Научная статья на тему 'Многокритериальная задача нечеткой максимизации независимых критериев'

Многокритериальная задача нечеткой максимизации независимых критериев Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
546
76
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
НЕЧЕТКОГО НЕСТРОГОГО ПРЕДПОЧТЕНИЯ / CRITERIA / NOT EXPRESSLY OPTIMIZATION

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Заргарян Елена Валерьевна

Выполнена общая постановка многокритериальной задачи нечеткой оптимизации, в которой все нечеткие критерии нечетко независимы по предпочтению. Определено отношение нечеткого нестрогого предпочтения.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

TASK OF NOT EXACT OF INDEPENDENT CRITERIA MAXIMIZATION

The general raising of task of not exact optimization in which all not exact criteria of not exact are independent on a preference is executed. The relation of not exact preference is certain.

Текст научной работы на тему «Многокритериальная задача нечеткой максимизации независимых критериев»

Раздел III. Методы искусственного интеллекта

УДК 681.518

ЕЛ. Заргарян

МНОГОКРИТЕРИАЛЬНАЯ ЗАДАЧА НЕЧЕТКОЙ МАКСИМИЗАЦИИ НЕЗАВИСИМЫХ КРИТЕРИЕВ

Выполнена общая постановка многокритериальной задачи нечеткой , -почтению. Определено отношение нечеткого нестрогого предпочтения.

; .

E.V. Zargarjan

TASK OF NOT EXACT OF INDEPENDENT CRITERIA MAXIMIZATION

The general raising of task of not exact optimization in which all not exact criteria of not exact are independent on a preference is executed. The relation of not exact preference is certain.

Criteria; not expressly optimization.

Почти всякая сложная практическая задача принятия решения (и индивидуального, и тем более группового) является многокритериальной. В связи с этим особое значение в настоящее время приобретает бурно развивающаяся теория принятия решений при наличии многих критериев. Одним из основных, фундаментальных понятий этой теории является понятие оптимального по Паре, . точки максимума числовой функции на случай нескольких функций: решение

-, за счет ухудшения значений остальных критериев.

Концепция принятия (выработки) решения в качестве первичного элемента деятельности рассматривает решение как сознательный выбор одной из ряда альтернатив, называемых, в зависимости от их конкретного содержания, стратегиями, планами, вариантами и т. п. Этот выбор производит лицо, принимающее решение и стремящееся к достижению определенных целей. В роли такого лица выступают отдельные люди или группы людей, обладающие правами выбора решения и несущие ответственность за его последствия.

Применение математических методов при принятии решений в задачах распределения энергии, оптимизации затрат на получении энергии предполагает построение подходящей математической модели, формализовано представляющей проблемную ситуацию, т. е. ситуацию выбора решения. Для задач принятия решений (задач оптимизации) в условиях определенности, когда случайные и неопределенные факторы отсутствуют, компонентами такой модели являются множество X всех (адьтернативных) решений, из которых и надлежит произвести выбор одного наилучшего, или оптимального решения, и описание предпочтений лица, принимающего решение. Для того чтобы была обеспечена возможность (свобода) выбора, множество X должно содержать не менее двух решений.

При решении задач распределения энергии, оптимизации затрат на получение энергии следует учитывать не один, а несколько критериев, которые обозначим через fh f2, ...,fm. Вводить обобщенный интегральный критерий не всегда

удается по многим соображениям, в частности, их технологической нестыковки, назначения, области определения и прочее. Тем не менее необходимо так организовать управление, чтобы найти оптимальное равновесие среди значений критериев /1, /2, .../„, таким образом, чтобы любое «улучшение» одного критерия вызывало «ухудшение» остальных. Данная классическая задача оптимизации связана с нахождением равновесия по Парето.

В классической многокритериальной задаче оптимизации [1] сравнение решений по предпочтительности осуществляется не непосредственно, а при помощи заданных на множестве Х=Х1хХ2х... хХт числовых функций /1, /2, .../„, называемых критериями (пок^ателями качества или эффективности, критериальными функциями, целевыми функциями и т.п.), причем м ножество X, - область определения критерии / Широко известны разные методы поиска решений при задании числовых функций /1, /2, .../„ В работе [1] критерии принято называть .

