Минимизация экономического риска в условиях ограниченной информации Текст научной статьи по специальности «Математика»

равления “ситуация-действие”. При необходимости представленная ситуационная модель может быть дополнена средним уровнем всех видов финансового риска.

В условиях внешней и внутренней нестабильности очень важна минимизация несистематического риска, вызванного неточностью управленческих решений. Использование ситуационной сети для выработки управленческих решений и прогноза интересующего уровня финансового риска позволяют применять квалифицированный опыт начинающим менеджерам, позволяя уменьшить потери возможной прибыли.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Станиславчик Е.Н. Риск-менеджмент на предприятии: Теория и практика.- М.: Ось-89, 2002.- 80 с.

2. Нгуен Ф.Т. О возможностном подходе к анализу сведений // Теория возможностей и ее применение.- М.: Наука, 1992.- 272 с.

3. Аудиторские ведомости. № 6, 2000. С. 65-66.

С.П. Вовк МИНИМИЗАЦИЯ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РИСКА В УСЛОВИЯХ ОГРАНИЧЕННОЙ ИНФОРМАЦИИ

Проблема риска и прибыли - одна из ключевых в коммерческой деятельности, в частности, в управлении производством и финансами. Под риском понимается вероятность (угроза) потери лицом или организацией части своих ресурсов, недополучения доходов или появления дополнительных расходов в результате осуществления производственной или финансовой политики.

Одним из распространенных методов моделирования принятия решений (ПР) в условиях неопределенности и риска являются игры с природой, отличительной особенностью которых является то, что сознательно действует только один из участников (обычно игрок 1). Игрок 2 (природа) сознательно не действует: случайным образом выбирает очередные ходы как партнер по игре. Возможно задание игры с природой в виде матрицы выигрышей A=||aij||, а возникающих при ПР рисков R=||riJ|| в виде матрицы упущенных возможностей.

Размер риска - размер платы за отсутствие информации о состоянии природы. Матрицу R можно построить на основе матрицы выигрышей A.

Риском игрока rj при использовании стратегии Ai и при состоянии природы П будем называть разность между выигрышем, который игрок получил бы, если бы знал, что состоянием природы будет Ц, и выигрышем, который игрок получит, не имея этой информации. Зная состояние природы Ц, игрок выбирает ту стратегию, при которой его выигрыш максимальный, т.е. r^Pj-aij, где r = max а при

i \<i<m

заданном j.

Схематично расчет элементов матрицы рисков можно представить следующим образом:

П1 П2 П3 П4 П1 П2 П3 П4

A1 1 4 5 9 A1 3 4 1 0

A = A2 3 8 4 3 ^ R = A2 1 0 2 6

A3 4 6 6 2 A3 0 2 0 7

^ 4 8 6 9

Независимо от вида матрицы игры выбирается такая стратегия игрока, которая была бы наиболее выгодной по сравнению с другими. Поиск наиболее вы-

годной стратегии начинается с мажорирования стратегии, которое в играх с природой имеет определенную специфику: исключить из рассмотрения можно лишь доминируемые стратегии игрока 1, т.е. если V о=1, ..., п akJ <а^ (к, i=1, ...., п), то k стратегию можно не рассматривать и вычеркнуть из матрицы игры. Столбцы исключать из рассмотрения недопустимо, поскольку природа не стремится к выигрышу в игре с человеком, для нее нет целенаправленно выигранных и проигранных стратегий, она действует неосознанно. В рассматриваемых матрицах A и R доминирующих стратегий нет. Дальнейший поиск наиболее выгодной стратегии зависит от информированности человека о состояниях природы.

Критерием предпочтительности, задающим полный порядок на множестве

в

A, является величина ожидаемой полезности ЕЛ ^ • р(П). Пусть У -

отношение строгого доминирования по полезности для некоторого класса распределений P. Тогда Vр(П]) е Р Л/ У ° Л ЕП/ > ЕЛг. Здесь требуется опреде-

ление Ц с точностью до принадлежности классу P. Возможны следующие классы информированности о P.

1. P0 - полное отсутствие информации о p(ПJ), т.е. когда на множестве вероятностей состояний задана нулевая мера.

В таких случаях для определения лучших решений используются критерии maxmax, Вальда, Сэвиджа, Гурвица.

2. P1 - класс распределений, сохраняющих порядок (хотя бы нестрогий), т.е. ситуация, когда на p(ПJ) задана порядковая мера. Для ПР удобно предварительное упорядочение вероятностей состояний природы:

р(П1) > Р(П2) >... > р(П]) >... > р(П п).

В этом случае необходимое и достаточное условие доминирования по полезности дает теорема:

] ]

^ , , ч}1 — ^

А *

-1 Ля » (V; = 1,..., п) >^иг1. Ш

1=1 1=1

Поскольку доминирование строгое, то хотя бы одно неравенство выполняется строго.

