.1.
2. Shuishui L. Introduction for new hoisting mechanism of a crane / L. Shuishui, F. Yuanxun, and B. Tingchun // Machinery Design & Manufacture. no. 5. P. 275-276, 2012.
3. Чернова Н.М. Двухуровневая задача оптимального проектирования механизмов подъема груза / Н.М. Чернова // Вестник СГТУ. 2008. № 4 (36). С. 50-52.
4. Bellman R. Applied dynamic programming / R. Bellman, S. Dreyfus. Princeton, New Jersey: Princeton university press, 1962. 382 p.
Кобзев Роман Анатольевич -
кандидат технических наук, доцент кафедры «Подъемно-транспортные, строительные и дорожные машины» Балаковского института техники, технологий и управления (филиала) Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Roman A. Kobzev-
Ph. D., Associate Professor
Department of Elevating, Construction and Road
Machinery,
Balakovo Institute of Engineering, Technologies and Management,
Part of Yuri Gagarin State Technical University of Saratov
Статья поступила в редакцию 12.02.14, принята к опубликованию 15.05.14