Задача многокритериальной оптимизации существенно усложняется, если критерии /1/2,.../„ задают в условиях неопределенности. Задание критериев /\,/2,.,/т в условиях неопределенности может быть осуществлено разными способами:

- в виде нечеткого интервала [2]: Интервалы задаются четверкой параметров М=(т, „, а, в), где „ пт - соответственно нижнее и верхнее модальное

значение интервала, а а и в представляют собой левый и правый коэффициент нечеткости.

- [3]: Лингвистическая переменная в общем случае задается набором:

< р,т(в)АО,м>.

где Р, - название ьй лингвистической переменной - "ьй параметр состояния"; Т(Р,) - терм-множество лингвистической переменной Р,; Б1 - область определения лингвистической переменной в,, так что Б = В1хВ2х...хОМ; О, - синтаксическое правило, порождающее наименования а' е Т(Р;) вербальных значений лингвистических переменных Р;; М, - семантическое правило, которое ставит в соответствие каждой нечеткой переменной а' е Т(Р;) нечеткое множество

С (а') - смысл нечеткой переменной а'.

- в виде нечетких функций, т.е. в виде нечеткого уравнения, коэффициенты или переменные которого являются нечеткими множествами.

Пусть показатели качества задаются на вербальном уровне и представляются в виде функций нечетких переменных или в виде лингвистической переменной. Для каждого критерия / на числовой прямой X экспертами задаются

функции принадлежности нечетких переменных, которые определяется в соответствии с содержательным смыслом этого критерия.

Нечеткие частные критерии / образуют нечеткий векторный критерий / = //2,..,/„}. Выбор нечеткого оптимального решения из множества всех решений Н сводится к выбору нечеткой оптимальной оценки из множества нечетко достижимых оценок

Y = f(X) = {yе Em\y = f(x), xe Xj}, где Em - m-мерное критериальное пространство.

В зависимости от структуры множества X и свойств функций f для удобства исследования можно выделить различные классы многокритериальных задач. Так, если мн ожество X содержит конечно е число элементов, то задача называется нечетко конечной. Если X исчислимо, т.е. конечно или же счетное, то -нечетко дискретной. Если у каждого вектора х из X все компоненты - целые

числа, то задача называется нечетко целочисленной. Если X выпукло, а все f -нечетко вогнутые функции, то задача называется нечетко вогнутой. Если X -полиэдральное множество (т.е. «вырезано» из Еп конечной системой линейных

нечетких неравенств и равенств), а все f нечетко линейны, то многокритериальная задача является нечетко линейной.

Дальнейшее решение задач нечеткой оптимизации связано с установлением нечеткого равновесия нечетких критериев f .

Если задан нечеткий частный критерий f, то каждое решение для xeX характеризуется нечеткой функцией y = f (x). Выбор нечеткого оптимального

решения сводится к выбору нечеткой оптимальной оценки из множества Y всех нечетко достижимых оценок.

При четком задании критериев широко применяется способ описания предпочтений в виде бинарных отношений.

Бинарные отношения применяют для описания предпочтений, попарных связей разного характера между объектами любой природы. Б тарным отношением р на множестве А называется подмножество множества А2=А>А, т.е. совокупность упорядоченных пар (a,b), где a,beA. Если (a,b)ep, то говорят, что а и b находятся в отношении р, и что записывают - apb [4].

Бинарное отношение может быть задано и как нечеткое отношение p на

множестве А2=А>А в виде совокупности пар <yab/(a,b)>, где /лаЬ - степень принадлежности пары (a,b) множеству А2.

Вначале описание предпочтений лица, принимающего решение, осуществляется во множестве всех оценок Y при помощи нечетких бинарных отношений предпочтения или нечеткой функции ценности ^, которая задается на множестве А и представляет собой нечеткое отношение нестрого предпочтения

R , причем для любого BcA

maxPB={beB\^ (b)= max y(a)},

aeB

max - , P B -

.

