МНОГОКОНТУРНОЕ АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПОДВИЖНЫМИ ОБЪЕКТАМИ ПРИ РЕШЕНИИ ТРАЕКТОРНЫХ ЗАДАЧ Текст научной статьи по специальности «Математика»

У

правление подвижными объектами и навигация

УДК 681.513.66 ЭЭ!: https://doi.org/10.25728/pu.2018.6.8

МНОГОКОНТУРНОЕ АДАПТИВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПОДВИЖНЫМИ ОБЪЕКТАМИ ПРИ РЕШЕНИИ ТРАЕКТОРНЫХ ЗАДАЧ1

В.Х. Пшихопов, М.Ю. Медведев

Рассмотрены алгоритмы параметрической адаптации с эталонными моделями, обеспечивающие астатизм и оценивание возмущений. Предложена структура системы управления, позволяющая синтезировать многосвязные регуляторы, обеспечивающие движение вдоль заданных траекторий объекта, описываемого кинематикой и динамикой механических систем в трехмерном пространстве. С помощью метода функций Ляпунова доказана асимптотическая устойчивость замкнутой адаптивной системы с контуром обеспечения астатизма. Проведен анализ ошибок оценивания возмущений асимптотическим наблюдателем. Показана ограниченность ошибки оценивания и приведены соотношения для настройки параметров наблюдателя. Приведены результаты численных исследований.

Ключевые слова: адаптивное управление, эталонная модель, траекторное управление, астатизм, асимптотический наблюдатель, многоконтурная адаптация, параметрическая адаптация.

ВВЕДЕНИЕ

Наиболее часто системы адаптивного управления подвижными объектами строятся на основе методов беспоисковой адаптации [1, 2]. При этом применяются алгоритмы оценивания и идентификации [3, 4] или самонастройка с эталонной моделью [5—8]. Каждый из методов адаптации обладает известными преимуществами и недостатками [1, 2, 8, 9]. Совмещение преимуществ или устранение недостатков тех или иных методов адаптивного управления возможно благодаря применению комбинированных систем [10, 11].

В настоящей работе предлагаются алгоритмы комбинированной системы управления подвижным объектом, строящейся на основе адаптивных систем с эталонной моделью [5—7]. Такие системы позволяют управлять нелинейными нестационарными объектами [12, 13], учитывать ограничения

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ,

проект № 16-08-00013.

на фазовые переменные и управляющие воздействия [14, 15], адаптироваться к структурной неопределенности [16, 17], а также применять алгоритмы оценивания неизмеряемых переменных или возмущений [17].

В работах [18—20] предложена комбинированная система управления, включающая в себя эталонную модель, контур обеспечения астатизма [21], контур параметрической адаптации и робастный алгоритм оценки возмущений. Рассмотрена также задача позиционирования подвижного объекта, описываемого уравнениями движения твердого тела. В настоящей статье рассматривается задача построения комбинированной системы управления при движении объекта вдоль заданной траектории с требуемой скоростью. Траекторные задачи управления [22] отличаются повышенной сложностью и актуальны в современной робототехнике, требующей реализации высокоточного движения в средах с препятствиями. Кроме того, в этой работе представлен сравнительный анализ точности замкнутой системы при различных сочетаниях контуров управления.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Математическая модель подвижного объекта представлена в виде [18—20]:

У =

X = M X(F„ + F,(y, x, t)),

(1) (2)

где у — измеряемым вектор линеиных и угловых координат в неподвижной системе координат размерностью 6x1; х — измеряемый вектор линейных и угловых скоростей в связанной системе координат размерностью 6x1; Л(у) — матрица кинематики размерностью 6x6, зависящая от углов Эйлера [23, с. 15—17]; ¥и — вектор управляющих сил и моментов размерностью 6x1; ^^(у, х, ?) — вектор прочих сил и моментов размерностью 6x1; М — матрица инерционных параметров размерностью 6x6.

Относительно модели (1), (2) делаются следующие предположения:

— элементы матрицы инерционных параметров М — постоянные величины на интервалах:

м(/, j) е [ мг, мг ]

Mmin , ¿-max . . —7

j , Mj , i, j = 1, 6 — постоянные величины;

— вектор Fu = Fu(u, k5) является функцией вектора управляющих воздействий u и вектора интер-

вальных параметров kg е [ ki

5 min :

v5max J'

где k

5 min ,

к15тах — постоянные параметры; вектор и имеет размерность т;

— вектор сил и моментов FJ(y, х, ?) неопределенный и представляется в виде:

^ 0 = ^ х) +

||^(у, х)|| < Ару||у|| + Арж||х||,

I^ (?)| < ^¿02, 1/¿м < , = о, (3)

где ÄFx, ÄFy, Frf2, Fd2 — постоянные величины; ||-|| —

операция вычисления нормы; |-| — операция вычисления модуля.