В нашем случае не выполняется ни Л^ У0 Л?, ни А У0 А. Допустим, что p(ПJ)еPl. В этом случае накопленные полезности следующие.

Матрица риска R

1=1

R= Іи2

і=1 І

ІР 3.

П!

П,

Пз

П4

Ни одна из альтернатив А не доминирует над остальными, и ни одна из альтернатив R не доминируется, поэтому четкое доминирование А^ У1 А в А или

3

7

1

1

3

9

0

2

2

9

і=1

Ag У1 A в R отсутствует. Понятие нечеткого доминирования по полезности может иметь место при отсутствии четкого доминирования. Альтернативы вступают в отношение нечеткого строгого доминирования по полезности тогда и только тогда, когда:

• выполняется утверждение a=”множество П упорядочено по убыванию их вероятностей”. Если нумерация состояний природы выполнена по принципу убывания вероятностей, то степень истинности высказывания T(a)=1;

• выполняется утверждение Р=”альтернативы Af и Ag вступают в отношение строгого предпочтения по полезности Rs”. Истинность p рассчитывается по формуле:

T(Pj)= sup min {Mwj (u) LWgJ (v)} ,

u<v u, ve[0,1]

если принадлежность рассматривается как операция пересечения нечетких чисел, характеризующих накопленную полезность альтернатив.

Пусть данные о полезности альтернатив Aj и A2 - нечеткие числа, представленные в табл. 1.

Таблица 1

1 2 3 4

A1 (0,02;0,3;0,8) (0,02;0,28;0,8) (0,02;0,2;0,8) (0,02;0,4;0,8)

A2 (0,02;0,35;0,7) (0,02;0,38;0,7) (0,02;0,3;0,7) (0,02;0,5;0,7)

Исходные данные для анализа альтернатив по отношению нечеткого доминирования по полезности представлены табл. 2.

Таблица 2

1 2 3 4

tuu l=1 (0,02;0,3;0,8) (0,02;0,29;0,8) (0,02;0,245;0,8) (0,02;0,322;0,8)

^U 2l l=1 (0,02;0,35;0,7) (0,02;0,365;0,7) (0,02;0,332;0,7) (0,02;0,416;0,7)

Степень истинности доминирования Лг над Л определяется цв(А^ Лё)=Т(а&Р). Для рассматриваемых альтернатив Т(р^ представлена в табл. 3.

Таблица 3

j 1 2 3 4

T(Pi) 0,95 0,96 0,92 0,9

|а(Ль Л2) = шт{0,95;0,96;0,92;0,9}=0,9 ^ ц(Л2, Л0=0.

Т(Р) = mаx{0; min Т(р.)} = 0,9.

Если до начала выполнения анализа Ц были упорядочены (Т(а)=1), то М.С(ЛЬ Л2)= Т(а&Р)= гат{1; 0,9}= 0,9.

Для матрицы Я теорема о необходимых и достаточных условиях доминирования по полезности не может быть использована в виде (1). Она должна быть из-

1 1 1 менена следующим образом: Ле у Л/ ^(V/ = 1,..., п) ^и„.

1=1 1=1

Альтернативы вступают в отношение нечеткого строгого доминирования по полезности тогда и только тогда, когда:

• выполняется утверждение а=”множество П упорядочено по убыванию их вероятностей”. Если нумерация состояний природы выполнена по принципу убывания вероятностей, то степень истинности высказывания Т(а)=1;

• выполняется утверждение Р'=”альтернативы Ag и Af вступают в отношение строгого предпочтения по полезности Rs”. Истинность p рассчитывается по формуле:

T(P'j)= inf max{^ (v), jJw (u)}, если принадлежность рассматрива-

v<u u, ve[0,1]

ется как операция пересечения нечетких чисел, характеризующих накопленную полезность альтернатив.

Если данные о полезности альтернатив заданы табл. 1, то T(P'j) при всех возможных состояниях природы следующие.

Таблица 4

j 1 2 3 4

T(P'j) 0,3 0,31 0,5 0,7

|(Ль Л2) = шіп{0,3;0,31;0,5;0,7}=0,3 ^ |(Л2, Л!) = 0.

Т(Д') = тах{0; тіп Т(Д)} = 0,3.

і

Если до начала выполнения анализа П, были упорядочены (Т(а)=1), то |ЛАь Л2)= Т(а&Р')= шіп{1; 0,3}= 0,3.

3. Р3 - класс распределений, на множестве значений которых задана ограничительная интервальная мера

У, < Р(П,) <У,+е,

УJ > 0, 8, > 0, ,=1, ..., п.

Необходимое и достаточное условие строгого доминирования по полезности дает теорема:

7=1

Для доказательства теоремы решается вспомогательная задача линейного программирования:

• целевая функция: И = тіп V г (^ - П\

г, Є.О " 3 я д 1 1=

• ограничения на область допустимых решений Б заданы системой уравнений:

0 < <8,, п п

V21 =1 -V У і.