,

не зависит от состава всего множества выбора А. Однако в реальных ситуациях такая зависимость имеет место и для ее учета необходимо использовать понятие , . Допустим, что Q - фиксированная совокупность непустых подмножеств . ( )

называется нечеткое отображение C, сопоставляющее всякому нечеткому множеству B е Q нечеткое подмножество C(B) с B . Рассмотрим частный случай, когда задано нечеткое отношение строгого предпочтения P, функцию выбора можно определить нечетким равенством C(B) = maxpB,B сА. Необходимо

для решения заданной задачи ввести бинарные отношения предпочтения по заданной функции выбора. Аппарат функций выбора является основой интенсивно развивающейся в настоящее время общей теории выбора.

При полном отсутствии информации, кроме перечня критериев f1,f2,..,fm

о предпочтениях лица, принимающего решение, следует ввести нечеткое отно-,

Em, , -

чения степеней принадлежности j.ia:b примерно одинаковы для всех пар (a,b). В этом случае нечеткое отношение предпочтения следует рассматривать как нечеткое отношение эквивалентности, которое разбивает множество X на классы, состоящие из одинаковых по предпочтительности решений.

Если множество всех оценок Y включает более одной оценки, то выбор оптимального решения без информации о предпочтениях принимающего реше-. -ся к классу довольно сложных задач.

В многокритериальных задачах сравниваются по предпочтительности векторные оценки, т.е. значения нечеткого векторного критерия f = {f, f ,.., f }. Наиболее простой путь нечеткого многокритериального выбора состоит в сравнении по предпочтительности тех нечетких векторных оценок, которые нечетко отличаются друг от друга в одной компоненте. Поэтому информацию о предпочтительности изменения значения одного нечеткого частного критерия при фиксированных значениях всех остальных нечетких критериев следует получить в первую очередь и использовать для анализа задачи.

fj - -четкой предпочтительности в зависимости от того, какие значения фиксированы у всех остальных нечетких критериев. Для значений s и t из множества f может оказаться, что оценка (y1,...,yt-1,s,yt+1,...,ym) предпочтительнее, чем (yi,...,yt-i,t,yt+i,...,ym), однако (у,...,у^,у;+1,...,ym) менее предпочтительна по

сравнению с (y1,...,y^ty^,...,ym). Сделать вывод, какое из значений f - s или t

- , -, . fj , , -

вается нечетко зависимым по предпочтению от остальных. На практике чаще

,

значения без рассмотрения значений остальных критериев, например критерии , . -почтению от остальных [5].

fj

m-1 . fj -

m-1 ,

четырех оценок вида

(yh...,yt_1,s,yt+1,...,yj, (yh...,yt_1,t,yt+1,...,yj,

(y'i,...,y't-1s,yM,...,ym) , (Yi,...,ytJ,yt+1,...,ym)

из нечеткого соотношения

(yi,...,yt-i,s,yt+i,...,yj 1% (yi,...,yt-i,t,yt+i,...,yj,

всегда следует

(Уl,,...,Уt+l,...,Ym) R (У1,...,ГЛ,y,+1,...,Ym).

fj -купности остальных нечетких критериев, то на множестве Y можно ввести отношение нечеткого нестрогого предпочтения.

, -почтению, т.е. каждый критерий независим по предпочтению от совокупности ,

« », -териальными задачами нечеткой максимизации. В таких задачах по каждому нечеткому критерию желательно нечеткий максимум. Если же в задаче каждый нечеткий критерий желательно нечетко минимизировать, то она называется многокритериальной задачей нечеткой минимизации.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Подиновский В. В. и др. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. - М.: Наука, Глав. ред. физ.-мат. литературы, 1982. - 256 с.

2. Дюбуа Д., Прад А. Теория возможностей: Пер. с французского В.Б.Тарасова / Под редакцией С.А.Орловского. - М.: Радио и Связь, 1990. - 288 с.

3. Zaden D.F. Fuxxy sets, Informatijn fnd Control, 8, P. 338 - 353, 1965.

4. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств. - М.: Радио и связь, 1982. -432 .

5. Keeney R.L. и др. Decisions with multiple objectives: preferences and value tradeoff. - New York: Wiley, 1976.

Заргарян Елена Валерьевна

Технологический институт федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге E-mail: [email protected]

347928, Таганрог, ГСП 17А, Некрасовский, 44. Тел: 88634-371-689

Zargarjan Elena Valerevna

Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”. E-mail: [email protected]

44, Nekrasovsky, Taganrog, 347928. Phone: 88634-371-689

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.