Траекторная и скоростная ошибки задаются в виде [18—20]:

ytr = AxYy + Ä2y + A3,

Vck = Ä4x + ^

(4)

(5)

где Ар А2 — постоянные матрицы размерностью ц х6, А4 — постоянная матрица размерностью V х 6, А3 — вектор задающих воздействий размерностью

ц х 1, А5 — вектор задающих воздействий размерностью V х 1.

Размерность вектора у равна ц, а размерность вектора уск равна V. Матрица У — диагональная У = ё1а§([у1 у2 у3 у4 у5 у6]).

Формирование траекторной ошибки в виде выражения (4) позволяет сформировать требования к желаемой траектории движения в пространстве внешних координат в виде прямых или кривых второго порядка. Задание скоростной ошибки в форме (5) позволяет сформировать постоянные требования к скоростям движения объекта.

Ставится задача: найти вектор управляющих воздействий в виде функции ^и(х, у) переменных состояния объекта (1), (2), обеспечивающий асимптотическую устойчивость ошибок (4), (5) относительно нулевого состояния.

2. СИНТЕЗ ЭТАЛОННОЙ МОДЕЛИ

Процедура синтеза комбинированной адаптивной системы управления состоит из этапов синтеза эталонной модели, синтеза основного контура с обеспечением астатизма и параметрической адаптацией и синтеза наблюдателя аддитивных возмущений. В данном параграфе рассматривается этап синтеза эталонной модели, которая состоит из совокупности номинальной модели и номинального управления. Такая эталонная модель позволяет учесть особенности объекта управления, например, ограничения на углы тангажа и крена, связанные с условиями управляемости. Иными словами, наличие эталонной модели в виде совокупности «номинальная модель + номинальное управление» позволяет настроить эту эталонную модель таким образом, чтобы она не генерировала нереализуемых движений.

Рассмотрим номинальную модель подвижного объекта

Ут = ^(У JX,

m' m'

xm = Mm (Fum + ^

(6) (7)

где ут — вектор координат номинальной модели; хт — вектор скоростей номинальной модели; Л(ут) — матрица кинематики номинальной модели; Иит — вектор управляющих сил и моментов номинальной модели; ¥Лт — вектор прочих сил и моментов, приложенных к номинальной модели; Мт — матрица инерционных параметров номинальной модели. Все векторы и матрицы в уравнениях (6), (7) имеют те же размерности, что и соответствующие векторы и матрицы в модели (1), (2).

Матрица Я(ут) имеет ту же структуру, что и матрица Я(у).

В отличие от модели объекта (1), (2) номинальная модель известна, т. е.:

— элементы матрицы Мт — постоянные известные параметры;

— вдююр = /Цт^ к6т) является фужцией вектора управляющих воздействий и и вектора постоянных известных параметров к5т;

— вектор прочих сил и моментов хт, ?) известен.

Векторы ошибок номинальной модели (6), (7) подвижного объекта сформируем, в соответствии с выражениями (4), (5), в виде

V™ = Ут + ¿Ут + ^ (8)

(9)

Vckm A4Xm + A5'

7т = йаЕ([у1т У2м Узм У4м У5м Убм]).

Потребуем, чтобы векторы (8), (9) удовлетворяли уравнениям вида

V Т™ + Т2V Т™ + TlVtrт = 0, (10)

V сКм + = 0, (11)

где Тх, Т2 и Т3 — диагональные положительно определенные постоянные матрицы.

Вычислив первую и вторую производные по времени от векторов Vtrm (8) и (9) в силу уравнений (6), (7) и подставив их в формулы (10), (11), получим

(2^1 + ¿2) Я (У м)

¿4

Хм

2 Ai^M R (У m ) XM + (2 A YM + A2) R (Ум) XM +

+ T2V TRM + T1 VTRM T3VCKM

,(12)

где Я (ут) — производная матрицы Я(ут), вычисляемая в соответствии с работой [16, с. 538],

V т™ = (2А^ + ¿2) Ут = (2АЛ + А^Ут)^

V TRM = 2A1YmRCO*m + (2A1Ym + A2)R (Ум)Хм +

+ (2AIYm + AW * m ,

7т = Ша£([у 1м Уу2м У3т У4т У5т Убт]). Для нахождения управления представим вектор

управляющих сил и моментов в виде ¥ = К и ,

мм 5т т'

где К5м — матрица размерности 6 х (ц + V).

(13)

Выражение (13) — это линейное преобразование главного вектора управляющих сил и моментов ¥мм к силам и моментам ит, создаваемым исполнительными механизмами. Далее вектор ит пе-ресчитывается в углы поворотов и тяги двигателей в соответствии с процедурой, представленной в работах [19, 24]. В статье [19] такой подход успешно применен в системе управления автономного необитаемого подводного аппарата, а в статье [24] — в системе управления роботизированной воздухоплавательной платформы. Также примем число каналов управления т = ц + V. Случай т ^ ц + V рассмотрен в работе [24].