1=1 1=1

Проверка А У2 Л более громоздка по сравнению с Лу У1 А, так как нужно решать вспомогательную задачу, и требуются большие сведения о р(П,).

n

Интервальная мера сильнее порядковой, поэтому из невозможности A^ У1 A не следует возможность A У2 A ■

Допустим, что р(Ц) заданы интервалами:

0,2 < р(Д) < 0,4; 0,3 < р(Д) < 0,7; 0,1 < р(Д) < 0,4; 0,1 < р(Д) < 0,5. Рассчитаем Sj: s1=0,2; s2=0,4; s3=0,3; s4=0,4.

Для определения A У2 A нужно проверить выполнение соотношения:

0,2(-2)+0,3(-4)+0,1+0,6+h > 0.

Строим вспомогательную задачу на основании матрицы A: целевая функция

h=-2z1-4z2+z3+6z4 ^ min,

ограничения

z1+z2+z3+z4=1 -0,2-0,3 -0,1 -0,1;

z1 < 0,2; z2 < 0,4; z3 < 0,3; z4 < 0,4; (2)

zj > 0; z2 > 0; z3 > 0; z4 > 0.

После приведения к канонической форме задача линейного программирования выглядит следующим образом:

L(z)= =2z1+ 4z2- z3- 6z4 ^ max z1+z2+z3+z4+z5 = 0,3

z1 + z6 = 0,2

z2 + z7 =0,4

z3 + z8 =0,3

z4 + z9 =0,4

z1 > 0; z2 > 0; z3 > 0; z4 > 0.

По окончании первой итерации получаем оптимальное решение:

z10= z30= z40=0; z20=0,3; h0=1,2.

-0,4-1,2+0,1+0,6+1,2=0,3 > 0 ^ A У 2 A .

Проверка доминирования оставшихся пар A У2 A и A У2 A производится

аналогичным построением вспомогательных задач линейного программирования.

Для определения недоминируемой альтернативы в матрице R вспомогательная задача линейного программирования представляет задачу максимизации h при ограничениях (1).

Следовательно, решается задача линейного программирования:

L(z)= =2z1+ 4z2- z3- 6z4 ^ min

z1+z2+z3+z4+z5 = 0,3

z1 + z6 = 0,2

z2 + z7 = 0,4

z3 + z8 = 0,3

z4 + z9 = 0,4

z1 > 0; z2 > 0; z3 > 0; z4 > 0.

Первая итерация дает оптимальное решение:

z10= z20= z40=0; z30=0,3; h0 = -0,3.

-0,4-1,2+0,1+0,6-0,3= -1,2 < 0 ^ A У2 A в матрице R.

Условие A У2 A в матрице R соответственно приобретает вид:

n

А >A^ZyjUgJJ -U„)+ hг0.

J=1

Для доказательства последнего выражения решается вспомогательная задача линейного программирования:

n

• целевая функция h = min V z. (U . - U й ),

- ,-г) J K &/ JJ '

J eD j=1

• ограничения на область допустимых решений D заданы системой уравнений:

0 < z_j <sj,

nn

VZJ =1-VYj .

=1 =1

1

Проверка соотношения A У A производится путем построения и решения R вспомогательная задача линейного программирования, аналогичной ранее рассмотренной для матрицы A.

Видно, что для класса P3 построение отношения строгого доминирования по полезности достаточно трудоемко даже при четко заданных выигрышах.

В случае нечетких оценок выигрышей (см. табл. 1) для сравнения каждой пары альтернатив приходится решать задачу нечеткого математического программирования.

Поскольку проверить A У1 A легче, чем A У2 A, то первоначально проверяем именно это соотношение. При невозможности A У1 A приходится выполнять проверку A У2 A .

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Дубров А.М. Моделирование рисковых ситуаций в экономике и бизнесе.- М.: Финансы и статистика, 2002.- 430 с.

2. Аверкин А.Н., Батыршин И.З., Блищун А.Ф., Силов В.Б., Тарасов Б.Ф. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта / Под ред. Д.А. Поспелова.- М.: Наука, 1986.- 312 с.

3. Обработка нечеткой информации в системах принятия решений / А.Н. Борисов,

А.В. Алексеев, Г.В. Меркурьева и др.- М.: Радио и связь, 1989.- 304 с.

4. Вовк С.П. Ситуационное управление и нечеткие игры в моделировании организационных систем.- Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2002.- 147 с.

Л.А. Гинис

ПОСТРОЕНИЕ МНОГОСЛОЙНЫХ КОГНИТИВНЫХ КАРТ

Введение

В последнее время наряду с традиционным математическим аппаратом (обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения в частных производных, математическая статистика и т.п.) все чаще используются и другие менее традиционные средства: клеточные автоматы, нейронные сети и когнитивное моделирование. Именно этот способ моделирования социально-экономических процессов и будет рассмотрен.