Из выражения (12), с учетом выражений (7) и (13), находим

( 2AiYm + A2) R (Ум) Aa

-1

I х

6 м

( 2A1Ym + A2) R ( У м ) A4

MM1 Fdm +

2 A1 Ym R (У M ) Xm + ( 2 A1 Ym + A2 ) R ( Ум ) Xm +

+ T2V TRM + T1 VTRM T3VcKM

.(14)

Уравнения (6)—(9), (13), (14) представляют собой эталонную модель подвижного объекта. Проведем анализ устойчивости, введя квадратичную функцию

= 1 ^Гкм + ^т™ + 1 V1т Vт™ + + ^ (Vт™ + Vт™ + (15)

Производная по времени от выражения (15), вычисленная в силу уравнений замкнутой системы,

= -^¿т + 2^т Т1 Vт™ + + V 1т (-Т>т™ - Т2) + (Ут™ + Х

Х (-7>т™ - Т2Vйм + Т2Vйм ) = - V Гкт ^сЛт -

(16)

Синтез управления номинальной моделью (6), (7) позволяет корректно сформировать матрицы Тх и Т2 уравнений (10), (11), а также оценить разницу между номинальной моделью и подвижным объектом, основываясь на разнице между номинальным

и —

м

X

управлением (14) и реальными значениями сил и моментов, подаваемых на подвижный объект.

Далее описанная процедура синтеза управления номинальным объектом будет применена с некоторыми изменениями, для нахождения управления реальным подвижным объектом (1), (2).

3. АДАПТИВНЫЙ АЛГОРИТМ УПРАВЛЕНИЯ С ОБЕСПЕЧЕНИЕМ АСТАТИЗМА

Ошибки системы управления заданы в виде (4), (5). Для повышения точности следящей системы вводятся цепочки интеграторов

г1 ^2, г2 ^3, ..., У/г У/гт

= А1уу + А2у - А1 Утут - А2у

т

(17)

где В., Ск, ] = 1, и/г, к = 1, иск — матрицы коэффициентов регулятора.

Потребуем, чтобы траекторная и скоростная ошибки удовлетворяли уравнениям

¿/г + Т2 ¿/г + Т1ё/г = °

¿ск + Т3ёск =

(21) (22)

Первая и вторая производные по времени от выражения (19), вычисленные в силу уравнений (1), (2), (6), (7), (17), равны

¿/г = (2А1У + А2)Л(у)х - (2А1 Ут + А2)Л^т)хт +

+ В (А Уу +

+ 5^2 + ... + ВПгг-1 гП(г + ВПг (А1уу + А2у

- А1Утут - А2ут),

(23)

Х1 Х2 X3, Хпск Уск Ускт

= А4х - А4хт,

(18)

где и — число интеграторов, обеспечивающих ас-татизм порядка и — 1 по траекторной ошибке; иск — число интеграторов, обеспечивающих астатизм по-

рядка и, — 1 по скоростной ошибке; г, у = 1, и/г,

Хк, к = 1, иск — дополнительные переменные.

Тогда траекторная и скоростная ошибки подвижного объекта задаются в виде

¿/г = А1Уу + А2у — А1УЛ — А2ут +

+ ВА + ... + В„(г ^, (19)

¿ск = А4х — Ахт + С1Х1 + ... + Хпск , (2°)

ё/г = 2А1У Л(у)х + (2А1У + А2)( Л (у)х + Л(у) х) —

— 2А1Ут Л^т)хт — (2А1Ут + А2)(Л О0*т + + ^т)хт ) + ВА + ... + Вп,-2 ^ +

+ - 1 (А1уу + А2у — А1УЛ — Аут) + + ВПг((2А1У + А2)Л(у)х —(2А1Ут + А2)Л^т)хт). (24)

Первая производная по времени от выражения (2°), вычисленная в силу уравнений (1), (2), (6), (7), (17),

¿ск = А4х — А4 хт + С1Х2 + ...

... + СПк 1 Чк + Спск (А4х — А4хт). (25)

Подставив выражения (16), (19), (2°), (23)—(25) в уравнения (21), (22), получим

(2А1У + А 2) Л (у)

А4

х =

Т2(У/г + В1^2 + ... + Вп, ^ + Вп(г(У/г- У/гт)) + Т1(У/г + В1 ¿1 + ... + Вп^) +/ Т3 (Уск + С1Х1 + ... + СпскХпск) + С1Х2 + ... + Спск 1Хпск + Спск(А4х - А4хт)

, (26)

/2 = 2А1УЛ(у)х + (2А1У + А2) Л (у)х + ВЛ + ... + ВП(г-2 ^ + Вп г- 1 (^ — У/гт) + Вп,г (У/г — У/гт ). Как и для эталонной модели, примем

¥ = Ки,

и 5 '

(27)

где К5 — матрица размерности 6 х (ц + V).

Из уравнения (26), с учетом уравнений (2), (27), находим выражение для вектора управляющих воздействий:

(2 А1У + А2) Л (у)

А4

М 1Ки = —

(2А1У + А2) Л (у)

А4

М-Ч —

т2(У/г + В1^2 + ... + Вп(г 1 ^ + Вп(г(У/г - У/гт)) + Т1(У/г + ВЛ + ... + Вп^) +/ Т3 (Уск + С1Х1 + ... + СпскХпск) + С1Х2 + ... + Спск 1Хпск + Спск(А4х - А4хт)

(28)

Выражение (28) описывает векторный позици-онно-траекторный регулятор, обеспечивающий управление подвижным объектом (1), (2).

Анализ устойчивости желаемого положения равновесия (4), (5), (8), (9) осуществляется с помощью квадратичной функции

V2 = V1 + ^ eTck eck + el 71etr + 2 etr + + | (etr + T2etr)T(etr + T2etr)'

(29)

где VI описывается выражением (15).

Производная по времени от функции (29), вычисленная в силу уравнений замкнутой системы,

определяется выражением г1 = г2 = £3 = ... = = = 0цХ1, с учетом которого из выражения (31) следует V» = 0цх1.

Аналогичным образом, с учетом формул (18) и (20) показывается, что из выражения (30) следует

Уек = 0ух1.

Из уравнений замкнутой системы (10), (11), (17), (18), (21) и (22) получаем собственную матрицу блочного вида

Az =

Azi 0

0 A

z 2

0 0 A

z3

V2 - V - eck T3eck - etr 7172et,. - etr 72 e

tr 1 2 tr tr 2 tr

где 1^1 определяется выражением (16).

Из проведенного анализа следует, что асимптотически устойчивое положение равновесия системы определяется выражениями

еск = °ух1, = 0цх1, е К = 0цх1, = °ух1,

(30)

^trm 0ux1' V trm 0ux1'

где 0ух1, 0 х1 — нулевые векторы размерностью, указанной их индексами.

Из выражений (19), (30) следует, что в положении равновесия (30)

Vtr - -Bizi - - - Bntr zn

(31)

Подставив выражение (31) в систему (17), получим

Z1 z2' z2 Z3' •••' zntr

- -B1z1 - ••• - Bnr Znr •

(32)

Матрицы В,, у = 1, и(г, выбираются так, чтобы система (32) была асимптотически устойчивой.

В частности, если матрицы В,, у = 1, пг, диагональные, то система (32) распадается на ц подсистем, каждая из которых имеет вид

= ^2г = ^ЗР =

= —В1(г, г')г1г — ... — Вп(г(г, г) ,

где ,, у = 1, п^, I = 1, ц — элементы векторов ,

В,(г г) — диагональные элементы матриц В,.

В этой связи из системы (32) следует, что ее асимптотически устойчивое положение равновесия

Az1 -

Ip -I 0 T1 Ip + 72 0 0 0 Ip + T3

Az2 -

z2

Ip -I 0 0 0 0

71 Ip + T2 0 0 0 0

0 0 Ip -I 0 0

0 0 0 Ip -I 0

-I 0 B1 B2 ••• Ip + B,

Az3 -

Ip + T3 0 0 0

0

0 Ip -I 0 0 0 0 Ip -I 0

-I C1 C2 ••• Ip + C,

ck

где р — переменная преобразования Лапласа, I — единичная матрица.

Отсюда следует, что характеристическое уравнение замкнутой системы представляется в виде произведения полиномов

Я = (1р2 + 7> + 7;)(1р + Т3)(1р2 + 7> + 7\) х

s (Ip + 73)(Ip tr + B p

n„ -1

+ ••• +

B^p + B0) S

s (Ipnck + Cnck pnck -1

+ ••• + Cp + Co)- (33)

Таким образом, характеристическое уравнение замкнутой системы представляет собой произведение характеристических уравнений эталонной системы по каналам управления траекторией и скоростью, уравнения основного контура и уравнений обеспечения астатизма. Это позволяет проводить

tr

независимую настройку каналов управления скоростью и траекторией подвижного объекта, эталонной модели и контура обеспечения астатизма.

С целью проверки астатизма системы по каналу скорости добавим в уравнения (11), (18), (2°) и (22) вектор задающих воздействий £ск:

(/Р + Тз)(Уск — Ускт + С1Х1 + ... + СПск Хпск) =

= —(/Р + 73)^

(/Р + 73)Ускт = (/Р + 73)^ск, РХ1 = Х2, РХ2 = Хз, Р Хпск = Уск — Ускт.

После преобразований получим

(/?"<* + Спск рПск -1 + ... + С1Р1 + Со)Уск =

пск -1

= ( СпскР + ... + С1Р1 + фУсй*

откуда следует, что замкнутая система обладает порядком астатизма иск _ 1 по отношению к сигналу эталонной модели Ускт.

Аналогичным образом получаем уравнение «вход — выход» замкнутой системы по каналу управления траекторией

п*. п,„ - 1

(/р " + ^р " + ... + В1Р1 + Во)У/г = п -1

= (Вп(гР * + ... + ВЛ + ^У/^

из которого следует, что замкнутая система обладает порядком астатизма и/г _ 1 по отношению к сигналу эталонной модели у .

Адаптация алгоритма управления (28) осуществляется посредством параметрической настройки

матриц В.. и Ск, 7 = 1, и/г, к = 1, иск. Если выбрать матрицы В.. и Ск, диагональными, то их начальные значения можно получить методом стандартных переходных функций [25]. В этом случае последние два полинома в выражении (33) можно записать в виде:

п п -1

Л1 = /Р + ВП'Г ^0/гР +

О' П'г -1 Г>1 П'Г

... + В1 ^0/г Р + В0 ^0/г,

Л = /РПск + ад*/* -1 +

... + С^^0ск + С0 ^0ск ,

где В. и Ск, 7 = 1, и/г, к = 1, иск — диагональные матрицы размерности и/г х и/г и иск х иск, элементы которых определяются выбранным распределением корней (биномиальным, оптимальным); 00/г и 00ск — диагональные матрицы размерности и/г х и/г и искх иск, элементы которых являются среднегеометрическими корнями.

В данной статье предлагается осуществлять параметрическую адаптацию матриц геометрических корней 00/г и ^0ск. Это позволяет свести настройку коэффициентов полинома высокого порядка к настройке одного коэффициента. Например, применяя известные алгоритмы настройки [26], получаем

^0/г = С/г г1 ¿/г

^0ск = Сск Х1 ¿с^ (34)

где С/г и Сск — матрицы постоянных коэффициентов настройки размерности ц х1 и V х1.

Пусть, например, и/г = иск = 2, распределение корней стандартного полинома биномиальное, тогда коэффициенты находятся из соотношений

В1 = ^2/г, С1 = Ц)ск, В2 = 2^0/г, С2 = 2^0ск

Структурная схема системы управления подвижного объекта с эталонной моделью представлена на рис. 1. Как видно, эталонная модель не входит в основной контур управления. В ней матрицы 71, Т2 и 73 постоянные. В работе [27] предложен вариант настройки матриц 7^, Т2 и 73 таким образом, чтобы управляющие воздействия и не выходили в насыщение.

4. АЛГОРИТМ ОЦЕНИВАНИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ

Выражение (28) для вычисления управляющего воздействия содержит неопределенный вектор и матрицы интервальных параметров М и К5. Для оценки аддитивных возмущений представим уравнение (2) динамики подвижного объекта в виде

х = (Мт + АМ)—1((А_Кт + АК> + ^т + А^) =

= Тхт + (35)

где АМ, АК5, АТ^ — неопределенные матрицы и ^КГ^ ТХт = (Мт)_1(К5ти + Т/т) — известный вектор, АТХ = Мт1 (АКи + А^) + АМ-1((К5т + АК)и + + + АТ^) — неизвестный вектор.

Для синтеза наблюдателя вектора АТх воспользуемся подходом, предложенным в работах [24, 28]. В этом подходе реализован редуцированный

Рис. 1. Схема адаптивной системы управления с астатизмом

наблюдатель Луенбергера [29], робастность которого обеспечивается аппроксимацией возмущений временными рядами [30]. В соответствии с методикой синтеза [28] ошибка наблюдателя формируется в виде

e„ - АК _ s(x) - X

(36)

где X — вектор переменных наблюдателя, £(х) — векторная функция, определяемая далее.

Потребуем, чтобы ошибка (36) удовлетворяла дифференциальному уравнению е п + Тпеп = 0, где 7п — матрица, выбираемая из условий устойчивости и быстродействия. Для простоты изложения примем матрицу 7п скалярной, т. е. диагональной с одинаковыми элементами [31].

Дифференцируя ошибку (36) по времени в силу уравнения (35), из последнего уравнения получим

-1 - ^ ^ + ^ + Тп^РХ - *(*) - = 0

Приравняв к нулю все слагаемые, содержащие неизвестный вектор А/х, получим

X = -7П1 - ТТх - Г/. А Рх = 7> + 1. (37)

п п п п хт7 X п ^ '

Переходя в уравнениях (35) и (37) к изображениям по Лапласу, находим

px = FXm + A Fx,

pX = -7иX - 7n 7nx - 7nFxm, ^

a Fx = 7n x + X,

^ <

x =

X =

Fxm + AFx

7n 7nx 7n Fxm ^ A Fx

a IP + 7

A Fx = 7nx + X>

F + AF 7 7 F + AF 7 F

— 7 xm ' ц x _ ■ n J n x m ' ц x _ J n xm ^

Ip + 7

^ A F1 - _— A F

^ A Fx Ip + 7n A Fx •

Ip + 7n

Применив метод коэффициентов ошибок [32], получим

1

i!

E0 0 E1 7 ' E2 -2 ' •••' Ei -±i •

n

n

Тогда ошибка оценивания

е„(0 = 1А Тх + 1А ¥х + ... + А А Т!0 + ...

пЧ/ Т х гт2 х ггЛ

7п 7п 7п

Пусть АРх представляет собой линейный сигнал, удовлетворяющий ограничениям (3). Тогда компоненты вектора ошибки оценивания ограничены выражением

^ ¿0

б' (<)| < А^ /7П I = 1,

(38)

которое позволяет выбрать положительно определенную матрицу Тп так, чтобы ошибка оценивания не превышала заданную величину.

Представим оцениваемую функцию гармоническим сигналом АР = А тогда

х тах

| б' (?)| < А|тах + Аю тах + + А ю тах +

Отсюда следует, что для ограниченности ошибки оценивания требуется выбирать элементы матрицы Тп с учетом условия ютах/Тп < 1.

5. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

Рассмотрим подвижный объект с такими характеристиками:

Ти = [р

1°°° °°°°

К = °°°°

5т °1°° °°1° °°°1

Р = [Рх ° °]Т, Лр = [Лх Му Л/,

Мт = Ша§([т, т, т, /х, /у, /]), т = 5 кг,

/ = 1°,° кг-м2, / = / = 1°°,° кг-м2,

х у

где Р и — соответственно главный вектор и главный момент силы тяги двигателей.

Данные уравнения описывают движение подвижного объекта на малых скоростях с движитель-но-рулевым комплексом, обеспечивающим создание тяги вдоль продольной оси и управляющих моментов относительно трех осей связанной системы координат, например, квадрокоптер, автономный необитаемый подводный аппарат, беспилотный летательный аппарат с неизменяемым вектором тяги двигателей.

В качестве параметрических возмущающих воздействий приняты отклонения элементов номинальной матрицы Мт от элементов реальной матрицы М и отклонения элементов матрицы К5т от элементов матрицы К5. При моделировании принято:

СОБ у СОБ 9

Бт 9 - Бт у СОБ 9

А(у, 3, ю) =

-СОБ у Бт9 СОБу + Л + Бт у Бт у )

СОБ 9 СОБ У СОБ у Бт у + Л

- Бт у Бт 9 СОБу)

БШ у СОБ У +

- СОБ у Бт 9 Бту - СОБ 9 Бт у

СОБ у СОБУ - Л

- Бт у Бт 9 Бт у)

М = °,7Мт —

°,°21 ° ° ° ° 5 ° °,°2г ° ° ° ° ° ° °,°2г ° ° ° ° ° ° °,°4г ° ° ° ° ° ° °,3 г ° 5 ° ° ° ° °,3

А =

ш

=

°

С ОБ У

соб 9

БШ У

СОБ 9

° Бту СОБ У

1 9 СОБ у 9 БШ

Л =

т (бш 3 - юу V\ + юг Уу) т (соб 3 соб у - юг Vx + юх ^) т (gсоб 3 бшу - юхКу + юу Ух)

-( Jz - /у)юу1 -( /х - ^г)юхI -(/у- /х)юуюх _

А° °А

+ ад,

К5 =

1,4 ° ° ° у0 ° ° °

° ° ° ° ° ° ° °

° ° ° ° — °,°3 ° ° ° °

° °,7 ° ° ° у2 ° °

° ° °,5 ° ° ° у2 °

° ° ° 1,5 ° ° ° у2

Изменения в матрице М обусловлены расходом топлива и действием неучтенных в модели присоединенных масс [33], а в матрице К5 — зависимостью тяг движителей от глубины (высоты) движения и неточностями в характеристиках, определяющих зависимость тяг от управляемых переменных дви-

п

п

п

Рис. 2. Траектория движения в трехмерном пространстве (а) и в проекции на плоскость Оу1у3 (б)

жителей. В выражении для управления (28) приняты номинальные значения параметров и вектор

оценок возмущений Mm, К8т, . Вектор внешних возмущений принят в виде

Fd(t) -

20 + 20Б1П (0,8?) 1 2

-20 - 8 СОБ(1,3 ? + 0,2) 16

40 + 20БШ (?) _ Параметры системы управления

71 - 1> 72 - 2' 73 - 1 B1 - ^0tr 5

B2 2^0tr'

C1 ^0ck,

C -

C2 0ck,

^0ck(0) - ^0tr(0) - 10, 7n - 10,

0 0 0 10 0

0, A2 - 0 0 0 0 10 5 A3 - -9°

0 0 0 0 0 1 0

_-Y _

A4 - [1 0 0 0 0 0], A5 - _v0,

^0 -

, -ag 0

arctg , если r > rr, bg

)i

-ag bJ bg 0

arctg - arctg I + arctg --, если r < rr.

bg aJ ag

где г — расстояние до заданной траектории в плоскости 0У.К, описываемой уравнением аёу(1) +

13 ё

+ Ьёу(3) + сё = 0; гг — расстояние, при превышении которого вектор скорости подвижного объекта направлен на ближайшую точку на заданной траектории. Если расстояние до траектории меньше гг, то подвижный объект начинает разворачиваться вдоль траектории. При моделировании задано гг = 5,

аё = 1, Ьё = -1, сё = 0, 9° = —к3(у2 - у°), у0 и гХ — желаемые значения угла рысканья и скорости: у° = 0, V0 = 1, к3 = 0,2.

На рис. 2 и 3 представлены результаты моделирования адаптивной системы управления (1), (2), (6), (7), (14), (28), (34), (37) при ^ = Оск = 3.

На рис. 2, а представлена траектория в трехмерном пространстве, из которой видно, что подвижный объект совершает маневр, двигаясь одновременно на заданную глубину и к заданной прямой, после чего выходит на требуемую траекторию и движется с желаемой скоростью.

Результаты численных исследований различных вариантов адаптации сведены в таблице, в которой представлены статические ошибки по скорости и глубине движения. Из таблицы следует, что параметрические возмущения успешно подавляются всеми представленными алгоритмами. Отметим, что параметры объекта нестационарные и изменяются в широких пределах. Внешние возмущения подавляются с конечными ошибками. Так-

r

Рис. 3. Глубина (а) и скорость (б) подвижного объекта

же видно, что одновременное применение всех способов адаптации обеспечивает наибольшую точность замкнутой системы.

Наибольшую погрешность при подавлении внешних возмущений и совокупности внешних и параметрических возмущений показывает алгоритм, применяющий только оценивание возмущений. Это связано с тем, что астатизм по каждому каналу обеспечивается динамической системой второго порядка, а оценивание возмущений — наблюдателем первого порядка. Вместе с тем отметим, что применение наблюдателя как дополнительного контура адаптации позволяет существенно (от 5° до 1°°° %) уменьшить статическую ошибку.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Представлены алгоритмы комбинированной системы управления, содержащей контуры обеспечения астатизма, оценивания возмущений и параметрической адаптации. Предложенная система управления отличается структурой, обеспечивающей автономное функционирование каждого контура, что позволяет настраивать их независимо. При этом параметрическая адаптация и астатизм замкнутой системы обеспечиваются одними и теми же коэффициентами регулятора. Еще одно отличие разработанных алгоритмов состоит в том, что благодаря настройке только среднегеометри-

Вид адаптации Возмущения

параметрические внешние параметрические и внешние

Статическая ошибка, %

по скорости по траектории по скорости по траектории по скорости по траектории

Управление с наблюдателем (37) 0 0 0,25 0,02 0,25 0,02

Управление (31) 0 0 0,02 0,001 0,0203 0,0012

Управление (31) с наблюдателем (38) 0 0 0,0016 0,00011 0,0016 0,00011

Управление (31) с настройкой 0,0 0,0 0,0023 0,0004 0,003 0,0002

коэффициентов (34)

Управление (31) с настройкой коэф- 0,0 0,0 0,0016 0,00011 0,0016 0,00011

фициентов (34) и наблюдателем (37)

Сравнительный анализ вариантов адаптации

ческого корня предложенный алгоритм параметрической адаптации позволяет свести векторную задачу к скалярному случаю и не изменяет заданного соотношения между корнями характеристического полинома замкнутой системы. Одновременное применение алгоритмов оценивания возмущений, обеспечения астатизма и параметрической адаптации приводит к уменьшению ошибки замкнутой системы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Рутковский В.Ю. Работы Института проблем управления в области беспоисковых адаптивных систем и систем управления космическими аппаратами // Автоматика и телемеханика. - 1999. - № 6. - С. 42-49.

2. Земляков С.Д., Рутковский В.Ю. О некоторых результатах развития теории и практики применения беспоисковых адаптивных систем // Автоматика и телемеханика. -2001. - № 7. - С. 103-121.

3. Клейман Е.Г. Идентификация нестационарных объектов // Автоматика и телемеханика. - 1999. - № 10. - С. 3-45.

4. Клейман Е.Г. Идентификация входных сигналов в динамических системах // Автоматика и телемеханика. - 1999. -№ 12. - С. 3-15.

5. Рутковский В.Ю, Крутова И.Н. Принцип построения и некоторые вопросы теории одного класса самонастраивающихся систем с моделью // Тр. I Всесоюзной конф. по теории и практике самонастраивающихся систем. - М., 1965. - С. 46-63.

6. Рутковский В.Ю, Ссорин-Чайков В.Н. Самонастраиваю -щиеся системы с пробным сигналом // Тр. I Всесоюзной конф. по теории и практике самонастраивающихся систем. - М., 1965. - С. 93-111.

7. Zemlyakov S.D. Some problem of analytical synthesis in model reference control systems by the direct method of Lyapunov. Theory of self adaptive control system // Proc. of Intern. Symposium, England, Teddington, 1965. - N.-Y.: P.H. Hummon Plenum Press, 1966. - P. 175-179.

8. Dan Zhang, Bin Wei. A review on model reference adaptive control of robotic manipulators // Annual Reviews in Control. -2017. - Vol. 43. - P. 188-198.

9. Дружинина М.В., Никифоров В.О., Фрадков А.Л. Методы адаптивного управления нелинейными объектами по выходу // Автоматика и телемеханика. - 1996. - № 2. -С. 3-33.

10. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Адаптивное управление летательным аппаратом с идентификацией на скользящих режимах // Управление большими системами. - 2009. -Вып. 26. - С. 113-144.

11. Бушманова Ю.А. Комбинированное управление скалярными нестационарными объектами в системах с неявным эталоном // Информатика и системы управления. - 2007. -№ 2. - С. 165-172.

12. Рутковский В.Ю, Глумов В.М. Особенности динамики адаптивной системы управления с нелинейной эталонной моделью. I // Автоматика и телемеханика. - 2017. -№ 4. - С. 92-105.

13. Рутковский В.Ю., Глумов В.М. Особенности динамики адаптивной системы управления с нелинейной эталонной моделью. II // Там же. - № 5.- С. 83-95.

14. Даденков Д.А., Казанцев В.П. Синтез электромеханических систем управления с нелинейной адаптивной эталонной моделью // Фундаментальные исследования. - 2014. -№ 11. - С. 1466-1471.

15. Еремин Е.Л. Модификация адаптивной системы для управления одноканальным объектом с входным насыщением // Информатика и системы управления. — 2016. — № 3 (49). — С. 119—131.

16. Еремин Е.Л., Пикуль З.Д., Теличенко Д.А. Адаптивная система управления одним классом структурно-параметрически неопределенных объектов в схеме с явной и неявной эталонными моделями // Информатика и системы управления. — 2015. — № 1 (43). — С. 105—114.

17. Фуртат И.Б., Цыкунов А.М., Адаптивное управление объектами с неизвестной относительной степенью // Автоматика и телемеханика. — 2010. — № 6. — С. 109—118.

18. Пшихопов В.Х., Медведев М.Ю, Кдухмалев В.А. Базовые алгоритмы адаптивного позиционно-траекторного управления подвижными объектами при позиционировании в точке // Мехатроника, автоматизация, управление. — 2015. — № 4 (16). — С. 219—225.

19. Пшихопов В.Х., Медведев М.Ю, Гуренко Б.В. Алгоритмы адаптивных позиционно-траекторный систем управления подвижными объектами // Проблемы управления. — 2015. — № 4. — С. 66—74.

20. Медведев М.Ю, Рогов В.А., Медведева Т.Н. Позиционно-траекторное управление подвижными объектами с многоконтурной адаптацией // Известия ЮФУ. Технические науки. — 2016. — № 7. — С. 101—114.

21. Isidori A. Nonlinear Control Systems. — Springer Verlag, 1999.

22. Бурдаков С.Ф., Мирошник И.В., Стельмаков Р.Э. Системы управления движением колесных роботов / Сер. Анализ и синтез нелинейных систем. — СПб.: Наука, 2001.

23. Бюшгенс Г.С., Студнев Р.В. Динамика самолета. Пространственное движение. — М.: Машиностроение, 1983.

24. Пшихопов В.Х, Медведев М.Ю, Гайдук А.Р., и др. Система позиционно-траекторного управления роботизированной воздухоплавательной платформой: алгоритмы управления // Мехатроника, автоматизация и управление. — 2013. — № 7. — С. 13—20.

25. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. — М.: Наука, 1972.

26. Александров А.Г. Оптимальные и адаптивные системы: учеб. пособие. — М.: Высшая школа, 1989. — 263 с.

27. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т. 2: учеб. пособие для втузов: 13-е изд. — М.: Наука. 1985. — 560 с.

28. Медведев М.Ю. Алгоритмы адаптивного управления исполнительными приводами // Мехатроника, автоматизация и управление. — 2006. — № 6. — С. 17—22.

29. Bucy R. Nonlinear filtering theory // IEEE Trans. on Automat. Control. — 1965. — Vol. AC-1, N 2. — P. 198.

30. Красовский A.A. Циклическое оценивание при первичной обработке сигналов датчиков // Автоматика и телемеханика. — 1987. — № 4. — С. 52—60.

31. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц: 5-е изд. — М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2004. — 560 с.

32. Теория автоматического управления: уч. для вузов. Ч. I. Теория линейных систем автоматического управления / Н.А. Бабаков, А.А. Воронов, А.А. Воронова и др.; под ред. А.А. Воронова: 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Высшая школа, 1986. — 367 с.

33. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики: 3-е изд. — М.: Наука, 1980.

Статья представлена к публикации членом редколлегии

В.Ю. Рутковским.

Пшихопов Вячеслав Хасанович — д-р техн. наук,

директор НИИ робототехники и процессов управления,

Н pshichop@rambler.ru,

Медведев Михаил Юрьевич — д-р техн. наук, профессор,

Н medvmihal@sfedu.ru,

Южный федеральный университет, г. Ростов-на-Дону.